postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

290. Ako su l 1 i l a simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla A trougla ABC,zatim a, b, c stranice naspram temena A, B, C i p poluobim tog trougla, dokazatida je(a)la 2 4bcp(p − a)=(b + c) 2(b)l 2 a =4abc(p − b)(p − c)(b − c) 2 .291. Ako je tačka M središte tetive AB kruga k kome je središte O. Nproizvoljna tačka kruga l kome je duž OM prečnik i C, dokazati da jeAC 2 + BC 2 = 4NC 2 .292. Ako su H, T , O, S ortocentar, težište, središte opisanog kruga i središteupisanog kruga bilo kojeg trougla, a r i ϱ poluprečnik opisanog i upisanog kruga,dokazati da je(a)SH 2 + 2SO 2 = 3(ST 2 + 2OT 2 )(a)3(ST 2 + 2OT 2 ) − SH 2 = 2r(r − 2ϱ)293. Dokazati da je poluprečnik kruga koji dodiruje katete i opisani krugpravouglog trougla jednak prečniku upisanog kruga.294. Ako su stranice BC, CA, AB trougla △ABC jednake dužima a, b, c iako je O središte i r poluprečnik kruga opisanog oko trougla △ABC, a O ′ tačkasimetrična sa O u odnosu na pravu BC, dokazati da jeAO ′2 = r 2 + b 2 + c 2 − a 2 .295. Ako je kod trougla △ABC AB 2 + AC 2 = 5BC 2 , dokazati da su težišnelinije iz temena B i C me - du sobom upravne.296. Ako je S središte kruga upisanog u trougao △ABC i P proizvoljna tačkaravni tog trougla, dokazati da jeBC·BA 2 +CA·P B 2 +AB·P C 2 = BC·SA 2 +CA·SB 2 +AB·SC 2 +(BC+CA+AB)·P S 2 .297. (M. Stewart) Ako je X tačka stranice BC trougla △ABC, dokazati da jeBC · AX 2 = XC 2 · AB 2 + BX · AC 2 − BX · XC · bc.298. Ako su r i ϱ poluprečnik opisanog kruga i poluprečnik upisanog krugatrougla △ABC kome je stranica BC najmanja, a M i N tačke stranica AB iAC takve da je MB = NC = BC = a, dokazati da jeMN 2 = a2r· (r − 2ϱ).32