postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

4. KARAKTERISTIČNE TEOREME I NJIHOVE PRIMENE4.1. Apolonijeva teorema280. (Apolonije) Ako je X tačka stranice BC trougla ABC takva da je BX :XC = m : n, dokazati da jenAB 2 + mAC 2 + nBX 2 + mCX 2 + (m + n)AX 2 .281. Ako je X proizvoljna tačka ravni pravougaonika ABCD, dokazati da jeAX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 .282. Dokazati da je kod paralelograma zbir kvadrata stranica jednak zbirukvadrata dijagonala.283. Ako je kod četvorougla ABCD zbir kvadrata stranica jednak zbiru kvadratadijagonala, dokazati da je taj četvorougao paralelogram.284. Ako je X tačka stranice BC trougla ABC takva da je BX : XC = m : n,Y tačka u kojoj prava AX seče krug upisan oko trougla ABC, dokazati da jenAB 2 + mAC 2 = (m + n)AX · AY.285. Ako je D podnožje visine iz temena A i A 1 stranice BC trougla ABC,dokazati da jeAC 2 − AB 2 = 2BC · DA 1 .286. Ako je D tačka stranice BC trougla ABC takva da je BD = 2DC,dokazati da jeAB 2 − 2AC 2 = 3AD 2 + 6AD 2 .287. Ako su X i Y tačke stranice BC trougla ABC takve da je BX = XY =Y C, dokazati da jeAB 2 + AC 2 = AX 2 + AY 2 + 4XY 2 .288. Ako su AA 1 , BB 1 , CC 1 težišne linije trougla ABC i T njegovo težište,dokazati da je(a)AA 2 1 = 1 4 (2AB2 + 2AC 2 − BC 2 );(b)(v)AA 2 1 + BB 1 1 + CC 2 1 = 3 4 (AB2 + BC 2 + CA 2 )AT 2 + BT 2 + CT 2 = 1 3 (AB2 + BC 2 + CA 2 ).289. Ako su P i Q središta dijagonala AC i BD četvorugla ABCD, dokazatida jeP Q 2 = 1 4 (AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 − AC 2 − BD 2 ).31