postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

18. Ako je P zajednička tačka površi ω i prave l oslonca površi ω, dokazati daje P granična tačka površi ω.19. Ako je duž MN dijametar konveksne površi ω, dokazati da su prave m i n,koje su u tačkama M i N upravne na pravoj MN, prave oslonca površi ω.1.2. Kombinatorni zadaci iz apsolutne geometrije20. Dokazati da skup koji se sastoji iz konačnog broja od n pravih neke ravniΠ, pri čemu se svake dve od tih pravih seku, a nikoje tri i više ne seku u jednojtački, razlaže ravan Π na α n = 1 2 (n2 + n + 2) konveksnih oblasti od kojih jeβ n = 2n neograničenih i γ n = 1 2 (n2 − 3n + 2) ograničenih.21. Dokazati da skup koji se sastoji iz konačnog broja od n krugova neke ravniΠ, pri čemu se svaka dva kruga iz tog skupa seku, a nikoja tri i više ne seku ujednoj tački, razlaže ravan Π na n 2 − n + 2 oblasti.22. Ako je l broj presečnih tačaka svih dijagonala konveksnog poligona A 1 , . . . , A n ,kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj tački, dokazati da jel = 1 n(n − 1)(n − 2)(n − 3).2423. Ako je f n broj poligonskih površi koje se dobijaju razlaganjem konveksnepoligonske površi A 1 , . . . , A n njenim dijagonalama, pri čemu se nikoje tri i višedijagonala ne seku u jednoj tački, dokazati da jef n = 1 24 (n − 1)(n − 2)(n2 − 3n + 12).24. Dokazati da se oblasti dobijene razlaganjem ravni proizvoljnim pravamaa 1 , . . . , a n mogu podeliti na dva skupa tako da svaka oblast pripada samo jednomod tih skupova i da nikoje dve susedne oblasti ne pripadaju istom skupu.1.3 Ostali zadaci iz apsolutne geometrije25. Dokazati da ne postoji poligon A 1 . . . A 2n+1 sa neparnim brojem temenakome bi sve stranice sekle izvesnu pravu p.26. Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke, dokazati da(a) postoji prava koja seče produženja polupravih AB, BC, AC;(b) ne postoji prava koja seče produženja polupravih AB, BC, CA.27. Ako je četvorougao ABCD konveksan, dokazati da se njegove dijagonaleseku, i obratno, ako se dijagonale četvorougla ABCD seku, dokazati da je onkonveksan.28. Ako je četvorougao ABCD konkavan, dokazati da se njegove dijagonale neseku, i obratno, ako se dijagonale četvorougla ABCD ne seku, dokazati da jeon konkavan.29. Ako duž koja spaja dve unutrašnje tačke naspramnih stranica AB i BCseče dijagonale AC i BD četvorougla ABCD, dokazati da se dijagonale togčetvorougla seku, tj. da je taj četvorougao konveksan.30. Dokazati da je kod svakog konveksnog četvorougla zbir dijagonala veći odzbira bilo kojih dveju naspramnih stranica.3