postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

tome krug l 1 dodiruje krugove k i k 1 , a krug l 2 dodiruje krugove k i k 2 . Ako sur, ϱ 1 , ϱ 2 poluprečnici krugova k, l 1 , l 2 dokazati da je√ϱ1 + √ ϱ 2 = √ r.243. Ako su BB ′ i CC ′ visine iz temena B i C trougla ABC, a r poluprečnikopisanog kruga i d odstojanje njegovog središta od stranice BC, dokazati da jeBC : B ′ C ′ = r : d.244. Ako je H ortocentar trougla ABC i O središte kruga opisanog oko togtrougla, dokazati da jeBC 2 + AH 2 = 4OA 2 .245. Ako je H ortocentar trougla ABC, r poluprečnik kruga opisanog oko togtrougla i a, b, c duži jednake stranicama BC, CA, AB, dokazati da jeAH 2 + BH 2 + CH 2 = 12r 2 − (a 2 + b 2 + c 2 ).246. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine i H ortocentar trougla ABC, dokazati da je(a)AH · AA ′ = 1 2 (AB2 + AC 2 + BC 2 )(b)AH · AA ′ + BH · BB ′ + CC ′ = 1 2 (AB2 + BC 2 + CA 2 )247. Ako je M središte kvadrata nad hipotenuzom BC trougla ABC koji senalazi s one strane od prave BC s koje nije teme A, sa N središte kvadrata nadhipotenuzom BC koji se nalazi s one strane od prave BC sa koje je teme A,dokazati da je(a)√2AM = (AB + AC)2(b)√2AN = (AB − AC)2248. Ako su P , Q, R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC, CA,AB trougla ABC, a A ′ , B ′ , C ′ podnožja upravnih iz proizvoljne tačke M krugak na pravama BC, CA, AB i P ′ , Q ′ , R ′ podnožja upravnih iz tačke M napravama QR, RP , P Q, dokazati da jeMA ′ · MB ′ · MC ′ = MP ′ · MQ ′ · MR ′ .249. Ako su ϱ, ϱ a , ϱ b , ϱ c poluprečnici upisanih krugova k, k a , k b , k c zatim P ,P a , P b , P c tačke u kojima ti krugovi dodiruju pravu BC i P ′ , P ′ a, P ′ b , P ′ c tačkeu kojima prave AP , AP a , AP b , AP c seku krugove k, k a , k b , k c , dokazati da je(a)AP · P P ′ = 2ϱh a24