postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

(b) kružna površ,konveksna.2. Ako sva temena neke poligonske površi (A 1 . . . A n ) pripadaju nekoj konveksnojpovrši ω, dokazati da sve tačke poligonske površi (A 1 . . . A n ) pripadajupovrši ω.3. Dokazati da je presek konačnog broja od n konveksnih likova tako - de konveksanlik.4. Ako je a 1 , . . . , a n konačan skup od n duži koje pripadaju jednoj pravoj i odkojih svake dve imaju najmanje jednu zajedničku tačku, dokazati da svih n dužitoga skupa imaju najmanje jednu zajedničku tačku.5. Ako konačan skup od n polupravih neke prave p pokriva celu tu pravu,dokazati da u tom skupu polupravih postoje takve dve poluprave koje tako - depokrivaju celu tu pravu.6. Ako je ω 1 , . . . , ω n konačan skup od n (n ≥ 4) konveksnih površi jedne ravniod kojih svake tri imaju najmanje jednu zajedničku tačku, dokazati da svih npovrši ima tako - de bar jednu zajedničku tačku (Helijeva teorema u ravni).7. Ako je A 1 , . . . , A n konačan skup od n tačaka jedne ravni, pri čemu svake triod tih n tačaka pripadaju nekoj kružnoj površini poluprečnika r, dokazati dapostoji kružna površ poluprečnika r koja sadrži svih n tačaka.8. Ako konačan skup {α 1 , . . . , α n } od n poluravni neke ravni pokriva celutu ravan, dokazati da u tom skupu poluravni postoje takve tri poluravni kojepokrivaju celu tu ravan.9. Ako je {l 1 , . . . , l n } konačan skup od n kružnih lukova sadržanih na istomkrugu l pri čemu je svaki od tih lukova manji od poluobima kruga l, a svaka triod tih lukova imaju najmanje jednu zajedničku tačku, dokazati da svi likovi togkruga imaju najmanje jednu zajedničku tačku.10. Ako za svake tri tačke P , Q, R prostog ravnog poligona A 1 , . . . , A n postoji utom poligonu tačka S takva da sve unutrašnje tačke duži P S, QS, RS se tako - denalaze u tom poligonu, dokazati da u tom poligonu postoji tačka O takva da seunutrašnje tačke svih duži koje spajaju tačku O s tačkama tog poligona tako - denalaze u tom poligonu (Teorema M.A. Krasnoseljskog).11. Ako su A 1 i A 2 bilo koje dve unutrašnje tačke konveksne površi ω, dokazatida su sve ostale tačke duži A 1 A 2 unutrašnje tačke površi ω.12. Ako je A 1 unutrašnja i A 2 granična tačka konveksne površi ω, dokazati dasu sve ostale tačke duži A 1 A 2 unutrašnje tačke površi ω.13. Ako su A 1 i A 2 dve granične tačke konveksne površi ω, dokazati da suunutrašnje tačke duži A 1 A 2 ili sve unutrašnje ili sve granične tačke površi ω.14. Dokazati da svaka prava s kroz bilo koju unutrašnju tačku P konveksnepovrši ω može da ima s rubom te površi najviše dve zajedničke tačke.15. Dokazati da svaka prava s kroz bilo koju unutrašnju tačku P ograničenekonveksne površi seče granicu te površi u dvema tačkama.16. Ako svaka prava kroz bilo koju unutrašnju tačku ograničene površi ω sečerub te površi u dvema tačkama, dokazati da je površ ω konveksna.17. Ako se kroz svaku tačku ruba ograničene površi ω može konstruisati najmanjejedna prava oslonca te površi, dokazati da je površ ω konveksna.2