postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

3. PROPORCIONALNOST DUŽI I SLIČNOST LIKOVA166. Ako su C i C ′ tačke dveju uporednih duži AB i A ′ B ′ takve da je AB :CB = A ′ C ′ : C ′ B ′ , dokazati da se prave AA ′ , BB ′ , CC ′ seku u jednoj tački ilisu me - du sobom uporedne.167. Ako su A, B, C tri tačke neke prave p, a A ′ , B ′ , C ′ tačke neke druge pravep ′ takve da je AB ′ ‖ BA ′ i AC ′ ‖ CA ′ , dokazati da je i BC ′ ‖ CB ′ (Paposovateorema).168. Ako su A, B, C tri tačke jedne prave, a A ′ , B ′ , C ′ tačke izvan te pravetakve da je AB ′ ‖ BA ′ , AC ′ ‖ CA ′ i BC ′ ‖ CB ′ , dokazati da tačke A ′ , B ′ , C ′tako - de pripadaju jednoj pravoj (Obratna Paposova teorema).169. Ako su A 1 , B 1 , C 1 središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, a M i Ntačke u kojima proizvoljna prava kroz teme A seče prave A 1 B 1 i A 1 C 1 , dokazatida je BM ‖ CN.170. Kroz naspramna temena A i C paralelograma ABCD konstruisane sudve paralelne prave od kojih prva seče prave odre - dene stranicama BC i CD utačkama P i Q, a druga seče prave odre - dene stranicama AB i AD u tačkama Ri S, dokazati da je P R ‖ QS.171. Ako su H i D ortocentar i podnožje visine iz temena A trougla ABC, aM i N tačke u kojima upravne iz tačke D na pravama AB i AC seku pravekoje su u tačkama B i C upravne na stranici BC, dokazati da tačke H, M, Npripadaju jednoj pravoj.172. Ako su A ′ , B ′ , C ′ tačke u kojima proizvoljna prava s seče prave odre - denestranicama BC, CA, AB trougla ABC, dokazati da ortocentri trouglova AB ′ C ′ ,A ′ BC ′ , A ′ B ′ C pripadaju jednoj pravoj.173. Dokazati da su ortocentri četriju trouglova koji su odre - deni sa četiri praveod kojih nikoje dve nisu paralelne i nikoje tri nisu konkurentne pripadaju jednojpravoj.174. Ako su E i F tačke u kojima simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla Atrougla ABC seku pravu BC, dokazati da je(a)BE : CE = AB : AC;(b)BF : CF = AB : AC.175. Ako obeležimo sa S središte upisanog kruga trougla ABC, sa S a , S b , S csredišta spolja upisanih krugova koji odgovaraju redom stranicama BC, CA,AB a sa E i F tačke u kojima simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla A sekupravu BC, dokazati da je(a)AS : SE = AS a : S a E = (AB + AC) : BC;(b)AS b : S b F = AS c : S c F = |AB − AC| : BC.176. Ako su S, S a , S b , S c središta upisanih krugova trougla ABC, zatim P ,P a , P b , P c tačke u kojima ti krugovi dodiruju pravu BC i A 1 središte straniceBC, dokazati da je16