postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

128. Ako su O 1 i O 2 središta dvaju krugova k 1 i k 2 koji se seku u tačkama M iN, a P 1 i P 2 tačke u kojima proizvoljna prava kroz N seče k 1 i k 2 , dokazati daje ∠P 1 MP 2 = ∠O 1 MO 2 .129. Ako su O 1 i O 2 središta dvaju krugova k 1 i k 2 koji se seku, P jedna njihovapresečna tačka, a M 1 , M 2 i N 1 , N 2 dodirne tačke zajedničkih dirki tih krugovapri čemu su M 1 i M 2 s one strane prave O 1 O 2 s koje nije P , dokazati da je∠M 1 P M 2 = 1 2 ∠O 1P O 2 i ∠N 1 ON 2 = 1 2 ∠2R 1 2 ∠O 1P O 2 .130. Ako su M i N presečne tačke dvaju krugova k 1 i k 2 , p i q poluprave kojimaje zajednički kraj M i koje s polupravom MN zahvataju jednake uglove. Akosu P 1 i P 2 preseci poluprave p s krugovima k 1 i k 2 , a O 1 i O 2 preseci polupraveq s krugovima k 1 i k 2 , dokazati da su duži P 1 P 2 i Q 1 Q 2 me - du sobom jednake.131. Ako su P i Q središta lukova AB i AC kruga opisanog oko trougla ABC,dokazati da je tetiva P Q upravna na simetrali ugla A tog trougla.132. Ako su P , Q, R, S središta lukova AB, BC, CD, DA kruga opisanogoko konveksnog tetivnog četvorougla ABCD, pri čemu navedeni luci ne sadržeostala temena tog četvorougla, dokazati da se tetive P R i OS seku pod pravimuglom.133. Ako su S i T tačke u kojima se seku dva kruga k 1 i k 2 , P i Q tačke ukojima proizvoljna prava kroz tačku T seče krugove k 1 i k 2 , a R tačka u kojojse seku dirke krugova k 1 i k 2 konstruisane u tačkama P i Q, dokazati da tačkeP , Q, R, S pripadaju jednom krugu.134. Ako su P i Q tačke u kojima proizvoljan krug kroz temena B i C trouglaABC seče stranice AB i AC, a P ′ i Q ′ tačke u kojima prave kroz P i Q uporednesa stranicama AC i AB seku stranicu BC, dokazati da tačke P , P ′ , Q, Q ′pripadaju jednom krugu.135. Ako su O 1 i O 2 središta dvaju krugova k 1 i k 2 koji se seku u tačkama A iB, a C i D tačke u kojima prave AO 1 i AO 2 seku krugove k 2 i k 1 , dokazati datačke B, C, D, O 1 , O 2 pripadaju jednom krugu.136. Ako su P i Q tačke u kojima simetrale stranica AC i AB seku praveodre - dene stranicama AB i AC trougla ABC, a O središte kruga opisanog okotrougla ABC, dokazati da tačke B, C, P , Q, O pripadaju jednom krugu, ili pakjednoj pravoj.137. Ako su AD, BE, CF visine trougla ABC, a M i N tačke simetrične stačkom D u odnosu na prave AB i AC, dokazati da tačke E, F , M, N pripadajujednoj pravoj.138. Dokazati da podnožja upravnih kroz bilo koju tačku kruga opisanog okonekog trougla na pravama koje su odre - dene stranicama tog trougla, pripadajujednoj pravoj (Simsonova teorema).139. Ako je ABC jednakostraničan trougao i P proizvoljna tačka njegove ravnikoja nije na opisanom krugu oko tog trougla, dokazati da postoji trougao čijesu stranice jednake dužima P A, P B, P C (Teorema Pompejca).140. Krug k seče stranice BC, CA, AB trougla ABC u tačkama P i P ′ , Q iQ ′ , R i R ′ . Ako se normale u tačkama P , Q, R na pravama BC, CA, AB sekuu jednoj tački dokazati da se normale u tačkama P ′ , Q ′ , R ′ na pravama BC,CA, AB tako - de seku u jednoj tački.141. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine oštrouglog trougla ABC, dokazati da jeortocentar H tog trougla središte upisanog kruga trougla A ′ B ′ C ′ .12