postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

1063. Ako su h a , h b , h c visine trougla ABC i ϱ poluprečnik upisanog kruga,dokazati da jemin(h a , h b , h c ) ≤ 3ϱ ≤ max(h a , h b , h c ).1064. Neka je M proizvoljna tačka iz unutrašnjosti trougla ABC i M ′ Lemoanovatačka tog trougla. Ako su P i P ′ , Q i Q ′ , R i R ′ podnožja upravnih iz tačke Mi M ′ na pravama BC, CA, AB dokazati da jeMP 2 + MQ 2 + MR 2 ≥ M ′ P ′2 + M ′ Q ′2 + M ′ R ′2 .1065. Dokazati da od svih trouglova upisanih u dati trougao najmanji zbirkvadrata stranica ima trougao kome su temena podnožja upravnih iz Lemoanovetačke na stranicama datog trougla.1066. Ako je O proizvoljna tačka iz unutrašnjosti trougla ABC i ako suA ′ , B ′ , C ′ tačke u kojima prave AO, BO, CO seku respektivno stranice BC, CA, AB,dokazati da je(a)AA ′AO + BB′BO + CC′CO ≥ 9 2(b)AA ′OA ′ + BB′OB ′ + CC′OC ′ ≥ 91067. Ako je O proizvoljna tačka iz unutrašnjosti trougla ABC i ako suA ′ , B ′ , C ′ tačke u kojima prave AO, BO, CO seku respektivno stranice BC, CA, AB,dokazati da je(a)AOAA ′ · BOBB ′ · COCC ′ ≤ 827(b)OA ′AA ′ · OB′BB ′ · COCC ′ ≤ 1271068. Ako je O proizvoljna tačka iz unutrašnjosti trougla ABC i ako su A ′ , B ′ ,C ′ tačke u kojima prave AO, BO, CO seku respektivno stranice BC, CA, AB,dokazati da je(a)AOOA ′ + BOOB ′ + COOC ′ ≥ 6,(b)AOOA ′ + BOOB ′ + COOC ′ ≥ 8.1069. Ako se dijagonale AC i BD četvorougla ABCD seku u tački O i akoprava kroz O uporedna sa AB seče stranice AD i BC u tačkama A 1 i B 1 , pravakroz O uporedna sa BC seče stranice AB i CD u tačkama B 1 i C 2 , prava krozO uporedna sa AD seče stranice CD i AB u tačkama D 1 i A 2 , dokazati da jeA 1 B 2AB · B1C 2BC · C1D 2CD · D1A 2DA ≤ 1.1070. Ako su a, b, c stranice i S površina trougaone površi, dokazati da je118