postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

(a)(b)SA + SB + SC ≥ 6ϱSA · SB · SC ≥ 8ϱ 31055. Ako su d 1 , . . . , d n rastojanja proizvoljne tačke kruga opisanog oko pravilnogpoligona koji ima n stranica od njegovih temena i r poluprečnik opisanog kruga,dokazati da je(a)d 1 + . . . + d n ≥ r √ 2n(b)d 1 + . . . + d n ≤ nr √ 21056. Ako je T težište poligona A 1 . . . A n upisanog u krug poluprečnika r,dokazati da jeT A 2 1 + . . . + T A 2 n ≤ nr 2 .1057. Ako je T težište konačnog skupa od n tačaka A 1 , . . . , A n i P proizvoljnatačka, dokazati da jeT A 2 1 + . . . + T A 2 n ≤ P A 2 1 + . . . + P A 2 n.1058. Ako je T težište konačnog skupa od n tačaka A 1 , . . . , A n , zatim Pproizvoljna tačka neke prave p i Q podnožje upravne iz tačke T na pravoj p,dokazati da jeP A 2 1 + . . . + P A 2 n ≤ QA 2 1 + . . . + QA 2 n.1059. Ako obeležimo sa M proizvoljnu tačku iz unutrašnjosti trougla ABC, saX a , X b , X c rastojanja tačke M od temena A, B, C i sa ϱ poluprečnik upisanogkruga tog trougla, dokazati da je(a)X a + X b + X c ≥ 6ϱ(b)X 2 a + X 2 b + X 2 c ≥ 12ϱ 21060. Ako obeležimo sa M proizvoljnu tačku iz unutrašnjosti trougla ABC, say a , y b , y c odstojanja tačke M od pravih BC, CA, AB a sa r i ϱ poluprečnikopisanog i upisanog kruga tog trougla, dokazati da jey 2 a + y 2 b + y 2 c ≥ 12 ϱ4r 2 .1061. Dokazati da od svih trouglova upisanih u dati oštrougli trougao najmanjiobim ima trougao koji je odre - den podnožjima visina datog trougla.1062. Ako su h a , h b , h c visine trougla ABC i y a , y b , y c odstojanja proizvoljnetačke iz unutrašnjosti trougla ABC od pravih BC, CA, AB, dokazati da jemin(h a , h b , h c ) ≤ y a + y b + y c ≤ max(h a , h b , h c ).117