postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

113. Ako su a, b, c tri prave koje se seku u istoj tački O i koje razlažu ravanu kojoj se nalaze na šest jednakih uglova, dokazati da je odstojanje proizvoljnetačke P te ravni od prave a jednako zbiru ili razlici odstojanja te tačke od drugihdveju pravih b i c.114. Ako je O središte, AB prečnik i P proizvoljna tačka nekog kruga k, zatimM podnožje upravne iz tačke P na pravoj AB, O tačka poluprave P O takva daje P O = 2AM i R druga presečna tačka prave AO s krugom k, dokazati da je∠AOR = 3∠AOP .115. Ako su O 1 i O 2 središta krugova k 1 i k 2 , P 1 i P 2 tačke u kojima proizvoljnaprava koja sadrži zajedničku tačku M tih krugova seče k 1 i k 2 , a N tačkasimetrična s tačkom M u odnosu na središte O duži O 1 O 2 , dokazati da je tačkaN na simetrali s duži P 1 P 2 .116. Ako su B ′ i C ′ tačke u kojima proizvoljan krug kroz temena B i C sečestranice AB i AC trougla ABC, dokazati da je prava B ′ C ′ uporedna s pravomkoja u temenu A dodiruje krug opisan oko trougla ABC.117. Ako su B ′ i C ′ tačke u kojima neka prava uporedna s pravom koja utemenu A dodiruje opisani krug trougla ABC seče stranice AB i AC, dokazatida tačke B, C, B ′ , C ′ pripadaju jednom krugu.118. Ako je dijagonala AC prečnik kruga opisanog oko tetivnog četvorouglaABCD, dokazati da su upravne projekcije bilo kojih dveju naspramnih stranicatog četvorougla na drugoj dijagonali me - du sobom jednake.119. Ako je P proizvoljna tačka kruga l opisanog oko trougla ABC, a P 1 , P 2 , P 3tačke simetrične s tačkom P u odnosu na simetrale uglova A, B, C, dokazati dasu prave AP 1 , BP 2 , CP 3 me - du sobom uporedne.120. Ako su AB i CD paralelne tetive dvaju krugova koji se seku u tačkamaM i N, dokazati da su uglovi AMC i BND jednaki ili suplementni.121. Ako su A, B i C, D tačke u kojima neka prava p seče dva kruga k i lkoji se seku u tačkama M i N, dokazati da su uglovi AMC i BND jednaki ilisuplementni zavisno od toga imaju li tetive AB i CD zajedničkih tačaka ili ne.122. Ako su M i N tačke u kojima se seku dva kruga k i l, A i B tačke u kojimaproizvoljna tačka kruga k seče krug l, a C dodirna tačka, dokazati da su ugloviAMC i BNC jednaki ili suplementni, zavisno od toga da li je C unutrašnjatačka tetive AB ili je na njenom produženju.123. Ako su A i B dodirne tačke bilo koje zajedničke tangente dvaju krugova k il koji se seku u tačkama M i N, dokazati da su uglovi AMB i ANB suplementni.124. Ako su AB i CD dve paralelne tetive dvaju krugova k i l koji se dodirujuu nekoj tački M, dokazati da su uglovi AMC i BND jednaki ili suplementni.125. Ako je M dodirna tačka dvaju krugova k i l, a A, B i C, D tačke u kojimaneka prava seče krugove k i l, dokazati da su uglovi AMC i BMD jednaki ilisuplementni, zavisno od toga da li se krugovi k i l dodiruju iznutra ili spolja.126. Ako je M dodirna tačka dvaju krugova k i l, p proizvoljna prava koja sečekrug k u tačkama A, B i dodiruje krug l u tački C, dokazati da su uglovi AMCi BND jednaki ili suplementni, zavisno od toga da li se krugovi k i l dodirujuiznutra ili spolja.127. Ako su M i N presečne tačke dvaju krugova k i l, p i q dve prave kroztačku N od kojih prva seče krugove k i l u tačkama A i B, a druga seče krugovek i l u tačkama C i D, dokazati da su uglovi AMB i CMD jednaki.11