postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

(b)a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 (a + b + c)23(c)(d)a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca)a 2 + b 2 + c 2 < 1 (a + b + c)221013. Ako su a, b, c stranice trougla, dokazati da je(a)(b)ab + bc + ca ≤ 1 (a + b + c)23ab + bc + ca > 1 (a + b + c)241014. Ako je p poluobim trougla, r poluprečnik opisanog kruga i ϱ poluprečnikupisanog kruga, dokazati da je(a)(b)3 √ 3ϱ ≤ ϱ ≤√33 (4r + ϱ) ≤ 3√ 32 r;272 rϱ ≤ 3ϱ(4r + ϱ) ≤ 16rϱ − 5ϱ2 ≤ ϱ 2 ≤ 4r 2 + 4rϱ + 3ϱ 2 ≤ 3r (4r + ϱ).21015. Ako su a, b, c stranice i p poluobim trougla, a r poluprečnik opisanogkruga i ϱ poluprečnik upisanog kruga, dokazati da je(a)(b)(v)1a + 1 b + 1 c ≥ 93p1a + 1 b + 1 √3c ≥ ϱ1a + 1 b + 1 √3c ≤ ϱ1016. Ako su a, b, c stranice trougla, r poluprečnik opisanog kruga i ϱ poluprečnikupisanog kruga, dokazati da je(a)(b)(v)ab + bc + ca ≤ 9r 2ab + bc + ca ≥ 18rϱab + bc + ca ≥ 36ϱ 2108