postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

1008. Dat je konveksan ugao MON i u njemu tačka P . Odrediti na kracimaOM i ON ugla MON tačke X i Y kolinearne s tačkom P takve da obim trouglaOXY bude minimalan.1009. Ako su a, b, c stranice i p poluobim trougla, dokazati da je(a)(b)8(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abca 2 (p − a) + b 2 (p − b) + c 2 (p − c) ≤ 3 2 abc(v)(g)ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 6abcab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ≥ 48(p − a)(p − b)(p − c)1010. Ako su a, b, c stranice i p poluobim trougla, dokazati da je(a)(b)(v)(g)1a + b + 1b + c + 1c + a ≥ 94pab + c +bc + a +ca + b ≥ 3 2p − ab + c + p − bc + a + p − ca + b ≥ 3 4p + ab + c + p + bc + a + p + ca + b ≥ 1541011. Ako su a, b, c stranice trougla, p njegov poluobim, r poluprečnik opisanogkruga i ϱ poluprečnik upisanog kruga, dokazati da je(a)(b)(v)(g)1p − a + 1p − b + 1p − c ≥ 2( 1 a + 1 b + 1 c )1p − a + 1p − b + 1p − c ≥ 9 p1p − a + 1p − b + 1√3p − c ≥ ϱ1p − a + 1p − b + 1p − c ≥ 2√ 3r1012. Ako su a, b, c stranice trougla, dokazati da je(a)a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca107