postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

12. Nejednakosti u planimetriji976. Ako za svake tri prave proizvoljnog skupa pravih jedne ravni postojikrug poluprečnika r koji sa svakom od tih triju pravih ima zajedničkih tačaka,dokazati da postoji krug poluprečnika r koji sa svakom pravom datog skupa imazajedničkih tačaka.977. Ako je d dijametar bilo kojeg ograničenog skupa a 1 , . . . , a n pravih jedneravni, dokazati da postoji krug poluprečnika r ≤d2 √ koji sa svakom pravom3datog skupa ima najmanje jednu zajedničku tačku.978. Ako je d dijametar bilo kojeg skupa tačaka neke ravni, dokazati da postojikružna površ poluprečnika r = √ d 3koja sadrži sve tačke tog skupa (Jungovateorema).979. Ako je d dijametar bilo kojeg ograničenog skupa tačaka u ravni, dokazatida postoji pravilna trougaona površ sa stranicama a ≤ √ 3d koja sadrži svetačke tog skupa tačaka.980. Ako je a 1 , . . . , a n konačan skup od n duži, dokazati da jea 1a 2+ a 2a 3+ . . . + a na 1≥ n.981. Ako je a 1 , . . . , a n konačan skup od n duži, dokazati da je(a 1 + . . . + a n )( 1 a 1+ . . . + 1a n) ≥ n 2 .982. Ako je a 1 , . . . , a n konačan skup od n duži, dokazati da je1n (a 1 + . . . + a n ) 2 ≤ a 2 1 + . . . + a 2 n ≤ (a 1 + . . . + a n ) 2 .983. Ako su A n i H n aritmetička i harmonijska sredina duži a 1 , . . . , a n dokazatida je(a)(b)min(a 1 , . . . , a n ) ≤ H nmax(a 1 , . . . , a n ) ≥ A n984. Ako su P i Q središta stranica AD i BC četvorougla ABCD, dokazati daje|AB − CD| ≤ 2P Q ≤ AB + CD.985. Ako je kod prostog četvorougla ABCD ∠A = ∠B i ∠C = ∠D, dokazatida je BC > AD.986. Ako je kod prostog četvorougla ABCD ∠A = ∠B i BC > AD, dokazatida je ∠D > ∠C.987. Ako je kod prostog četvorougla ABCD AD = BC i ∠A > ∠B, dokazatida je ∠C > ∠D.104