postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

963. Ako su P , Q, R podnožja upravnih iz neke tačke M na pravama kojesu odredene - stranicama BC, CA, AB trougla ABC i ako je O središte i rpluprečnik kruga l opisanog oko trougla ABC, a duž koja spaja tačke O i M,dokazati da jeS(P QR)S(ABC) = ±1 d2(1 −4 r 2 ),pri čemu se uzima znak + ili − prema tome da li je tačka M u ili izvan kruga l.964. Ako su r i ϱ poluprečnici opisanog i upisanog kruga trougla ABC, aP, Q, R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC, CA, AB dokazati dajeS(P QR)S(ABC) = ϱ 2r .965. Ako su r i ϱ a poluprečnici opisanog kruga i spolja upisanog kruga k atrougla ABC, a P a , Q a , R a tačke u kojima krug k a dodiruje prave BC, CA,AB dokazati da jeS(P a Q a R a )S(ABC)= ϱ a2r .966. Ako su r i ϱ poluprečnici opisanog i upisanog kruga trougla ABC; P , Q,R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC, CA, AB, a P ′ , Q ′ , R ′podnožja visina trougla P QR, dokazati da jeS(P ′ Q ′ R ′ )S(ABC)= ϱ4r 2 .967. Ako su r i ϱ a poluprečnici opisanog kruga i spolja upisanog kruga k atrougla ABC, a P a , Q a , R a tačke u kojima krug k a dodiruje prave BC, CA,AB a P ′ a, Q ′ a, R ′ a podnožja visina trougla P a Q a R a , dokazati da jeS(P ′ aQ ′ aR ′ a)S(ABC)= a4r 2 .968. Ako su P , Q, R podnožja upravnih iz težišta T trougla ABC na pravamaBC, CA, AB, a a, b, c dužine stranica BC, CA, AB, dokazati da jeS(P QRS(ABC) 3 = 4 a 2 + b 2 + c 29 a 2 b 2 c 2 .969. Ako obeležimo sa P , Q, R tačke u kojima upisani krug k trougla ABCdodiruje stranice BC, CA, AB i sa P i , Q i , R i tačke u kojima spolja upisanikrug k i za i = a, b, c dodiruje prave BC, CA, AB, dokazati da je(a)(b)S(P a Q a R a ) + S(P b Q b R b ) + S(P c Q c R c ) − S(P QR) = 2S(ABC)1S(P a Q a R a ) + 1+S(P b Q b R b1S(P c Q c R c=1S(P QR)970. Ako obeležimo sa P , Q, R dodirne tačke upisanog kruga k sa stranicamaBC, CA, AB trougla ABC; sa P i , Q i , R i dodirne tačke spolja upisanog kruga102