UVOD U TEORIJU BROJEVA Kvadratne forme zove se homogeni ...

vrijedi F = U T F U. Dakle, f ∼ f, odnosno f ovom transformacijom prelaziopet u f.2) Ako je f ∼ g, tada postoji U ∈ Γ tako da je G = U T F U. Odavde jeF = (U −1 ) T GU −1 . Kako je Γ grupa, U −1 ∈ Γ pa smo ovime dobili da jeg ∼ f.3) Ako je f ∼ g i g ∼ h, tada je G = U T F U, H = V T GV za neke U, V ∈ Γ.Iz toga je H = (UV ) T F (UV ), a kako je UV ∈ Γ, to je f ∼ h.Denicija 4.2. Kaºemo da kvadratna forma reprezentira cijeli broj nako postoje x 0 , y 0 ∈ Z takvi da je f(x 0 , y 0 ) = n. Ako je pritom (x 0 , y 0 ) = 1,tada kaºemo da je reprezentacija prava, a ina£e je neprava.Propozicija 4.2. Neka su f i g ekvivalentne kvadratne forme i n ∈ Z.Tada:1) f reprezentira n akko g reprezentira n,2) f pravo reprezentira n akko g pravo reprezentira n,3) diskriminante od f i g su jednake.Dokaz:1) Zbog Propozicije 4.1. 2), dovoljno je pokazati jednu implikaciju, odnosnodovoljno je uzeti da se f moºe transformirati u g. Neka je G = U T F U. Dakle,F = (U −1 ) T GU −1 . ƒinjenicu ( ) da je f(x 0 , y 0 ) = n moºemo zapisati kao n =X0 T x0F X 0 , gdje je X 0 = . Iz toga slijedi da je n = (Uy −1 X 0 ) T G(U −1 X 0 ),0odnosno da g reprezentira n. (U −1 X 0 je matrica koja predstavlja varijableod g.)2) Nadoveºimo ( ) se na prvi dio dokaza i ozna£imo X 1 := U −1 X 0 . Neka jex1X 1 = . Pretpostavimo da je (xy 0 , y 0 ) = 1. Vrijedi x 0 = px 1 + qy 1 ,1y 0 = rx 1 + sy 1 . Kada smo govorili o djeljivosti, rekli smo da ako se cijeli brojd moºe prikazati u obliku d = bx + cy, tada je (b, c) djelitelj od d. Dakle,(x 1 , y 1 ) je djelitelj od x 0 , ali i djelitelj od y 0 . Kako je (x 0 , y 0 ) = 1, onda morabiti i (x 1 , y 1 ) = 1.3) Ozna£imo s d 0 i d 1 diskriminante od f i g. Kako je F =( ab2b2c), slijedida je det F = ac − b2 4 . Dakle, d 0 = −4 det F . Analogno d 1 = −4 det G.Zatim, vrijedi det G = det U T det F det U = 1 · det F · 1 = det F . Iz togaslijedi da je d 0 = d 1 .U nastavku ¢emo opisati redukciju pozitivno denitnih kvadratnih formi.3

Dakle, onih kod kojih je d < 0 i a > 0. Kako je kod takvih formi d =b 2 − 4ac < 0, slijedi da mora biti c > 0.Denicija 4.3. Kaºemo da je pozitivno denitna kvadratna forma f(x, y) =ax 2 + bxy + cy 2 reducirana ako je −a < b ≤ a < c ili 0 ≤ b ≤ a = c.Teorem 4.3. Svaka pozitivno denitna kvadratna forma je ekvivalentnanekoj reduciranoj formi.Dokaz:Promotrimo supstitucije £ije su matrice( ) 0 1U =i V =−1 0( 1 ±10 1).Pokaºimo da kori²tenjem kona£no mnogo ovih transformacija moºemo posti¢ida je|b| ≤ a ≤ c.( ) c −Lako se je uvjeriti da vrijedi U T bF U =2− b , ²to zna£i da U zamjenjujea i c te b-u mijenja predznak. Dakle, ako smo u F imali a > c,a2tada¢emo u U T F U imati a < c. Zatim,( aV T b±2aF V =2b±2aa ± b + c2²to zna£i da V zamjenjuje b s b ± 2a, dok a ostavlja nepromijenjenim. Stoga,koriste¢i ovu transformaciju kona£no mnogo puta (koliko je potrebno), mo-ºemo posti¢i da je |b| ≤ a. Ovaj proces mora zavr²iti jer svaka primjenaprve transformacije smanjuje vrijednost od a koji je kod pozitivno denitnekvadratne forme pozitivan broj.Sada imamo −a ≤ b ≤ a i a < c. Dakle, jedan od uvjeta iz Denicije4.3. je zadovoljen, osim ako je −a = b. Pogledajmo slu£aj b = −a. Tada,primjenom supstitucije s matricom V moºemo posti¢i da je b = a, uz nepromijenjenic. (Kod ± uzimamo predznak +.) Ako je sada a = c, tadaprimjenom supstitucije s matricom U moºemo posti¢i da je b ≥ 0 (primjenomte supstitucije se promijeni predznak ispred b ) pa imamo drugi uvjet iz2Denicije 4.3. Ako je i dalje a < c, imamo prvi uvjet.Teorem 4.4. Postoji samo kona£no mnogo reduciranih formi s danom diskriminantomd.),4