Lineární algebra - Matematika pro inženýry 21. století - Vysoká škola ...

LINEÁRNÍ ALGEBRAverze 24. 4. 2012ZDENĚK DOSTÁL, VÍT VONDRÁKText byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílelaVysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeskáuniverzita v Plzni

ObsahPředmluvaiiiI Matice a řešení soustav lineárních rovnic 11 Zobrazení a lineární rovnice 21.1 Elektrický obvod se zdrojem a spotřebiči . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Vztah mezi napětími a potenciály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Proud a napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Kirchhoffův zákon proudů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Interpretace řešení soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnic 82.1 Ekvivalentní úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Maticový zápis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Úprava na schodový tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Zpětná substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Gaussova eliminace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Gauss-Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Pracnost řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Aritmetické vektory 193.1 Aritmetické vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Nulový a opačný vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24v

4 Matice a vektorové operace 254.1 Definice a označení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Násobení matice skalárem a sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Nulová matice a odečítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Matice rozdělené na bloky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Násobení a transponování matic 305.1 Násobení matice a vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Pravidla pro násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Transponované matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5 Násobení a transponování blokových matic . . . . . . . . . . . . . . . 36Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Inverzní matice 386.1 Maticový zápis elementárních úprav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Elementární úpravy a regularita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4 Výpočet inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5 Inverzní matice a řešení soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6 Vyčíslení výrazů s inverzní maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.7 Použití inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.8 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Trojúhelníkový rozklad 507.1 Permutační matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Trojúhelníkové matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Trojúhelníkový (LU) rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.4 Výpočet LU rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.6 Použití LU rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.7 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57vi

II Vektorové prostory 588 Algebraické operace a struktury 598.1 Algebraické operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Asociativní operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3 Komutativní operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.4 Neutrální prvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.5 Inverzní prvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.6 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.7 Komutativní těleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Vektorové prostory 669.1 Vektorový prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.2 Rovnosti odvozené z axiomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.3 Podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.4 Součet a průnik podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.5 Vektory v matematice a ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.6 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510 Lineární nezávislost a báze 7610.1 Závislé a nezávislé vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.2 Lineární kombinace a závislost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.3 Postačující podmínky pro nezávislost funkcí . . . . . . . . . . . . . . 7810.4 Báze vektorového prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411 Souřadnice 8511.1 Souřadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2 Použití souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812 Dimenze a řešení soustav 8912.1 Dimenze vektorového prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2 Dimenze a vyjádření vektoru jako lineární kombinace . . . . . . . . . 9012.3 Řádkový prostor a řádková hodnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.4 Sloupcová hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.5 Hodnost a řešitelnost soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93vii

12.6 Hodnost a regularita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.7 Hodnost matice a počítačová aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . 95Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95III Lineární a multilineární zobrazení 9613 Lineární zobrazení 9713.1 Definice a příklady lineárních zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . 9813.2 Elementární vlastnosti lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . 9913.3 Nulový prostor a obor hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.4 Hodnost a defekt zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.5 Součet zobrazení a násobení skalárem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.6 Skládání lineárních zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.7 Mnohočleny v lineárních transformacích . . . . . . . . . . . . . . . . 10313.8 Princip superpozice a inverze lineárních zobrazení . . . . . . . . . . . 10413.9 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10814 Lineární zobrazení a matice 10914.1 Maticový zápis lineárních zobrazení R m do R n . . . . . . . . . . . . . 10914.2 Určení báze nulového prostoru matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11014.3 Matice jako lineární zobrazení a soustavyrovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11114.4 Definice matice lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11314.5 Souřadnice obrazu vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11414.6 Matice složeného zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.7 Změna báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11614.8 Podobnost matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.9 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11915 Bilineární formy 12015.1 Definice a příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12015.2 Klasifikace bilineárních forem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12115.3 Matice bilineární formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12215.4 Matice symetrické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12415.5 Změna matice bilineární formy při změně báze . . . . . . . . . . . . . 12415.6 Kongruentní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.7 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127viii

Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12716 Kvadratické formy 12816.1 Definice a příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12816.2 Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12916.3 Matice kvadratické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13016.4 Diagonální tvar matice kvadratické formy . . . . . . . . . . . . . . . . 13016.5 Kvadratické formy v R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13116.6 Pozitivně definitní kvadratické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13517 Kongruence symetrických a diagonálních matic 13617.1 Diagonální redukce pozitivně definitní matice . . . . . . . . . . . . . 13617.2 LDL ⊤ rozklad a řešení soustav s pozitivně definitní maticí . . . . . . 13817.3 Kongruence symetrické a diagonální matice . . . . . . . . . . . . . . . 13917.4 Zákon setrvačnosti kvadratických forem . . . . . . . . . . . . . . . . . 14117.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14718 Skalární součin a ortogonalita 14818.1 Definice skalárního součinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14818.2 Norma vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14918.3 Norma indukovaná skalárním součinem . . . . . . . . . . . . . . . . . 15018.4 Ortogonální množiny vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.5 Schmidtův ortogonalizační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15318.6 Ortogonální matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15518.7 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15819 Variační metody a metoda nejmenších čtverců 15919.1 Variační princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15919.2 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16019.3 Aproximace a projektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164IV Determinanty 16520 Induktivní definice determinantu 16620.1 Explicitní řešení malých soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16620.2 Induktivní definice determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168ix

20.3 Výpočetní náročnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16921 Determinant a antisymetrické formy 17021.1 Linearita v prvním řádku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17021.2 Antisymetrie v prvních dvou řádcích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17121.3 Antisymetrie v libovolné dvojici řádků . . . . . . . . . . . . . . . . . 17121.4 Linearita v libovolném řádku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17221.5 Výpočet hodnoty determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17421.6 Determinant součinu matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17622 Determinant a inverzní matice 17722.1 Rozvoj determinantu podle prvků libovolného řádku . . . . . . . . . . 17722.2 Adjungovaná a inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17822.3 Determinant transponované matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18022.4 Determinant jako funkce sloupců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18122.5 Cramerovy vzorce pro řešení soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18122.6 Použití Cramerových vzorců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Klíč k příkladům k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184V Úvod do spektrální teorie 18523 Vlastní čísla a vektory 18623.1 Vlastní čísla a vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18623.2 Charakteristický mnohočlen a spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . 18823.3 Neprázdnost spektra transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18923.4 Invariantnost vzhledem k podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18923.5 Součet a součin vlastních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19023.6 Lokalizace vlastních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19224 Spektrální rozklad symetrické matice 19324.1 Spektrum symetrické matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19324.2 Vlastní vektory reálné symetrické matice . . . . . . . . . . . . . . . . 19424.3 Invariantní podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19424.4 Spektrální rozklad reálné symetrické matice . . . . . . . . . . . . . . 19624.5 Geometrie spektrálního rozkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19724.6 Extremální vlastnosti vlastních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199x

2Kapitola 1Zobrazení a lineární rovniceSoustavy lineárních algebraických rovnic často vznikají při řešení praktických problémů.V této úvodní kapitole si nejprve odvodíme soustavu lineárních rovnic, kteroumůžeme považovat za matematický model elektrického obvodu. Potom si připomenemepojem zobrazení a ukážeme si různé interpretace řešení výsledné soustavy.Úvodní příklad nám bude v dalším výkladu sloužit k ilustraci a motivaci zavedeníněkterých nových pojmů.1.1 Elektrický obvod se zdrojem a spotřebičiUvažujme elektrický obvod na obr. 1.1 se zadanými odpory spotřebičů R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .K odvození rovnic pro neznámé potenciály x 1 , x 2 , x 3 , s jejichž pomocí můžeme vypočítatneznámé hodnoty napětí na spotřebičích U 1 , U 2 , U 3 , U 4 a hodnoty proudůprocházejících spotřebiči I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , použijeme základní fyzikální zákony a následujícíkonvence:(i) Jeden uzel, v našem případě uzel 3, je uzemněn, tedy x 3 = 0.(ii) Hodnota napětí na spotřebiči je dáno rozdílem potenciálů na jeho svorkách(např. U 2 = x 2 − x 1 ).(iii) Proud ve směru šipky má kladnou hodnotu.(iv) Hodnoty napětí i proudu mohou být kladné i záporné. Proud se zápornou hodnotoumá směr opačný, než je jeho směr vyznačený ve schématu. Obdobnězáporná hodnota napětí charakterizuje skutečný pokles potenciálu v opačnémsměru.V dalším textu si postupně vyjádříme napětí a proudy pomocí potenciálů a proproudy vyjádřené vztahy obsahující potenciály si napíšeme Kirchhoffův zákon proudů.Poznámka. Pokud jste se (zatím) s elektrickými obvody nespřátelili, můžete se na

1.2 Vztah mezi napětími a potenciály 3x 1R 2R 1I 2U 1I 1x 310 AI 31 U 2 2I 4x 2R 4U 3R 3U 43Obr. 1.1: Modelový elektrický obvod se zdrojem a spotřebiči.následující předpisy či rovnice dívat jako na zadaná zobrazení.1.2 Vztah mezi napětími a potenciályHodnoty napětí na spotřebičích jsou dány podle obr. 1.1 následujícím předpisem:U 1 = x 1 − x 3U 2 = − x 1 + x 2(1.1)U 3 = x 2 − x 3U 4 = x 2 − x 3Je to předpis, který každé trojici potenciálů x 1 , x 2 , x 3 přiřazuje čtveřici hodnotnapětí U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . Snadno se zjistí, že pro některé hodnoty napětí neexistujípotenciály (např. pro U 3 ≠ U 4 ). Ani když potenciály k hodnotám napětí existují,nejsou určeny jednoznačně: jsou-li rovnice (1.1) splněny pro x 1 , x 2 , x 3 , pak jsousplněny i pro x 1 + c, x 2 + c, x 3 + c, kde c je libovolné reálné číslo. Jednoznačnostvšak bude zaručena, pokud přidáme rovnici x 3 = 0.1.3 ZobrazeníPředpis (1.1) je zvláštním případem jednoho ze základních matematických pojmů.Definice 1.1. Zobrazení f : U ↦→ V množiny U do množiny V je předpis, kterýkaždému prvku množiny U přiřazuje nějaký prvek množiny V. Množina U se nazývádefiniční obor zobrazení f, množina V se nazývá obor hodnot zobrazení f.Zobrazení f se nazývá zobrazení na množinu V, jestliže každý prvek množiny V jeobrazem nějakého prvku množiny U. Jestliže mají každé dva různé prvky množinyU různé obrazy, nazývá se zobrazení f prosté. Zobrazení, které je současně prostéa na (množinu), se nazývá vzájemně jednoznačné.

4 Zobrazení a lineární rovnicePředpis (1.1) tedy můžeme považovat za zobrazení, jehož definičním oborem jemnožina všech trojic reálných čísel x 1 , x 2 , x 3 a oborem hodnot je množina všechčtveřic reálných čísel U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . Jak jsme si ukázali výše, toto zobrazení neníani prosté ani na (množinu všech uspořádaných čtveřic), takže není vzájemně jednoznačné.1.4 Proud a napětíVztah mezi hodnotami proudu a napětí je dán Ohmovým zákonem:I 1 = 1 R 1U 1I 2 =I 3 =I 4 =1R 2U 21R 3U 3(1.2)1U 4R 4Předpis (1.2) zřejmě definuje prosté, vzájemně jednoznačné zobrazení (alespoňza přirozeného předpokladu R i > 0). Nás však zajímá vyjádření hodnot proudůpomocí potenciálů, které získáme, když dosadíme vztahy (1.2) do (1.1):I 1 =1R 1x 1 − 1 R 1x 3I 2 = − 1 R 2x 1 + 1 R 2x 2I 3 =I 4 =1.5 Kirchhoffův zákon proudů1x 2 − 1 (1.3)x 3R 3 R 31x 2 − 1 x 3R 4 R 4Kirchhoffův zákon proudů tvrdí, že součet proudů v uzlu je nula. V našem případědostaneme postupně:Uzel 1 : −I 1 + I 2 = 0 (1.4a)Uzel 2 : − I 2 − I 3 − I 4 = −10 (1.4b)Uzel 3 : I 1 + I 3 + I 4 = 10 (1.4c)Pokud I 1 , I 2 , I 3 , I 4 splňují první dvě rovnice, pak zřejmě splňují i třetí, neboťtato je součtem prvních dvou s opačným znaménkem. Třetí rovnice tedy nenese

1.6 Interpretace řešení soustavy rovnic 5žádnou novou informaci a lze ji vynechat. Dosadíme-li do rovnic (1.4a) a (1.4b)výrazy pro potenciály (1.3), dostaneme po úpravě:−(︂ 1R 1+ 1 R 2)︂x 1 +1R 2x 1 −1x 2 +R(︂ 21+ 1 + 1 )︂x 2 +R 2 R 3 R 41x 3 = 0R(︂ 11+ 1 )︂= −10R 3 R 4x 3(1.5)Zvolíme-li R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 1 a vezmeme-li v úvahu, že x 3 = 0, dostanemesoustavu:−2x 1 + x 2 = 0x 1 − 3x 2 = −10(1.6)Soustava se nazývá lineární, protože neobsahuje mocniny ani součiny neznámých.Jak se dá očekávat z fyzikálního významu úlohy, soustavu (1.6) splňuje jediná dvojicepotenciálů x 1 , x 2 . Matematické argumenty si ukážeme později.1.6 Interpretace řešení soustavy rovnicŘešení soustavy (1.6) může být interpretováno zcela nezávisle na původní úloze.První interpretaci dostaneme, když se na soustavu (1.6) budeme dívat po řádcích.Jednotlivé rovnice jsou vlastně rovnicemi přímek a úkolem je najít jejich průsečík,jak je to znázorněno na obr. 1.2. Jelikož přímky mají různé směrnice, je zřejmé, žeprůsečík existuje. Pro souřadnice průsečíku platí x 1 = 2, x 2 = 4. Snadno si ověříme,že splňují soustavu (1.6).x 2−2x1 + x2=04x1− 3x2= −10-10 0 2 x 1Obr. 1.2: Geometrické znázornění soustavy (1.6) po řádcích.Na soustavu (1.6) se však můžeme také dívat po sloupcích. [︂ V tomto ]︂ případě je−2naším úkolem najít x 1 a x 2 tak, aby se x 1 -násobek vektoru sečtený s x12 -

6 Zobrazení a lineární rovnice-násobkem vektoruneboť[︂ ]︂[︂10rovnal vektoru−3−10[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂−2 12 + 4 =1 −3]︂. Číselné řešení je ovšem totéž,0−10]︂.¦− 2£2¤ ¡¥ ¢121-4 -21 4-3-10-124©1− 3¨§Obr. 1.3: Sloupcová interpretace soustavy (1.6).Soustavu (1.6) lze popsat i pomocí zobrazení[︂ ]︂ [︂ ]︂A : R 2 x1 −2x1 + x∋ ↦→2∈ R 2 ,x 2 x 1 − 3x 2kde R 2 značí množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel. Označíme-li si[︂ ]︂ [︂ ]︂x10x = , b = ,x 2 −10pak úloha najít řešení rovnice (1.1) je ekvivalentní úloze najít x ∈ R 2 tak, abyA(x) = b.

Příklady k procvičení 7Soustava rovnic (1.6) má řešení, právě když b ∈ H(A), kde H(A) je obor hodnotzobrazení A. Jestliže b ∈ H(A) a A je prosté zobrazení, pak soustava rovnic (1.6)má jediné řešení.u 0 =0m 1c 1u 1m 2c 2u 2c 3u 3 =0Obr. 1.4: Soustava pružin.Příklady k procvičení1.1. Nechť je zadána mechanická soustava sestávající ze tří pružin a dvou těles jako naobrázku 1.4. Najděte rovnice pro posunutí u 1 , u 2 , víte-li, že:∙ Prodloužení i-té pružiny je dáno vztahem l i = u i − u i−1 .∙ u 0 = u 3 = 0.∙ Síla y i v natažené i-té pružině splňuje Hookův zákon y i = c i l i . Vertikální pružinatedy působí na dolní těleso silou −y i a na horní těleso silou y i .∙ Součet sil působících na každé těleso je nula. To lze vyjádřit také tak, že hmotnostf i = m i g i-tého tělesa je vyrovnána odporem pružin. Síla f i (kladná je orientovánadolů) natahuje i-tou pružinu a stlačuje pružinu i + 1, takže platí f i = y i − y i+1 .Nápověda: Postupujte analogicky jako u elektrického obvodu z obr. 1.1.

8Kapitola 2Úpravy a řešení soustav lineárníchrovnicV této kapitole se budeme zabývat řešením obecné soustavy lineárních rovnic, tj.úlohy najít x 1 , . . . , x n tak, aby pro daná čísla a ij a b i , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , nplatiloa 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1. · · · . .(2.1)a m1 x 1 + . . . + a mn x n = b mSoučástí této úlohy je rozhodnout, zda vůbec nějaké řešení dané soustavy existuje,kolik jich je a co o nich lze říci v případě, že je jich nekonečně mnoho. Konkrétnímpřípadem soustavy (2.1) je soustava (1.6), jejímž řešením jsou neznámépotenciály obvodu na obr. 1.1. Seznámíme se zde zejména s velmi účinnou metodouřešení soustavy (2.1), jejíž objev je připisován významnému německému matematikoviK. F. Gaussovi (1777–1855). V Číně však byla tato metoda známa nejméně 180let před naším letopočtem pod jménem fang cheng.2.1 Ekvivalentní úpravyZákladní myšlenka řešení soustavy lineárních rovnic spočívá v nahrazení dané soustavyjinou soustavou, která má stejné řešení a je jednodušší. V případě dvou rovnico dvou neznámých je jednodušší taková soustava, která obsahuje alespoň jednu rovnicis jedinou neznámou, neboť takovou rovnici už můžeme řešit nezávisle na druhérovnici. Novou soustavu můžeme dostat postupným použitím tzv. ekvivalentníchúprav zvolených tak, aby řešení původní soustavy bylo i řešením soustavy upravené:(E1) Vzájemná výměna libovolných dvou rovnic soustavy.(E2) Násobení obou stran některé rovnice soustavy nenulovým číslem.(E3) Přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici.

2.1 Ekvivalentní úpravy 9Vhodná úprava soustavy−2x 1 + x 2 = 0 (2.2a)x 1 − 3x 2 = −10(2.2b)je například vynásobení rovnice (2.2b) dvěma, podle pravidla (E2), a přičtení rovnice(2.2a) k upravené rovnici (2.2b), v souladu s pravidlem (E3). Upravená soustava budemít tvar−2x 1 + x 2 = 0 (2.3a)− 5x 2 = −20Z rovnice (2.3b) vypočteme x 2 = 4 a po dosazení do rovnice (2.3a) dostaneme(2.3b)− 2x 1 + 4 = 0, (2.4)odkud x 1 = 2. Dosazením do (2.2) si ověříme, že jsme opravdu získali řešení soustavy(2.2).Ekvivalentní úpravy mají tu vlastnost, že jejich pomocí můžeme z upravenésoustavy získat zpět původní soustavu. Například soustavu (2.2) můžeme dostat zesoustavy (2.3) tak, že rovnici (2.3a) odečteme od rovnice (2.3b) a takto upravenourovnici (2.3b) vynásobíme číslem 1 2 .Obecně platí:∙ Jestliže soustava S ′ vznikla ze soustavy S vzájemnou výměnou i-té a j-té rovnicepodle pravidla (E1), pak tatáž úprava použitá na S ′ nás přivede zpět k S.∙ Jestliže soustava S ′ vznikla ze soustavy S násobením i-tého řádku nenulovýmčíslem α podle pravidla (E2), pak násobením téhož řádku soustavy S ′ číslem 1 αobdržíme zpátky soustavu S.∙ Jestliže soustava S ′ vznikla ze soustavy S přičtením α-násobku i-té rovnicek j-té rovnici (i ≠ j), pak přičtení (−α)-násobku i-té rovnice soustavy S ′ k j-térovnici soustavy S ′ vede opět k S.Dvě soustavy lineárních rovnic nazýváme ekvivalentní soustavy, jestliže jednuz nich lze získat z druhé ekvivalentními úpravami. Jelikož řešení původní soustavyje také řešením upravené soustavy a upravenou soustavu můžeme ekvivalentnímiúpravami převést na původní soustavu, platí následující věta.Věta 2.1. Jsou-li dvě soustavy lineárních rovnic ekvivalentní, potom mají stejnéřešení.

10 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnic2.2 Maticový zápisPři úpravě rovnic si můžeme ušetřit práci, když nebudeme opisovat neznámé. Soustavěrovnic (2.1) bude v tomto úsporném zápisu odpovídat tabulka⎡⎢⎣⎤a 11 . . . a 1n b 1.. ..⎥ . . ⎦ , (2.5)a m1 . . . a mn b mkterou nazýváme rozšířená matice soustavy (2.1). Část tabulky bez posledníhosloupce se nazývá matice soustavy (2.1). Poslední sloupec se nazývá pravástrana soustavy. Pokud budeme mluvit o tabulce, jako je matice soustavy, bezodkazu na soustavu, budeme ji nazývat stručně matice.Ekvivalentním úpravám soustavy rovnic odpovídají operace s řádky rozšířenématice soustavy, které nazýváme elementární (řádkové) operace:(e1) Vzájemná výměna libovolných dvou řádků.(e2) Násobení některého řádku nenulovým číslem.(e3) Přičtení násobku některého řádku k jinému řádku.Máme-li dvě matice, z nichž jedna vznikla z druhé pomocí elementárních řádkovýchoperací, říkáme, že matice jsou řádkově ekvivalentní . Větu 2.1 si můžeme vyjádřitpomocí nových pojmů.Věta 2.2. Mají-li dvě soustavy lineárních rovnic řádkově ekvivalentní rozšířenématice, potom mají stejné řešení.Úpravu soustavy (2.2) na (2.3) můžeme zapsat pomocí elementárních operací vetvaru [︂ ]︂[︂ ]︂−2 1 0−2 1 0↦→. (2.6)1 −3 −10 2r 1 + r 2 0 −5 −202.3 Úprava na schodový tvarPodívejme se, jak můžeme pomocí elementárních řádkových operací převést matici(2.5) na tzv. schodový tvar, tj. na tvar, v němž jsou první nenulové prvky řádkůzvané vedoucí prvky uspořádány jako schody klesající zleva doprava. Požaduje sepřitom, aby vedoucí prvky nebyly nad sebou a aby všechny případné nulové řádkybyly dole. Příkladem matice ve schodovém tvaru je pravá matice ve výrazu (2.6)nebo maticeA =⎡ ⎤ ⎡[︂ ]︂ 0 2 22 0 2, B = ⎣ 0 0 2 ⎦ , C = ⎣0 0 20 0 0⎤0 3 20 0 0 ⎦ .0 0 0

2.3 Úprava na schodový tvar 11Při úpravě matice využijeme pozorování, že je-li v matici (2.5) prvek a ij nenulový,pak vynásobíme-li i-tý řádek této matice číslem −a kj /a ij a přičteme-li ho ke k-témuřádku, bude mít upravená matice v k-tém řádku a j-tém sloupci prveka kj + (−a kj /a ij ) a ij = 0. (2.7)Pokud je prvek a 11 nenulový, lze takto transformovat matici (2.1) na tvar⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1n b 10 a 1 22 . . . a 1 2n b 1 2⎢⎣ . ... .⎥ . . ⎦0 a 1 m2 . . . a 1 mn b 1 mPokud bude také prvek a 1 22 nenulový, můžeme obdobně dosáhnout pomocí elementárníchřádkových operací, aby i pod ním byly v upravené matici nuly. Bude-lipokaždé a i−1ii ≠ 0, dostaneme nakonec matici (2.8) ve schodovém tvaru s nenulovýmiprvky a 11 , a 1 22, . . . , a k−1kk .⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1k . . . a 1n b 10 a 1 22 . . . a 1 2k . . . a 1 2n b 1 2. . . . .0 0 a k−1kk. . . a k−1knb k−1k0 0 . . . 0 . . . 0 b k k+10 0 . . . 0 . . . 0 0⎢⎣ . . . . . ⎥⎦0 0 . . . 0 . . . 0 0(2.8)Rozložení nenulových prvků v levé části upravené matice soustavy připomínátrojúhelník, proto říkáme, že matice je v trojúhelníkovém tvaru. Úpravu natrojúhelníkový tvar lze provést i v případě, že pokaždé, když a i−1ii = 0, je možnonalézt prvek a i−1ji ≠ 0, j > i. Stačí vzájemně vyměnit před úpravou i-tý a j-tý řádek.Každou matici však nelze elementárními řádkovými úpravami převést na trojúhelníkovýtvar. Kdyby byl například celý první sloupec nulový, nebyli bychomschopni žádnou řádkovou úpravou zajistit, aby se do levého horního rohu upravenématice dostal nenulový prvek. V takovém případě bychom přešli na úpravu prvníhonenulového sloupce. Obdobně bychom postupovali i při úpravě dalších řádků.Nedospěli bychom však k matici (2.8), ale k obecnější matici ve schodovém tvaru.Varování. Z našich úvah vyplývá, že postupným prováděním ekvivalentních úpravdostaneme soustavu, která má stejné řešení jako původní soustava. Neprovádíme-li

12 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnicnáslednou úpravu na upravené matici, můžeme se dopustit chyby. Například úpravami⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 1 1 11 1 1 11 1 1 1⎣ 2 1 1 0 ⎦r 2 − r 3 ↦→ ⎣ 0 1 0 −1 ↦→ ⎣ 0 1 0 −1 ⎦2 0 1 1 r 3 − r 2 0 −1 0 1⎦r 3 + r 2 0 0 0 0dostaneme rozšířenou matici soustavy, která má jiné řešení než soustava odpovídajícípůvodní matici soustavy. Této chybě se můžeme vyhnout tak, že vybereme některýpevně zvolený řádek, který neupravíme, ale použijeme ho k úpravě ostatních řádků.Například úpravy⎡⎣⎤1 1 1 12 1 1 0 ⎦r 2 − 2r 12 0 1 1 r 3 − 2r 1jsou ekvivalentní.⎡↦→ ⎣⎤⎡1 1 1 10 −1 −1 −2 ↦→ ⎣0 −2 −1 −1⎦r 3 − 2r 2⎤1 1 1 10 −1 −1 −2 ⎦0 0 1 32.4 Zpětná substituceNyní si ukážeme, jak získat řešení soustavy s maticí ve schodovém tvaru. Budemerozlišovat tři případy:∙ Jestliže poslední nenulový řádek rozšířené matice soustavy má nenulový pouzeposlední prvek b k k+1 , pak tomuto řádku odpovídá rovnice0 = b k k+1,která nemá pro b k k+1 ≠ 0 řešení. V tomto případě tedy daná soustava nemářešení .∙ Jestliže rozšířená matice má trojúhelníkový tvar (2.8) s k = n, b n n+1 = 0 a a i−1ii≠ 0, i = 1, . . . , n, pak n-tá rovnice má tvarannn−1 x n = bn n−1 ,ze které snadno vypočteme x n . Po dosazení do předchozích rovnic zbudev (n − 1)-ní rovnici jediná neznámá, kterou také snadno vypočteme. Budeme-litakto postupovat dále, určíme snadno jediné řešení soustavy.∙ Jestliže rozšířená matice má obecný schodový tvar, pak z každé rovnice soustavyvyjádříme neznámou, která odpovídá vedoucímu prvku. Postupným dosazovánímod posledního řádku dostaneme vzorce pro neznámé odpovídající vedoucímprvkům vyjádřené pomocí neznámých na pravé straně. V tomto případě má soustavanekonečně mnoho řešení .≠

2.5 Gaussova eliminace 132.5 Gaussova eliminaceVýpočetní postup pro řešení soustav lineárních rovnic, se kterým jsme se právěseznámili se nazývá Gaussova eliminace. První krok, redukce na schodový tvar, sepři řešení soustav nazývá dopředná redukce, zatímco řešení soustavy se schodovoumaticí se nazývá zpětná substituce.Příklad 2.3 (soustava s jediným řešením).Řešme soustavu2x 2 + 3x 3 = 2x 2 + x 3 = 0x 1 + x 3 = 4(2.9)3 − 2r 2Řešení. Ekvivalentními řádkovými úpravami dostaneme postupně⎡ ⎤0 2 3 2 r 3⎣ 0 1 1 0 ⎦1 0 1 4⎡ ⎤1 0 1 4↦→ ⎣ 0 1 1 00 2 3 2⎦r⎡1 0 1 4↦→ ⎣ 0 1 1 00 0 1 2r 1⎤⎦ (2.10)Řešením rovnic, které odpovídají matici napravo, dostaneme postupně x 3 == 2, x 2 = −x 3 = −2, x 1 = 4 − x 3 = 2, což je jediné řešení naší soustavy (2.9). Příklad 2.4 (soustava, která má nekonečně mnoho řešení).Řešme soustavux 1 + x 2 + x 3 = 1x 1 − x 3 = 1x 2 + 2x 3 = 0Řešení. Ekvivalentními úpravami dostaneme postupně⎡⎤ ⎡⎤1 1 1 11 1 1 1⎣ 1 0 −1 1 ⎦r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 −1 −2 0 ↦→0 1 2 00 1 2 0⎦r 3 + r 2Poslední matice je rozšířenou maticí soustavyx 1 + x 2 + x 3 = 1− x 2 − 2x 3 = 00 = 0⎡⎣⎤1 1 1 10 −1 −2 0 ⎦0 0 0 0Poslední rovnice nenese žádnou informaci.Z předposlední rovnice vypočteme x 2 pomocí x 3 , tj. x 2 = −2x 3 . Po dosazení zax 2 do první rovnice dostaneme x 1 = 1 + x 3 . Soustava má tedy nekonečně mnohořešení ve tvaru x 3 libovolné, x 2 = −2x 3 , x 1 = 1 + x 3 . Můžeme je zapsat také pomocílibovolného parametru p ve tvaru x 3 = p, x 2 = −2p, x 1 = 1 + p.

14 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnicPoznámka. Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, je množina řešení určena jednoznačně,nikoliv však její parametrizace, tj. analytický tvar. Například x 2 = p, x 3 == − 1p a x 2 1 = − 1 p + 1 je jiný tvar téhož řešení.2Příklad 2.5 (soustava, která nemá řešení).Řešme soustavu2x 1 + x 2 = 2x 1 + 2x 2 − x 3 = 14x 1 + 5x 2 − 2x 3 = −1Řešení. Ekvivalentními úpravami rozšířené matice soustavy dostaneme postupně⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤2 1 0 22 1 0 22 1 0 2⎣ 1 2 −1 1 ⎦2r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 3 −2 0 ↦→ ⎣ 0 3 −2 0 ⎦4 5 −2 −1 r 3 − 2r 1 0 3 −2 −5⎦r 3 − r 2 0 0 0 −5Poslední rovnici 0x 1 +0x 2 +0x 3 = −5 nelze splnit žádnou volbou x 1 , x 2 , x 3 . Soustavaproto nemá řešení.2.6 Gauss-Jordanova metodaPři ekvivalentních úpravách se nemusíme zastavit u schodového tvaru. Jestliže podělímekaždý řádek (tj. prvky každého řádku) vedoucím prvkem a pomocí transformace(2.7) upravíme matici dále tak, aby i nad vedoucím prvkem každého řádkubyly nuly, dostaneme matici v normovaném schodovém tvaru.Gauss-Jordanova metoda se od Gaussovy eliminace liší tím, že se při dopřednéredukci upraví rozšířená matice soustavy na normovaný schodový tvar místona schodový tvar. Zpětná substituce je pak snadnější a nemusí se provádět od poslednírovnice.Například dodatečnou úpravou rozšířené matice soustavy (2.10) dostaneme⎡⎣1 0 1 40 1 1 00 0 1 2⎤r 1 − r 3⎦r 2 − r 3⎡↦→ ⎣1 0 0 20 1 0 −20 0 1 2Řešení soustavy se nachází v posledním sloupci matice vpravo, neboť rovnice,které odpovídají rozšířené matici soustavy napravo, jsou x 1 = 2, x 2 = −2 a x 3 = 2.⎤⎦2.7 Pracnost řešeníGaussova eliminace je velmi efektivní metoda pro ruční řešení malých soustav a propočítačové řešení soustav stovek až tisíců rovnic. Metoda je velmi efektivní i pro počítačovéřešení větších soustav se speciální strukturou rozložení nenulových prvků,

2.8 Příklady 15která usnadňuje dopřednou redukci soustavy. Pro rozsáhlejší soustavy existují efektivnějšímetody, které se rozvíjejí i v současné době.Pracnost řešení soustavy metodou Gaussovy eliminace lze výstižně charakterizovatpočtem násobení. Přímým výpočtem lze ověřit, že pro m = n vyžaduje dopřednáredukce 1 6 (2n+1)(n+1)n násobení, zatímco zpětná substituce vyžaduje asi 1 2 n(n−1)násobení. Pro velká n přitom platí16 (2n + 1)(n + 1)n ∼ 1 3 n3 a12 n(n − 1) ∼ 1 2 n2 .Dopředná redukce je tedy podstatně pracnější než zpětná substituce.2.8 PříkladyPříklad 2.6. Řešte soustavu3x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 10x 1 + 3x 2 − x 3 = 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 15.Řešení. Soustavu přepíšeme do maticového tvaru:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 −2 2 x 1 10A = ⎣1 3 −1⎦ , x = ⎣x 2⎦ , b = ⎣ 2 ⎦ .2 2 3 x 3 15Gaussovou eliminací nyní upravíme rozšířenou matici soustavy:⎡3 −2 2⎤10⎡3 −2 2⎤10⎣ 1 3 −1 2 ⎦ 3r 2 ↦→ ⎣ 3 9 −3 6 ⎦ r 2 − r 12⎡2 3 15 3r 3 ⎤6⎡6 9 45 r 3 −⎤2r 13 −2 2 103 −2 2 10↦→ ⎣ 0 11 −5 −4 ⎦ ↦→ ⎣ 0 11 −5 −4 ⎦0 10 5 250 2 1 5⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣3 −2 2 100 11 −5 −40 22 11 553 −2 2 100 11 −5 −40 0 1 3⎤⎦⎤⎦15 r 3r 3 − 2r 2⎡↦→ ⎣3 −2 2 100 11 −5 −40 0 21 63↦→11r⎤ 3⎦↦→121 r 3↦→3x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 1011x 2 − 5x 3 = −4x 3 = 3

16 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnicDosazením poslední rovnice do druhé dostaneme 11x 2 − 5 · 3 = 4 ⇔ x 2 = 1 a nynídosazením do první rovnice 3x 1 −2·1+2·3 = 10 ⇔ x 1 = 2. Řešením tedy je vektor⎡ ⎤2x = ⎣1⎦ .3Provedem ještě zkoušku:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 −2 2 2 10Ax = ⎣1 3 −1⎦ · ⎣1⎦ = ⎣ 2 ⎦ = b.2 2 3 3 15Vektor x je tedy opravdu řešením naší soustavy.Příklady k procvičení2.1. Zdůvodněte, proč není žádná z matic[︂ ]︂ [︂ ]︂0 10 0A =B =0 11 1ve schodovém tvaru.C =[︂ ]︂ 0 11 1D =[︂ ]︂ 0 11 02.2. Najděte schodový tvar matic A, B, C, D ze cvičení 2.1.2.3. Najděte všechna řešení soustavy2x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 1x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 2x 1 − 3x 2 + 2x 3 − 2x 4 = −12.4. Řešte soustavux 1 + x 2 = 0x 1 + 2x 2 + x 3 = 0x 2 + 2x 3 = 4a) pomocí Gaussovy eliminace,b) pomocí Gauss–Jordanovy metody.2.5. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavux 1 + 2x 2 + 4x 3 =52x 1 − x 2 + 3x 3 =5−x 1 + 3x 2 + x 3 =0

Příklady k procvičení 172.6. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavux 1 + 2x 2 + 4x 3 =32x 1 − x 2 + 3x 3 =3−x 1 + 3x 2 + x 3 =22.7. Užitím Gaussovy eliminační metody najděte pro soustavua) všechna řešení.b) řešení pro x 2 = 1.6x 1 − 9x 2 + 7x 3 + 10x 4 =32x 1 − 3x 2 − 3x 3 + 4x 4 =12x 1 − 3x 2 + 13x 3 + 18x 4 =12.8. Užitím Gaussovy eliminační metody najděte pro soustavua) všechna řešení.b) řešení pro x 2 = 1.2.9. Řešte v R soustavu rovnic2.10. Řešte v C soustavu rovnicx 1 + 2x 2 − x 3 − x 4 =22x 1 − 5x 2 + x 3 + 3x 4 =14x 1 − x 2 − x 3 + 2x 4 =52x 1 + 3x 2 − x 3 + x 4 = 18x 1 + 12x 2 − 9x 3 + 8x 4 = 34x 1 + 6x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 32x 1 + 3x 2 + 9x 3 − 7x 4 = 3x 1 + i · x 2 − 2x 3 = 10x 1 − x 2 + 2i · x 3 = 10x 1 + 3i · x 2 − (1 + i) · x 3 = 302.11. Užitím Gaussovy eliminační metody určete, pro která a, b má daná soustava nekonečněmnoho řešení a vyjádřete tato řešení pomocí parametru p.ax 1 + 2x 3 =25x 1 + 2x 2 =1x 1 − 2x 2 + bx 3 =3

18 Úpravy a řešení soustav lineárních rovnicKlíč k příkladům k procvičení2.5. [x 1 , x 2 , x 3 ] = [3 − 2p, 1 − p, p], p ∈ R2.6. nemá řešení2.7. a) [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = [ 1+3p2, p, 0, 0], p ∈ R; b) [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = [2, 1, 0, 0]2.8. a) [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = [1 + p, p, −1 + 3p, 0], p ∈ R; b) [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = [2, 1, 2, 0]2.9. [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = [ 3 5 − 3 2 s − 110 t, s, 1 5 + 4 5t, t], s, t ∈ R2.10. [x 1 , x 2 , x 3 ] = [2 − 16i, 4 − 12i, 2 − 6i]2.11. a = 3, b = 4, [x 1 , x 2 , x 3 ] = [ 2−2p3, −7+10p6, p], p ∈ R

19Kapitola 3Aritmetické vektoryV rovnicích, které popisují elektrický obvod na obr. 1.1, se vyskytují skupiny veličin,jako je x 1 , x 2 , x 3 nebo I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , kterým lze připsat společný fyzikální význam;zde potenciály nebo proudy obvodu z obr. 1.1.V této kapitole budeme zkoumat, jak se s takovými skupinami manipuluje vcelku,což nám umožní jednodušším způsobem zapsat vztahy podobné těm, kterými jsmese zabývali v předcházejících kapitolách, aniž bychom měli před sebou stále všechnydetaily. To nás přivede k aritmetickým vektorům a operacím s nimi.3.1 Aritmetické vektoryn-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývajísložky. Tyto uspořádané n-tice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádkůnebo sloupců. Například vektor proudů obvodu z 1.1 můžeme definovat předpisemi = [I 1 , I 2 , I 3 , I 4 ].Aritmetický vektor je určen svými složkami. Jestliže v je aritmetický vektor, paki-tou složku vektoru v budeme značit [v] i (např. [i] 1 = I 1 ).Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor u = [1, 2] je dvourozměrný vektor, i je čtyřrozměrný.Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestližemají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. [u] 1 = [v] 1 , . . . , [u] n = [v] n .Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u ≠ v). Jestliže tedy u == [1, 2] a v = [2, 1], pak [u] 1 = 1, [v] 1 = 2, takže u ≠ v.Dvourozměrné nebo třírozměrné aritmetické vektory si můžeme znázornit v danékartézské soustavě souřadnic šipkami vedoucími od počátku do bodů, které majístejné souřadnice jako příslušné vektory. Tyto šipky se také nazývají polohové vektorypříslušných bodů. Jelikož všechny šipky vychází z jednoho bodu, nazývají setaké vázané vektory.Každý aritmetický vektor u dimenze dvě nebo tři definuje zobrazení posunutíp u , které každý bod A posune do polohy p u (A) tak jako na obr. 3.1. Každý aritmetickývektor dimenze dvě nebo tři si tedy můžeme představit také jako zobrazení

20 Aritmetické vektoryposunutí.Zobrazení p u je určeno libovolnou rovnoběžně přenesenou kopií polohového vektoruu s počátkem v kterémkoliv bodu. Rovnoběžné kopie vektoru u můžeme protopovažovat za různé reprezentace jednoho a téhož aritmetického vektoru. V takovémpřípadě mluvíme o volných vektorech.Aritmetické vektory dimenze vyšší než tři si nemůžeme představit jako šipky.Můžeme si je však představovat jako funkce definované na indexech složek, jako naobr. 3.2. Součin skaláru (čísla) α a aritmetického vektoru u = [u 1 , . . . , u n ]je vektor αu definovaný předpisemPro složky αu tedy platínapříkladαu = [αu 1 , . . . , αu n ].[αu] i = α[u] i , i = 1, . . . , n, (3.1)3[1, 2] = [3 · 1, 3 · 2] = [3, 6],[3[1, 2]] 1= 3 · 1 = 3, [3[1, 2]] 2= 3 · 2 = 6.p u (A)2uA0 1Obr. 3.1: Volné a vázané vektory.Součet aritmetických vektorů u = [u 1 , . . . , u n ] a v = [v 1 , . . . , v n ] stejnédimenze je vektor u + v definovaný předpisemPro složky u + v tedy platíu + v = [u 1 + v 1 , . . . , u n + v n ].[u + v] i = [u] i + [v] i , i = 1, . . . , n,například[1, 2] + [2, 3] = [1 + 2, 2 + 3] = [3, 5],

3.1 Aritmetické vektory 21210 12 3 4Obr. 3.2: Znázornění vektoru w = [1, 2, 1, 2].vu+vu+vv0uuAa) Vázané vektory b) Volné vektoryObr. 3.3: Součet vektorů.[[1, 2] + [2, 3]] 1= 1 + 2 = 3, [[1, 2] + [2, 3]] 2= 2 + 3 = 5.Součet dvourozměrných nebo třírozměrných aritmetických vektorů lze znázornitjako na obr. 3.3.Snadno se ověří, že pro libovolná čísla α, β a vektory u, v, w stejné dimenzeplatí:u + (v + w) = (u + v) + wu + v = v + uα(u + v) = αu + αv(α + β)u = αu + βuα(βu) = (αβ)u1u = u(3.2a)(3.2b)(3.2c)(3.2d)(3.2e)(3.2f)Důkazy těchto tvrzení se provádí po složkách s využitím definic a vlastnostíčísel. Například vztah (3.2f) dokážeme pomocí vztahu (3.1) a vlastnosti čísla 1. Pro

22 Aritmetické vektorylibovolnou složku i dostaneme[1u] i = 1[u] i = [u] i ,což dokazuje (3.2f).Nové pojmy nám umožňují alternativní zápis vztahů z 1. kapitoly. Napříkladvztah (1.1) lze zapsat ve tvaru⎡⎢⎣⎤U 1U 2⎥U 3U 4⎡⎦ = x ⎢1 ⎣1−100⎤⎥⎦ + x 23.2 Nulový a opačný vektor⎡⎢⎣0111⎤⎥⎦ + x 3⎡⎢⎣−10−1−1⎤⎥⎦ . (3.3)Při počítání s vektory má zvláštní úlohu vektor o = [0, . . . , 0], který se nazývánulový vektor, neboť má při sčítání vektorů stejnou úlohu jako číslo nula přisčítání čísel. Nulový vektor dimenze n budeme značit o n nebo o, když lze určitn z předpokladu, že výraz, ve kterém se vyskytuje, má smysl. Je-li u libovolnýn-rozměrný vektor, pak nulový vektor dimenze n je jediný nulový vektor o, kterýsplňujeu + o = u.Je-li vektor u = [u 1 , . . . , u n ] libovolný aritmetický vektor, pak se vektor−u = [−u 1 , . . . , −u n ] = (−1)unazývá opačný vektor k vektoru u. Opačný vektor je jediný vektor, který splňujeu + (−u) = o.Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektorx, který splňujeu + x = vlze zapsat ve tvarux = v + (−u) = (−u) + v. (3.4)Poznámka. V rovnici (3.4) jsme se vyhnuli zápisu x = v − u, protože se v něm vyskytujerozdíl aritmetických vektorů, který jsme si zatím nedefinovali. Mohli bychomto ovšem snadno dohnat předpisemv − u = v + (−u).

Příklady k procvičení 23Příklady k procvičení3.1. Vypočtěte, případně označte výrazy, které nejsou definovány:a) 3 [1, 2]b) [1, 2] + [3, 4]c) [1, 2] + [1, 2, 3]3.2. Nechť tři pracovníci P 1 , P 2 , P 3 mají hodinové mzdy 50, 80 a 120 Kč v pracovní dnya 60, 100 a 150 Kč v sobotu a v neděli. Označme si p = [50, 80, 120], s = [60, 100, 150].a) Vyčíslete 40[p] 1 a [40p + 8s] 2 .b) Jaký je význam 40[p] 1 ve slovním vyjádření?c) Jaký je význam [40p + 8s] 2 ve slovním vyjádření?3.3. Nechť u = [1, 2] a v = [2, 4]. Vypočtěte vektor, který splňuje u + x = v.3.4. Dokažte vztah (3.2a).3.5. Určete taxativně (výčtem prvků) množinu A 1 × A 2 × A 3 × A 4 , pokudA 1 = {−1, 0, 1}A 2 = {1, 2}A 3 = {2, 3}A 4 = {0}.3.6. Obsahuje množina N 5 prvek [0, 1, −1, 2, 1] nebo [2, 4, 6, 8], přičemž N je množina všechpřirozených čísel? Své rozhodnutí zdůvodněte.3.7. Rovnají se vektory u, v ∈ R 4 , pokudu = [ln √ e, cos π 2 , tg π 4 , sin π 3 ], v = [sin π 6 , log 1, cotg π 4 , cos π 6 ] ?Své rozhodnutí zdůvodněte.3.8. Patří do R 5 aritmetický vektor [ √ −2, e, tg π 2, −1, ln (−3)]? Své rozhodnutí zdůvodněte.3.9. Vypočítejte⎡√︃[︂√︂2√ 5 tg π 3 4 − ln e2 , − sin π 3 , cos 5 ]︂6 π − 2 ⎣cos 5 3 π, 1 log 10 4 − 4 tg ( −π2 sin ( −π2 ), 83.10. Dokažte, že pro každé u, v ∈ R n a α, β ∈ R platía) u + v = v + ub) α(u + v) = αu + αvc) (α + β)u = αu + βu.4 )⎤⎦ .3.11. Určete výpočtem i graficky1[−4, −2] + 2[1, 2].2

24 Aritmetické vektoryKlíč k příkladům k procvičení3.5. A 1 × A 2 × A 3 × A 4 = {[−1, 1, 2, 0], [−1, 1, 3, 0], [−1, 2, 2, 0], [−1, 2, 3, 0], [0, 1, 2, 0],[0, 1, 3, 0], [0, 2, 2, 0], [0, 2, 3, 0], [1, 1, 2, 0], [1, 1, 3, 0], [1, 2, 2, 0], [1, 2, 3, 0]}3.6. Ne3.7. Ano3.8. Ne3.9. [1, 0, −3]

25Kapitola 4Matice a vektorové operacePři sdružování informací do složitějších celků se nemusíme zastavit u aritmetickýchvektorů. Například tři sloupcové vektory na pravé straně výrazu (3.3) obsahují informacio spojení uzlů sítě z obrázku 1.1, takže spojení uzlů sítě je popsáno tabulkouC =⎡⎢⎣1 0 −1−1 1 00 1 −10 1 −1⎤⎥⎦ . (4.1)Podobné tabulky vznikají v mnoha dalších situacích, s nimiž se postupně seznámíme.Nejsou pro nás úplnou novinkou, neboť jsme je v části 2.2 použili ke stručnémuzápisu soustav rovnic a zavedli jsme si pro ně název matice. Nyní budeme maticepovažovat za svébytné matematické objekty a naučíme se s nimi počítat. V tétokapitole se omezíme na rozšíření operací sčítání a násobení skalárem na matice.4.1 Definice a označeníNechť jsou dány prvky a 11 , a 12 , . . . , a mn z dané množiny F, jejíž prvky lze sčítata násobit obdobně jako čísla. Prvky množiny F nazýváme také skaláry. Maticetypu (m, n) (stručně m × n matice) je obdélníková tabulka⎡a 11 . . . a 1nA =⎢⎣⎤. . .. .⎥⎦ ,a m1 . . . a mnkterá má mn prvků a ij uspořádaných do m řádků r A i a n sloupců s A j , takže⎡ ⎤r A A = ⎢⎣1.⎥⎦ = [︀ ]︀s A 1 , . . . , s A n ,r A m

26 Matice a vektorové operacer A i = [a i1 , . . . , a in ] , s A j =⎡⎢⎣⎤a 1j.⎥⎦ .a mjStručně píšeme též A = [a ij ]. Množinu všech matic typu (m, n) s prvky z množinyF budeme značit F m,n .Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1, n)nazýváme řádkovým vektorem řádu n, matici typu (m, 1) nazýváme sloupcovýmvektorem řádu m. Kromě řádků a sloupců matice A je význačnou částí matice jejídiagonála tvořená prvky a 11 , . . . , a ss , s = min{m, n}. Diagonála matice C z (4.1)je tedy tvořena prvky 1, 1, −1.Matice obvykle značíme velkými písmeny, která mohou být vysázena tučně. Prvekv i-tém řádku a j-tém sloupci matice A budeme značit [A] ij , takže pro maticiC z (4.1) platí [C] 21 = −1. Množinu F, která obsahuje prvky matice, budemev případě potřeby specifikovat příslušným přídavným jménem, takže budeme mluvito reálných maticích, komplexních maticích, polynomiálních maticíchatd.Dvě matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejnéhotypu a mají stejné odpovídající prvky, tj. [A] ij = [B] ij . Matice A a B, které nejsoustejné, jsou různé (píšeme A ≠ B). Například[︂ ]︂ 1≠ [1, 2],2[︂ 1 23 4]︂≠[︂ ]︂ 2 1.3 44.2 Násobení matice skalárem a sčítání maticOperace sčítání a násobení číslem (skalárem), které jsme si zavedli pro aritmetickévektory, můžeme přirozeně rozšířit na matice. Součin skaláru α a matice A jematice αA stejného typu jako A definovaná předpisemNapříklad[αA] ij = α[A] ij .[︂ ]︂ [︂ ]︂1 2 2 42 = .2 1 4 2Obdobně součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typujako A a B definovaná předpisemNapříklad [︂ ]︂ [︂ 1 2+2 1[A + B] ij = [A] ij + [B] ij .]︂ [︂0 3=−3 0]︂1 5.−1 1

4.3 Nulová matice a odečítání matic 27Pro ilustraci smyslu právě zavedených operací s maticemi označme L a P maticedoby letu a časových nároků na dopravu z centra města na letiště a zpět v minutáchmezi městy Ostravou (O), Prahou (P) a Brnem (B).L =⎡O P BO 0 50 40P ⎣ 50 0 30B 40 30 0⎤⎦, P =⎡O P BO 0 100 100P ⎣ 100 0 100B 100 100 0⎤⎦.Pak matice T = L + P obsahuje čas potřebný na cestu mezi uvažovanými městy1v minutách. V matici T je tentýž čas v hodinách.60Jelikož obě nové operace jsou definovány po složkách, obdobně jako odpovídajícíoperace pro aritmetické vektory, platí pro jakékoliv číselné matice A, B, C stejnéhotypu a pro libovolné skaláry α, β vztahy obdobné vztahům (3.2):A + (B + C) = (A + B) + CA + B = B + Aα(A + B) = αA + αB(α + β)A = αA + βAα(βA) = (αβ)A1A = A(4.2a)(4.2b)(4.2c)(4.2d)(4.2e)(4.2f)4.3 Nulová matice a odečítání maticPři sčítání matic má obdobnou úlohu jako nula při sčítání čísel nebo nulový vektorpři sčítání vektorů nulová matice⎡ ⎤0 . . . 0⎢O = ⎣ ...⎥ . . ⎦ ,0 . . . 0jejíž všechny prvky jsou nuly. Snadno se ověří, že pro libovolnou matici A a nulovoumatici stejného typu platítakže[A + O] ij = [A] ij + [O] ij = [A] ij + 0 = [A] ij ,A + O = A.Nulovou matici typu (m, n) značíme také O mn , avšak indexy obvykle vynecháváme,když je lze určit z předpokladu, že daný maticový výraz má smysl.

28 Matice a vektorové operaceObdobně, jako jsme si zavedli po složkách opačný vektor, můžeme ke každéčíselné matici A definovat matici opačnou −A předpisemtakže platí[−A] ij = [(−1)A] ij= −[A] ij ,A + (−A) =−AO= (−1)AJestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou maticiX, která splňujeA + X = B,lze zapsat ve tvaruX = B + (−A) = (−A) + B. (4.3)Pro stručnější psaní výrazů, jako je (4.3), definujeme odečítání matic nebo téžrozdíl matic předpisemA − B = A + (−B).4.4 Matice rozdělené na blokyV některých případech je výhodné rozdělit danou matici pomocí vhodně zvolenýchhorizontálních či vertikálních čar na menší matice, zvané též submatice nebo bloky.Například následující matici typu (3, 4) můžeme rozdělit na čtyři bloky⎡⎣1 0 1 22 1 3 15 4 0 1⎤[︂⎦ C D=E F]︂. (4.4)Matice, jejichž prvky jsou uspořádány do bloků, nazýváme blokové matice.Rozdělení na bloky je užitečné při odvozování vztahů, ve kterých figurují částimatice, a při manipulaci s velkými maticemi, neboť ty mohou být postupně prováděnypo blocích. Například, je-li matice B typu (3, 4) rozdělena na bloky P, Q, R,S, stejně jako matice A z (4.4), pak[︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ αC αDC D P Q C + P D + QαA =αEαF]︂, A + B =EF+RS=E + RF + SPro blokové matice používáme obdobnou terminologii jako pro běžné matice,takže mluvíme o blokové diagonále nebo o blokových řádcích. Například matice⎡ ⎤1 3 0⎣ 2 4 0 ⎦0 0 6má nenulové pouze diagonální bloky.]︂.

Příklady k procvičení 29Příklady k procvičení4.1. Určete, pro které dvojice následujících matic lze vypočítat součet:⎡ ⎤[︂ ]︂ 1 2 [︂ ]︂1 2A = , B = ⎣ 3 4 ⎦ 2 0, C = .3 40 00 14.2. Určete, pro která x, y, z je splněna maticová rovnost[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ x 1 1 0 0+ =1 y 0 1zz 14.3. Obchodní síť má 3 prodejny, které prodávají 2 produkty spotřební elektroniky. Předpokládejme,že odbyt v prvním a druhém pololetí je zapsán do matic P a D typu (3, 2)tak, že v i-tém řádku a j-tém sloupci je prodej j-tého produktu v i-té prodejně. Nechť⎡P = ⎣120 10080 120100 80a) Vypočtěte S = P + D a A = 1 2(P + D).b) Jaký je význam prvků [S] 21 a [A] 21 ?4.4. Dokažte vztah (4.2a).4.5. Jsou dány matice⎡A = ⎣1 2 22 1 −22 −2 1⎤⎡⎦ , D = ⎣⎤⎦ , B = ⎣Najděte matici C, pro niž platí C = 2A − 3B.⎡]︂.140 120100 100160 180⎤⎦ .0 1 1−1 2 −11 −2 04.6. Dokažte, že pro každou matici A a reálná čísla r, s platía) (r + s)A = rA + sA,b) r(sA) = (rs)A.Klíč k příkladům k procvičení⎡4.5. 2A − 3B = ⎣2 1 17 −4 −11 2 2⎤⎦⎤⎦

30Kapitola 5Násobení a transponování matic5.1 Násobení matice a vektoruZnovu se vraťme ke vztahu (3.3). Jeho pravá strana je sestavena ze složek vektoru⎡ ⎤x 1x = ⎣ x 2⎦x 3a ze sloupců matice C z (4.1). Takový výraz budeme považovat za součin Cx maticeC a sloupcového vektoru x, takžeCx = x 1 s C 1 + x 2 s C 2 + x 3 s C 3.Obecně definujeme součin matice A = [a ij ] typu (m, n) a sloupcového vektorux = [x i ] dimenze n předpisemRozepsáním definice (5.1) po složkách dostanemey = Ax = x 1 s A 1 + . . . + x n s A n. (5.1)[y] i = [Ax] i = a i1 x 1 + . . . + a in x n = r A i x.Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí:⎡y⎤ ⎡⎢ y i ⎥⎣ ⎦ = ⎢⎣a 21Aa i1 . . . a in−−−−→⎤⎡x⎤x 1.⎥⎢.⎥⎮⎦⎣. ⎦⌄x nJako příklady násobení matice a vektoru si uveďme[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂a11 a 12 x1 a11 x= 1 + a 12 x 2,a 22 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2

5.1 Násobení matice a vektoru 31[︂2 1 0−1 3 1]︂ ⎡ ⎣123⎤[︂⎦ =2 · 1 + 1 · 2 + 0 · 3−1 · 1 + 3 · 2 + 1 · 3]︂ [︂ 4=8]︂.Pro libovolné matice A, B typu (m, n), n-rozměrné vektory u, v a skalár α platí:A(αu) = α(Au) = (αA)uA(u + v) = Au + Av(5.2a)(5.2b)(A + B)u = Au + Bu (5.2c)Rovnosti (5.2) se dokazují po složkách. Tím se vlastně redukují na důkaz tvrzenípro matice typu (1, n). Například s použitím definic a vlastností sčítání a násobeníčísel dostáváme[︀A(u + v)]︀i = rA i (u + v) = a i1 (u 1 + v 1 ) + . . . + a in (u n + v n ) == (a i1 u 1 + . . . + a in u n ) + (a i1 v 1 + . . . + a in v n ) == r A i u + r A i v = [Au] i + [Av] i ,což dokazuje (5.2b).Pomocí součinu matice a vektoru si můžeme stručně zapsat vztahy mezi napětím,potenciály a proudy obvodu z obr. 1.1. Označme siC =⎡⎢⎣u =⎡⎢⎣1 0 −1−1 1 00 1 −10 1 −1⎤U 1U 2U 3U 4⎤⎥⎦ ,⎥⎦ , C⊤ =x = ⎡⎣⎤x 1x 2⎦ , i =x 3⎡⎢⎣⎤I 1I 2I 3I 4⎥⎦ ,⎡⎡⎤1 −1 0 0⎣ 0 1 1 1 ⎦ , D = ⎢⎣−1 0 −1 −1Potom (1.1), (1.2) a (1.4) lze zapsat postupně ve tvaruu = Cx, i = Du a (−C ⊤ ) i = c.c = ⎡⎣Postupným dosazením s použitím −C ⊤ = (−1)C ⊤ dostanemeR −10−1010⎤⎦ ,⎤1 0 0 00 R2 −1 0 0⎥0 0 R3 −1 0 ⎦ .0 0 0 R4−1(5.3)− C ⊤(︀ D(Cx) )︀ = c. (5.4)Specifikací matice D, dosazením x 3 = 0 a vynecháním poslední složky vektorů naobou stranách rovnice (5.4) dostaneme výraz ekvivalentní (1.5).

32 Násobení a transponování matic5.2 Násobení maticAčkoliv jsou koeficienty rovnice (1.5) plně určeny maticemi C ⊤ , D a C, výraz (5.4)nám je umožňuje vypočítat pouze s pomocí neznámých potenciálů x 1 , x 2 , x 3 . Našímcílem teď bude toto omezení překonat.Podívejme se nejprve podrobněji na výraz D(Cx). S použitím (5.2) dostanemeD(Cx) = D (︀ )︀x 1 s C 1 + x 2 s C 2 + x 3 s C 3 = x1 Ds C 1 + x 2 Ds C 2 + x 3 Ds C 3 ,odkud s pomocí nového označeníDC = [︀ Ds C 1 , Ds C 2 , Ds C 3]︀(5.5)a definice součinu matice a vektoru (5.1) dostanemeD(Cx) = (DC)x.Vztah (5.5) je vzorem obecné definice součinu matic. Jestliže A je matice typu(m, p) a B je matice typu (p, n), pak součin matic A a B je matice AB typu(m, n) definovaná předpisemRozepíšeme-li si tuto definici po složkách, dostanemeAB = [︀ As B 1 , . . . , As B n]︀. (5.6)aAB =[AB] ij = a i1 b 1j + . . . + a ip b pj = r A i s B j⎡⎢⎣r A 1 s B 1 . . . r A 1 s B n.. .. .r A ms B 1 . . . r A ms B n⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣r A 1 B.r A mB⎤⎥⎦ . (5.7)Při odvození rovnosti (5.7) jsme pro každý řádek použili definici (5.6) s tím, žeza levou matici jsme si postupně dosazovali řádky matice A. Pravidlo pro násobenímatic lze také znázornit pomocí⎡⎢⎣AB[AB] ij⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣Aa i1 . . . a ip−−−−→⎤⎡⎥⎢⎦⎣Bb 1j... ↓b pj⎤⎥⎦ .Jako příklady násobení matic si uveďme[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂a11 a 12 b11 b 12 a11 b= 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22,a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

5.3 Pravidla pro násobení matic 33⎡⎣2 10 −1−2 3⎤⎦[︂ 1 20 1⎡]︂= ⎣2 · 1 + 1 · 0 2 · 2 + 1 · 10 · 1 − 1 · 0 0 · 2 − 1 · 1−2 · 1 + 3 · 0 −2 · 2 + 3 · 1⎤⎡⎦ = ⎣2 50 −1−2 −1Povšimněme si, že definice součinu dvou matic je zvolena tak, aby platilo⎤⎦ .A(Bx) = (AB)x (5.8)pro libovolné matice A, B a sloupcový vektor x, pro které má alespoň jeden z výrazůvýznam. Levou stranu rovnice (5.4) tedy můžeme zapsat ve tvaru součinu maticea vektoru x, neboť−C ⊤(︀ D(Cx) )︀ = −(C ⊤ D)(Cx) = − (︀ (C ⊤ D)C )︀ x.Na možnost vynechání vnitřních závorek se podíváme v článku 5.3.5.3 Pravidla pro násobení maticZ definice (5.6) vyplývá, že pro součin matic platí obdobná pravidla jako pro násobenímatice a vektoru (5.2), takže pro skalár α a matice A, B, C platíA(αB) = α(AB) = (αA)BA(B + C) = AB + AC(5.9a)(5.9b)(A + B)C = AC + BC, (5.9c)kdykoliv jsou příslušné výrazy definovány. Tato pravidla připomínají známá aritmetickápravidla pro počítání s čísly.Pro násobení matice A typu (m, p), matice B typu (p, q) a matice C typu (q, n)platí také asociativní zákonneboť podle definice součinu matic a (5.8)A(BC) = (AB)C, (5.10)A(BC) = A [︀ Bs C 1 , . . . , Bs C n]︀=[︀A(BsC1 ), . . . , A(Bs C n ) ]︀ == [︀ (AB)s C 1 , . . . , (AB)s C n]︀= (AB)C.Z asociativního zákona (5.10) plyne, že výsledek součinu tří matic nezávisí na rozmístěnízávorek, které proto můžeme vynechat. Indukcí lze dokázat obdobné tvrzeníi pro součin více než tří matic. Odtud speciálně vyplývá, že mocnina čtvercovématiceA k = AA · · · A ⏟ ⏞k

34 Násobení a transponování maticje definována jednoznačně v tom smyslu, že nezáleží na „uzávorkování“ při jejímvyčíslení. Odtud bezprostředně plyneA k+l = AA ⏟ · ⏞ · · A AA ⏟ · ⏞ · · A = A k A l .klS použitím asociativního zákona můžeme upravit levou stranu rovnice (5.4) na−(C ⊤ DC)x = c.Stojí za povšimnutí, že tento vztah nám umožňuje vyčíslit matici soustavy nezávislena x, zatímco (5.4) nám umožňoval pouze ověřit, zda pro dané x platí příslušnárovnost.Úlohu jedničky při násobení matic má jednotková matice⎡⎤1 0 . . . 00 1 . . . 0I = ⎢⎣ . ...⎥ . . ⎦ .0 0 . . . 1Jednotkovou matici řádu n značíme také I n , avšak index obvykle vynecháváme, kdyžho můžeme určit z předpokladu, že daný maticový výraz má smysl. Jestliže A jelibovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platíNapříkladAI = AIA = A.AI⎡⎤ ⎡⎤1 1 0. .. .i a i1 . . . a ij . . . a inj = a⎢⎥ ⎢⎥ ij .⎣⎦ ⎣1... . ⎦n 0 11 j njZatím jsme si ukázali pravidla pro počítání s maticemi, která jsou obdobnápravidlům pro počítání s čísly. To nás však nesmí vést k ukvapenému závěru, že ses maticemi počítá úplně stejně jako s čísly. Například pro[︂ ]︂ [︂ ]︂1 20 1A = , B =3 40 0platíAB =[︂ 1 23 4]︂ [︂ 0 10 0]︂=[︂ 0 10 3]︂ [︂ 0 1, BA =0 0]︂ [︂ 1 23 4]︂ [︂ ]︂ 3 4= ,0 0(5.11)

5.4 Transponované matice 35takžeNavíc platíB 2 =AB ≠ BA.[︂ 0 10 0]︂ [︂ 0 10 0]︂= O.Pro násobení matic tedy neplatí komutativní zákon a mocnina nenulovématice může být nulová matice!5.4 Transponované maticePorovnáme-li matice C a C ⊤ v (5.3), zjistíme, že řádky matice C jsou tvořenysloupci matice C ⊤ a obráceně. Matici takto vytvořenou z dané matice nazývámematicí transponovanou. Formálněji, k dané matici A typu (m, n) definujemematici transponovanou A ⊤ typu (n, m) předpisem[︀A⊤ ]︀ ij = [︀ A ]︀ ji .Například[︂ 1 2 34 5 6⎡]︂ ⊤= ⎣1 42 53 6⎤⎦ .Snadno se ověří po složkách, že pro matice stejného typu platí:(A + B) ⊤ = A ⊤ + B ⊤(αA) ⊤ = αA ⊤Například[︀ ]︀ (A + B)⊤ = [A + B] ij ji = [A] ji + [B] ji = [A ⊤ ] ij + [B ⊤ ] ij .Jestliže je A matice typu (m, p) a B je matice typu (p, n), pak platí:(AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ (!) (5.12)Na první pohled překvapivá identita plyne z toho, že transponováním se vyměnířádky se sloupci, takže[︀(AB)⊤ ]︀ ij = [AB] ji = r A j s B i= (︀ )︀s B ⊤(︀ )︀i rA ⊤j = [︀ B ⊤ A ⊤]︀ . ij

36 Násobení a transponování matic5.5 Násobení a transponování blokových maticJiž v části 4.4 jsme viděli, že blokové matice lze sčítat podle stejných pravidel poprvcích i blocích. Ještě důležitější však je, že i pravidlo pro násobení matic lze problokové matice s vhodnou strukturou uplatnit po blocích. Například rovnost⎡⎣⎤ ⎡a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦ ⎣a 31 a 32 a 33⎤ ⎡x 1x 2⎦ = ⎣x 3⎤(a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + a 13 x 3(a 21 x 1 + a 22 x 2 ) + a 23 x 3⎦(a 31 x 1 + a 32 x 2 ) + a 33 x 3můžeme zapsat pomocí označení[︂ BDCE⎡]︂= ⎣⎤a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦a 31 a 32 a 33a[︂ yz⎡]︂= ⎣⎤x 1x 2⎦ (5.13)x 3ve tvaru[︂ BDCE]︂ [︂ yz]︂=[︂ By + CzDy + Ez]︂.Příklad lze zobecnit na vyčíslení součinu libovolných blokových matic. JestližeA =⎡⎢⎣⎤ ⎡⎤A 11 . . . A 1pB 11 . . . B 1n.. .⎥ ⎢. . ⎦ , B = ⎣.. ..⎥ . ⎦A m1 . . . A np B p1 . . . B pnjsou dvě blokové matice rozdělené na bloky tak, že počet sloupců bloků A ik jestejný jako počet řádků bloků B kj , pak se libovolný blok C ij součinu AB vyčíslípodle pravidlaC ij = A i1 B 1j + . . . + A ip B pj . (5.14)Pravidlo pro transponování blokových matic lze snadno pochopit, když si prohlédneme,jak se transponují blokový vektor a bloková matice (5.13). Dostaneme[︂ yz]︂ ⊤= [︀ x 1 x 2 x 3]︀=[︀y ⊤ z ⊤ ]︀[︂ BDCE⎡]︂ ⊤= ⎣⎤a 11 a 21 a 31[︂a 12 a 22 a 32⎦ B=⊤a 13 a 23 a 33]︂D ⊤C ⊤ E ⊤ .Obecnou blokovou matici tedy transponujeme tak, že zaměníme řádky se sloupcia každý blok navíc transponujeme.

Příklady k procvičení 37Příklady k procvičení5.1. NechťVypočtěteM =[︂ 3 00 1]︂ [︂ 0 1, P =1 0]︂ [︂ 1 0, G =3 1MA, AM, PA, AP, AG, GA.Popište výsledky v termínech operací s řádky či sloupci matic.]︂ [︂ 1 2, A =3 45.2. Vypočtěte C ⊤ C pro matice ze vztahu (5.3) a porovnejte výsledek s maticí soustavy(1.5).]︂.5.3. Je dána matice A a vektor v⎡Vypočtěte Av.A = ⎣1 2 02 0 2−1 1 1⎤⎡⎦ , v = ⎣−110⎤⎦ .5.4. Jsou dány maticeVypočtěte matici AB.⎡A = ⎣1 1 0−1 1 22 0 −1⎤⎡⎦ , B = ⎣1 0−2 20 1⎤⎦ .5.5. Je dána maticeUrčete matici A 2 = AA.⎡A = ⎣3 −1 24 −3 22 1 3⎤⎦ .Klíč k příkladům k procvičení⎡5.3. Av = ⎣5.4. AB = ⎣⎡⎡5.5. A 2 = ⎣1−22⎤⎦−1 2−3 42 −1⎤⎦9 2 104 7 816 −2 15⎤⎦

38Kapitola 6Inverzní maticeV této kapitole se vrátíme k řešení soustav lineárních rovnic, avšak elementárníúpravy z oddílu 2.2 budeme zapisovat pomocí maticových operací. Získáme tak nejennový pohled na známé algoritmy, ale postupně se seznámíme s maticí, která se chovávzhledem k násobení matic jako převrácené nenulové číslo vzhledem k násobení čísel.6.1 Maticový zápis elementárních úpravNejprve si všimněme, že násobení maticí zleva lze popsat jako manipulaci s řádkynásobené matice. Například pro matice T = [t ij ] a A = [a ij ] řádu dvě platíTA =[︃]︃ [︃t 11 t 12t 22t 21r A 1r A 2]︃=[︃t 11 r A 1 + t 12 r A 2t 21 r A 1 + t 22 r A 2Vhodnou volbou T pak můžeme dosáhnout toho, aby matice A ′ = TA byla právěmaticí, která vznikne z A zvolenou elementární úpravou. Například matice[︂ ]︂ 0 1T =1 0provede výměnu 1. a 2. řádku, tedy elementární úpravu (e1) z oddílu 2.2.K nalezení všech matic, které realizují elementární úpravy z 2.2, tedy výměnuřádků, násobení řádku nenulovým číslem a přičtení násobku některého řádku k jinému,stačí provést tyto úpravy na jednotkové matici I. Jestliže T je matice, kterárealizuje některou elementární transformaci, tj. A ′ = TA vznikne z A nějakou pevnězvolenou elementární transformací, pak také I ′ = TI = T vznikne z jednotkové maticeI toutéž transformací. Například výměnu řádků v matici typu (2, n) realizujematice, kterou dostaneme z jednotkové matice výměnou příslušných řádků, tedy[︂ 1 00 1]︂r2r 1↦→[︂ 0 11 0]︂= I ′ = T.]︃.

6.1 Maticový zápis elementárních úprav 39Skutečně,[︂ 0 11 0]︂ [︂ 1 2 34 5 6]︂=[︂ 4 5 61 2 3]︂.Pro elementární úpravy matic typu n × m dostaneme následující tři matice řádu n:(r1) Výměna i-tého a j-tého řádku.I =⎡i j⎤1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . .. . . .i 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 r j. . . . . . .j 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 r i⎢⎣. ⎥. . . .. . ⎦0 . . . 0 . . . 0 . . . 1↦→⎡i j⎤1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . .. . . .i 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0. ... . . .= P ij (6.1)j 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0⎢⎣. ⎥. . . .. . ⎦0 . . . 0 . . . 0 . . . 1(r2) Násobení i-tého řádku nenulovým číslem α.⎡I = i⎢⎣1 . . . 0 . . . 0.. .. . .0 . . . 1 . . . 0.. . . . .0 . . . 0 . . . 1⎤αr i⎥⎦⎡↦→⎢⎣1 . . . 0 . . . 0.. .. . .0 . . . α . . . 0.. . . . .0 . . . 0 . . . 1⎤= M⎥ i (α)⎦(r3) Přičtení násobku i-tého řádku k j-tému řádku.I =⎡i j⎤1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . .. . . .i 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0. ... . . .j 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 r j + αr i⎢⎣. ⎥. . . .. . ⎦0 . . . 0 . . . 0 . . . 1↦→⎡i j⎤1 . . . 0 . . . 0 . . . 0. . .. . . .i 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0. ... . . .= G ij (α)j 0 . . . α . . . 1 . . . 0⎢⎣. ⎥. . . .. . ⎦0 . . . 0 . . . 0 . . . 1(6.2)Matice P ij se nazývá elementární permutační matice, zatímco G ij (α) se nazývámatice Gaussovy transformace.

40 Inverzní matice6.2 Inverzní maticeDefinice 6.1. Nechť A je čtvercová matice. Jestliže existuje matice B tak, žeAB = BA = I,pak se matice B nazývá inverzní maticí k matici A. Čtvercová matice, ke kteréexistuje inverzní matice, se nazývá regulární . V opačném případě takovou maticinazýváme singulární .Věta 6.2. Ke každé regulární matici A existuje právě jedna inverzní matice.Důkaz. Nechť A je regulární a nechť B 1 , B 2 jsou inverzní matice k matici A, takžeplatíAB 1 = I a B 2 A = I.Vynásobíme-li první rovnost zleva maticí B 2 a druhou rovnici zprava B 1 , dostanemeB 2 = B 2 AB 1 = B 1 .Jedinou inverzní matici k dané regulární matici A budeme nadále značit A −1 .V obecném případě je poměrně obtížné rozhodnout, je-li daná matice regulárnínebo singulární. Jestliže však má daná matice celý řádek nulový, pak je určitě singulární,neboť má-li matice A nulový řádek a je-li B libovolná matice, pak platí⎡AB = ⎣. . . . .0 . . . 0. . . . .6.3 Elementární úpravy a regularita⎤⎦ ≠ I. (6.3)Nyní si ukážeme, že elementárními úpravami se zachovává regularita matic. Nejprvesi všimneme, že jsou-li matice A, B regulární, potom je také matice AB regulárnía platíneboť(AB) −1 = B −1 A −1 , (6.4)ABB −1 A −1 = B −1 A −1 AB = I.Vztah (6.4) lze pomocí matematické indukce zobecnit na(A 1 · · · A k ) −1 = A −1k · · · A−1 1 . (6.5)

6.4 Výpočet inverzní matice 41Dále si všimneme, že matice elementárních transformací jsou regulární. Příslušnéinverzní matice najdeme tak, že sestrojíme matice ekvivalentních úprav, které převádíupravenou soustavu na původní a jsou popsány na konci oddílu 2.1. DostanemevzorceP −1ij = P ij , M −1i (α) = M i (α −1 ) pro α ≠ 0, G −1ij (α) = G ij(−α). (6.6)K matici každé elementární transformace T tedy existuje inverzní matice T −1 .Jestliže matice A ′ vznikne z regulární matice A elementárními řádkovými úpravami,paka z (6.5) dostanemetedy A ′ je regulární.A ′ = T k · · · T 1 A(︀A′ )︀ −1= A −1 T −11 · · · T −1k ,6.4 Výpočet inverzní maticeVěta 6.3. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak rovniceAX = I (6.7)má jediné řešení X právě tehdy, když A je regulární. V tom případě platí X = A −1 .Důkaz. Jestliže A je regulární, pak přenásobením obou stran rovnice (6.7) zlevamaticí A −1 dostaneme X = A −1 .Obráceně, jestliže rovnice AX = I má jediné řešení, pak rozšířenou matici[︀A I]︀je možno pomocí ekvivalentních řádkových úprav převést na tvar[︀I B]︀.Podle pravidel z oddílu 6.1 potom existují elementární matice transformacíT 1 , . . . , T k tak, že pro matici T = T k · · · T 1 platíT [︀ A I ]︀ = [︀ I B ]︀ .Roznásobíme-li matice vlevo podle pravidla o násobení blokových matic (5.14), dostanemeporovnáním obou částí rozšířené maticeTA = I, T = B,BA = I.Jelikož matice [︀ I B ]︀ vznikla z [︀ A I ]︀ ekvivalentními řádkovými úpravami,má rovnice (6.7) jediné řešení X, které je řešením soustavytedy X = B a AB = I.IX = B,

42 Inverzní maticePrávě dokázaná věta redukuje výpočet inverzní matice na řešení rovnice (6.7)s několika pravými stranami.Příklad 6.4. Zjistěte, zda existuje inverzní matice k matici[︂ ]︂2 −1A =.−1 2Jestliže ano, vypočtěte A −1 .Řešení. Postupnou úpravou rozšířené matice pro soustavu AX = I dostaneme[︃]︃[︃]︃[︀ ]︀ 2 −1 1 02 −1 1 0 r 1 + 2A I =−1 2 0 1 r 2 + 1r ↦→r 3 2↦→3 12 1 0 12 2[︃]︃ [︃]︃4 22 0 13 3↦→r 2 1 1 0 2 13 30 3 1 21 r ↦→= [︀ I A ]︀ −1 .2 2 3 2 0 1 1 23 3Matice A je tedy regulární a platíA −1 = 1 3[︂ 2 11 26.5 Inverzní matice a řešení soustavNechť A je daná regulární matice. Vynásobíme-li soustavumaticí A −1 zleva, dostanemeAx = bx = A −1 (Ax) = A −1 b.Odtud a z jednoznačnosti inverzní matice vyplývá důležitá věta:]︂. (6.8)Věta 6.5. Nechť A je regulární matice a nechť b je sloupcový vektor stejného řádu.Pak má soustava Ax = b jediné řešení x = A −1 b.Příklad 6.6. Najděte řešení soustavy2x 1 − x 2 = 1−x 1 + 2x 2 = 2(6.9)pomocí inverzní matice.

6.6 Vyčíslení výrazů s inverzní maticí 43Řešení. Soustavu (6.9) lze zapsat maticově ve tvaru[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂2 −1 x1 1=−1 2 x 2 2]︂.S využitím výsledku (6.8) příkladu 6.4 dostaneme[︂ ]︂x1= 1 [︂ ]︂ [︂ ]︂2 1 1= 1 [︂ 4x 2 3 1 2 2 3 5]︂.6.6 Vyčíslení výrazů s inverzní maticíPři vyčíslení výrazů s inverzní maticí je většinou výhodné vyhnout se explicitnímuvyjádření inverzní matice tím, že se vyčíslení součinu inverzní matice s vektorem čimaticí převede na řešení soustavy lineárních rovnic.Příklad 6.7. Nechť[︂A =Vyčíslete A −1 Bb.2 −1−2 2]︂ [︂ 1 2, B =3 4]︂ [︂ 1, b =1]︂.Řešení. Nejprve vypočteme vektor[︂ 3c = Bb =7]︂.Vektor x = A −1 c je jediným řešením rovnice Ax = c, kterou vyřešíme Gaussovoueliminací [︂]︂ [︂ ]︂2 −1 32 −1 3↦→,−2 2 7 r 1 + r 2 0 1 10odkud x 1 = 13 2 , x 2 = 10. TedyA −1 Bb =[︂ 13210]︂.Poznámka. Násobení matic je sice asociativní, takže platí(A −1 B)b = A −1 (Bb),avšak pracnost vyčíslení obou výrazů je rozdílná!

44 Inverzní matice6.7 Použití inverzní maticeRozborem počtu operací zjistíme, že k výpočtu inverzní matice řádu n je třeba asin 3 násobení. Srovnáme-li toto číslo s počtem násobení potřebným k řešení soustavyGaussovou eliminací uvedeným v oddílu 2.7, dojdeme k závěru, že se inverzní maticinevyplatí používat pro řešení jedné soustavy rovnic, avšak může se vyplatit při řešenísoustavy s větším počtem pravých stran, neboť je-li inverzní matice k dispozici,je pak k vlastnímu řešení zapotřebí pouze n 2 operací. V kapitole 7 si však ukážemealgoritmus, se kterým lze dosáhnout stejného výsledku za nejméně polovičních nákladůna přípravu řešení. Inverzní matice je tedy spíš důležitý teoretický nástroj prořešení technických problémů než prostředek k efektivnímu provádění numerickýchvýpočtů.6.8 PříkladyPříklad 6.8. Pomocí řádkových úprav převeďte matici⎡2 −1 0⎤A = ⎣ 1 2 2 ⎦4 0 −2na horní trojúhelníkovou matici U. Zkonstruujte transformační matice jednotlivýchřádkových úprav a transformační matici T takovou, že U = TA.Řešení. Pomocí řádkových úprav převedeme matici A na horní trojúhelníkovou:⎡2 −1 0⎤ ⎡2 −1 0⎤⎣ 1 2 2 ⎦ 2r 2 ↦→ ⎣ 2 4 4 ⎦ r 2 − r 1 ↦→4⎡0 −2⎤4⎡0 −2 r 3 −⎤2r 12 −1 02 −1 0↦→ ⎣ 0 5 4 ⎦ ↦→ ⎣ 0 5 4 ⎦ ↦→⎡0 2 −2⎤5r 3 0 10 −102 −1 0r 3 − 2r 2↦→ ⎣ 0 5 4 ⎦ = U.0 0 −18Odpovídající matice elementárních řádkových úprav mají postupně tvary:⎡1 0⎤0⎡1 0⎤0⎡1 0⎤0T 1 = ⎣ 0 2 0 ⎦ , T 2 = ⎣ −1 1 0 ⎦ , T 3 = ⎣ 0 1 0 ⎦ ,0 0 10 0 1−2 0 1⎡T 4 = ⎣1 0 00 1 00 0 5⎤⎡⎦ , T 5 = ⎣1 0 00 1 00 −2 1⎤⎦ .

6.8 Příklady 45Tzn., že jsme prováděli následující násobení matic:A 1 = T 1 A, A 2 = T 2 A 1 , A 3 = T 3 A 2 , A 4 = T 4 A 3 , U = T 5 A 4 .Postupným dosazením dostaneme vztah:tedyU = (T 5 (T 4 (T 3 (T 2 (T 1 A))))) = (T 5 T 4 T 3 T 2 T 1 ) A = TA,⎡T = ⎣1 0 0−1 2 0−8 −4 5Matice T tedy transformuje matici A na matici U:⎡⎤ ⎡⎤ ⎡1 0 0 2 −1 0 2 −1 0TA = ⎣ −1 2 0 ⎦ ⎣ 1 2 2 ⎦ = ⎣ 0 5 4−8 −4 5 4 0 −2 0 0 −18Příklad 6.9. Najděte inverzní matici k matici⎡2 2⎤3A = ⎣ 1 −1 0 ⎦ .−1 2 1Řešení.⎡⎣2 2 3 1 0 01 −1 0 0 1 0−1 2 1 0 0 1⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣⎤⎦ 2r 22r 32 2 3 1 0 00 −4 −3 −1 2 00 6 5 1 0 22 2 3 1 0 00 −4 −3 −1 2 00 12 10 2 0 42 2 3 1 0 00 −4 −3 −1 2 00 0 1 −1 6 4⎡↦→ ⎣⎤⎦⎤2 2 0 4 −18 −120 −4 0 −4 20 120 0 1 −1 6 41 1 0 2 −9 −60 1 0 1 −5 −30 0 1 −1 6 42r 3⎤⎦ .2 2 3 1 0 02 −2 0 0 2 0−2 4 2 0 0 2↦→⎦ ↦→⎤r 3 + 3r 2r 1 − 3r 3⎦ r 2 + 3r 3 ↦→⎤⎦⎤⎦r 1 − r 212 r 1− 1 4 r 2↦→⎡↦→ ⎣⎤⎤⎦ = U.⎦ r 2 − r 1r 3 + r 11 0 0 1 −4 −30 1 0 1 −5 −30 0 1 −1 6 4↦→⎤⎦ .

46 Inverzní maticeTedya zkouška⎡A −1 A = ⎣⎡A −1 = ⎣1 −4 −31 −5 −3−1 6 4⎤ ⎡⎦ ⎣1 −4 −31 −5 −3−1 6 42 2 31 −1 0−1 2 1⎤⎤⎦⎡⎦ = ⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎦ = I.Příklady k procvičení6.1. Napište matice P 23 , M 2 (3) a G 23 (4) (viz oddíl 6.1) pro elementární transformacematic, které mají 3 řádky a ověřte si jejich účinek na matici⎡ ⎤1 2A = ⎣ 2 4 ⎦ .4 86.2. Vypište matice elementárních transformací, které realizují elementární úpravy v příkladu6.4.6.3. Určete matici X tak, aby platilo[︂ 1 2 3 4−1 −2 −3 −46.4. Určete matici X tak, aby platilo⎡1 1⎤4⎡X ⎣ 2 2 2 ⎦ = ⎣3 3 36.5. Určete matici X tak, aby platilo⎡1 1⎤1⎡X ⎣ 1 1 1 ⎦ = ⎣1 1 1]︂ [︂ 2 4 1 3X =−2 −4 −1 −33 3 31 1 42 2 23 3 34 4 42 2 26.6. Jakou maticí musíme vynásobit matici typu (3,3) aby došlo k výměně 2 a 3 sloupce?6.7. Jakou maticí musíme vynásobit matici typu (4,4) aby došlo k výměně 1 a 3 sloupce?6.8. Jakou maticí musíme vynásobit matici typu 3/3 aby se provedla operacer 1 − r 2 + 5r 3 → r 2⎤⎦ .⎤⎦ .]︂.

Příklady k procvičení 476.9. Nechť⎡L = ⎣1 0 01 2 01 2 3⎤⎦ a U = L ⊤ .Vypočtěte L −1 , U −1 a rozhodněte, zda(︀L⊤ )︀ −1 =(︀L−1 )︀⊤ .6.10. Vypočtěte A −1 pro⎡A = ⎣2 1 01 2 10 1 2Povšimněte si zaplnění inverzní matice nenulovými prvky ve srovnání s původní maticí.6.11. Dokažte, že pro libovolnou regulární matici A platí(︀A⊤ )︀ −1 =(︀A−1 )︀⊤ .⎤⎦ .Nápověda: Stačí ověřit, že (︀ A −1)︀⊤ A ⊤ = I.6.12. Určete inverzní matici A −1 k matici A⎡1 2 2⎤A = ⎣ 2 1 −2 ⎦ .2 −2 16.13. Určete inverzní matici A −1 k matici A⎡0 1 1⎤A = ⎣ −1 2 −1 ⎦ .1 −2 06.14. Je dána maticea) určete matici A −1⎡A = ⎣3 −1 24 −3 22 1 3b) pomocí matice A −1 určete řešení soustavy rovnic:⎤⎦ ;3x 1 − x 2 + 2x 3 =74x 1 − 3x 2 + 2x 3 =42x 1 + x 2 + 3x 3 =136.15. Užitím inverzní matice řešte soustavu rovnic2x 1 + 2x 2 + x 3 = − 13x 1 + x 2 + 5x 3 = − 13x 1 + 2x 2 + 3x 3 = − 1

48 Inverzní matice6.16. Vypočítejte výhodně maticový výraz C −1 Av + C −1 Bv, kde⎡1 1⎤1⎡1 0⎤1⎡1 2 0A = ⎣ 0 1 0 ⎦ , B = ⎣ 2 1 1 ⎦ , C = ⎣ 2 0 21 1 1−1 1 0−1 1 1⎤⎡⎦ , v = ⎣−110⎤⎦ .6.17. Užitím inverzní matice řešte soustavy rovnic Ax = B, Ax = C, Ax = D, kde⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 3103A = ⎣ −2 2 1 ⎦ , B = ⎣ 0 ⎦ , C = ⎣ 2 ⎦ , D = ⎣ 2 ⎦ .0 1 1111Klíč k příkladům k procvičení6.3. X =⎡⎢⎣⎡6.4. X = ⎣⎡6.5. X = ⎣⎡6.6. ⎣6.7.⎡⎢⎣⎡6.8. ⎣1 0 00 0 10 1 00 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 11 0 00 1 03 0 00 4 00 0 2⎤⎦0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 11 0 01 −1 50 0 1⎡6.10. A −1 = 1 ⎣4⎤⎦⎤⎥⎦⎤⎦⎤⎦⎤⎥⎦3 −2 1−2 4 −21 −2 36.12. A −1 = 1 9 A⎡2 2 3⎤6.13. A −1 = ⎣ 1 1 1 ⎦0 −1 −1⎤⎦

Příklady k procvičení 49⎡6.14. a) A −1 = 1 ⎣511 −5 −48 −5 −2−10 5 5⎤⎦, b) [x 1 , x 2 , x 3 ] = [1, 2, 3]6.15. [x 1 , x 2 , x 3 ] = [2, −2, −1]⎡−16.16. C −1 Av + C −1 Bv = ⎣ 01⎤⎦6.17. [1, 1, 0] ⊤ , [0, 1, 0] ⊤ , [− 3 5 , − 1 5 , 6 5 ]⊤

50Kapitola 7Trojúhelníkový rozkladPokračováním úvah z kapitoly 6 si nyní ukážeme, že každou regulární matici můžemezapsat jako součin tří matic, pro které se snadno řeší soustavy lineárních rovnic.Narozdíl od kapitoly 6 nevystačíme s řádkovými úpravami, ale budeme potřebovattaké výměny sloupců.7.1 Permutační maticeMatice P se nazývá permutační matice, je-li možno P získat z jednotkové maticeI stejného typu postupnou výměnou řádků. Jelikož výměnu i-tého a j-tého řádkudané matice můžeme provést tak, že tuto matici vynásobíme zleva elementárnípermutační maticí P ij (viz. (6.1)), je možno každou permutační matici P zapsatve tvaruP = P ik j k · · · P i1 j 1I = P ik j k · · · P i1 j 1. (7.1)Například matici⎡P = ⎣0 1 00 0 11 0 0můžeme získat z jednotkové matice výměnami⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 r 3 0 0 1I = ⎣ 0 1 0 ⎦ ↦→ ⎣ 0 1 0 ⎦0 0 11 0 0r 1takže P můžeme zapsat ve tvaru⎤⎦r 2r 1P = P 12 P 13 I = P 12 P 13 .⎡↦→ ⎣0 1 00 0 11 0 0⎤⎦ = P,Z rozkladu (7.1), ze zřejmé rovnosti P ij = P ⊤ ij, dále z P −1ij = P ij (viz. (6.6))a pomocí (5.12) dostaneme pro P ve tvaru (7.1)PP ⊤ = P ik j k · · · P i1 j 1(P ik j k · · · P i1 j 1) ⊤ = P ik j k · · · P i1 j 1P ⊤ i 1 j 1 · · · P ⊤ i k j k= P ik j k · · · P i1 j 1P i1 j 1· · · P ik j k= I,

7.2 Trojúhelníkové matice 51takžeP −1 = P ⊤ .Elementární permutační matice P ij můžeme také použít k výměně i-téhoa j-tého sloupce. K tomu stačí násobit maticí P ij zprava. Například vynásobíme-limatici A = [a ij ] řádu 2 maticí P 12 zprava, dostaneme[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂a11 aAP 12 =12 0 1 a12 a=11= [︀ ]︀s A 2 , s A 1 .a 21 a 22 1 0 a 22 a 21K odvození obecného pravidla můžeme použít transponování.7.2 Trojúhelníkové maticeČtvercová matice L(U) se nazývá dolní (horní ) trojúhelníková matice, jestližemá nad (pod) diagonálou všechny prvky nulové. Pro prvky l ij dané dolní trojúhelníkovématice L tedy platí l ij = 0 pro i < j, zatímco pro prvky u ij dané hornítrojúhelníkové matice U platí u ij = 0 pro i > j. Matice L je tedy dolní trojúhelníková,právě když L ⊤ je horní trojúhelníková matice.Snadno se ověří, že součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníkovámatice téhož typu. Jsou-li například L = [l ij ] a M = [m ij ] dvě dolnítrojúhelníkové matice a i < j, pak[LM] ij = l i1 m 1j + . . . + l in m nj = l i1 · 0 + . . . + l ii · 0 + 0 · m i i+1 + . . . + 0 · m in = 0,takže LM je také dolní trojúhelníková matice.Budeme potřebovat ještě jedno méně zřejmé pozorování.Věta 7.1. Nechť L = [l ij ] je čtvercová dolní trojúhelníková matice s nenulovýmidiagonálními prvky. Pak L je regulární a L −1 je dolní trojúhelníková matice.Důkaz. Je-li L dolní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále, pakexistují matice elementárních operací T p = G ipjp (α p ) s i p > j p , případně T p == M ip (l −1i pi p) tak, že pro matici T = T k · · · T 1 platíT [︀ L I ]︀ = [︀ I B ]︀ .Porovnáním levých částí příslušných matic dostaneme TL = I. Podle věty 6.3 tedyplatí L = T −1 , odkud LT = I a T = L −1 . Jelikož všechny matice T i jsou dolnítrojúhelníkové, je také maticedolní trojúhelníková matice.L −1 = T = T k · · · T 1

52 Trojúhelníkový rozklad7.3 Trojúhelníkový (LU) rozkladVěta 7.2 (o existenci LU rozkladu). Nechť A je regulární čtvercová matice. Pakexistuje dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutačnímatice P tak, žeAP = LU. (7.2)Matice L, U jsou regulární.Důkaz. Nechť A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Z regulárnosti matice A a z (6.3)plyne, že existuje i 1 tak, že a 1i1 ≠ 0, takže Ā = AP 1i1 má v levém horním rohunenulový prvek ¯a 11 = a 1i1 .Nyní si všimněme, že první krok úpravy matice Ā, který známe z Gaussovyelimimace, můžeme zapsat ve tvaruL 1 AP 1i1 = A 1 ,kde⎡A 1 = ⎢⎣¯a 11 ¯a 12 . . . ¯a 1n0 a 1 22 . . . a 1 2n.. . .. .⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣a 1 11 a 1 12 . . . a 1 1n0 a 1 22 . . . a 1 2n.. . .. .⎤⎥⎦a0 a 1 n2 . . . a 1 nn0 a 1 n2 . . . a 1 nnL 1 = G 1n (−¯a n1 /¯a 11 ) · · · G 12 (−¯a 21 /¯a 11 ) (7.3)je dolní trojúhelníková matice, neboť je vyjádřena jako součin dolních trojúhelníkovýchmatic.Matice A 1 je zřejmě součinem regulárních matic, takže podle (6.5) je A 1 takéregulární a existuje 2 ≤ i 2 tak, že a 1 2i 2 ≠ 0. Matice Ā 1 = A 1 P 2i2 má tedy nenulovýprvek ¯a 22 a stejný první sloupec jako matice A 1 . Opakováním tohoto postupudosáhneme toho, žẽ︀LAP = U, (7.4)kdea⎡U = ⎢⎣a n−111 a12 n−1 . . . a n−11n0 a22 n−1 . . . a n−12n.. . .. .0 0 . . . a n−1nnP = P 1i1 · · · P n−1 in−1 , ̃︀L = L n−1 · · · L 1 .⎤⎥⎦ = A n−1 (7.5)

7.4 Výpočet LU rozkladu 53Zřejmě P je permutační matice a ̃︀L je dolní trojúhelníková matice, neboť každámatice L i je součinem dolních trojúhelníkových matic G ij (−¯a i−1ji /¯a i−1ii ) s i < j.Přenásobíme-li (7.4) zleva maticí L = ̃︀L −1 , dostanemeAP = LU.Matice L je podle věty 7.1 regulární dolní trojúhelníková matice, neboť je inverzník dolní trojúhelníkové matici ̃︀L, a matice P je zřejmě permutační matice. Jelikožmatice Ā i jsou regulární, je podle (7.5) také matice U regulární.Vyjádření matice ve tvaru součinu (7.2) se nazývá LU rozklad podle počátečníchpísmen anglických slov Lower (dolní) a Upper (horní). Přenásobíme-li (7.2) zpravamaticí ̃︀P = P ⊤ , dostaneme vyjádření A ve tvaruA = LŨ︀Ps permutační maticí ̃︀P. Matice L, U a P nejsou určeny jednoznačně.7.4 Výpočet LU rozkladuRozbor důkazu věty o existenci trojúhelníkového rozkladu nám dává návod k instruktivnímuvýpočtu tohoto rozkladu. Stačí postupně upravovat matici [︀ A I ]︀na tvar [︀ U ̃︀L ]︀ obdobně, jako jsme to dělali ve 2. kapitole, avšak bez použití výměnyřádků. Tím dosáhneme toho, že matice ̃︀L bude dolní trojúhelníková. Je-li tonutné, provádíme místo výměny řádků výměny sloupců, které neprovádíme jen namatici A, ale také zvlášť na další jednotkové matici, která se postupně transformujena P. Dolní trojúhelníkovou matici L dostaneme inverzí matice ̃︀L, tedy s pomocíelementárních řádkových operací, které převedou matici [︀ ̃︀L I ]︀ na [︀ I L ]︀ .Příklad 7.3. Najděte trojúhelníkový rozklad matice⎡0 −1⎤2A = ⎣ −1 2 −1 ⎦ . (7.6)2 −1 0Řešení.∙ Sledování výměn sloupců:⎡ ⎤1 0 0I = ⎣ 0 1 0 ⎦ ↦→0 0 1s 3 s 1⎡⎣⎤0 0 10 1 0 ⎦ = P = ̃︀P1 0 0

54 Trojúhelníkový rozklad∙ Úprava [︀ A I ]︀ ↦→ [︀ U ̃︀L ]︀ :[︀AI]︀=⎡⎣⎤A I0 −1 2 1 0 0s 3 s 1−1 2 −1 0 1 0 ⎦ ↦→2 −1 0 0 0 1⎡⎤⎡2 −1 0 1 0 0↦→ ⎣ 0 3 −2 1 2 0 ⎦ ↦→ ⎣0 −1 2 0 0 1 3r 3 + r 2= [︀ U ̃︀L ]︀⎡⎤2 −1 0 1 0 0⎣ −1 2 −1 0 1 0 ⎦ 2r 2 + r 10 −1 2 0 0 1U ̃︀L2 −1 0 1 0 00 3 −2 1 2 00 0 4 1 2 3⎤⎦ =↦→∙ Úprava [︀ ̃︀L I ]︀ ↦→ [︀ I L ]︀ :⎡̃︀L I ⎤ ⎡⎤[︀ ̃︀L I ]︀ 1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0= ⎣ 1 2 0 0 1 0 ⎦ r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 2 0 −1 1 0 ⎦1 2 3 0 0 1 r 3 − r 1 0 2 3 −1 0 1 r 3 − r 2↦→I L⎡⎤ ⎡⎤1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0⎢⎥↦→1⎣ 0 2 0 −1 1 0 r ⎢⎦2 2 ↦→ ⎣ 0 1 0 − 1 1 ⎥02 2⎦ = [︀ I10 0 3 0 −1 1 r 3 3 0 0 1 0 − 1 13 3L ]︀∙ OdtudL =⎡⎢⎣− 1 2⎤1 0 0⎡1 ⎥02 ⎦, U = ⎣0 − 1 13 3Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že platí⎤ ⎡2 −1 00 3 −2 ⎦, P = ⎣0 0 4AP = LU a A = LUP.7.5 Řešení soustav pomocí LU rozkladu⎤0 0 10 1 0 ⎦. (7.7)1 0 0Řešení soustav pomocí trojúhelníkového rozkladu spočívá v postupném řešení soustavs maticemi L, U a ̃︀P. Jestliže tedy A = LŨ︀P, pak místo soustavy Ax = b

7.6 Použití LU rozkladu 55budeme řešit soustavu(︁L U (︀̃︀Px )︀)︁ = btak, že postupně vyřešímeLz = b, Uy = z, ̃︀Px = y. (7.8)Příklad 7.4. Využijte rozkladu (7.7) matice (7.6) k řešení soustavy:−x 2 + 2x 3 = 1−x 1 + 2x 2 − x 3 = 12x 1 − x 2 = 1Řešení. Nejprve řešíme soustavu Lz = b, tedyz 1 = 1− 1 2 z 1 + 1 2 z 2 = 1− 1 3 z 2 + 1 3 z 3 = 1,odkud z 1 = 1, z 2 = 3, z 3 = 6. Potom vyřešíme soustavu Uy = z, tedy2y 1 − y 2 = 13y 2 − 2y 3 = 34y 3 = 6.Odtud y 1 = 3, y 2 2 = 2, y 3 = 3. Konečně určíme x „řešením“ ̃︀Px = y nebo z x = ̃︀P ⊤ y,2takže x 1 = 3, x 2 2 = 2, x 3 = 3.2Poznámka. Pokud hodláme použít LU rozklad k řešení soustav, není třeba vyčíslitmatici L explicitně. Vystačíme totiž s maticí ̃︀L = L −1 , s jejíž pomocí vypočítáme zv (7.8) ze vztahuz = ̃︀Lb.7.6 Použití LU rozkladuLze ukázat, že k výpočtu LU rozkladu čtvercové matice A řádu n stačí asi 1 2 n3násobení, což je asi polovina počtu násobení potřebného k výpočtu inverzní matice.Máme-li LU rozklad, můžeme získat řešení soustavy Ax = b pomocí n 2 násobení,stejně jako u inverzní matice. Použití LU rozkladu je tedy efektivnější nástroj prořešení soustav lineárních rovnic s více pravými stranami než inverzní matice. Tentorozdíl se může ještě drasticky zvětšit, má-li matice A mnoho nulových prvků, neboťpři úpravě se trojúhelníkové faktory zaplňují nenulovými prvky méně než inverznímatice. Trojúhelníkový rozklad je také důležitý nástroj teorie matic.

56 Trojúhelníkový rozklad7.7 PříkladyPříklad 7.5. Pomocí LU rozkladu nalezněte inverzní matici k matici⎡⎤2 2 3A = ⎣ 1 −1 0 ⎦−1 2 1Řešení.A −1 = PU −1̃︀L1. Nalezení matic U, ̃︀L⎡⎤2 2 3 1 0 0⎡⎣ 1 −1 0 0 1 0 ⎦ 2r 2 ↦→ ⎣−1⎡2 1 0 0 1 2r 3 ⎤2 2 3 1 0 0↦→ ⎣ 0 −4 −3 −1 2 0 ⎦⎡0 6 5 1 0 2⎤2 2 3 1 0 02r 3↦→ ⎣ 0 −4 −3 −1 2 0 ⎦0 12 10 2 0 4⎡U = ⎣2 2 30 −4 −30 0 12 2 3 1 0 02 −2 0 0 2 0−2 4 2 0 0 2↦→r 3 + 3r 2⎤⎡↦→ ⎣⎡⎦ , ̃︀L = ⎣⎤⎦ r 2 − r 1r 3 + r 1↦→2 2 3 1 0 00 −4 −3 −1 2 00 0 1 −1 6 41 0 0−1 2 0−1 6 4⎤⎦⎤⎦2. Výpočet U −1⎡⎤2 2 3 1 0 0 r 1 − 3r 3⎣ 0 −4 −3 0 1 0 ⎦ r 2 + 3r 30⎡0 1 0 0 1⎤4 4 0 2 0 −6↦→ ⎣ 0 −4 0 0 1 3 ⎦0 0 1 0 0 1⎡↦→ ⎣4 0 0 2 1 −30 −4 0 0 1 30 0 1 0 0 1⎤⎦⎡↦→ ⎣r 1 + r 214 r 1− 1 4 r 2⎡U −1 = ⎣122 2 0 1 0 −30 −4 0 0 1 30 0 1 0 0 1↦→⎤⎦⎡1 0 0 1 1− 3 2 4 4↦→ ⎣ 0 1 0 0 − 1 − 3 4 40 0 1 0 0 1⎤14− 3 40 − 1 4− 3 40 0 1⎦2r 1⎤⎦↦→3. Výpočet A −1⎡A −1 = U −1̃︀L = ⎣1214− 3 40 − 1 4− 3 40 0 1⎤⎡⎦ · ⎣1 0 0−1 2 0−1 6 4⎤⎡⎦ = ⎣1 −4 −31 −5 −3−1 6 4⎤⎦

Příklady k procvičení 57Příklady k procvičení7.1. Najděte LU rozklad symetrické matice⎡2 −1 0⎤A = ⎣ −1 2 −1 ⎦0 −1 2a porovnejte rozložení nul v obou trojúhelníkových faktorech a v matici A.7.2. Využijte rozkladu z předchozího cvičení k řešení soustavy7.3. Je dána matice2x 1 − x 2 = 1−x 1 + 2x 2 − x 3 = 1A = ⎣− x 2 + 2x 3 = 2.⎡−1 3 03 −8 30 3 1a) rozložte tuto matici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice (LU rozklad)b) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:c) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:⎤⎦ ;−x 1 + 3x 2 = 23x 1 − 8x 2 + 3x 3 = 43x 2 + x 3 = 14.−x 1 + 3x 2 = 13x 1 − 8x 2 + 3x 3 = 23x 2 + x 3 = −1.7.4. Pomocí LU rozkladu nalezněte inverzní matici k matici A⎡⎤2 1 1A = ⎣ 1 1 −1 ⎦ .6 4 1Klíč k příkladům k procvičení⎡7.3. a) LU = ⎣7.4. A −1 = ⎣1 0 0−3 1 00 3 1⎤ ⎡⎦ ⎣−1 3 00 1 30 0 −8b) [x 1 , x 2 , x 3 ] = [10, 4, 2], c) [x 1 , x 2 , x 3 ] = [−4, −1, 2]⎡5 3⎤−2−7 −4 3 ⎦−2 −2 1⎤⎦,

58Část IIVektorové prostory

59Kapitola 8Algebraické operace a strukturyV předchozích kapitolách jsme se seznámili s různými pravidly, které dvěma prvkůmjedné množiny přiřazují nějaký prvek téže množiny. Jako příklad uveďme sčítání aritmetickýchvektorů nebo násobení čtvercových matic. Ukazuje se, že tato pravidlamají některé vlastnosti, které lze studovat společně bez ohledu na objekty, kterých setýkají, a že výsledky tohoto studia lze pak aplikovat na řešení nejrůznějších konkrétníchproblémů. Pro studium těchto pravidel si nejprve zavedeme abstraktní pojemoperace, a pak si rozebereme některé vlastnosti, které operace může mít. Nakonecse seznámíme s některými algebraickými strukturami, což je abstrakce umožňujícípochopit obecné zákonitosti počítání s nejrůznějšími objekty, jako například s čísly,maticemi nebo zobrazeními.8.1 Algebraické operaceDefinice 8.1. (Binární) algebraická operace ∘ na neprázdné množině A je zobrazení∘ : A × A ∋ (a, b) ↦→ a ∘ b ∈ A.Operace ∘ na množině A tedy každé uspořádané dvojici (a, b) ∈ A × A prvkůa, b ∈ A přiřazuje jednoznačně určený prvek a ∘ b ∈ A.Jako příklad algebraické operace si uveďme sčítání + definované na množiněreálných čísel R, které například dvojici (2, 3) ∈ R × R přiřazuje prvek 2 + 3 = 5 ∈∈ R. Jiné příklady algebraických operací jsou sčítání reálných aritmetických vektorůstejné dimenze nebo násobení komplexních čtvercových matic stejného řádu.Důležitý příklad algebraické operace je skládání zobrazení ∘ definované na množiněvšech zobrazení Z(A) dané množiny A do sebe. Tato operace přiřazuje každéuspořádané dvojici zobrazení (f, g) ∈ Z(A) × Z(A) složené zobrazení f ∘ g ∈ Z(A)definované pro každé x ∈ A předpisem(f ∘ g)(x) = f (︀ g(x) )︀ .

60 Algebraické operace a strukturyJestliže například f ∈ Z(R) a g ∈ Z(R) jsou definovány předpisem f(x) = x 2a g(x) = x 2 + 1, pak(f ∘ g)(x) = f (︀ g(x) )︀ = (x 2 + 1) 2 .Všimněme si, že násobení aritmetického vektoru skalárem není operací na množiněv našem smyslu, neboť nepřiřazuje vektor dvojici vektorů, ale skaláru a vektoru.8.2 Asociativní operaceDefinice 8.2. Algebraická operace ∘ na množině A je asociativní , jestliže prolibovolné prvky a, b, c množiny A platía ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c. (8.1)Operace sčítání a násobení čísel jsou dobře známé asociativní operace, stejnějako sčítání aritmetických vektorů stejné dimenze nebo násobení čtvercových maticstejného řádu. Také operace skládání zobrazení množiny A do sebe je asociativní,neboť podle definice složeného zobrazení platí pro každé x ∈ A a f, g, h ∈ Z(A)(︀(f ∘ g) ∘ h)︀(x) =(︀f ∘ g)︀(︀h(x))︀= f(︁g (︀ h(x) )︀)︁ ,(︀f ∘ (g ∘ h))︀(x) = f(︀(g ∘ h)(x))︀= f(︁g (︀ h(x) )︀)︁ ,takže(︀(f ∘ g) ∘ h)︀(x) =(︀f ∘ (g ∘ h))︀(x).Poslední rovnost znamená, že zobrazení f ∘ (g ∘ h) i (f ∘ g) ∘ h přiřazují každémux ∈ A tentýž prvek, takže platí f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h.Operace ↑ definovaná na množině všech přirozených čísel N předpisemnení asociativní, neboť↑: N × N ∋ (a, b) ↦→ a b ∈ N2 ↑ (3 ↑ 2) = 2 (32) = 2 9 a (2 ↑ 3) ↑ 2 = (︀ 2 3)︀ 2= 2 6 .Je-li ∘ asociativní operace na množině A, pak lze u výrazu (8.1) vynechat závorky.Výraz a ∘ b ∘ c lze potom vyčíslit buď jako (a ∘ b) ∘ c nebo a ∘ (b ∘ c). Dá se dokázat, žepro asociativní operace není potřeba používat závorky vůbec. Například pro každouasociativní operaci platí(︀(a ∘ b) ∘ c)︀∘ d = a ∘(︀b ∘ (c ∘ d))︀,neboť(︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀(a ∘ b) ∘ c ∘ d = a ∘ (b ∘ c) ∘ d = a ∘ (b ∘ c) ∘ d = a ∘ b ∘ (c ∘ d) .

8.3 Komutativní operace 618.3 Komutativní operaceDefinice 8.3. Algebraická operace ∘ na množině A se nazývá komutativní ,jestliže pro každé a, b ∈ A platí a ∘ b = b ∘ a.Příklady komutativních operací jsou sčítání čísel, aritmetických vektorů stejnédimenze nebo matic stejného typu. Naopak násobení čtvercových matic řádu většíhonež jedna není komutativní, jak je patrné z příkladu (5.11).Snadno se můžeme přesvědčit, že ani operace ↑ definovaná v oddílu 8.2 neníkomutativní, neboť2 ↑ 3 = 2 3 ≠ 3 2 = 3 ↑ 2.Pokud je počet prvků množiny A větší než jedna, není ani operace skládání zobrazenímnožiny A do sebe komutativní. Jestliže totiž v dané množině A existují prvkya, b ∈ A, a ≠ b, pak například pro zobrazenía pro každé x ∈ A platíf : A ∋ x ↦→ a a g : A ∋ x ↦→ b(f ∘ g)(x) = a ≠ b = (g ∘ f)(x),tedyf ∘ g ≠ g ∘ f.8.4 Neutrální prvekDefinice 8.4. Prvek e ∈ A nazýváme neutrálním prvkem vzhledem k operaci∘ definované na množině A, jestliže pro každé a ∈ A platía ∘ e = e ∘ a = a.Například prvek 0 je neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání reálných nebo komplexníchčísel. Prvek 1 je zase neutrálním prvkem vzhledem k násobení reálných nebokomplexních čísel. Jednotková matice I daného řádu je neutrálním prvkem vzhledemk násobení čtvercových matic stejného řádu.Existuje také neutrální prvek vzhledem k operaci skládání všech zobrazení množinyA do sebe. Je jím identické zobrazení id A množiny A, neboť pro každéf : A ↦→ A a x ∈ A platí(︀idA ∘ f )︀ (x) = id A(︀f(x))︀= f(x),(︀f ∘ idA)︀(x) = f(︀idA (x) )︀ = f(x),takže f = f ∘ id A = id A ∘ f.

62 Algebraické operace a strukturyPoznámka. Neutrální prvek musí splňovat obě rovnosti uvedené v definici. Napříkladpro výše uvedenou operaci umocňování přirozených čísel platí a ↑ 1 = a, avšak1 ↑ a = 1, takže 1 není neutrálním prvkem vzhledem k operaci ↑.Na první pohled není jasné, jestli nemůže být více neutrálních prvků vzhledemk nějaké operaci. Následující věta dává úplnou odpověď na tuto otázku.Věta 8.5. Nechť ∘ je algebraická operace na množině A a nechť e 1 , e 2 ∈ A jsouneutrální prvky vzhledem k operaci ∘. Potom e 1 = e 2 .Důkaz. Podle definice neutrálního prvkue 1 = e 1 ∘ e 2 = e 2 .8.5 Inverzní prvekDefinice 8.6. Nechť ∘ je algebraická operace na množině A, nechť e ∈ A jeneutrální prvek vzhledem k ∘ a nechť a ∈ A. Prvek b ∈ A nazýváme levýminverzním prvkem k prvku a, jestliže b ∘ a = e, pravým inverzním prvkemk prvku a, jestliže a ∘ b = e, a inverzním prvkem k prvku a, jestliže a ∘ b == b ∘ a = e.Pro každé reálné číslo a ∈ R je −a inverzní prvek vzhledem ke sčítání, neboť0 je neutrální prvek vzhledem ke sčítání a (−a) + a = a + (−a) = 0. Ke každéregulární matici A existuje také inverzní prvek vzhledem k násobení matic. Je jíminverzní matice A −1 , neboť jednotková matice I je neutrálním prvkem vzhledemk násobení matic a A −1 A = AA −1 = I. Naopak k prvku 0 neexistuje inverzní prvekani vzhledem k násobení reálných čísel, ani vzhledem k násobení komplexních čísel,neboť rovnice 0 · x = 1 nemá žádné reálné ani komplexní řešení.Podívejme se nyní na inverzní prvky vzhledem ke skládání zobrazení množiny Ado sebe. Nechť f, g ∈ Z(A). Jestliže f ∘ g = id A , potom f je zobrazení na A, neboťlibovolný prvek a ∈ A lze vyjádřit ve tvarua = id A (a) = (f ∘ g)(a) = f (︀ g(a) )︀ ,tedy jako obraz prvku g(a) ∈ A při zobrazení f. Zobrazení g je přitom nutně prosté,neboť pro libovolné a, b ∈ A by z g(a) = g(b) plynuloa = id A (a) = (f ∘ g)(a) = f (︀ g(a) )︀ = f (︀ g(b) )︀ = (f ∘ g)(b) = id A (b) = b.Zobrazení f ∈ Z(A) má tedy inverzní zobrazení ve smyslu definice inverzního prvku8.6, právě když f je vzájemně jednoznačné.

8.6 Grupa 63Poznámka. Pokud je A nekonečná množina, existují v Z(A) prvky, které mají jenlevý nebo pravý inverzní prvek, ale nemají inverzní prvek. Například zobrazeníf : N ∋ k ↦→ k + 1 ∈ N a g : N ∋ k ↦→ max{k − 1, 1} ∈ Nsplňují g ∘ f = id, neboť pro k ∈ N(g ∘ f)(k) = g (︀ f(k) )︀ = g(k + 1) = k = id(k),avšaktakže(f ∘ g)(1) = f (︀ g(1) )︀ = f(1) = 2,f ∘ g ≠ id.8.6 GrupaMnožina spolu s jednou či více operacemi, které splňují předepsané vlastnosti, tvoříalgebraickou strukturu. Zde se seznámíme s důležitou algebraickou strukturous jednou operací, která se nazývá grupa. Grupy se v matematice objevily při studiuteorie čísel, v geometrii a při řešení algebraických rovnic. Netriviální technické aplikacevyužívající poznatků o struktuře grup zahrnují kódování nebo krystalografii.Definice 8.7. Množina G s operací ∘ se nazývá grupa, jestliže:(G1) ∘ je asociativní operace na G.(G2) Existuje e ∈ G tak, že pro každé a ∈ G platí a ∘ e = e ∘ a = a.(G3) Ke každému a ∈ G existuje prvek b ∈ G tak, že a ∘ b = b ∘ a = e.Grupa je tedy určena uspořádanou trojicí (G, ∘, e), kde G je množina, ∘ je asociativníoperace na G, a e ∈ G je neutrální prvek vzhledem k operaci ∘.Jako příklady grup nám mohou sloužit (R, +, 0) a (C∖{0}, ·, 1). Regulární čtvercovématice stejného řádu tvoří vzhledem k násobení matic také grupu, jejíž jednotkovýprvek je identická matice I.Snadno se ověří, že pokud A má více než jeden prvek, pak (︀ Z(A), ∘, id )︀ netvořígrupu, avšak podmnožina Z(A) sestávající ze všech vzájemně jednoznačnýchzobrazení grupu tvoří.Obdobně jako u jednotkového prvku vzniká otázka, zda k některému prvku nemůžeexistovat více než jeden inverzní prvek. Vyjasníme si tento problém současněs otázkami týkajícími se řešení rovnic.

64 Algebraické operace a strukturyVěta 8.8. Nechť (G, ∘, e) je grupa. Potom platí následující tvrzení:(i) Ke každému prvku a ∈ G existuje právě jeden inverzní prvek a −1 .(ii) Nechť a, b, c ∈ G. Jestliže a ∘ b = a ∘ c nebo b ∘ a = c ∘ a, pak b = c.(iii) Nechť a, b ∈ G. Potom existuje jediné x ∈ G tak, že platí a ∘ x = b a jedinéy ∈ G tak, že y ∘ a = b.Důkaz.(i) Nechť a, b, c ∈ G, a ∘ b = b ∘ a = e a a ∘ c = c ∘ a = e. Pakb = b ∘ e = b ∘ (a ∘ c) = (b ∘ a) ∘ c = e ∘ c = c.(ii) Nechť a, b, c ∈ G a třeba a ∘ b = a ∘ c. Pak a −1 ∘ (a ∘ b) = a −1 ∘ (a ∘ c). Upravíme-liobě strany rovnice použitím asociativity, dostaneme (a −1 ∘ a) ∘ b = (a −1 ∘ a) ∘ c.Výraz v závorce je ovšem neutrální prvek, takže výsledkem je(iii) Nechť a, b ∈ G. Pro x = a −1 ∘ b platíb = e ∘ b = e ∘ c = c.a ∘ x = a ∘ (a −1 ∘ b) = (a ∘ a −1 ) ∘ b = e ∘ b = b,takže x = a −1 ∘ b je řešením rovnice a ∘ x = b. Nechť x 1 a x 2 jsou řešení rovnicea ∘ x = b, tj. a ∘ x 1 = b a a ∘ x 2 = b. Pak platí a ∘ x 1 = a ∘ x 2 a podle tvrzení(ii) tedy x 1 = x 2 .S pojmem grupa jsou spojeny některé konvence v terminologii a v označení.Grupa (G, ∘, e) se nazývá komutativní , jestliže je operace ∘ komutativní. Operacev komutativní grupě se často označuje znaménkem +, i když se může jednat o úplnějinou operaci než sčítání čísel. Při takovém zápisu, který nazýváme aditivní , mluvímemísto o neutrálním prvku o nulovém prvku, který také označujeme pomocínuly. Při této konvenci se inverzní prvek k prvku a zapisuje −a. Znak operace setaké často zapisuje pomocí tečky nebo se v příslušných výrazech zcela vynechává.V takovém případě mluvíme o multiplikativním zápisu, neutrální prvek značímejedničkou a inverzní prvek k prvku a značíme 1 a nebo a−1 . Někdy se také používánázvu aditivní grupa pro grupu zapsanou v aditivním zápisu a multiplikativnígrupa pro grupu zapsanou v multiplikativním zápisu.

8.7 Komutativní těleso 658.7 Komutativní tělesoNyní se seznámíme s algebraickou strukturou se dvěma operacemi, které mají obdobnévlastnosti jako sčítání a násobení na některých číselných množinách.Definice 8.9. Komutativní těleso (T, +, 0, ·, 1) je množina, na níž jsou definoványdvě binární algebraické operace + a ·, které splňují následující axiomy:(T1) (T, +, 0) je komutativní grupa.(T2) (T ∖ {0}, ·, 1) je komutativní grupa.(T3) Pro každé a, b, c ∈ T platí distributivní zákon a(b + c) = ab + ac.(T4) 0 ≠ 1.Množina všech reálných čísel spolu s operacemi sčítání a násobení je tedy těleso,stejně jako množina všech komplexních čísel C spolu s operacemi sčítání a násobení.V některých aplikacích, jako například v kódování, se můžete setkat s konečnýmitělesy. Nejjednodušším příkladem je těleso ({0, 1}, +, 0, ·, 1) s operacemi, které jsoudefinovány tabulkami:+ 0 10 0 11 1 0· 0 10 0 01 0 1I pro obecné těleso lze dokázat některé další vlastnosti, které platí pro počítánís čísly. Například v tělese platí 0 · 1 = 0, neboť0 = 1 + (−1) = 1 · 1 + (−1) · 1 = (︀ 1 + (−1) )︀ · 1 = 0 · 1.Vzhledem k tomu, že v dalším výkladu budeme pracovat jen s tělesy reálných a komplexníchčísel, budeme používat známá pravidla pro násobení a sčítání bez důkazů.Příklady k procvičení8.1. Nechť (G, ∘, e) je grupa a nechť a, b ∈ G. Ověřte, že (a ∘ b) −1 = b −1 ∘ a −1 .

66Kapitola 9Vektorové prostoryVe 3. kapitole jsme se seznámili s aritmetickými vektory, které jsme si ve zvláštníchpřípadech mohli znázornit šipkami, takže jsme si je byli schopni představit. Proaritmetické vektory jsme definovali skládání (sčítání) a násobení skalárem, kterésplňovaly určitá pravidla. Nyní si pojem vektoru zobecníme ještě více, takže nášnový pojem vektoru bude zahrnovat nejen aritmetické vektory a tím i „staré známéšipky“, ale také jiné objekty, jako například matice a funkce. Ukazuje se, že alespoňv matematice není podstatné to, co konkrétně považujeme za vektory, ale jaká pravidlasplňují operace s nimi. Rozšíření pojmu vektoru nám bude sloužit jako oporanaší intuice.9.1 Vektorový prostorDefinice 9.1. Vektorový prostor nad komutativním tělesem (T, +, 0, ·, 1) jekomutativní grupa (V, +, o) a zobrazení T × V ∋ (α, v) ↦→ αv ∈ V, které nazývámenásobení skalárem, přičemž pro libovolné α, β ∈ T a u, v ∈ V platí:α(u + v) = αu + αv(α + β)u = αu + βuα(βu) = (αβ)u1u = u(V1)(V2)(V3)(V4)V definici vektorového prostoru má znak + dva různé významy, které však vždydokážeme rozlišit podle operandů. Prvky tělesa T nazýváme skaláry, prvky grupy Vvektory. Jestliže T = R, mluvíme o reálném vektorovém prostoru, jestliže T == C, mluvíme o komplexním vektorovém prostoru. V dalším výkladu budemepředpokládat, pokud nebude uvedeno jinak, že T je těleso reálných čísel, nebo tělesokomplexních čísel. Pokud budeme dále stručně mluvit jen o vektorovém prostoru,budeme předpokládat, že skaláry jsou prvky jednoho z uvedených číselných těles.

9.1 Vektorový prostor 67Příklad 9.2. Reálné aritmetické vektory daného řádu n se sčítáním vektorů a s násobenímskalárem po složkách tvoří reálný vektorový prostor. Jeho nulový prvek jeo = [0, . . . , 0], pro a = [a 1 , . . . , a n ] je inverzním prvkem −a = [−a 1 , . . . , −a n ]. Pron = 1 je množina skalárů i vektorů stejná.Příklad 9.3. Množina F všech reálných funkcí s operací + definovanou pro každéreálné x rovností(f + g)(x) = f(x) + g(x)a s násobením skalárem, které pro každé α ∈ R a f ∈ F definuje funkci αf ∈ Frovností(αf)(x) = αf(x),tvoří reálný vektorový prostor. Nulový prvek o tohoto prostoru je dán předpisemprvek opačný k f je definován pomocío(x) = 0,(−f)(x) = −f(x).0.90.8y = f(x) + g(x)0.7y0.60.5y = g(x)0.40.30.2y = f(x)0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1xObr. 9.1: Součet funkcí f(x) = 1 4 x2 + 1 a g(x) = 1 definovaných na intervalu [0,1].8 2

68 Vektorové prostory9.2 Rovnosti odvozené z axiomůAxiomy vektorového prostoru jsou vybrány tak, aby pro abstraktní vektory platilavšechna tvrzení, která jsou zřejmá pro šipky. Některá taková tvrzení si na ukázkudokážeme v následující větě.Věta 9.4. Nechť V je vektorový prostor s nulovým prvkem o, u ∈ V a nechť α jelibovolný skalár. Pak platí následující rovnosti:0u = o (9.1)αo = o (9.2)(−1)u = −u (9.3)Důkaz. Bez bližší specifikace budeme používat vlastnosti tělesa a použití axiomůgrupy nebo axiomů vektorového prostoru vyznačíme odkazy nad rovnostmi.(9.1)(︁0u (G2)= 0u + o (G3)= 0u + 0u + (︀ −(0u) )︀)︁ (G1)= (0u + 0u) + (︀ −(0u) )︀ =(V2)= (0 + 0)u + (︀ −(0u) )︀ = 0u + (︀ −(0u) )︀ (G3)= o.(9.2) Použijeme-li (9.1) pro u = o, dostaneme 0o = o, takžeαo = α(0o) (V3)= (α0)o = 0o = o.(9.3) u + (−1)u (V4)= 1u + (−1)u (V2)= (︀ 1 + (−1) )︀ u = 0u (9.1)= o.9.3 PodprostoryDefinice 9.5. Neprázdná množina U ⊂ V je podprostorem vektorového prostoruV, jestliže U je vektorový prostor vzhledem ke sčítání vektorů a násobení skaláremv prostoru V.K tomu, aby U ⊂ V byl podprostorem vektorového prostoru V stačí, aby U bylauzavřená vzhledem ke sčítání vektorů a násobení skalárem, tedy aby pro libovolnédva prvky u, v ∈ U a pro libovolný skalár α platilo u+v ∈ U a αu ∈ U. Z posledníhopředpokladu totiž plyne 0u ∈ U i (−1)u ∈ U, takže podle (9.1) a (9.3) také nulovýprvek o = 0u i opačný prvek −u = (−1)u patří do U, přičemž je zřejmé, že ostatníaxiomy vektorového prostoru jsou splněny.

9.4 Součet a průnik podprostorů 69Příklad 9.6. Nechť p je pevně zvolená přímka v prostoru procházející zvolenýmpočátkem souřadnic. Pak množina všech polohových vektorů bodů na přímce p tvořípodprostor vektorového prostoru všech vázaných vektorů v prostoru.Příklad 9.7. Pro dané k ≥ 1 je množina P k všech mnohočlenů stupně menšího nežk podprostorem vektorového prostoru F z příkladu 9.3.Příklad 9.8. Nechť V je libovolný prostor. Pak O = {o} je podprostorem V, neboťo + o = o a podle (9.2) platí pro libovolný skalár α, že αo = o. Vektorový prostorO je nejmenší podprostor daného vektorového prostoru a nazývá se nulovýmpodprostorem.Příklad 9.9. Nechť S = {v 1 , . . . , v k } je konečná množina vektorů vektorovéhoprostoru V. Není těžké ověřit, že množina všech vektorů, které lze zapsat ve tvaruu = α 1 v 1 + . . . + α k v k ,je podprostorem vektorového prostoru V, který nazýváme lineární obal množinyS. Lineární obal dané množiny vektorů S značíme ⟨S⟩.Příklad 9.10. Jestliže p 1 (x) = 1 a p 2 (x) = x jsou dva mnohočleny, které považujemeza prvky vektorového prostoru P všech reálných mnohočlenů, pak P 2 = ⟨p 1 , p 2 ⟩ jepodprostor P tvořený všemi lineárními mnohočleny. Jestliže p 3 = p 1 +p 2 , pak zřejmě⟨p 1 , p 2 ⟩ = ⟨p 1 , p 2 , p 3 ⟩.9.4 Součet a průnik podprostorůPro libovolné dva podprostory U, V daného vektorového prostoru W můžeme vytvořitprůnik podprostorů U ∩ V a součet podprostorůU + V = {u + v : u ∈ U, v ∈ V}.Průnik podprostorů není nikdy prázdný, neboť do něho vždy patří nulový prvek.Věta 9.11. Nechť U, V jsou podprostory vektorového prostoru W. Pak U ∩V i U +Vjsou podprostory W.Důkaz. Nechť u, v ∈ U ∩ V, tedy u ∈ U, u ∈ V, v ∈ U a v ∈ V. Jelikož U a V jsoupodprostory téhož prostoru, platí u + v ∈ U a u + v ∈ V, tedy u + v ∈ U ∩ V, a prolibovolný skalár α platí také αu ∈ U i αu ∈ V, takže αu ∈ U ∩ V. Důkaz, že U + Vje podprostorem W je obdobný.Jestliže průnik podprostorů U, V daného vektorového prostoru W je nulový podprostorO, pak se součet U + V nazývá direktní (přímý) součet podprostorůa značí se U ⊕ V. Direktní součet je tedy definován jen pro některé podprostory W.

70 Vektorové prostoryDůležitou vlastností direktního součtu podprostorů je to, že každý prvek w ∈∈ U ⊕ V lze vyjádřit jednoznačně ve tvaru w = u + v s u ∈ U a v ∈ V. Skutečně,nechť platíw = u 1 + v 1 = u 2 + v 2 .Potom o = w−w = (u 1 +v 1 )−(u 2 +v 2 ), tedy u 1 −u 2 = v 2 −v 1 . To však znamená,že vektory u 1 − u 2 i v 1 − v 2 patří do U ∩ V, takže podle definice direktního součtujsou oba vektory nulové a platíu 1 = u 2 , v 1 = v 2 .9.5 Vektory v matematice a ve fyziceV této kapitole jsme si zavedli nový pojem vektoru, který je zobecněním pojmuvektor, tak jak se používá například ve fyzice. To, že používáme stejný název, tedyvektor, nás nesmí vést k domněnce, že se jedná v podstatě o jedno a totéž. Našeabstraktní vektory rozhodně nejsou veličiny, které mají velikost a směr. Co je velikostfunkce, která je prvkem prostoru F ?Ani veličina, která má velikost a směr, nemusí být vektorem v takovém smyslu.Představme si křižovatku, z níž lze vyjet čtyřmi směry. Známe-li průměrný početaut, která projedou křižovatkou v každém směru v nějakém pevném časovém období,můžeme definovat v každém směru veličiny, které budou mít směr příslušnéhovýjezdu z křižovatky a jejichž velikost bude rovna průměrnému počtu aut, kterév tomto směru ve sledovaném období vyjely. Pro tyto veličiny, které mají velikosti směr, lze těžko smysluplně definovat skládání vektorů, které by splňovalo axiomyvektorového prostoru.Ve zvláštních případech však lze dát našim novým pojmům stejný smysl, jakomají ve fyzice nebo v geometrii. Řešení úloh, ve kterých se vyskytují abstraktnívektory, například funkce, si tak někdy můžeme usnadnit tím, že si představímeřešení obdobného problému se šipkami.9.6 PříkladyPříklad 9.12. Dokažte, že množina F všech realných funkcí f : R → R s operacemisčítání funkcí a násobení funkce skalárem definovanými předpisyf + g : x → f (x) + g (x) , αf : x → αf (x) , ∀x ∈ Rtvoří reálný vektorový prostor.Řešení.

9.6 Příklady 71∙ (G1) (︀ ∀f, g, h ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(f + (g + h)) (x) = f (x) + (g + h) (x) = f (x) + (g (x) + h (x)) == (f (x) + g (x)) + h (x) = (f + g) (x) + h (x) = ((f + g) + h) (x) ,a odtud: f + (g + h) = (f + g) + h.∙ (G2) (︀ ∃o ∈ F, o (x) = 0 )︀(︀ ∀f ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(f + o) (x) = f (x) + o (x) = f (x) + 0 = f (x) = 0 + f (x) = o (x) + f (x) == (o + f) (x) , a odtud: f + o = f = o + f.∙ (G3) (︀ ∀f ∈ F )︀(︀ ∃ − f ∈ F, (−f) (x) = −f (x) )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(f + (−f)) (x) = f (x) + (−f) (x) = f (x) + (−f (x)) = 0 = o (x) == −f (x) + f (x) = (−f) (x) + f (x) = (−f + f) (x) ,a odtud: f + (−f) = o = −f + f.∙ (komutativnost +) (︀ ∀f, g ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(f + g) (x) = f (x)+g (x) = g (x)+f (x) = (g + f) (x) , a odtud: f +g = g+f.∙ (V1) (︀ ∀α ∈ R )︀(︀ ∀f, g ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(α (f + g)) (x) = α (f + g) (x) = α (f (x) + g (x)) = αf (x) + αg (x) == (αf) (x) + (αg) (x) = (αf + αg) (x) ,a odtud: α (f + g) = αf + αg.∙ (V2) (︀ ∀α, β ∈ R )︀(︀ ∀f ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :((α + β) f) (x) = (α + β) f (x) = αf (x) + βf (x) = (αf) (x) + (βf) (x) == (αf + βf) (x) , a odtud: (α + β) f = αf + βf.∙ (V3) (︀ ∀α, β ∈ R )︀(︀ ∀f ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(α (βf)) (x) = α (βf) (x) = α (βf (x)) = (αβ) f (x) = ((αβ) f) (x) ,a odtud: α (βf) = (αβ) f.∙ (V4) (︀ ∀f ∈ F )︀(︀ ∀x ∈ R )︀ :(1f) (x) = 1f (x) = f (x) , a odtud: 1f = f.

72 Vektorové prostoryPříklad 9.13. Rozhodněte, zda-li je množina U = {[u 1 , u 2 , 1] : u 1 , u 2 ∈ R} podprostoremR 3 .Řešení. Je zřejmé, že U ⊂ R 3 neboť u = [u 1 , u 2 , 1] ∈ U ⇒ u ∈ R 3 . Množina U všaknení podprostorem R 3 neboť v U neexistuje nulový vektor o ∈ U tak, že ∀u ∈ U jeu + o = u. Vskutku[u 1 , u 2 , 1] + [o 1 , o 2 , 1] = [u 1 + o 1 , u 2 + o 2 , 2] ≠ [u 1 , u 2 , 1]neboť pro poslední složku je vždy 2 ≠ 1.Příklad 9.14. Rozhodněte, zda-li je množina U = {[u 1 , u 2 , u 3 ] : u 1 + u 2 − u 3 = 0}podprostorem R 3 .Řešení. Je zřejmé, že U ⊂ R 3 neboť jestliže u ∈ U ⇒ u ∈ R 3 .1.u = [u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ U ⇒ u 1 + u 2 − u 3 = 0v = [v 1 , v 2 , v 3 ] ∈ U ⇒ v 1 + v 2 − v 3 = 0u + v = [u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ] = [w 1 , w 2 , w 3 ]w 1 + w 2 − w 3 = (u 1 + v 1 ) + (u 2 + v 2 ) − (u 3 + v 3 ) =Odtud dostáváme, že u + v ∈ U.= u 1 + u 2 − u 3⏟ ⏞=0+ v 1 + v 2 − v 3 ⏟ ⏞=0= 02.u = [u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ U ⇒ u 1 + u 2 − u 3 = 0,αu = [αu 1 , αu 2 , αu 3 ] = [w 1 , w 2 , w 3 ]α ∈ Rw 1 + w 2 − w 3 = αu 1 + αu 2 − αu 3 = α (u 1 + u 2 − u 3 )⏟ ⏞=0Odtud dostáváme, že αu ∈ U.= 0U je tedy podprostorem vektorového prostoru R 3 .Příklad 9.15. Rozhodněte, zda-li jsou množinyU = {︀ [u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ R 3 : u 1 + u 2 − u 3 = 0 ∧ u 2 − u 3 = 0 }︀V = {︀ [u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ R 3 : u 2 + u 3 = 0 }︀podprostory R 3 . Pokud ano, nalezněte jejich průnik a součet.

9.6 Příklady 73Řešení. Všechny prvky množiny U musí splňovat podmínky u 1 + u 2 − u 3 = 0, u 2 −− u 3 = 0. Tzn. že složky vektoru u ∈ U musí být řešením soustavy 2 rovnicu 1 + u 2 − u 3 = 0u 2 − u 3 = 0Matice této soustavy je již ve schodovém tvaru, takže můžeme přímo určit její řešeníu 1 = 0, u 2 = t, u 3 = t, t ∈ R.Vektor řešení můžeme dále zapsat ve tvaruu = [u 1 , u 2 , u 3 ] = [0, t, t] = t · [0, 1, 1], t ∈ R.Odtud U = {t · [0, 1, 1], ∀t ∈ R} = ⟨[0, 1, 1]⟩. Množina U je tedy lineárním obalemvektoru [0, 1, 1] ∈ R 3 a tedy podprostorem R 3 .Analogicky musí všechny prvky množiny V splňovat podmínku u 2 + u 3 = 0.Tzn. že složky vektoru u ∈ V musí být řešením jedné rovnice o třech neznámýchu 2 +u 3 = 0. V této rovnici si proto volíme neznámé u 1 , u 3 za parametry a dostávámeřešení u 1 = p, u 2 = −q, u 3 = q, p, q ∈ R. Tento vektor řešení můžeme dále zapsatve tvaruu = [u 1 , u 2 , u 3 ] = [p, −q, q] = [p, 0, 0]+[0, −q, q] = p·[1, 0, 0]+q·[0, −1, 1], p, q ∈ R.OdtudV = {p · [1, 0, 0] + q · [0, −1, 1], ∀p, q ∈ R} = ⟨[1, 0, 0], [0, −1, 1]⟩ .Množina V je tedy lineárním obalem vektorů [1, 0, 0], [0, −1, 1] ∈ R 3 a tedy podprostoremR 3 .Složky všech vektorů u = [u 1 , u 2 , u 3 ] průniku U ∩ V musí splňovat podmínkyu 1 + u 2 − u 3 = 0, u 2 − u 3 = 0 a zároveň podmínku u 2 + u 3 = 0. Dostáváme tedysoutavu rovnicu 1 + u 2 − u 3 = 0u 2 − u 3 = 0u 2 + u 3 = 0Odečtením 2. rovnice od 3. dostáváme soustavu ve schodovém tvaruu 1 + u 2 − u 3 = 0u 2 − u 3 = 02u 3 = 0Jejíž řešením je u 1 = u 2 = u 3 = 0. Průnik podprostoru U a V obsahuje tedy pouzejediný vektor a tím je vektor nulový U ∩ V = {o}. Pokud uvážíme, že libovolný

74 Vektorové prostoryvektor u ∈ U má tvar u = t · [0, 1, 1], t ∈ R a libovolný vektor v ∈ V má tvarv = p · [1, 0, 0] + q · [0, −1, 1], p, q ∈ R, tak w = u + v ∈ U + V má tvarw = t · [0, 1, 1] + p · [1, 0, 0] + q · [0, −1, 1], t, p, q ∈ R.Pak podprostor U + V je lineární kombinací vektorů [0, 1, 1], [1, 0, 0], [0, −1, 1] ∈ R 3a můžeme psátU + V = ⟨[0, 1, 1], [1, 0, 0], [0, −1, 1]⟩ .Příklady k procvičení9.1. Dokažte, že lineární obal ⟨S⟩ množiny S = {v 1 , . . . , v k } vektorů vektorového prostoruV z příkladu 9.9 tvoří vektorový prostor.9.2. Nechť F 0 je množina všech reálných funkcí f, které splňují f(0) = 0. Dokažte, že F 0je podprostorem vektorového prostoru F z příkladu 9.3.9.3. Nechť F je vektorový prostor všech reálných funkcí definovaný v příkladu 9.3. Rozhodněte,zda jsou následující množiny podprostory F. Své rozhodnutí zdůvodněte.a) W 1 = {f ∈ F : f(0) = 1},W 2 = {f ∈ F : f(0) = 0}b) W 1 = {f ∈ F : 2f(x) − f(0) = 0},W 2 = {f ∈ F : 2f(x) − f(0) = 3}c) W 1 = {f ∈ F : f(1) = 0 ∧ f(−1) = 0},W 2 = {f ∈ F : f(0) = −1 ∧ f(1) = 0}d) W = {f ∈ F : 2f(x) − f(−x) = 0}e) W = P n , kde P n značí množinu všech polynomů stupně nejvýše n.9.4. Nechť je dán vektorový prostor P 2 (prostor všech polynomů stupně maximálně 2).Rozhodněte, zda je množina W = {p(x) = ax 2 + bx + c : a + c = 0 ∧ a − b = 0}podprostorem P 2 . Své rozhodnutí zdůvodněte.9.5. Rozhodněte, zda podmnožina W ⊂ P n je podprostorem vektorového prostoru polynomůP n , je-lia) W 1 = {p ∈ P n : p(x) = p(−x)}b) W 2 = {p ∈ P n : 2p(0) + 3p(1) = 0}c) W 3 = {p ∈ P n : p(x) = x 2 + ax + b, a, b ∈ R}d) W 4 = {p ∈ P n : p(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0}9.6. Rozhodněte, zda je podmnožina W ⊂ R n podprostorem vektorového prostoru R n ,je-li W = {(x 1 , . . . , x n ) : x 1 , . . . , x n ∈ Z}.

Příklady k procvičení 759.7. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R 4 :Určete U ∩ V.U ={[u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ] ∈ R 4 : u 1 + u 2 + u 3 − u 4 = 0},V ={[u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ] ∈ R 4 : u 3 + u 4 = 0}.9.8. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R 4 :Určete U ∩ V.U ={[u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ] ∈ R 4 : u 1 + u 2 − u 3 + u 4 = 0 ∧ −u 1 − u 3 = 0},V ={[u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ] ∈ R 4 : u 2 − 2u 3 + u 4 = 0}.9.9. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R 3 :Určete U + V.U ={[u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ R 3 : u 1 + u 2 − u 3 = 0 ∧ u 1 − 2u 2 = 0},V ={[u 1 , u 2 , u 3 ] ∈ R 3 : u 1 − u 2 − u 3 = 0}.9.10. Udejte příklad vektorového prostoru nad R, který má konečně mnoho vektorů.9.11. Udejte příklad nekonečné podmnožiny M v R 5 tak, že M není podprostorem vektorovéhoprostoru R 5 .Klíč k příkladům k procvičení9.3. a) W 1 není, W 2 je podprostorb) W 1 je, W 2 není podprostorc) W 1 je, W 2 není podprostord) W je podprostore) W je podprostor9.4. je9.5. W 1 a W 2 jsou, W 3 a W 4 ne9.6. není9.7. U ∩ V = ⟨[−1, 1, 0, 0], [2, 0, −1, 1]⟩9.8. U ∩ V = ⟨[−1, 2, 1, 0], [0, −1, 0, 1]⟩9.9. U + V = ⟨[2, 1, 3], [1, 1, 0], [1, 0, 1]⟩

76Kapitola 10Lineární nezávislost a bázePro vektory, které jsme zavedli v kapitole 9, zavedeme obdobu některých pojmůznámých z analytické geometrie, jako jsou kolineárnost (rovnoběžnost) dvou vektorůnebo komplanárnost (možnost umístění ve stejné rovině) tří vektorů. Vystačímepřitom pouze s vlastnostmi vektorového prostoru, zejména se obejdeme bez úhlů.Nakonec si zavedeme pojem báze, který má pro vektorový prostor obdobný významjako soustava souřadnic v geometrii.10.1 Závislé a nezávislé vektoryPrvní nový pojem, který si zde zavedeme, je obdobou vlastnosti, kterou mají dvavolné vektory, lze-li je umístit na jednu přímku, nebo tři volné vektory, lze-li jeumístit do společné roviny.Definice 10.1. Neprázdná konečná množina vektorů S = {v 1 , . . . , v k } vektorovéhoprostoru V je lineárně nezávislá, jestliže rovnicemá jediné řešeníα 1 v 1 + . . . + α k v k = o (10.1)α 1 = . . . = α k = 0.Jestliže S = {v 1 , . . . , v k } je nezávislá, říkáme také, že vektory v 1 , . . . , v k jsounezávislé. Má-li rovnice (10.1) i jiné řešení, pak říkáme, že S je lineárně závisláa vektory v 1 , . . . , v k jsou závislé.Geometrický význam lineární závislosti pro dvourozměrné vázané vektory je naobr. 10.1.Příklad 10.2. Jestliže v 1 = [2, −1, 0], v 2 = [1, 2, 5] a v 3 = [7, −1, 5], pak množinavektorů S = {v 1 , v 2 , v 3 } je lineárně závislá, neboť 3v 1 + v 2 − v 3 = o.

10.2 Lineární kombinace a závislost 77Příklad 10.3. Mnohočleny p 1 (x) = 1−x, p 2 (x) = 5+3x−2x 2 a p 3 (x) = 1+3x−x 2tvoří lineárně závislou množinu v P 3 , neboť pro každé x ∈ R platí 3p 1 (x) − p 2 (x) ++ 2p 3 (x) = 0, tj. 3p 1 − p 2 + 2p 3 = o.Příklad 10.4. Vektory e 1 = [1, 0, 0], e 2 = [0, 1, 0] a e 3 = [0, 0, 1] tvoří lineárněnezávislou množinu reálných třírozměrných aritmetických vektorů, neboť z α 1 e 1 ++ α 2 e 2 + α 3 e 3 = o plyne α 1 = 0, α 2 = 0, α 3 = 0.α 2 vvwα 1 u = uouα 1 uvoα 3 w = -wα 2 v = -uα 1 u + α 2 v + α 3 w = oα 1 u + α 2 v = oObr. 10.1: Lineárně závislé vektory v R 2 .Poznámka. Závislost či nezávislost množiny vektorů závisí na množině skalárů.Například považujeme-li V = C za reálný vektorový prostor, pak jsou komplexníjednotka i a 1 nezávislé, neboť pro libovolná reálná čísla α 1 , α 2 plyne zα 1 i + α 2 1 = 0,že α 1 = α 2 = 0. Pokud však tutéž množinu, tedy V = C, považujeme za komplexnívektorový prostor, plyne z(−1)i + i1 = o,že i a 1 jsou závislé!10.2 Lineární kombinace a závislostNa obr. 10.1 vlevo vidíme trojici závislých vektorů u, v, w. Současně je naznačeno,že vektor w lze vyjádřit jako součet násobků vektorů u a v. Součet násobků vektorů

78 Lineární nezávislost a bázese bude v dalším výkladu vyskytovat tak často, že si pro něj zavedeme samostatnýnázev. Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat lineární kombinacívektorů v 1 , . . . , v k ∈ V, jestliže existují skaláry α 1 , . . . , α k tak, žev = α 1 v 1 + . . . + α k v k .Například mnohočlen p 1 z vektorového prostoru P 1 všech lineárních reálnýchmnohočlenů, který je definován předpisem p 1 (x) = x, je lineární kombinací mnohočlenůp 2 (x) = x + 1 a p 3 (x) = x + 2, neboť pro libovolné reálné x platítakže p 1 = 2p 2 − p 3 .p 1 (x) = x = 2(x + 1) − (x + 2) = 2p 2 (x) − p 3 (x),Věta 10.5. Konečná množina nenulových vektorů S = {v 1 , . . . , v m } je lineárnězávislá, právě když existuje k ≥ 2 tak, že vektor v k je lineární kombinací vektorův 1 , . . . , v k−1 .Důkaz. Nechť S je množina nenulových lineárně závislých vektorů. Uvažujme množinyS 1 = {v 1 }, S 2 = {v 1 , v 2 }, . . . , S m = {v 1 , . . . , v m } a nechť S k je nejmenší množinavektorů, které jsou lineárně závislé, takže platíα 1 v 1 + . . . + α k v k = o (10.2)a některý z koeficientů α 1 , . . . , α k je nenulový. Pak k ≥ 2, neboť S 1 je zřejmě nezávislámnožina vektorů, a α k ≠ 0, neboť jinak by S k−1 byla lineárně závislá. Rovnici(10.2) můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového prostoru na tvarpak(︂ −α1v k =α k)︂v 1 + . . . +Obráceně, jestliže pro 2 ≤ k ≤ m platí(︂−αk−1α kv k = α 1 v 1 + . . . + α k−1 v k−1 ,)︂v k−1 .−(α 1 v 1 ) − . . . − (α k−1 v k−1 ) + 1v k + 0v k+1 + . . . + 0v m = o,takže S m je lineárně závislá, neboť koeficient 1 u v k je nenulový.10.3 Postačující podmínky pro nezávislost funkcíNechť S = {f 1 , . . . , f k } je konečná množina reálných funkcí vektorového prostoruF z příkladu 9.3. Podle definice je S nezávislá právě tehdy, když pro libovolnékoeficienty α 1 , . . . , α k plyne zα 1 f 1 (x) + . . . + α k f k (x) = 0 (10.3)

10.3 Postačující podmínky pro nezávislost funkcí 79pro všechna x ∈ R, že α 1 = . . . = α k = 0. Ověření podmínky (10.3) pro všechnax ∈ R však vyžaduje dosazení nekonečně mnoha čísel do levé strany rovnosti, cožmůže být v obecném případě neproveditelné. Přesto lze s trochou štěstí nezávislostmnožiny S poznat.První postup vychází z pozorování, že dosadíme-li v (10.3) za x postupně různáčísla x 1 , . . . , x k , dostaneme soustavu k lineárních rovnic o k neznámých α 1 , . . . , α kve tvaru:α 1 f 1 (x 1 ) + . . . + α k f k (x 1 ) = 0. . . .α 1 f 1 (x k ) + . . . + α k f k (x k ) = 0Pokud má tato soustava regulární matici, plyne odsud, že α 1 = . . . = α k = 0 a S jenezávislá množina.Druhý postup vychází z pozorování, že pokud platí pro nějaké x ∈ R rovnost(10.3), zůstane tato rovnost v platnosti i po derivování. Pro pevně zvolené číslo xtak dostaneme pro α 1 , . . . , α k soustavuα 1 f (0)1 (x) + . . . + α k f (0)k (x) = 0. . . . . .α 1 f (k−1)1 (x) + . . . + α k f (k−1)k(x) = 0Pokud má tato soustava regulární matici, plyne odsud, že α 1 = . . . = α k = 0 a S jenezávislá množina. Matice této soustavy se vyskytuje ve více aplikacích a nazývá seWronského matice.Příklad 10.6. Rozhodněte, zda jsou mocniny x, x 2 a x 3 lineárně nezávislé.Řešení 1. Zvolíme si body x 1 = 1, x 2 = 2 a x 3 = 3, které postupně dosadíme dofunkcí f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 , f 3 (x) = x 3 , a vytvoříme soustavu (10.3). Dostaneme:..α 1 + α 2 + α 3 = 02α 1 + 4α 2 + 8α 3 = 03α 1 + 9α 2 + 27α 3 = 0(10.4)Matici této soustavy převedeme na schodový tvar. Dostaneme⎡⎣1 1⎤12 4 8 ⎦r 2 − 2r 13 9 27 r 3 − 3r 1⎡↦→ ⎣3 − 3r 21 1⎤1⎡0 2 6 ⎦r↦→ ⎣0 6 24⎤1 1 10 2 6 ⎦0 0 6Matice soustavy je regulární, takže soustava (10.4) má jen nulové řešení α 1 = α 2 == α 3 = 0. Funkce x, x 2 a x 3 jsou tedy lineárně nezávislé.

80 Lineární nezávislost a bázeŘešení 2. Vypočteme první a druhou derivaci funkcí f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 , f 3 (x) == x 3 v bodě 1 a vytvoříme Wronského matici, kterou převedeme na schodový tvar.Dostaneme⎡⎣⎤1 1 11 2 3 ⎦r 2 − r 10 2 6⎡↦→ ⎣3 − 2r 2⎤1 1 1⎡ ⎤1 1 10 1 2 ⎦r↦→ ⎣ 0 1 2 ⎦0 2 60 0 2Matice je tedy regulární, z čehož opět vyplývá, že funkce x, x 2 a x 3 jsou lineárněnezávislé.Poznámka. Pokud by nám vyšlo, že výsledná matice není regulární, nemohli bychomučinit žádný závěr. K tomu, abychom mohli prohlásit, že uvažované funkcejsou závislé, bychom museli vyzkoušet v prvním případě všechny trojice reálnýchčísel x 1 , x 2 , x 3 , ve druhém případě všechna x ∈ R. Singulární matici bychom dostalinapříklad při volbě x 1 = 0 nebo x = 0.10.4 Báze vektorového prostoruPojem báze, který si zavedeme v tomto oddílu, nám umožní popsat vektory pomocískalárů. Ve svých důsledcích to vede k redukci úloh, v nichž se mohou vyskytovatlibovolné vektory, na úlohy, v nichž se objevují pouze vektory báze a čísla.Definice 10.7. Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je báze vektorovéhoprostoru V, jestliže(i) E je nezávislá.(ii) Každý vektor v ∈ V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů E.Příklad 10.8. Vektory e 1 = [1, 0, 0], e 2 = [0, 1, 0], e 3 = [0, 0, 1] tvoří bázi V = R 3 .Jakýkoli vektor v = [v 1 , v 2 , v 3 ] tohoto prostoru lze vyjádřit ve tvaru v = v 1 e 1 ++ v 2 e 2 + v 3 e 3 . Báze E = (e 1 , e 2 , e 3 ) je zvláštním případem standardní báze R n ,která je tvořena řádky či sloupci jednotkové matice I n .Příklad 10.9. Mnohočleny p 1 (x) = 1 a p 2 (x) = x tvoří bázi vektorového prostoruP 2 . Každý mnohočlen p(x) = a 0 + a 1 x lze zapsat ve tvaru p = a 0 p 1 + a 1 p 2 .Mnohočleny zde považujeme za reálné funkce definované na celé reálné ose. Nechťa 0 p 1 + a 1 p 2 = o, tj. a 0 + a 1 x = 0 pro všechna x. Pro x = 0 dostáváme a 0 + a 1 · 0 = 0,odkud a 0 = 0, a pro x = 1 pak z a 1 · 1 = 0 dostaneme a 1 = 0, takže p 1 a p 2 jsounezávislé.Příklad 10.10. Nechť L 4 je množina všech spojitých funkcí l na intervalu [0, 1],které splňují l(0) = 0 a které jsou lineární na intervalech [︀ 0, 1 4]︀,[︀ 14 , 1 2]︀,[︀ 12 , 3 4]︀,[︀ 34 , 1]︀ .Potom funkce φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 z obr. 10.2 tvoří bázi L 4 .

10.5 Příklady 81y1y1y1ϕ 10 xϕ 2ϕ 30 x00,5 1x 00,5 1x0,5 1ϕ 4l ( x)= xyy111 1 3l( x)= ϕ1+ ϕ2+ ϕ3+ ϕ4 2 440 x0,5 10,51Obr. 10.2: Po částech lineární funkce.Poznámka. Ne každý vektorový prostor má bázi ve smyslu naší definice. Napříkladneexistuje žádná konečná množina reálných funkcí, jejichž lineární kombinací by bylomožno vyjádřit libovolnou reálnou funkci.10.5 PříkladyPříklad 10.11. Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorůp 1 (x) = x 2 − x, p 2 (x) = x + 1, p 3 (x) = x 2 + 2Řešení.α 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 = oα 1 (x 2 − x) + α 2 (x + 1) + α 3 (x 2 + 2) = 0, ∀x ∈ R,α 1 x 2 − α 1 x + α 2 x + α 2 + α 3 x 2 + 2α 3 = 0, ∀x ∈ R,(α 1 + α 3 ) x 2 + (−α 1 + α 2 ) x + (α 2 + 2α 3 ) = 0, ∀x ∈ R.

82 Lineární nezávislost a bázePorovnáním koeficientů u odpovídajících mocnin x dostáváme z poslední rovnicesoustavu 3 rovnic o 3 neznámých:α 1 + α 3 = 0− α 1 + α 2 = 0α 2 + 2α 3 = 0Řešíme Gaussovou eliminační metodou⎡1 0 1⎤0⎡⎣ −1 1 0 0 ⎦ r 2 + r 1 ↦→ ⎣0⎡1 2 0⎤1 0 1 0 α 1 = 0↦→ ⎣ 0 1 1 0 ⎦ α 2 = 00 0 1 0 α 3 = 01 0 1 00 1 1 00 1 2 0⎤⎦r 3 − r 2↦→Rovnice má tedy právě jedno nulové řešení a tudíž vektory p 1 , p 2 , p 3 jsou lineárněnezávislé.Příklad 10.12. Rozhodněte zda-li mnohočlen p (x) = x 2 + 2 je lineární kombinacímnohočlenůp 1 (x) = x 2 − x, p 2 (x) = x + 1Řešení.p = α 1 p 1 + α 2 p 2x 2 + 2 = α 1(︀x 2 − x )︀ + α 2 (x + 1) , ∀x ∈ R,x 2 + 2 = α 1 x 2 − α 1 x + α 2 x + α 2 , ∀x ∈ R,x 2 + 2 = α 1 x 2 + (−α 1 + α 2 ) x + α 2 , ∀x ∈ R.Porovnáním koeficientů u odpovídajících mocnin x dostáváme z poslední rovnicesoustavu 3 rovnic o 2 neznámých:α 1 = 1− α 1 + α 2 = 0α 2 = 2Řešíme Gaussovou eliminační metodou⎡1 0⎤1⎡1 0 1⎣ −1 1 0 ⎦ r 2 + r 1 ↦→ ⎣ 0 1 10 1 20 1 2⎤⎦r 3 − r 2⎡↦→ ⎣1 0 10 1 10 0 1⎤⎦Rovnice nemá řešení a tudíž vektor p není lineární kombinací vektorů p 1 , p 2 .

10.5 Příklady 83Příklad 10.13. Rozhodněte, zda-li vektoryE = {p 1 , p 2 , p 3 } , p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x, p 3 (x) = x 2tvoří bázi P 3 .Řešení.1. Množina E musí být lineárně nezávisláα 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 = oα 1 p 1 (x) + α 2 p 2 (x) + α 3 p 3 (x) = o (x) ,α 1 · 1 + α 2 · x + α 3 · x 2 = 0,∀x ∈ R∀x ∈ RDva mnohočleny se sobě rovnají jestliže mají stejné koeficienty u stejnýchmocnin x. Odtud je zřejmé, že rovnice má pouze jedno řešení a to α 1 = α 2 == α 3 = 0 a množina E je tedy lineárně nezávislá.2. Libovolný mnohočlen p ∈ P 3 , p (x) = ax 2 + bx + c, musí být možné vyjádřitjako lineární kombinaci mnohočlenů z E.α 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 = pα 1 p 1 (x) + α 2 p 2 (x) + α 3 p 3 (x) = p (x) ,α 1 · 1 + α 2 · x + α 3 · x 2 = ax 2 + bx + c,∀x ∈ R∀x ∈ RPoslední rovnice má právě jedno řešení α 1 = c, α 2 = b, α 3 = a a tedy mnohočlenp je lineární kombinací vektorů E.Jelikož jsou splněny obě podmínky 1. a 2. množina E tvoří bázi P 3 .Příklad 10.14. Určete bázi podprostoruU = {︀ p ∈ P 3 , p (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 :a 0 − a 2 = 0 }︀vektorového prostoru P 3 .Řešení. Koeficienty mnohočlenů patřících do množiny U musí splňovat podmínkua 0 − a 2 = 0 což představuje rovnici o třech neznámých a 0 , a 1 , a 2 jejíž řešením jea 0 = t, a 1 = s, a 2 = t pro libovolné parametry t, s ∈ R. Pak pro ∀p ∈ U existujít, s ∈ R takové, že p (x) = tx 2 + sx + t = tx 2 + t + sx = t (x 2 + 1) + sx, ∀x ∈ Ra odtud U = {t (x 2 + 1) + sx, ∀t, s ∈ R} = ⟨x 2 + 1, x⟩.Je zřejmé, že mnohočleny x 2 + 1 a x jsou lineárně nezávislé a libovolný mnohočlenz U, lze vyjádřit jako kombinaci těchto mnohočlenů. Proto mnohočleny x 2 + 1a x tvoří bázi podprostoru U.

84 Lineární nezávislost a bázePříklady k procvičení10.1. Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorův 1 = [1, 2, 0] , v 2 = [−1, −2, 1] , v 3 = [1, 1, 1]10.2. Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorův 1 = [1, 2, 0] , v 2 = [−1, −2, 1] , v 3 = [1, 1, 1] , v 4 = [1, 2, 2]10.3. Uvažujme vektorový prostor C 3 . Zjistěte výpočtem, zda jsou následující vektorylineárně závislé nebo nezávislé:u = (2, 2 + 2i, 2i), v = (1 − i, 1 + 3i, −1 + i), w = (1 + i, 1 − i, 1 + i).10.4. Uvažujme vektorový prostor R 4 . V závislosti na parametrech a, b, rozhodněte o lineárnízávislosti či nezávislosti zadaných vektorů:u 1 = (1, 2 + a, 4, 6), u 2 = (1, 2, 3 − b, 3), u 3 = (2, 4, b − 6, 7), u 4 = (1, 2 − a, 2 − b, 1).10.5. Uvažujme vektorový prostor P 3 polynomů stupně maximálně 3. Polynom p(x) == 7x 3 −7x 2 +4x−1 vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů q(x) = x 3 +3x 2 −x+2,r(x) = 2x 2 − x + 3, s(x) = 2x 3 − 2x 2 + x + 1.10.6. Jakým podmínkám musí vyhovovat číslo a, aby následující vektory tvořily bázi prostoruR 3 :a) (1, 1, 1), (1, a, a 2 ),b) (0, a, a), (a, a, 1), (0, 1, a).10.7. Množina všech matic typu (2, 2) je vektorový prostor nad R (vzhledem k operacímsčítání matic a součinu čísla s maticí).a) Určete dimenzi tohoto vektorového prostoru.b) Vyjádřete matici D jako lineární kombinaci matic A, B, C, je-li[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂2 −11 −20 4A =, B =, C = , D =0 43 −14 2Klíč k příkladům k procvičení10.3. lineárně závislé,[︂ 9−1611 110.4. pro a ≠ 0 a b ≠ 6 jsou vektory lineárně nezávislé, jinak jsou lineárně závislé,10.5. p(x) = q(x) − 2r(x) + 3s(x),10.6. a) Vektory nemohou nikdy tvořit bázi R 3 .b) Vektory tvoří bázi pro každé a ∈ R {0, 1}.10.7. a) dimenze je 4b) D = 2A + 5B − C]︂

85Kapitola 11SouřadniceV kapitole 10 jsme si zavedli pojem báze, který nyní využijeme k definování souřadnic.Pak si ukážeme, jak lze pomocí souřadnic převést úlohy s abstraktními vektoryna úlohy s aritmetickými vektory, s nimiž umíme číselně počítat.11.1 Souřadnice vektoruDefinice 11.1. Nechť E = (e 1 , . . . , e n ) je uspořádaná báze vektorů vektorovéhoprostoru V. Nechť v ∈ V. Potom čísla v 1 , . . . , v n , pro která platív = v 1 e 1 + . . . + v n e n ,nazýváme souřadnice vektoru v v bázi E.Například libovolný aritmetický vektor v = [v 1 , v 2 , v 3 ] má ve standardní báziE = (e 1 , e 2 , e 3 ) z příkladu 10.8 souřadnice v 1 , v 2 , v 3 , neboť[v 1 , v 2 , v 3 ] = v 1 [1, 0, 0] + v 2 [0, 1, 0] + v 3 [0, 0, 1].Mnohočlen p(x) = x + 2 má v bázi P = (p 1 , p 2 ) z příkladu 10.9, kde p 1 (x) = 1a p 2 (x) = x, souřadnice 2, 1, neboťp(x) = x + 2 = 2p 1 (x) + 1p 2 (x).Souřadnice závisí nejen na zvolené bázi, ale i na očíslování vektorů báze. Napříkladv = [1, 2] má v bázi E = (e 1 , e 2 ), kde e 1 = [1, 0] a e 2 = [0, 1], první souřadnici1, avšak pokud e 1 = [0, 1] a e 2 = [1, 0], potom má tentýž vektor první souřadnici 2.Následující věta říká, že souřadnice daného vektoru jsou určeny jednoznačně.Věta 11.2. Nechť E = (e 1 , . . . , e n ) je uspořádaná báze vektorového prostoru Va nechť x 1 , . . . , x n a y 1 , . . . , y n jsou souřadnice vektoru v ∈ V v bázi E. Pak x 1 == y 1 , . . . , x n = y n .

86 SouřadniceDůkaz. Nechť E = (e 1 , . . . , e n ) je báze aPakv = x 1 e 1 + . . . + x n e n = y 1 e 1 + . . . + y n e n .o = v + (−1)v = x 1 e 1 + . . . + x n e n + (−1)(y 1 e 1 + . . . + y n e n ) == (x 1 − y 1 )e 1 + . . . + (x n − y n )e n .Jelikož vektory báze jsou nezávislé, plyne odtud x 1 = y 1 , . . . , x n = y n .Souřadnice každého vektoru v ∈ V jsou v dané bázi E určeny jednoznačně.Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru, který se nazývá souřadnicovývektor a značí se [v] E.Příklad 11.3. Libovolný aritmetický vektor v = [v 1 , v 2 , v 3 ] má v báziz příkladu 10.8 souřadnicový vektorE = (e 1 , e 2 , e 3 )[v] E= [v 1 , v 2 , v 3 ].Příklad 11.4. Mnohočlen p(x) = x + 2 má v bázi P = (p 1 , p 2 ) z příkladu 10.9souřadnicový vektor [p] P= [2, 1].Příklad 11.5. Libovolná po částech lineární funkce l vektorového prostoru L 4 z příkladu10.10 má v bázi E = (φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 ) souřadnicový vektor11.2 Použití souřadnic[l] E= [︀ l( 1 4 ), l( 1 2 ), l( 3 4 ), l(1)]︀ .Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat pomocí lineárníchkombinací bázových vektorů daného vektorového prostoru, na úlohy s aritmetickýmivektory. Použijeme toho, že zobrazení, které každému vektoru přiřazuje jehosouřadnicový vektor v dané bázi E, převádí součet vektorů na součet souřadnicovýchvektorů, tedy[u + v] E= [u] E+ [v] E, (11.1)a násobení vektoru skalárem α na násobení příslušného souřadnicového vektoru,tedy[αu] E= α [u] E. (11.2)Obě rovnosti lze ověřit přímo z definice souřadnic. Například jsou-li u 1 , . . . , u n souřadnicevektoru u v bázi E=(e 1 , . . . , e n ), tedyu = u 1 e 1 + . . . + u n e n ,

11.3 Příklady 87pakodkudαu = αu 1 e 1 + . . . + αu n e n ,[αu] E= α [u] E.Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například máme-li vyjádřitnějaký vektor jako lineární kombinaci jiných vektorů nebo máme-li rozhodnout, zdaje nějaká množina vektorů nezávislá, postupujeme následovně:∙ Zvolíme si takovou bázi E daného vektorového prostoru, ve které lze všechnyvektory snadno vyjádřit.∙ Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se vyskytují v popisu problému.∙ Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou všech vektorů zasouřadnicové vektory.Postup ovšem předpokládá, že máme k dispozici vhodnou bázi, což nemusí býtvždycky splněno.11.3 PříkladyPříklad 11.6. Najděte souřadnice mnohočlenu p(x) = x 2 −1 v bázi P = (p 1 , p 2 , p 3 ),kde p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x + 1, p 3 (x) = x 2 + x + 1.Řešení.∙ Zvolíme si bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ), kde e 1 (x) = 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2 .∙ Najdeme souřadnice vektorů p, p 1 , p 2 , p 3 v bázi E. Dostaneme[p] E= [−1, 0, 1], [p 1 ] E= [1, 0, 0], [p 2 ] E= [1, 1, 0], [p 3 ] E= [1, 1, 1].∙ Řešíme soustavu[p] E= x 1 [p 1 ] E+ x 2 [p 2 ] E+ x 3 [p 3 ] E.Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu−1 = x 1 + x 2 + x 30 = x 2 + x 31 = x 3 ,která má řešení x 1 = −1, x 2 = −1, x 3 = 1.Snadno ověříme, že opravdu platí p = −p 1 − p 2 + p 3 .Příklad 11.7. Rozhodněte, zda jsou mnohočlenyzávislé nebo nezávislé.p 1 (x) = x 2 + x + 1, p 2 (x) = x 2 + 2x + 1, p 3 (x) = x 2 + x + 2

88 SouřadniceŘešení.∙ Zvolíme si stejnou bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ) jako v příkladu 11.6, tj.e 1 (x) = 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2 .∙ Najdeme souřadnice vektorů p 1 , p 2 , p 3 v bázi E. Dostaneme∙ Řešíme soustavu[p 1 ] E= [1, 1, 1], [p 2 ] E= [1, 2, 1], [p 3 ] E= [2, 1, 1].x 1 [p 1 ] E+ x 2 [p 2 ] E+ x 3 [p 3 ] E= o.Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu:x 1 + x 2 + 2x 3 = 0x 1 + 2x 2 + x 3 = 0x 1 + x 2 + x 3 = 0(11.3)Úpravou rozšířené matice soustavy dostaneme⎡ ⎤ ⎡1 1 2 01 1 1 0⎣ 1 2 1 0 ⎦r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 1 −1 01 1 1 0 r 3 − r 1 0 0 −1 0⎤⎦Odtud vidíme, že soustava (11.3) má jediné řešení x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0.Mnohočleny p 1 , p 2 , p 3 jsou tedy lineárně nezávislé.Příklady k procvičení11.1. Nalezněte souřadnice vektoru v = [2, 1, 1] vzhledem ke standardní bázi E a k báziF = {f 1 , f 2 , f 3 }, f 1 = [1, 1, 0], f 2 = [0, 1, 1], f 3 = [1, 0, 1].11.2. Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorůp 1 (x) = x 2 − x, p 2 (x) = x + 1, p 3 (x) = x 2 + 2 z P 3 .11.3. Nechť vektory u, v, w tvoří bázi vektorového prostoru V. Rozhodněte, zda následujícívektory tvoří bázi prostoru V:a) u + v, v − w, u + w,b) 2u + v + 3w, v + 2w, u − v + 7w.Klíč k příkladům k procvičení11.3. a) ne, b) ano,

89Kapitola 12Dimenze a řešení soustavVektory v rovině (prostoru) považujeme za dvourozměrné (trojrozměrné), neboťk určení každého vektoru je třeba dvou (tří) souřadnic. Jelikož počet souřadnic jestejný jako počet vektorů příslušné báze, nabízí se okamžité zobecnění rozměru (dimenze)na vektorové prostory. Než tak učiníme, ukážeme si, že všechny báze jednohovektorového prostoru mají stejný počet vektorů. Potom si ukážeme souvislost mezinovým pojmem dimenze a řešitelností obecných lineárních soustav.12.1 Dimenze vektorového prostoruVěta 12.1. Nechť V = ⟨e 1 , . . . , e n ⟩ je vektorový prostor z příkladu 9.9 a nechťf 1 , . . . , f m jsou nezávislé vektory prostoru V. Pak m ≤ n.Důkaz. Nechť platí předpoklady věty a m > n. Jelikož V = ⟨e 1 , . . . , e n ⟩ a f 1 ∈ V,lze f 1 vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze, takže vektory f 1 , e 1 , . . . , e njsou závislé podle věty 10.5. Podle téže věty však existuje k tak, že e k je lineárníkombinací vektorů f 1 , e 1 , . . . , e k−1 . Odtud snadno plyne, že každý vektor prostoru Vlze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů f 1 , e 1 , . . . , e k−1 , e k+1 , . . . , e n .Jestliže tento postup zopakujeme s tím, že vezmeme v úvahu nezávislost vektorůf 1 a f 2 , ukáže se, že každý vektor prostoru V lze vyjádřit jako kombinaci f 1 , f 2a některých n − 2 vektorů vybraných z původní báze (e 1 , . . . , e n ).Kdyby m > n, dostali bychom výše uvedeným postupem po vyškrtání všech nvektorů báze (e 1 , . . . , e n ), že každý vektor prostoru V lze vyjádřit pomocí vektorůf 1 , . . . , f n . Tak bychom však mohli vyjádřit f n+1 jako kombinaci f 1 , . . . , f n , což je vesporu s předpokladem, že f 1 , . . . , f m jsou nezávislé. Platí tedy m ≤ n.Z právě dokázané věty ihned plyne, že je-li (e 1 , . . . , e n ) báze prostoru V a jsou-lif 1 , . . . , f m nezávislé, pak m ≤ n. Má-li tedy nějaký vektorový prostor V bázi, pakpočet vektorů této báze je maximálním počtem nezávislých vektorů prostoru Va počet vektorů v různých bázích téhož vektorového prostoru je stejný.

90 Dimenze a řešení soustavDefinice 12.2. Maximální počet nezávislých vektorů vektorového prostoru V nazývámedimenzí prostoru V a značíme ji dim V. Má-li vektorový prostor bázi, jejeho dimenze rovna počtu vektorů báze a mluvíme o konečněrozměrném prostoru.Podle naší definice platí dim{o} = 0. Nemá-li nenulový vektorový prostorbázi, mluvíme o nekonečněrozměrném prostoru.Nový pojem dimenze je v souladu s pojmem dimenze, který jsme si zavedli proaritmetické vektory, neboť vektory e 1 = [1, 0, . . . , 0], . . . , e n = [0, . . . , 0, 1] tvoří báziprostoru n-rozměrných aritmetických vektorů. Pojem dimenze nemusí však být plněv souladu s naší intuicí. Například komplexní prostor V = C je jednorozměrný, neboťjeho bázi tvoří jakékoliv nenulové číslo.12.2 Dimenze a vyjádření vektoru jako lineárníkombinaceS pomocí pojmu dimenze lze popsat řešitelnost úlohy nalézt vyjádření vektoru jakolineární kombinace jiných vektorů.Věta 12.3. Nechť b, a 1 , . . . , a k jsou vektory vektorového prostoru V. Označme siA = {a 1 , . . . , a k }. Pak platí následující tvrzení:(i) Vektor b lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a 1 , . . . , a k , právě kdyždim ⟨b, a 1 , . . . , a k ⟩ = dim ⟨A⟩ . (12.1)(ii) Jestliže platí (12.1) a A je nezávislá množina vektorů, pak lze vektor b vyjádřitjediným způsobem jako lineární kombinaci vektorů a 1 , . . . , a k .(iii) Jestliže platí (12.1) a A je závislá množina vektorů, pak lze vektor b vyjádřitnekonečně mnoha způsoby jako lineární kombinaci vektorů a 1 , . . . , a k . V tétokombinaci lze zvolit některých d = k − dim ⟨A⟩ koeficientů libovolně.Důkaz.(i) Jestliže a 1 = . . . = a k = o, je tvrzení triviální. Předpokládejme tedy, že některýz vektorů a 1 , . . . , a k je různý od nuly. Pak postupným vyškrtáváním vektorů,které jsou kombinací ostatních, vybereme z a 1 , . . . , a k nějakou bázi E prostoru⟨A⟩. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že E = (a 1 , . . . , a s ). Jestližeb nelze vyjádřit jako kombinaci vektorů báze E, pak (b, a 1 , . . . , a s ) tvoří bázi⟨b, a 1 , . . . , a k ⟩ a platídim ⟨b, a 1 , . . . , a k ⟩ = s + 1 ≠ s = dim ⟨A⟩ .

12.3 Řádkový prostor a řádková hodnost 91Naopak, jestliže b lze vyjádřit jako kombinaci a 1 , . . . , a s , pak E je báze ⟨A⟩i ⟨b, a 1 , . . . , a k ⟩ a platídim ⟨A⟩ = s = dim ⟨b, a 1 , . . . , a k ⟩ .(ii) Jestliže platí (12.1) a A je nezávislá množina vektorů, pak (a 1 , . . . , a k ) tvoříbázi ⟨A⟩ a podle (i) lze vektor b vyjádřit jako lineární kombinaci vektorůa 1 , . . . , a k . Podle věty 11.2 jsou koeficienty lineární kombinace určeny jednoznačně.(iii) Nechť platí (12.1). Předpokládejme opět, že E = (a 1 , . . . , a s ) tvoří bázi ⟨A⟩a s < k. Podle (i) platí b ∈ ⟨A⟩, takže pro libovolné ξ s+1 , . . . , ξ k platí takéExistuje tedy ξ 1 , . . . , ξ s tak, žeb − ξ s+1 a s+1 − . . . − ξ k a k ∈ ⟨A⟩ .b − ξ s+1 a s+1 − . . . − ξ k a k = ξ 1 a 1 + . . . + ξ s a s .Vektor b lze tedy vyjádřit ve tvarub = ξ 1 a 1 + . . . + ξ k a ks libovolnými ξ s+1 , . . . , ξ k . Počet těchto koeficientů splňujed = k − s = k − dim ⟨A⟩ .Právě dokázaná věta obsahuje odpověď na otázku, kdy má soustava lineárníchrovnic řešení, kdy má jediné řešení a kdy má nekonečně mnoho řešení, a to v termínechdimenze lineárních obalů sloupců matice soustavy a pravé strany. Stačí siza vektory a i dosadit sloupce s A i matice soustavy A a za b dosadit vektor pravéstrany. Věta však nedává nijaký návod, jak dimenzi prostoru sloupců zjistit. To jepředmětem následujících odstavců.12.3 Řádkový prostor a řádková hodnostDůležitým krokem k lepšímu pochopení otázek řešitelnosti rovnic je současné studiumobalů řádků i sloupců matice soustavy. Tento postup nám umožní zejménavyužít známou techniku elementárních řádkových operací.Zde se budeme zabývat lineárním obalem R(A) = ⟨︀ r A 1 , . . . , r A m⟩︀řádků rAi danématice A typu (m, n), který nazýváme řádkovým prostorem matice A. Zejménasi všimneme, že R(A) se nemění elementárními řádkovými operacemi, a proto platínásledující věta.

92 Dimenze a řešení soustavVěta 12.4. Nechť matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. PakR(A) = R(B).Dimenze R(A) se nazývá též řádková hodnost matice A, elementární řádkovéoperace ji nemění a snadno ji určíme ze schodového tvaru matice A, neboť početnenulových řádků matice ve schodovém či normovaném schodovém tvaru je zřejměroven její řádkové hodnosti.Příklad 12.5. Určete řádkovou hodnost matice⎡⎤1 −1 1 1A = ⎣ 1 0 −1 1 ⎦0 1 −2 0Řešení. Elementárními řádkovými úpravami dostaneme postupně⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 −1 1 11 −1 1 11 −1 1 1 1 + r 2⎣ 1 0 −1 1 ⎦r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 1 −2 0 ↦→ ⎣ 0 1 −2 0 ⎦r↦→0 1 −2 00 1 −2 0⎦r 3 − r 2 0 0 0 0⎡⎤1 0 −1 1↦→ ⎣ 0 1 −2 0 ⎦0 0 0 0Řádková hodnost matice A je tedy rovna dvěma.Poznámka. V příkladu jsme matici upravili až na normovaný schodový tvar, abybylo vidět zcela triviálně, že nenulové řádky jsou nezávislé. Je však zřejmé, že jsmese mohli spokojit i se schodovým tvarem matice.12.4 Sloupcová hodnost maticeNyní se budeme zabývat lineárním obalem S(A) = ⟨︀ ⟩︀s A 1 , . . . , s A n sloupců dané maticeA typu (m, n), který se také nazývá sloupcový prostor matice A. Dimenze S(A)se nazývá sloupcová hodnost matice A.Co se dá říct o sloupcové hodnosti matice, která vznikla z dané matice pomocíelementárních řádkových úprav? Odpověď je o něco komplikovanější než u řádkovýchprostorů. Porovnáme-li totiž například matici⎡A = ⎣1 −1 1 11 0 −1 10 1 −2 0z příkladu 12.5 s jejím normovaným schodovým tvarem⎡⎤1 0 −1 1B = ⎣ 0 1 −2 0 ⎦ , (12.2)0 0 0 0⎤⎦

12.5 Hodnost a řešitelnost soustav 93zjistíme, že sloupcové prostory obou matic jsou různé, neboť například s A 2Přesto platí následující věta.∉ S(B).Věta 12.6. Nechť matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. Pakdim S(A) = dim S(B).Důkaz. Jestliže matice A a B typu (m, n) jsou řádkově ekvivalentní, pak jsou takérozšířené matice [︀ A o ]︀ a [︀ B o ]︀ řádkově ekvivalentní. Odtud podle věty 2.2právě kdyžx 1 s A 1 + . . . + x n s A n = o,x 1 s B 1 + . . . + x n s B n = o.Zde vidíme, že sloupce s A i 1, . . . , s A i kjsou nezávislé, právě když sloupce s B i 1, . . . , s B i kjsounezávislé.Důkaz nám ukazuje, jak nalézt bázi sloupcového prostoru dané matice A. U maticeve schodovém tvaru je báze zřejmě tvořena sloupci obsahujícími vedoucí prvkyřádků a sloupce matice A s týmiž indexy tvoří pak bázi S(A).Příklad 12.7. Báze sloupcového prostoru matice B z (12.2) je tvořena sloupciPrvní dva sloupce⎡s B 1 = ⎣⎡s A 1 = ⎣100110⎤⎡⎦ , s B 2 = ⎣⎤⎦ , s A 2 = ⎣matice A proto tvoří bázi S(A), neboť A a B jsou řádkově ekvivalentní.⎡010−101⎤⎦ .⎤⎦ ,12.5 Hodnost a řešitelnost soustavHlavním důsledkem vět 12.4 a 12.6 je to, že řádková hodnost matice se rovná sloupcovéhodnosti matice. Věty totiž říkají, že elementární řádkové operace zachovávajíobě hodnosti, a pro matice v normovaném schodovém tvaru je rovnost řádkovéa sloupcové hodnosti matice zřejmá. Budeme proto mluvit stručně o hodnosti matice.Hodnost matice A budeme značit h(A).Nyní můžeme zformulovat hlavní výsledek o řešitelnosti lineárních soustav, kterýse nazývá Frobeniova věta.

94 Dimenze a řešení soustavVěta 12.8 (Frobeniova). Nechť A je matice typu (m, n) a nechť b je m-rozměrnýsloupcový vektor. Potom platí následující tvrzení:(i) Soustavamá řešení, právě kdyžAx = b (12.3)h(A) = h (︀[︀ A b ]︀)︀ . (12.4)(ii) Jestliže platí (12.4) ah(A) = n,potom má soustava (12.3) jediné řešení.(iii) Jestliže platí (12.4) ah(A) < n,potom má soustava (12.3) nekonečně mnoho řešení. V řešení lze zvolit některýchd = n − h(A)složek libovolně.Důkaz. Věta je speciálním případem věty 12.3 pro a i = s A i . Ukázali jsme také, žedimenze sloupcových prostorů můžeme nahradit hodnostmi.12.6 Hodnost a regularitaPojem hodnosti nám umožňuje zformulovat novou charakteristiku regulární matice.Věta 12.9. Čtvercová matice A řádu n je regulární, právě kdyžh(A) = n.Důkaz. Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže A má hodnost n, potom podlevěty 12.8 má každá soustava Ax = s I k jediné řešení, takže i soustava AX=I májediné řešení. Podle věty 6.3 je proto matice A regulární.Obráceně, jestliže A je regulární, potom pro libovolný sloupcový vektor y a x == A −1 y platíy = AA −1 y = A(A −1 y) = Ax = x 1 s A 1+ . . . + x n s A n,takže A má sloupcovou hodnost n.

12.7 Hodnost matice a počítačová aritmetika 9512.7 Hodnost matice a počítačová aritmetikaPojem hodnosti předpokládá přesnou aritmetiku, neboť nepatrná změna maticemůže způsobit změnu její hodnosti. Například matice[︂]︂ [︂]︂1 11 1A =10 −99 10 −99 a B =10 −98 10 −99se liší jen velmi málo, avšak h(A) = 1 a h(B) = 2. Pokud jsou koeficienty maticevýsledkem měření, nemá proto často vůbec smysl hovořit o hodnosti matice. Protakové aplikace, stejně jako pro počítačové řešení soustav, byla proto vypracovánateorie založená na jiných pojmech, se kterou se seznámíme později. Poznamenejmeještě, že při zjišťování hodnosti na počítači je nutno vyhnout se zaokrouhlovacímchybám.Příklady k procvičení12.1. Určete hodnost matice⎡A = ⎣1 −1 1 11 0 −1 13 −2 1 3⎤⎦ .12.2. Nalezněte libovolnou bázi sloupcového prostoru S(A) matice A z příkladu 12.5.12.3. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic:x 1 + 2x 2 − x 3 = 0x 1 − x 2 + 3x 3 = 0.Ověřte, že množina M všech řešení této soustavy je vektorový podprostor prostoru R 3 .Určete dim M a najděte alespoň jednu bázi vektorového prostoru M.12.4. Najděte bázi a dimenzi vektorového prostoru V, kdeV = {x = [x 1 , x 2 , x 3 ] ⊤ ∈ R 3 : 2x 1 + x 2 − x 3 = 0, x 1 − x 2 − x 3 = 0}.Klíč k příkladům k procvičení12.3. dimenze je 1, bázi tvoří např. vektor [−5, 4, 3]12.4. dimenze je 1, bázi tvoří např. vektor [0, 1, 1]

96Část IIILineární a multilineární zobrazení

97Kapitola 13Lineární zobrazeníŘadu fyzikálních zákonů či přibližných experimentálních závislostí lze z matematickéhohlediska charakterizovat jako přímou úměrnost. Například Ohmův zákon říká,že proud I je při konstantním odporu R přímo úměrný napětí U, což můžeme zapsatve tvaruI(U) = 1 R U.Snadno si ověříme, že funkce I zobrazuje součet argumentů na součet jejich obrazůa skalární násobek argumentu na příslušný násobek jeho obrazu, tak jako funkce fna obr. 13.1. To však je vlastnost, která má smysl pro zobrazení jakéhokoliv vektorovéhoprostoru do jiného vektorového prostoru. Zde se seznámíme se základnímivlastnostmi těchto speciálních zobrazení, která mají velký význam v matematice,fyzice, inženýrství, společenských vědách i v ekonomii.yαf(u)y=f(x)f(u)+ f(v)f(v)f(u)u v u+v αu xObr. 13.1: Lineární zobrazení.

98 Lineární zobrazení13.1 Definice a příklady lineárních zobrazeníDefinice 13.1. Nechť U, V jsou vektorové prostory. Zobrazení A : U → V senazývá lineární zobrazení (operátor), jestliže pro každé dva vektory u, v ∈ Ua skalár α platí:A(u + v) = A(u) + A(v)A(αu) = αA(u)Lineární zobrazení U → U se často nazývá lineární transformace. Množinuvšech lineárních zobrazení vektorového prostoru U do vektorového prostoru Vbudeme značit L(U, V). Místo L(U, U) budeme psát stručně L(U). V některýchaplikacích jsou důležité lineární zobrazení vektorového prostoru U do R, které senazývají lineární formy nebo lineární funkcionály.Příklad 13.2. Funkce y = ax je lineární transformace R pro libovolné pevně zvolenéa ∈ R, neboťa(u + v) = au + av a a(αu) = αaupro libovolná čísla u, v a α.Příklad 13.3. Funkce f : y = 2x + 1 není lineární transformace R, neboťf(2 + 2) = f(4) = 9 ≠ 10 = f(2) + f(2).Příklad 13.4. Je-li A libovolná reálná m × n matice, R n,1 (R m,1 ) prostor všechsloupcových aritmetických vektorů dimenze n(m), pak jeA : R n,1 ∋ x ↦→ Ax ∈ R m,1lineární zobrazení, neboť pro libovolné vektory x a y platí podle (5.2)A(x + y) = Ax + Ay a A(αx) = αAx.Příklad 13.5. ZobrazeníD : P ∋ p ↦→ p ′ ∈ P,které každému mnohočlenu p přiřadí jeho derivaci p ′ , je lineární zobrazení prostoruvšech mnohočlenů P do sebe, neboť pro libovolné reálné mnohočleny p, q, skalár αa reálné x platí(︀p(x) + q(x))︀ ′= p ′ (x) + q ′ (x)a(︀αp(x))︀ ′= αp ′ (x).

13.2 Elementární vlastnosti lineárního zobrazení 9913.2 Elementární vlastnosti lineárního zobrazeníNechť U, V jsou vektorové prostory. Z definice 13.1 bezprostředně plyne, že prolibovolné lineární zobrazení A ∈ L(U, V) a v ∈ U platíA(o) = A(0 · o) = 0 · A(o) = oA(−v) = A (︀ (−1) · v )︀ = (−1) · A(v) = −A(v).Jestliže A ∈ L(U, V), pak pro libovolné skaláry α 1 , . . . , α n a vektory v 1 , . . . , v nprostoru U platíneboťA(α 1 v 1 + . . . + α n v n ) = α 1 A(v 1 ) + . . . + α n A(v n ),A(α 1 v 1 + . . . + α n v n ) = A (︀ α 1 v 1 + (α 2 v 2 + . . . + α n v n ) )︀ == A(α 1 v 1 ) + A(α 2 v 2 + . . . + α n v n ) == α 1 A(v 1 ) + A(α 2 v 2 + . . . + α n v n ) = · · · == α 1 A(v 1 ) + . . . + α n A(v n ).Z této rovnosti je vidět důležitou vlastnost lineárních zobrazení definovaných naprostorech konečné dimenze, a to že jsou úplně určeny obrazy vektorů libovolnébáze, tedy obrazy konečného počtu vektorů.13.3 Nulový prostor a obor hodnotDefinice 13.6. Nechť U, V jsou vektorové prostory a nechť A ∈ L(U, V). Paknulový prostor (jádro) N (A) zobrazení A je množina vzorů o, t.j.N (A) = {u ∈ U : A(u) = o}.Jestliže u, v ∈ N (A), t.j. A(u) = o, A(v) = o, a je-li α je libovolný skalár, pakplatíA(u + v) = A(u) + A(v) = o a A(αu) = αA(u) = o,takže N (A) je podprostorem U.Obdobnou vlastnost má i obor hodnot H(A) lineárního zobrazení A. Jestližeu = A(x), v = A(y) a α je skalár, paku + v = A(x) + A(y) = A(x + y) a αu = αA(x) = A(αx),takže H(A) je podprostorem vektorového prostoru V.

100 Lineární zobrazeníPomocí nulového prostoru můžeme popsat strukturu řešení abstraktní operátorovérovnice.Věta 13.7. Nechť U, V jsou vektorové prostory, nechť A ∈ L(U, V) a nechťA(x 0 ) = b. Potom libovolné řešení x rovniceA(x) = blze zapsat ve tvaru x = x 0 + n, kde n ∈ N (A).Důkaz. Nechť A(x) = b. Potom platíA(x − x 0 ) = A(x) − A(x 0 ) = b − b = o,takže vektor n = x − x 0 patří do jádra N (A) a x = x 0 + n.Důsledek 13.8. Lineární zobrazení A je prosté, právě když N (A) = {o}.Máme-li tedy rozhodnout, zda je dané lineární zobrazení prosté, stačí vyšetřitvzor nulového vektoru. Je to zvláštní vlastnost lineárního zobrazení, neboť u obecnéhozobrazení by bylo nutno vyšetřit vzory všech vektorů v oboru hodnot.13.4 Hodnost a defekt zobrazeníDefinice 13.9. Nechť U, V jsou vektorové prostory konečné dimenze a nechťA ∈ L(U, V). Pak hodnost h(A) zobrazení A definujeme jako dimenzi H(A)a defekt d(A) zobrazení A definujeme jako dimenzi N (A).Věta 13.10. Nechť U, V jsou vektorové prostory konečné dimenze a nechť A ∈∈ L(U, V). Potomh(A) + d(A) = dim(U). (13.1)Důkaz. V důkazu se musíme především vypořádat se skutečností, že N (A) a H(A)mohou být podprostory různých prostorů.Nechť (h 1 , . . . , h m ) je báze H(A) a nechť (n 1 , . . . , n k ) je báze N (A). Označme siv 1 , . . . , v m libovolné vzory h 1 , . . . , h m , takže platíA(v 1 ) = h 1 , . . . , A(v m ) = h m .Ukážeme, že vektory (v 1 , . . . , v m , n 1 , . . . , n k ) tvoří bázi U.Nechť platíξ 1 v 1 + . . . + ξ m v m + η 1 n 1 + . . . + η k n k = o (13.2)

13.4 Hodnost a defekt zobrazení 101Pak takéA(ξ 1 v 1 + . . . + ξ m v m + η 1 n 1 + . . . + η k n k ) = o,takže s využitím linearity A a definice vektorů v i a n i dostanemeξ 1 h 1 + . . . + ξ m h m = o.Jelikož vektory (h 1 , . . . , h m ) tvoří podle předpokladu bázi H(A), jsou nezávislé,takže ξ 1 = ξ 2 = · · · = ξ m = 0. Po dosazení do (13.2) tedy platíη 1 n 1 + . . . + η k n k = o.Poněvadž jsou vektory n 1 , . . . , n k také nezávislé, plyne odtud η 1 = . . . = η k = 0.Vektory v 1 , . . . , v m , n 1 , . . . , n k jsou tedy nezávislé.Nechť nyní x ∈ U je libovolný vektor. Pak A(x) ∈ H(A) a existuje ξ 1 , . . . , ξ mtak, že platíA(x) = ξ 1 h 1 + . . . + ξ m h m .Označme siy = ξ 1 v 1 + . . . + ξ m v m ,takže A(y) = A(x), a zapišme si x ve tvarux = y + (x − y).JelikožA(x − y) = A(x) − A(y) = o,platí x − y ∈ N (A) a tedyVektor x lze potom vyjádřit ve tvarux − y = η 1 n 1 + . . . + η k n k .x = ξ 1 v 1 + . . . + ξ m v m + η 1 n 1 + . . . + η k n k .Vektory (v 1 , . . . , v m , n 1 , . . . , n k ) tedy tvoří bázi U, takže platí m + k = dim(U), t.j.h(A) + d(A) = dim(U).Důsledek 13.11. Lineární transformace A : V → V definovaná na vektorovémprostoru konečné dimenze V je zobrazení na V, právě když A je prosté zobrazení.

102 Lineární zobrazení13.5 Součet zobrazení a násobení skaláremDefinice 13.12. Nechť U a V jsou libovolné vektorové prostory. Pro libovolnázobrazení A, B ∈ L(U, V) a skalár α můžeme definovat součet zobrazení A + Bpředpisem(A + B)(u) = A(u) + B(u)a součin skaláru a zobrazení αA předpisem(αA)(u) = α (︀ A(u) )︀ .Snadno se ověří, že A + B i αA jsou lineární zobrazení. Například(A + B)(αu) = A(αu) + B(αu) = α (︀ A(u) )︀ + α (︀ B(u) )︀ = α (︀ A(u) + B(u) )︀ == α (︀ (A + B)(u) )︀ .Také nulové zobrazení O ∈ L(U, V), které každému u ∈ U přiřazuje nulovýprvek o prostoru V, je lineární, neboť napříkladO(u + v) = o = o + o = O(u) + O(v).Snadno lze ukázat, že L(U, V) tvoří vzhledem k právě definovanému sčítání zobrazenía násobení zobrazení skalárem vektorový prostor, jehož nulový prvek je právědefinované nulové zobrazení.13.6 Skládání lineárních zobrazeníDefinice 13.13. Nechť U, V a W jsou vektorové prostory a nechť A : U ↦→ Va B : V ↦→ W jsou zadaná lineární zobrazení. Pak lze definovat složené zobrazení(součin zobrazení) BA : U ↦→ W předpisem(BA)(u) = B (︀ A(u) )︀ .Pořadí, ve kterém se zapisují faktory složeného zobrazení, je důležité a opačnék pořadí, ve kterém se definiční výraz vyhodnocuje. To naznačuje určitou nevhodnostzvyku psát argument do závorky za označení zobrazení.Složené zobrazení je také lineární, neboť:(BA)(αu) = B (︀ A(αu) )︀ (︁= B α (︀ A(u) )︀)︁ = α(︁B (︀ A(u) )︀)︁ = α (︀ (BA)(u) )︀(BA)(u + v) = B (︀ A(u + v) )︀ = B (︀ A(u) + A(v) )︀ = B (︀ A(u) )︀ + B (︀ A(v) )︀ == (BA)(u) + (BA)(v)

13.7 Mnohočleny v lineárních transformacích 103Pro skládání zobrazení lze odvodit obdobné vztahy jako rovnosti (5.9) a (5.10)pro násobení matic. Je-li α libovolný skalár a jsou-li A, B, C libovolná lineární zobrazení,pro která mají následující výrazy smysl, potomA(αB) = α(AB) = (αA)BA(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BCA(BC) = (AB)C(13.3a)(13.3b)(13.3c)(13.3d)13.7 Mnohočleny v lineárních transformacíchJelikož skládání zobrazení je podle (13.3d) asociativní, můžeme při skládání zobrazenívynechat závorky. Pro libovolnou lineární transformaci A : U → U a kladnécelé číslo m tak můžeme definovat mocninu lineární transformace předpisempřičemž platíA m = AA · · · A ⏟ ⏞mA m+n = A m A n .Poznamenejme, že pro dvě lineární transformace A a B vektorového prostoru U dosebe nemusí platit (AB) m = A m B m .Snadno se ověří, že identita I definovaná na prostoru U je lineární a pro libovolnéA ∈ L(U) splňujeAI = IA = A.Jestliže p je libovolný mnohočlen definovaný vztahemp(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ,pak můžeme pro každé A ∈ L(U) definovatp(A) = a 0 I + a 1 A + . . . + a n A n .Jestliže D je například derivace na prostoru P všech mnohočlenů a p(x) = x 2 − 1,pakp(D) = D 2 − I,takže pro každý mnohočlen q ∈ P platíp(D)(q) = q ′′ − q.Všechna pravidla pro úpravu mnohočlenů jedné proměnné platí i pro mnohočlenyjedné lineární transformace, neboť jsou odvozeny ze vztahů, které platí pro čísla i prolineární transformace. Tak například z rovnostix 2 − 1 = (x − 1)(x + 1)

104 Lineární zobrazenídostaneme po dosazení D za x rovnostkterou si můžeme ověřit rozepsánímD 2 − I = (D − I)(D + I),(D − I)(D + I)(p) = (D − I) (︀ (D + I)p )︀ = (D − I)(p ′ + p) == (p ′ + p) ′ − (p ′ + p) = p ′′ − p = (D 2 − I)(p).13.8 Princip superpozice a inverze lineárních zobrazeníMnoho technických problémů lze zformulovat jako úlohu najít pro dané lineárnízobrazení A : U → V a pro b ∈ V vektor x ∈ U tak, aby platiloA(x) = b. (13.4)Například úlohu najít neznámé potenciály v 1. kapitole můžeme zapsat ve tvarukdex =[︂x1x 2]︂, b =[︂ 0]︂−10A(x) = b,a A(x) =[︂ ]︂ [︂ ]︂−2 1 x1.1 −3 x 2Obdobně lze zapsat podmínky pro průhyb y struny zatížené silou s jednotkovouhustotou, nataženou jednotkovou silou a uchycenou v bodech o souřadnicích 0 a 1jako úlohu najít mnohočlen y tak, aby platilo:−y ′′ (x) = 1 pro x ∈ (0, 1) (13.5a)y(0) = y(1) = 0(13.5b)Označíme-li si P prostor všech reálných mnohočlenů, P 0 jeho podprostor, do kteréhopatří všechny mnohočleny p, které splňují p(0) = p(1) = 0, a položíme-li b(x) = 1,pak b ∈ P a zobrazení definované předpisemA(p) = −p ′′je lineární zobrazení patřící do L(P 0 , P). Úloha najít mnohočlen y tak, aby platilo(13.5) je tedy ekvivalentní úloze najít y ∈ P 0 tak, abyA(y) = b.Předpokládejme nyní, že známe například řešení x 1 a x 2 rovnice (13.4) pro dvěpravé strany b 1 a b 2 , tedy že platíA(x 1 ) = b 1 a A(x 2 ) = b 2 ,

13.9 Příklady 105a že navíc platí b = b 1 + b 2 . Pak můžeme určit řešení x rovnice (13.4) pouhýmsečtením x 1 a x 2 , neboť pro x = x 1 + x 2 platíA(x) = A(x 1 + x 2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ) = b 1 + b 2 = b.Tomuto jednoduchému důsledku vlastností lineárních zobrazení se říká princip superpozice.V našich příkladech lze najít fyzikální interpretaci principu superpozice pro oběúlohy. Stačí si uvědomit, že například u první úlohy je v pravé straně uchována informaceo zdroji proudu a že neznámé jsou potenciály. Princip superpozice vyjadřujetaké následující tvrzení.Věta 13.14. Nechť A : U → V je vzájemně jednoznačné lineární zobrazení vektorovéhoprostoru U na vektorový prostor V. Pak existuje A −1 , které je rovněž lineárnízobrazení.Důkaz. Inverzní zobrazení A −1 existuje pro každé vzájemně jednoznačné zobrazení.Nechť u = A(x), v = A(y), tedy x = A −1 (u) a y = A −1 (v), a nechť α je libovolnýskalár. PotomA −1 (u + v) = A −1(︀ A(x) + A(y) )︀ = A −1(︀ A(x + y) )︀ = x + y == A −1 (u) + A −1 (v),A −1 (αu) = A −1(︀ αA(x) )︀ = A −1(︀ A(αx) )︀ = αx = αA −1 (u).13.9 PříkladyPříklad 13.15. Rozhodněte, zda-li zobrazení A : R 3 → R 2 definované předpisemje lineární.Řešení.A ([x 1 , x 2 , x 3 ]) = [x 1 − x 2 , x 2 + x 3 ]a) (︀ ∀u, v ∈ R 3)︀ : A (u + v) = A (u) + A (v) Zvolme u = [u 1 , u 2 , u 3 ], v = [v 1 , v 2 , v 3 ].PakA (u + v) = A ([u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 ]) == [(u 1 + v 1 ) − (u 2 + v 2 ) , (u 2 + v 2 ) + (u 3 + v 3 )] == [u 1 − u 2 + v 1 − v 2 , u 2 + u 3 + v 2 + v 3 ] == [u 1 − u 2 , u 2 + u 3 ] + [v 1 − v 2 , v 2 + v 3 ] = A (u) + A (v)

106 Lineární zobrazeníb) (︀ ∀α ∈ R )︀(︀ ∀u ∈ R 3)︀ : A (αu) = αA (u)A (αu) = A ([αu 1 , αu 2 , αu 3 ]) = [(αu 1 ) − (αu 2 ) , (αu 2 ) + (αu 3 )] == [α (u 1 − u 2 ) , α (u 2 + u 3 )] = α [u 1 − u 2 , u 2 + u 3 ] = αA (u)Z a) a b) tedy vyplývá, že zobrazení A je lineární.Příklad 13.16. Rozhodněte, zda-li zobrazení D : P 3 → P 2 definované předpisemje lineární.D (p) = 2ax + b, ∀p ∈ P 3 : p (x) = ax 2 + bx + cŘešení.a) (︀ ∀p, q ∈ P 3)︀: D (p + q) = D (p) + D (q)Zvolme p (x) = ax 2 + bx + c, q = dx 2 + ex + f. PakD (p + q) = D (︀ (a + d) x 2 + (b + e) x + (c + f) )︀ = 2 (a + d) x + (b + e) == 2ax + b + 2dx + e = D (p) + D (q)b) (︀ ∀α ∈ R )︀(︀ ∀p ∈ P 3)︀: D (αp) = αD (p)D (αp) = D (︀ (αa) x 2 + (αb) x + (αc) )︀ = 2 (αa) x + (αb) == α (2ax + b) = αD (p)Z a) a b) tedy vyplývá, že zobrazení D je lineární.Příklad 13.17. Je dáno lineární zobrazení A : R 3 → R 2 definované předpisyA ([1, 1, 0]) = [1, 2] ,A ([0, 1, 1]) = [1, 1] ,A ([1, 0, 1]) = [−1, 0] .a) Určete obraz A ([2, 1, −1]).b) Určete takové x ∈ R 3 , aby A (x) = [3, −1].Řešení.a) A ([2, 1, −1]) =?Jelikož, jsou dány obrazy báze R 3 , můžeme nalézt takové α 1 , α 2 , α 3 , že[2, 1, −1] = α 1 [1, 1, 0] + α 2 [0, 1, 1] + α 3 [1, 0, 1][2, 1, −1] = [α 1 + α 3 , α 1 + α 2 , α 2 + α 3 ]Odtud dostáváme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých:α 1 + α 3 = 2α 1 + α 2 = 1α 2 + α 3 = −1

13.9 Příklady 107kterou řešíme Gaussovou eliminační metodou⎡⎤⎡1 0 1 2⎣ 1 1 0 1 ⎦ r 2 − r 1 ↦→ ⎣0 1 1 −1⎡↦→ ⎣1 0 1 20 1 −1 −10 0 2 0Podle předchozí věty pak můžeme psát⎤⎦1 0 1 20 1 −1 −10 1 1 −1α 1 = 2α 2 = −1α 3 = 0⎤⎦r 3 − r 2A ([2, 1, −1]) = A (α 1 [1, 1, 0] + α 2 [0, 1, 1] + α 3 [1, 0, 1]) == α 1 A ([1, 1, 0]) + α 2 A ([0, 1, 1]) + α 3 A ([1, 0, 1]) == α 1 [1, 2] + α 2 [1, 1] + α 3 [−1, 0] == 2 [1, 2] + (−1) [1, 1] + 0 [−1, 0] = [1, 3] .Vektor [2, 1, −1] se tedy zobrazí na vektor [1, 3], tj. A ([2, 1, −1]) = [1, 3].b) x ∈ R 3 , x =?, A (x) = [3, −1]Zkusíme tedy zjistit, zda-li se dá vektor [3, −1] vyjádřit jako kombinace obrazů,pro které máme předepsáno zobrazení.Dostáváme tedy soustavu 2 rovnic o 3 neznámýchα 1 + α 2 − α 3 = 32α 1 + α 2 = −1Soustavu řešíme Gaussovou eleminační metodou:[︂ ]︂[︂ ]︂1 1 −1 31 1 −1 3↦→2 1 0 −1 r 2 − 2r 1 0 −1 2 −7Volíme α 3 = t, t ∈ R a dostáváme α 2 = 7 + 2t, α 1 = −4 − t.Vektor [3, −1] lze tedy vyjádřit jako lineární kombinaci obrazů. Kdyby tomu taknebylo, pak by vektor [3, −1] nepatřil do oboru hodnot a pak by neexistoval žádnývektor x ∈ R 3 , takový, že A (x) = [3, −1].Každopádně můžeme psáta tedy[3, −1] = (−4 − t) [1, 2] + (7 + 2t) [1, 1] + t [−1, 0] , ∀t ∈ RA (x) = (−4 − t) A ([1, 1, 0]) + (7 + 2t) A ([0, 1, 1]) + tA ([1, 0, 1]) == A ((−4 − t) [1, 1, 0] + (7 + 2t) [0, 1, 1] + t [1, 0, 1]) == A ([−4, 3 + t, 7 + 3t]) , ∀t ∈ R.Odtud tedy dostáváme, že A (x) = [3, −1] pro x = [−4, 3 + t, 7 + 3t], ∀t ∈ R.Na vektor [3, −1] se tedy zobrazí celá množina vektorů{x ∈ R 3 : x = [−4, 3 + t, 7 + 3t] , ∀t ∈ R} == {x ∈ R 3 : x = [−4, 3, 7] + [0, 1, 3] t, ∀t ∈ R}↦→

108 Lineární zobrazeníPříklady k procvičení13.1. Nechť F je vektorový prostor všech reálných funkcí z příkladu 9.3. Ověřte, že zobrazení,které každé funkci f ∈ F přiřazuje f(0) ∈ R, je lineární funkcionál.13.2. Nechť V je vektorový prostor dimenze n. Dokažte s pomocí věty 13.10, že defektjakéhokoliv lineárního funkcionálu definovaného na V je roven n − 1.13.3. Ověřte rovnosti (13.3).13.4. Je dáno lineární zobrazení A : R 2 → R 2 definované předpisy:A([1, −1]) = [2, 3], A([−1, −1]) = [1, 2]. Určete obraz vektoru [5, 1], tj. A([5, 1]).13.5. Je dána lineární transformace A : R 3 → R 3 definovaná předpisyA([1, 1, 0] ⊤ ) = [1, −1, 1] ⊤ , A([1, 1, 1] ⊤ ) = [1, 0, 1] ⊤ , A([0, 1, 0] ⊤ ) = [0, −1, 0] ⊤ .a) Nalezněte jádro a určete jeho dimenzi.b) Nalezněte obor hodnot a určete jeho dimenzi.Klíč k příkladům k procvičení13.4. [1, 0]13.5. a) N (A) = ⟨[0, 1, 1] ⊤ ⟩, dim N (A) = 1b) H(A) = ⟨[1, 0, 1] ⊤ , [0, −1, 0] ⊤ ⟩, dim H(A) = 2

109Kapitola 14Lineární zobrazení a maticeV této kapitole se budeme věnovat lineárním zobrazením prostorů aritmetických vektorů,která jsou definována pomocí součinu matice a vektoru tak jako v příkladu 13.4.Ukážeme si, že tak lze představit nejen každé lineární zobrazení prostoru aritmetickýchvektorů, ale s pomocí souřadnic dokonce každé lineární zobrazení vektorovýchprostorů konečné dimenze. Nové pojmy také využijeme k alternativní prezentaciteorie řešitelnosti soustav lineárních rovnic.14.1 Maticový zápis lineárních zobrazení R m doR nJak lze popsat všechna lineární zobrazení R m do R n ? Nechť S = (s I 1, . . . , s I m) jestandardní báze prostoru R m,1 všech sloupcových aritmetických vektorů dimenze m,která je tvořena sloupci jednotkové matice I m . Nechť A : R m,1 → R n,1 je libovolnélineární zobrazení a nechť obrazy sloupcových vektorů s I 1, . . . , s I m jsou sloupcovévektory⎡⎡A(s I 1) =⎢⎣⎤a 11⎥. ⎦ , . . . , A(s I m) =a n1Jelikož libovolný vektor x ∈ R m,1 lze zapsat ve tvarulze A(x) zapsat pomocíkdex = x 1 s I 1 + . . . + x m s I m,⎢⎣⎤a 1m⎥. ⎦ .a nmA(x) = A(x 1 s I 1 + . . . + x m s I m) = x 1 A(s I 1) + . . . + x m A(s I m) = Ax,Platí tedy následující věta.A = [︀ A(s I 1), . . . , A(s I m) ]︀ = [a ij ] .

110 Lineární zobrazení a maticeVěta 14.1. Nechť A : R m,1 ↦→ R n,1 je libovolné lineární zobrazení. Pak existujematice A typu (n, m) tak, že pro libovolné x ∈ R m,1 platíA(x) = Ax.Lineární zobrazeníA : R m,1 ∋ x ↦→ Ax ∈ R n,1se často ztotožňuje s maticí A a o matici A se mluví jako o lineárním zobrazení.V tomto smyslu budeme i my používat pojmy obor hodnot matice A, nulovýprostor matice A, nebo defekt matice A. Pojmy, které jsme si doposud zavedlijsou v souladu s touto konvencí. Například obor hodnot H(A) každé matice A jetotožný s jejím sloupcovým prostorem S(A), takže pro hodnosti matice a zobrazeníplatíh(A) = h(A).14.2 Určení báze nulového prostoru maticeBázi nulového prostoru matice tvoří jakákoliv maximální množina nezávislých řešenísoustavy Ax = o, kterou najdeme tak, že matici A převedeme na schodový tvar a zaneznámé, které nejsou ve sloupcích s vedoucími prvky, budeme postupně dosazovatnapříklad řádky jednotkové matice. Získaná řešení pak zapíšeme do sloupců. Postupje v podstatě totožný s postupem řešení soustav rovnic s nekonečnou množinouřešení, který byl popsán v článku 2.4, avšak s pomocí nových pojmů můžeme lépepochopit strukturu řešení.Příklad 14.2. Určete bázi nulového prostoru matice⎡ ⎤1 1 2 3A = ⎣ 1 1 1 3 ⎦ .2 2 2 6Řešení. Nejprve upravíme matici A pomocí řádkových úprav na schodový tvar⎡ ⎤1 1 2 3A = ⎣ 1 1 1 3 ⎦r 2 − r 12 2 2 6 r 3 − 2r 1⎡↦→ ⎣⎤ ⎡1 1 2 30 0 −1 0 ↦→ ⎣0 0 −2 0⎦r 3 − 2r 2⎤1 1 2 30 0 −1 0 ⎦ .0 0 0 0Odtud h(A) = 2 (počet nenulových řádků) a d(A) = 4 − 2 = 2. Bázi N (A) tedytvoří jakékoliv dva nezávislé vektory, jejichž složky řeší soustavux 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0− x 3 = 0.

14.3 Matice jako lineární zobrazení a soustavyrovnic 111Vypočteme je tak, že za x 2 a x 4 dosadíme postupně například složky e 1 = [︀ 1 0 ]︀ ,e 2 = [︀ 0 1 ]︀ a vypočteme x 1 = −1, x 3 = 0 a x 1 = −3, x 3 = 0. Bázi nulovéhoprostoru tedy tvoří vektoryn 1 =⎡⎢⎣−1100⎤⎥⎦ , n 2 =⎡⎢⎣−3001⎤⎥⎦ .Jestliže lze matici A typu (m, n), m < n rozdělit na bloky tak, žeA = [︀ B C ]︀a B je regulární, lze najít vzorec pro matici N typu (n, n − m), jejíž sloupce tvoříbázi N (A). V souladu s výše uvedeným výkladem budeme hledat N ve tvaru:Po rozepsání levé strany rovnice[︂n − m]︂X mN =I n − mAN = Os využitím blokové struktury a po vynásobení zleva maticí B −1 dostanemeB [︀ −1 B C ]︀ [︂ ]︂X= O,IodkudOdtud X = −B −1 C aX + B −1 C = O.[︂ −BN =−1 CI]︂.14.3 Matice jako lineární zobrazení a soustavyrovnicDíváme-li se na matici A jako na lineární zobrazení A : x ↦→ Ax, můžeme využítdosavadních výsledků o lineárních zobrazeních k alternativnímu výkladu teorieřešitelnosti lineárních soustav z článku 12.5. Například přeložíme-li tvrzení (i) dotermínů zobrazení, zjistíme, že vyjadřuje zřejmou skutečnost, že soustava lineárníchrovnic má řešení, pravě když pravá strana patří do oboru hodnot matice soustavy.Tvrzení (ii) zase vyplývá z důsledku 13.11, podle něhož je řešení jediné, jestliže

112 Lineární zobrazení a maticeN (A) = {o}, tedy defekt d(A) = 0, což je podle (13.1) ekvivalentní h(A) = n, kden je počet neznámých. Tvrzení (iii) lze dokonce prohloubit.Věta 14.3. Nechť A je matice typu (m, n) pro kterou platí d(A) > 0, nechť b jem-rozměrný sloupcový vektor, nechť Ax 0 = b a nechť (n 1 , . . . , n d ) je báze N (A).Potom libovolné řešení soustavy Ax = b může být zapsáno ve tvarux = x 0 + α 1 n 1 + . . . + α d n d . (14.1)Důkaz. Podle věty 13.7 lze libovolné řešení soustavy (13.4) zapsat ve tvaru x == x 0 + n, kde n ∈ N (A). Jelikož vektory n 1 , . . . , n d tvoří bázi N (A), lze n zapsatve tvaru (14.1).Příklad 14.4. Najděte všechna řešení soustavyx 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 12x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 2(14.2)ve tvaru (14.1).Řešení. Rozšířenou matici soustavy nejprve upravíme na schodový tvar[︀A b]︀=⎡⎣⎤1 1 2 3 01 1 1 3 1 ⎦r 2 − r 12 2 2 6 2 r 3 − 2r 1⎡↦→ ⎣⎤ ⎡1 1 2 3 00 0 −1 0 1 ↦→ ⎣0 0 −2 0 2⎦r 3 − 2r 2Z něho dostaneme částečné řešení x 0 soustavy (14.2) řešením soustavyx 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0− x 3 = 1⎤1 1 2 3 00 0 −1 0 1 ⎦ .0 0 0 0 0tak, že položíme například x 2 = 0 a x 4 = 0. Dostaneme x 1 = 2, x 3 = −1. Jelikožmatice soustavy je stejná jako matice A v příkladu 14.2, můžeme pomocí řešenítohoto příkladu napsat libovolné řešení soustavy (14.2) pomocí parametrů α 1 , α 2 vetvarux =⎡⎢⎣20−10⎤⎥⎦ + α 1⎡⎢⎣−1100⎤⎥⎦ + α 1⎡⎢⎣−3001⎤⎥⎦ .

14.4 Definice matice lineárního zobrazení 11314.4 Definice matice lineárního zobrazeníV článku 14.1 jsme si ukázali, že libovolné lineární zobrazení R m do R n lze popsatpomocí vhodné matice. Nyní si ukážeme, že pomocí matic můžeme popsat libovolnézobrazení prostorů konečné dimenze. Použijeme k tomu báze definičníhooboru a oboru hodnot. Pro stručnost budeme v celém článku předpokládat, žeU a V jsou dva vektorové prostory konečné dimenze s bázemi E = (e 1 , . . . , e m )a F = (f 1 , . . . , f n ).Definice 14.5. Nechť A : U → V je lineární zobrazení. Pak můžeme vektoryA(e 1 ), ..., A(e m ) vyjádřit jako lineární kombinace vektorů f 1 , . . . , f n ve tvaru:MaticiA(e 1 ) = a 11 f 1+ · · · + a n1 f n. . . . . .A(e m ) = a 1m f 1 + · · · + a nm f n[A] E,F=⎡⎢⎣a 11.a n1⎤. . . a 1m. ..⎥ . ⎦. . . a nmnazýváme maticí lineárního zobrazení A vzhledem k bázím (E, F). JestližeU = V a E = F, pak budeme mluvit o matici lineární transformace vzhledemk bázi E a místo [A] E,Ebudeme psát stručně [A] E.Indexy prvků a ij jsou zvoleny tak, aby pro každé lineární zobrazení A : U ↦→ Vplatilo[A] E,F= [︀ [A(e 1 )] F, . . . , [A(e m )] F]︀,obdobně jako v článku 14.1, kde byly E i F standardní báze. Z této rovnosti a z vlastnostísouřadnic (11.1) a (11.2) plyne pro libovolný skalár α, případně pro libovolnédalší lineární zobrazení B : U → V, že[αA] E,F= α [A] E,F,[A + B] E,F= [A] E,F+ [B] E,F.Příklad 14.6. Nechť P 3 je vektorový prostor všech mnohočlenů nejvýše druhéhostupně s bází E = (e 1 , e 2 , e 3 ), kde e 1 , e 2 , e 3 jsou mnohočleny e 1 (x) = 1, e 2 (x) = xa e 3 (x) = x 2 . Najděte matici derivaceD : P 3 ∋ p ↦→ p ′ ∈ P 3 .

114 Lineární zobrazení a maticeŘešení. Nejdříve najdeme souřadnice D(e 1 ), D(e 2 ) a D(e 3 ) v bázi E. JelikožD(e 1 )(x) = 0, D(e 2 )(x) = 1 a D(e 3 )(x) = 2x, můžeme napsat přímo:0 = 0 · 1 + 0 · x + 0 · x 21 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x 22x = 0 · 1 + 2 · x + 0 · x 2Souřadnice D(e 1 ), D(e 2 ) a D(e 3 ) tvoří zřejmě koeficienty na řádcích, které zapíšemedo sloupců a dostaneme⎡ ⎤0 1 0[D] E= ⎣ 0 0 2 ⎦0 0 014.5 Souřadnice obrazu vektoruPředpokládejme nyní, že U a V jsou dva vektorové prostory konečné dimenze s bázemiE = (e 1 , . . . , e m ) a F = (f 1 , . . . , f n ), že A : U → V je lineární zobrazení, x ∈ Ua⎡[x] E=⎢⎣⎤x 1⎥. ⎦ .x mPotom s pomocí definice lineárního zobrazení, vztahů (11.1), (11.2) a definice součinumatice a vektoru odvodíme postupně[A(x)] F= [A(x 1 e 1 + . . . + x m e m )] F= [x 1 A(e 1 ) + . . . + x m A(e m )] F== x 1 [A(e 1 )] F+ . . . + x m [A(e m )] F= [︀ [A(e 1 )] F, . . . , [A(e m )] F]︀[x]E == [A] E,F[x] E,tedy[A(x)] F= [A] E,F[x] E. (14.3)Poznámka. Je-li U = V a E = F, má (14.3) tvar[A(x)] E= [A] E[x] E. (14.4)Příklad 14.7. S využitím řešení příkladu 14.6 vypočtěte souřadnice derivace libovolnéhomnohočlenu p nejvýše druhého stupně pomocí souřadnic p v bázi E == (e 1 , e 2 , e 3 ), e 1 (x) = 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2 .

14.6 Matice složeného zobrazení 115Řešení. Mnohočlen p(x) = ax 2 + bx + c má v bázi E souřadnice⎡ ⎤c[p] E= ⎣ b ⎦ .aJelikož jsme si v příkladu 14.6 ukázali, že derivace D má v bázi E matici⎡0 1⎤0[D] E= ⎣ 0 0 2 ⎦ ,0 0 0platí⎡[p ′ ] E= [Dp] E= [D] E[p] E= ⎣0 1 00 0 20 0 0⎤ ⎡⎦ ⎣cba⎤⎡⎦ = ⎣b2a0⎤⎦ .14.6 Matice složeného zobrazeníNechť U je vektorový prostor konečné dimenze s bází E = (e 1 , . . . , e n ) a nechťA : U → U a B : U → U jsou lineární transformace. Pak s použitím vztahu (14.3)a definice součinu matic (5.6) odvodíme[AB] E= [︀ ]︀ [︁ [︀A (︀[(AB)(e 1 )] E, . . . , [(AB)(e n )] E = B(e1 ) )︀]︀ , . . . , [︀ A (︀ B(eE n ) )︀]︀ ]︁=EPlatí tedy= [︀ [A] E[B(e 1 )] E, . . . , [A] E[B(e n )] E]︀= [A]E[︀[B(e1 )] E, . . . , [B(e n )] E]︀== [A] E[︀[B]E [e 1 ] E, . . . , [B] E[e n ] E]︀= [A]E [B] E[︀sI1 , . . . , s I n]︀== [A] E[B] EI = [A] E[B] E.[AB] E= [A] E[B] E. (14.5)Při odvození jsme použili toho, že souřadnice jednotlivých vektorů báze v téžebázi jsou prvky příslušného sloupce jednotkové matice.Příklad 14.8. S využitím řešení příkladu 14.6 vypočtěte matici druhé derivaceD 2 = DD na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E == (e 1 , e 2 , e 3 ), e 1 (x) = 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2 .Řešení. V příkladu 14.6 jsme si ukázali, že derivace D má v bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 )matici⎡0 1⎤0[D] E= ⎣ 0 0 2 ⎦ .0 0 0

116 Lineární zobrazení a maticePodle (14.5) tedy[︀ ]︀ D2 = [DD] E E = [D] E [D] E =⎡ ⎤ ⎡= ⎣14.7 Změna báze0 1 00 0 20 0 0⎦ ⎣0 1 00 0 20 0 0⎤ ⎡⎦ ⎣0 0 20 0 00 0 0Nyní se budeme zabývat otázkou, jak se změní souřadnice vektoru a matice lineárníhozobrazení při změně báze.Nechť U je vektorový prostor konečné dimenze a nechť E = (e 1 , ..., e n ) a F == (f 1 , ..., f n ) jsou dvě báze U. Nechť A : U → U je libovolné lineární zobrazení a nechťC : U → U je lineární zobrazení, které každému vektoru e i báze E přiřazuje vektorC(e i ) = f i . Zobrazení C tedy zobrazuje bázi E na bázi F, takže podle důsledku13.11 je C prosté a existuje C −1 .Nejprve si ukážeme, jak se změní souřadnice x i libovolného vektoru x při přechoduod báze E k bázi F a obráceně. K tomu si stačí všimnout, že zplynetakžePomocí (14.4) odtud dostanemeodkud s použitím označení T = [C] −1Fx = x 1 e 1 + . . . + x n e nC(x) = x 1 f 1 + . . . + x n f n ,[C(x)] F= [x] E.[C] F[x] F= [x] E,= [C−1 ] Fdostaneme⎤⎦ .[x] F= T [x] E. (14.6)Matice T se nazývá matice zpětného přechodu od nové báze F k bázi E.Nyní můžeme hledat vztah mezi [A] Ea [A] F. Platí[A] F= [︀ [A(f 1 )] F, . . . , [A(f n )] F]︀=[︀T [A(f1 )] E, . . . , T [A(f n )] E]︀== T [︀ [A(f 1 )] E, . . . , [A(f n )] E]︀= T[︀[A]E [f 1 ] E, . . . , [A] E[f n ] E]︀== T [A] E[︀T −1 [f 1 ] F, . . . , T −1 [f n ] F]︀= T [A]E T −1[︀ s I 1, . . . , s I n]︀== T [A] ET −1 .

14.8 Podobnost matic 117Platí tedy[A] F= T [A] ET −1 . (14.7)Místo matice T můžeme uvažovat matici přechodu S = [C] Eod původní bázeE k bázi F. Mezi maticí zpětného přechodu T a maticí přechodu S platí vztahTS = T [︀ [C(e 1 )] E, . . . , [C(e n )] E]︀=[︀T [f1 ] E, . . . , T [f n ] E]︀=[︀[f1 ] F, . . . , [f n ] F]︀= I,takže T = S −1 . Dosazením do (14.6) dostaneme po úpravě[x] E= S [x] F. (14.8)Povšimněme si, že názvy matice přechodu a matice zpětného přechodu se vztahujík popisu změny báze, nikoliv k popisu změny souřadnic.14.8 Podobnost maticVýše uvedená rovnost (14.7) je motivací pro nový pojem.Definice 14.9. Čtvercové matice A a B stejného řádu jsou podobné, jestližeexistuje regulární matice T tak, žeA = TBT −1 .Úvahy článku 14.7 můžeme shrnout pomocí nového pojmu do stručné věty.Věta 14.10. Matice dané lineární transformace v různých bázích jsou podobné.Dá se dokázat i tvrzení, že jsou-li matice podobné, pak jsou maticemi nějakélineární transformace v různých bázích. Jelikož podstatné charakteristiky lineárníchtransformací (například hodnost nebo defekt) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat,že podobné matice budou mít podstatné charakteristiky shodné. Připomeňme,že o vektoru se ze souřadnic nedovíme obecně více než to, je-li nulový nebo nenulový.Snadno lze dokázat, že každá matice je podobná sama sobě, že je-li A podobná Ba B podobná C, pak A je také podobná C, a konečně je-li A podobná B, pak je i Bpodobná A. Například poslední tvrzení vyplývá z ekvivalence rovností A = TBT −1a B = T −1 AT.14.9 PříkladyPříklad 14.11. Pro lineární zobrazení D : P 3 → P 2 definované předpisemD (p) = 2ax + b, ∀p ∈ P 3 : p (x) = ax 2 + bx + csestavte matici vzhledem k bázím E = (e 1 , e 2 , e 3 ), e 1 (x) = 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2a F = (f 1 , f 2 ), f 1 (x) = x+1, f 2 (x) = x−1. Nalezněte souřadnice obrazu mnohočlenup (x) = x 2 − 2x + 3 vzhledem k bázi F.

118 Lineární zobrazení a maticeŘešení. Abychom mohli sestavit matici [D] E,F= [[D (e 1 )] F, [D (e 2 )] F, [D (e 3 )] F],musíme nejdříve určit obrazy vektorů báze E, tj. D (e 1 ) = 0, D (e 2 ) = 1, D (e 3 ) = 2x.Dále musíme určit souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi F. Tzn. musíme řešit3 rovniceα 1 f 1 + α 2 f 2 =D (e 1 ) ,β 1 f 1 + β 2 f 2 =D (e 2 ) ,γ 1 f 1 + γ 2 f 2 =D (e 3 ) .Tyto 3 rovnice mají stejné levé strany a liší se pouze v pravých stranách. Protorozepíšeme pouze první rovnici a ostatní budou analogické.Toto vede na soustavuα 1 (x + 1) + α 2 (x − 1) = 0,(α 1 + α 2 ) x + (α 1 + α 2 ) = 0.α 1 + α 2 = 0α 1 − α 2 = 0Pro neznámé β a γ se pak změní pravé strany a tak můžeme řešit všechny 3 úlohynajednou pomocí Gaussovy-Jordanovy metody se 3 různými pravými stranami.[︂ ]︂[︂ ]︂1 1 0 0 21 1 0 0 2↦→1 −1 0 1 0 r 2 − r 1 0 −2 0 1 −2 − 1r ↦→[︂ ]︂ [︂ ]︂ 2 21 1 0 0 2 r1 − r↦→2 1 0 0110 1 0 − 1 ↦→210 1 0 − 1 ⇒⎧12 2⎪⎨ α 1 = 0 β 1 = 1 γ 1 = 1⇒2⎪⎩ α 2 = 0 β 2 = − 1 2 γ 2 = 1Odtud[︂ 0[D (e 1 )] F=0Hledaná matice má tedy tvar]︂[︂ 1, [D (e 2 )] F=2− 1 2[D] E,F=[︂ 01210 − 1 21]︂[︂ 1, [D (e 3 )] F=1Pokud chceme určit souřadnice ⎡ obrazu ⎤ vektoru p vzhledem k bázi F, pak nejdříve3vypočteme souřadnice [p] E= ⎣ −2 ⎦, neboť p = 3e 1 − 2e 2 + e 3 . Pak1[︂ ]︂ ⎡ ⎤01 3 [︂ ]︂1[D (p)] F= [D] E,F[p] E=2 ⎣0 − 1 −2 ⎦ 0= .122 1Lehce se dá ověřit, že D (p) = 2x − 2 = 0f + 2f 2 .]︂.]︂.

Příklady k procvičení 119Příklad 14.12. Je dáno lineární zobrazení D : P 3 → P 2 z předchozího příkladu.Určete takový vzor p ∈ P 3 aby D (p) = x + 1.Řešení. K řešení využijeme matici zobrazení D, kterou jsme sestavili v předchozímpříkladě. Pro matici lineárního zobrazení totiž platí [D (p)] F= [D] E,F[p] E, kde E jebáze P 3 a F je báze P 2 .Jelikož souřadnice obrazu D (p) = x + 1 vzhledem k bázi F jsou [D (p)] F= [1, 0]můžeme souřadnice [p] E= [x 1 , x 2 , x 3 ] hledaného mnohočlenu p vzhledem k bázi Eurčit ze soustavy lineárních rovnic [D] E,F[p] E= [D(p)] F. Řešíme tedy Gaussovoueliminační metodou.[︂ ]︂[︂ ]︂ [︂ ]︂011 12 011 1 2r10 − 1 ↦→2 0 1 2 2↦→1 0 r2 2 + r 1 0 0 2 10 0 2 1Jelikož u neznámé x 1 není vedoucí prvek volíme ji za parametr a tedy x 1 = t, t ∈ R.Dále dostáváme x 2 = 1, x 3 = 1 . Souřadnice hledaného vzoru p vzhledem k bázi E2jsou tedy [p] E= [︀ t, 1, 2]︀ 1 , ∀t ∈ R. Hledaný vzor má tedy tvarp (x) = te 1 (x) + 1e 2 (x) + 1 2 e 1 (x) = t + x + 1 2 x2 , ∀t ∈ R.Příklady k procvičení14.1. Je dáno lineární zobrazení A : R 3 → R 2 předpisemA([x 1 , x 2 , x 3 ]) = [x 1 + 2x 2 , 3x 2 + 4x 3 ].Nalezněte matici lineárního zobrazení A vzhledem k bázím E a F, kde E je standardníbáze vektorového prostoru R 3 a F = ⟨f 1 , f 1 ⟩ je báze prostoru R 2 . Přitom f 1 = (1, 2),f 2 = (2, 2).14.2. Je dáno lineární zobrazení A : R 4 → R 3 definované předpisy:A([1, 1, −1, 0]) = [0, 0, 0], A([1, 2, −1, −2]) = [−1, −3, 1],A([1, 0, 0, −1]) = [0, 0, 0], A([1, 1, 1, 1]) = [5, 8, 2].Sestavte matici lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bázím prostoru R 4 a R 3 .Klíč k příkladům k procvičení[︂ ]︂−1 1 414.1. [A] EF = 112−2⎡1 1 2⎤114.2. [A] EF = ⎣ 2 1 3 2 ⎦0 1 1 0

120Kapitola 15Bilineární formyV 1. kapitole jsme si sestavili soustavu rovnic (1.6) pro neznámé potenciály x 1 , x 2obvodu z obr. 1.1. Soustava lineárních rovnic však není jedinou možností, jak popsatelektrický obvod nebo jiný lineární problém. Ukazuje se, že někdy je výhodnépřejít k jiné formulaci, která v našem případě spočívá v sečtení obou rovnic soustavyvynásobených postupně „virtuálními“ (myšlenými) potenciály y 1 , y 2 tak, žedostaneme− 2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 − 3x 2 y 2 = −10y 2 . (15.1)Úloha najít řešení x 1 , x 2 soustavy (1.6) je pak ekvivalentní úloze najít x 1 , x 2 tak,aby rovnost (15.1) platila pro všechna y 1 , y 2 .Výraz na levé straně rovnice (15.1) můžeme považovat za funkci dvou proměnnýcharitmetických vektorů x = [x 1 , x 2 ] a y = [y 1 , y 2 ], která je při jednom zafixovanémargumentu lineární ve druhém argumentu. To však je vlastnost, která má smyslpro každou funkci dvou argumentů z vektorového prostoru. Ukazuje se, že takovéfunkce jsou nepostradatelným nástrojem pro vyjádření fyzikálních zákonů ve forměvhodné pro numerické řešení technických problémů pomocí takzvaných variačníchmetod. V tomto textu je využijeme ke studiu geometrie vektorového prostoru.15.1 Definice a příkladyDefinice 15.1. Nechť V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V × V ↦→ R senazývá bilineární forma, jestliže pro libovolné u, v, w ∈ V a α ∈ R platí:B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)B(αu, v) = αB(u, v)B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)B(u, αv) = αB(u, v)(B1)(B2)(B3)(B4)

15.2 Klasifikace bilineárních forem 121Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcídruhé proměnné. Můžeme ji považovat za zobecnění funkce z = axy dvou proměnnýchx a y na vektorové prostory.Příklad 15.2. Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujemeformu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] a y = [y i ] přiřazujeB(x, y) = x ⊤ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 . (15.2)Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x, y) je práce konaná silou x podráze y. Snadno se ověří, že B je bilineární forma.Příklad 15.3. Nechť A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení,které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [x i ] a y = [y i ]přiřazujeje bilineární forma.B(x, y) = x ⊤ Ay = a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 , (15.3)Příklad 15.4. Nechť F je vektorový prostor všech reálných funkcí. Pak předpis,který každé dvojici funkcí f ∈ F a g ∈ F přiřazujedefinuje bilineární formu.B(f, g) = f(1)g(1) + f(2)g(2), (15.4)15.2 Klasifikace bilineárních foremNechť V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická,jestliže pro libovolné vektory u, v ∈ V platíB(u, v) = B(v, u)a antisymetrická, jestližeB(u, v) = −B(v, u). (15.5)Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovnostíB(u, u) = 0 (15.6)pro libovolné u ∈ V. Skutečně, platí-li (15.6), pakB(u + v, u + v) = B(u, v) + B(v, u) = 0,odkud dostaneme (15.5). Obráceně z (15.5) plyneB(u, u) = −B(u, u),

122 Bilineární formytedy platí (15.6).Bilineární formy (15.2) a (15.4) jsou zřejmě symetrické, zatímco forma (15.3) jesymetrická, právě když A = A ⊤ . Bilineární forma (15.3) bude antisymetrická, právěkdyž A = −A ⊤ , což splňuje například matice[︂ ]︂0 1.−1 0Bilineární forma (15.3) s touto maticí splňujeB(x, y) = x 1 y 2 − x 2 y 1 = −(y 1 x 2 − y 2 x 1 ) = −B(y, x).Každou bilineární formu můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrickéformy, neboťB(u, v) = 1 (︀ )︀ 1(︀ )︀B(u, v) + B(v, u) + B(u, v) − B(v, u) .22Bilineární formyB S (u, v) = 1 (︀ )︀B(u, v) + B(v, u) a B A (u, v) = 1 (︀ )︀B(u, v) − B(v, u)22splňujíB S (u, v) = B S (v, u) a B A (u, v) = −B A (v, u).Formy B S a B A se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická částbilineární formy B.15.3 Matice bilineární formyNechť V je vektorový prostor s bází E = (e 1 , . . . , e n ) a nechť B je bilineární formana V. Nechť x, y ∈ V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaruPakx = x 1 e 1 + . . . + x n e n , y = y 1 e 1 + . . . + y n e n .B(x, y) = B(x 1 e 1 + · · · + x n e n , y) = x 1 B(e 1 , y) + · · · + x n B(e n , y) =⎡ ⎤⎡⎤= [︀ B(e]︀ 1 , y)⎢ ⎥x 1 , . . . , x n ⎣ . ⎦ = [︀ B(e]︀ 1 , y 1 e 1 + · · · + y n e n )⎢⎥x 1 , . . . , x n ⎣. ⎦ =B(e n , y)B(e n , y 1 e 1 + · · · + y n e n )⎡⎤= [︀ B(e]︀ 1 , e 1 )y 1 + · · · + B(e 1 , e n )y n⎢⎥x 1 , . . . , x n ⎣.⎦ =B(e n , e 1 )y 1 + · · · + B(e n , e n )y n⎡⎤ ⎡ ⎤= [︀ B(e]︀ 1 , e 1 ) . . . B(e 1 , e n ) y 1⎢⎥ ⎢ ⎥x 1 , . . . , x n ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ,B(e n , e 1 ) . . . B(e n , e n ) y n

15.3 Matice bilineární formy 123což můžeme pomocí označení [B] E= [B(e i , e j )] zapsat stručně ve tvaruB(x, y) = [x] ⊤ E [B] E [y] E . (15.7)Matici [B] Enazýváme maticí bilineární formy B v bázi E.Příklad 15.5. Najděte matici bilineární formy (15.4) definované na prostoru P 2všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ), kde e 1 (x) == 1, e 2 (x) = x, e 3 (x) = x 2 . Výsledek využijte k vyčíslení B(p, q) pro p(x) = 1 − xa q(x) = x 2 − x.Řešení. Podle vztahu (15.4) vypočteme postupně:B(e 1 , e 1 ) = e 1 (1)e 1 (1) + e 1 (2)e 1 (2) = 1 · 1 + 1 · 1 = 2B(e 1 , e 2 ) = e 1 (1)e 2 (1) + e 1 (2)e 2 (2) = 1 · 1 + 1 · 2 = 3B(e 1 , e 3 ) = e 1 (1)e 3 (1) + e 1 (2)e 3 (2) = 1 · 1 + 1 · 4 = 5B(e 2 , e 2 ) = e 2 (1)e 2 (1) + e 2 (2)e 2 (2) = 1 · 1 + 2 · 2 = 5B(e 2 , e 3 ) = e 2 (1)e 3 (1) + e 2 (2)e 3 (2) = 1 · 1 + 2 · 4 = 9B(e 3 , e 3 ) = e 3 (1)e 3 (1) + e 3 (2)e 3 (2) = 1 · 1 + 4 · 4 = 17Ostatní prvky matice formy dopočítáme ze symetrieB(e i , e j ) = e i (1)e j (1) + e i (2)e j (2) = e j (1)e i (1) + e j (2)e i (2) = B(e j , e i ),takžeJelikož[p] E= ⎣⎡[B] E= ⎣⎡1−10⎤2 3 53 5 95 9 17⎤⎦ .⎡⎦ a [q] E= ⎣0−11⎤⎦ ,platí⎡B(p, q) = [︀ 1 −1 0 ]︀ ⎣2 3 53 5 95 9 17⎤ ⎡⎦ ⎣0−11⎤⎡⎦ = [︀ 1 −1 0 ]︀ ⎣248⎤⎦ = −2.

124 Bilineární formy15.4 Matice symetrické formyVěta 15.6. Nechť B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze.Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru Vsplňuje[B] E= [B] ⊤ E . (15.8)Důkaz. Je-li B symetrická bilineární forma, pak B(e i , e j ) = B(e j , e i ) a vztah (15.8)platí.Obráceně, nechť platí (15.8). Pak podle (15.7) pro libovolné vektory x, y ∈ Vplatí)︁ ⊤B(x, y) = [x] ⊤ E [B] E [y] E(︁[x] = ⊤ E [B] E [y] E = [y]⊤E [B]⊤ E [x] E = [y]⊤ E [B] E [x] E == B(y, x),takže forma B je symetrická.Matice A, která splňuje A = A ⊤ , se nazývá symetrická matice, takže větu lzezformulovat stručně také tak, že bilineární forma na prostoru konečné dimenze jesymetrická, právě když má v libovolné bázi symetrickou matici.15.5 Změna matice bilineární formy při změněbázeNechť U je vektorový prostor konečné dimenze a nechť E = (e 1 , ..., e n ) a F == (f 1 , ..., f n ) jsou dvě báze U. Nechť S je matice přechodu od báze E k nové bázi F,takže pro libovolný vektor x ∈ U platí podle (14.8)[x] E= S [x] F.S použitím (15.7) dostaneme pro libovolné dva vektory x, y ∈ U a bilineární formuB na U[x] ⊤ F [B] F [y] F = B(x, y) = [x]⊤ E [B] E [y] E = [x]⊤ F S⊤ [B] ES [y] F.Zvolíme-li x = f i a y = f j , snadno si ověříme, že prvky v i-tém řádku a j-tém sloupcimatic [B] Fa S ⊤ [B] ES jsou stejné, tedy[B] F= S ⊤ [B] ES. (15.9)Odtud dostaneme s použitím matice zpětného přechodu T = S −1 od báze F k báziE[B] E= T ⊤ [B] FT. (15.10)

15.6 Kongruentní matice 12515.6 Kongruentní maticeVýše uvedená rovnost (15.9) je motivací pro nový pojem.Definice 15.7. Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existujeregulární matice T tak, žeA = T ⊤ BT.Úvahy předchozího článku můžeme shrnout pomocí nového pojmu do následujícívěty.Věta 15.8. Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní.Je možno dokázat i tvrzení, že jsou-li matice kongruentní, pak jsou maticeminějaké bilineární formy v různých bázích. Jelikož podstatné vlastnosti bilineárníchforem (například symetrie) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat, že kongruentnímatice budou mít podstatné charakteristiky shodné.Snadno lze také dokázat, že každá matice je kongruentní sama se sebou, že je-liA kongruentní s B a B kongruentní s C, pak A je také kongruentní s C, a konečněje-li A kongruentní s B, pak je i B kongruentní s A.Například je-li A kongruentní s B, pak po přenásobení rovnosti A = T ⊤ BTzleva T −⊤ = (T ⊤ ) −1 a zprava T −1 dostaneme B = T −⊤ AT −1 . Matice B je tedykongruentní s A, neboť si můžeme snadno ověřit, že platí T −⊤ = (T −1 ) ⊤ .15.7 PříkladyPříklad 15.9. Rozhodněte, zda-li bilineární forma B :předpisemR 3 × R 3 → R definovanáB(x, y) = x 1 y 1 − x 1 y 2 + 3x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3je symetrická či antisymetrická, případně nalezněte její symetrickou a antisymetrickoučást.Řešení.B(y, x) = y 1 x 1 − y 1 x 2 + 3y 2 x 1 + 2y 2 x 2 − 2y 2 x 3 − 2y 3 x 2 + 5y 3 x 3 == x 1 y 1 + 3x 1 y 2 − x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3 .Odtud je patrné, že B(x, y) ≠ B(y, x) ani B(x, y) ≠ −B(y, x), ∀x, y ∈ R 3 . Bilineárníforma tedy není ani symetrická ani antisymetrická.

126 Bilineární formyNyní určíme její symetrickou a antisymetrickou část.B S (x, y) = 1 (B(x, y) + B(y, x)) =2= 1 (︁x 1 y 1 − x 1 y 2 + 3x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3 +2+ x 1 y 1 + 3x 1 y 2 − x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3)︁== 1 2 (2x 1y 1 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 + 4x 2 y 2 − 4x 2 y 3 − 4x 3 y 2 + 10x 3 y 3 ) == x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3B A (x, y) = 1 (B(x, y) − B(y, x)) =2= 1 (︁x 1 y 1 − x 1 y 2 + 3x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 32− x 1 y 1 − 3x 1 y 2 + x 2 y 1 − 2x 2 y 2 + 2x 2 y 3 + 2x 3 y 2 − 5x 3 y 3)︁== 1 2 (−4x 1y 2 + 4x 2 y 1 ) = −2x 1 y 2 + 2x 2 y 1Snadno se dá ověřit, že opravdu platí B(x, y) = B S (x, y) + B A (x, y).Příklad 15.10. Nalezněte kvadratickou formu příslušnou k bilineární formě B : R 3 ×× R 3 → R definované předpisemŘešení.B(x, y) = x 1 y 1 − x 1 y 2 + 3x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3 .Q B (x) = B(x, x) = x 1 x 1 − x 1 x 2 + 3x 2 x 1 + 2x 2 x 2 − 2x 2 x 3 − 2x 3 x 2 + 5x 3 x 3 == x 2 1 + 2x 1 x 2 + 2x 2 2 − 4x 2 x 3 + 5x 2 3.Kvadratická forma příslušná k bilineární formě B má tedy tvar Q B (x) = x 2 1+2x 1 x 2 ++ 2x 2 2 − 4x 2 x 3 + 5x 2 3. Příklad 15.11. Nalezněte matici kvadratické formy Q z předchozího příkladu vzhledemke standardní bázi. Pomocí této matice určete Q(x), x = [1, 2].Řešení. Pro nalezení matice kvadratické formy musíme znát symetrickou část bilineárníformy k níž kvadratická forma Q přísluší. Tuto část jsme však již nalezliv předchozím příkladě a má tvarB S (x, y) = 4x 1 y 1 − 2x 1 y 2 − 2x 2 y 1 + 3x 2 y 2 .Dále připomeneme, že standardní bázi S = (s I 1, s I 2) tvoří sloupcové vektory jednotkovématice. Matice symetrické části bilineární formy příslušné ke Q má tedysložky:B S (s I 1, s I 1) = 4 · 1 · 1 − 2 · 1 · 0 − 2 · 0 · 1 + 3 · 0 · 0 = 4B S (s I 1, s I 2) = 4 · 1 · 0 − 2 · 1 · 1 − 2 · 0 · 0 + 3 · 0 · 1 = −2 = B S (s I 2, s I 1)B S (s I 2, s I 2) = 4 · 0 · 0 − 2 · 0 · 1 − 2 · 1 · 0 + 3 · 1 · 1 = 3

Příklady k procvičení 127Matice kvadratické formy má tedy tvar[Q] S = [B S ] S =[︂ 4 −2−2 3Pro určení obrazu kvadratické formy potřebujeme znát souřadnice vzoru vzhledemke standardní bázi. To je ovšem triviální neboť [x] S = x.[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂4 −2 1 0Q(x) = [x] ⊤ S [Q] S [x] S = [1, 2]= [1, 2] = 8.−2 3 24Vskutku Q(x) = 4x 2 1 − 4x 1 x 2 + 3x 2 2 = 4 · 1 2 − 4 · 1 · 2 + 3 · 2 2 = 8.Příklady k procvičení15.1. Je dána bilineární forma B na P 3 předpisem B(p, q) = p(0)q(1), ∀p, q ∈ P 3 . Pomocímatice bilineární formy nalezněte obraz B(p, q) kde p(x) = x + 1, q(x) = x 2 + x − 1.15.2. Nalezněte matici kvadratické formy Q z předchozího příkladu vzhledem k bázi E == (e 1 , e 2 ), e 1 = [1, 1], e 2 = [1, −1].15.3. Je dána bilineární forma B : R 3 × R 3 → R definovaná vztahem]︂.B(x, y) = x 1 y 1 − 2x 1 y 2 + 3x 1 y 3 − x 2 y 3 .a) Určete její symetrickou a antisymetrickou část.b) Určete matici bilineární formy B vzhledem ke standardní bázi, matici symetrickéčásti B a matici antisymetrické části B.15.4. Rozložte matici bilineární formy⎡A = ⎣3 6 2−2 0 34 1 5na součet matice symetrické a antisymetrické části.Klíč k příkladům k procvičení⎤⎦15.3. a) B S (x, y) = x 1 y 1 − x 1 y 2 + 3 2 x 1y 3 − x 2 y 1 − 1 2 x 2y 3 + 3 2 x 3y 1 − 1 2 x 3y 2 ,B A (x, y) = −x 1 y 2 + 3 2 x 1y 3 + x 2 y 1 − 1 2 x 2y 3 − 3 2 x 3y 1 + 1 2 x 3y 2⎡⎤ ⎡⎤ ⎡31 −2 31 −12b) [B] S= ⎣ 0 0 −1 ⎦ , [B S ] S= ⎣ −1 0 − 1 ⎦2, [B A ] S= ⎣30 0 0⎡15.4. A = ⎣3 2 32 0 23 2 5⎤⎡⎦ + ⎣0 4 −1−4 0 11 −1 02− 1 20⎤⎦30 −121 0 − 1 2− 3 2120⎤⎦

128Kapitola 16Kvadratické formyDosadíme-li do bilineární formy za oba argumenty tentýž vektor, dostaneme speciálnífunkci jedné vektorové proměnné. Například pro y 1 = x 1 a y 2 = x 2 dostaneme nalevé straně rovnice (15.1) funkci jedné vektorové proměnné x = [x 1 , x 2 ] ve tvaruQ(x) = −2x 2 1 + 2x 1 x 2 − 3x 2 2. (16.1)Ukazuje se, že takové speciální funkce mohou v některých důležitých případech nahraditpůvodní bilineární formu. Přechod ke skalární funkci jedné vektorové proměnnéje základem takzvaných energetických metod řešení technických problémůa usnadňuje řešení některých dalších úloh, jak si v tomto textu ukážeme napříkladna řešení nekonzistentních soustav.16.1 Definice a příkladyDefinice 16.1. Nechť V je vektorový prostor a nechť B je bilineární forma na V.Zobrazení Q B definované pro libovolné x ∈ V předpisemQ B (x) = B(x, x)se nazývá kvadratická forma příslušná bilineární formě B. Kvadratickou formoubudeme stručně nazývat zobrazení Q definované na V, pro které existuje bilineárníforma B na V tak, že Q = Q B . Kvadratickou formu můžeme považovat za zobecněnífunkce y = ax 2 na vektorové prostory.Příklad 16.2. Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 je definovánozobrazení Q, které každému vektoru x = [x i ] přiřazujeQ(x) = x ⊤ x = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, (16.2)což je kvadratická forma příslušná bilineární formě definované rovností (15.2). Interpretujeme-lix jako polohový vektor, pak Q(x) je druhá mocnina jeho délky.

16.2 Základní vlastnosti 129Příklad 16.3. Nechť A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení,které každému sloupcovému vektoru x = [x i ] dimenze dvě přiřazujeQ(x) = x ⊤ Ax = a 11 x 2 1 + (a 12 + a 21 )x 1 x 2 + a 22 x 2 2je kvadratická forma příslušná bilineární formě definované rovností (15.3).Příklad 16.4. Nechť F je prostor všech reálných funkcí. Pak předpis, který každéfunkci f ∈ F přiřazujeQ(f) = f(1) 2 + f(2) 2 , (16.3)definuje kvadratickou formu příslušnou bilineární formě definované rovností (15.4).16.2 Základní vlastnostiNechť V je reálný vektorový prostor. Jelikož pro každou bilineární formu B na V,x ∈ V a reálné α platí B(αx, αx) = α 2 B(x, x), platí pro každou kvadratickou formuQ na V, x ∈ V a reálné α rovnostOdtud bezprostředně plyne, žeQ(αx) = α 2 Q(x).Q(o) = Q(0 · o) = 0a že obor hodnot H(Q) každé kvadratické formy Q obsahuje s každým číslem i jehonezáporné násobky. Obor hodnot nulové kvadratické formy definované předpisemQ(x) = 0 obsahuje pouze číslo 0.Pro každou bilineární formu B na V a libovolné x, y ∈ V platí takétakžeB S (x, y) = 1 2B(x + y, x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y),(︀ )︀ 1(︀ B(x, y) + B(y, x) = QB (x + y) − Q B (x) − Q B (y) )︀ . (16.4)2Jelikož pro libovolnou symetrickou bilineární formu B na V platí B = B S , plynez (16.4), že každá symetrická bilineární forma B na V je plně určena svou kvadratickouformou. Při studiu kvadratických forem se můžeme omezit na kvadratickéformy příslušné symetrickým bilineárním formám, neboť pro libovolnou bilineárníformu B na V a x ∈ V platíQ B (x) = B S (x, x). (16.5)

130 Kvadratické formy16.3 Matice kvadratické formyNechť V je vektorový prostor konečné dimenze s bází E = (e 1 , . . . , e n ) a nechť Qje daná kvadratická forma příslušná bilineární formě B. Pak můžeme pro libovolnývektor x ∈ V vyčíslit hodnotu Q(x) pomocí jeho souřadnic a matice bilineární formyB vzhledem k bázi E ze vztahuQ(x) = B(x, x) = [x] ⊤ E [B] E [x] E ,který dostaneme z (15.7). Je proto přirozené považovat matici [B] Eza matici kvadratickéformy Q příslušné bilineární formě B v bázi E. Podle (16.5) však kvadratickáforma příslušná B přísluší též symetrické části B S bilineární formy B. Jelikož maticelibovolné symetrické formy v dané bázi je symetrická, je výhodné definovat maticikvadratické formy Q B příslušné k bilineární formě B jako symetrickou matici[Q B ] = [︀ B S]︀ .Při studiu matic kvadratických forem se tedy můžeme omezit na symetrické matice.16.4 Diagonální tvar matice kvadratické formyJedním z důležitých problémů při studiu kvadratických forem je určit, jakých hodnotmůže nabývat daná kvadratická forma. Na tuto otázku můžeme snadno odpovědět,máme-li matici kvadratické formy v diagonálním tvaru, neboť pak se hodnota kvadratickéformy v daném vektoru vypočte jako součet druhých mocnin souřadnictohoto vektoru, tedy kladných čísel, násobených diagonálními prvky. Tak napříkladhned vidíme, že kvadratická forma (16.2) nabývá kladné hodnoty pro libovolný vektorx ≠ o.Není-li matice kvadratické formy v diagonálním tvaru, nemůžeme obvykle najítjejí obor hodnot bezprostředně, avšak můžeme se pokusit upravit formu na tvar, zekterého lze obor hodnot poznat. Například doplňováním čtverců formy Q definovanérovností (16.1) dostaneme pro x = [x 1 , x 2 ](︃ (︂ )︂ (︂ )︂ )︃ 2 1 1Q(x) = −2x 2 1 + 2x 1 x 2 − 3x 2 2 = −2 x 2 1 − 2x 12 x 2 +2 x 2 + 1 2 x2 2 − 3x 2 2 =(︂= −2 x 1 − 1 22)︂2 x − 5 2 x2 2,(16.6)takže Q(x) < 0 pro x ≠ o.Úpravu, kterou jsme použili při redukci Q na lineární kombinaci mocnin, můžemepopsat jako změnu báze. Zapíšeme-li si substituci y 1 = x 1 − 1x 2 2, y 2 = x 2 ve tvaruy = Tx s[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂x1y11 −1x = , y = , T =2x 2 y 2 0 1

16.5 Kvadratické formy v R 2 131a všimneme-li si, že x = [x] S, kde S = (s I 1, s I 2) je standardní báze R 2 , pak můžemepovažovat y za souřadnice x v nové bázi E = (e 1 , e 2 ), která je určena maticí zpětnéhopřechodu T od E k S. Podle (15.10) tedy platí[Q] S= T ⊤ [Q] ET,což si můžeme ověřit také vyhodnocením rovnosti[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ −2 1 1 0 −2 0=1 −3 − 1 1 0 − 5 2 2]︂ [︂ 1 −120 1]︂.EK matici zpětného přechodu T můžeme určit matici přechodu S od báze S k bázi[︂ ]︂ 1S = T −1 1=2,0 1kterou můžeme také zapsat ve tvaru S = [C] Spomocí matice lineárního zobrazeníC zobrazujícího bázi S na novou bázi E. Odtud[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂[︀ ]︀e 1 = [e 1 ] S= [C] S sI 111 =2 1 1=0 1 0 0[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂[︀ ]︀e 2 = [e 2 ] S= [C] S sI 112 =2 0 1]︂=2.0 1 1 1Jelikož Q je kvadratická forma příslušná symetrické bilineární forměmůžeme ověřit výpočtem, žeB(x, y) = −2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 − 3x 2 y 2 ,B(e 1 , e 1 ) = −2, B(e 1 , e 2 ) = B(e 2 , e 1 ) = 0, B(e 2 , e 2 ) = − 5 2 ,tedy[︂ −2 0[Q] E= [Q B ] E=0 − 5 2]︂.16.5 Kvadratické formy v R 2Libovolnou kvadratickou formu na R 2 můžeme zapsat buďto pomocí složek ve tvaruQ(x) = ax 2 1 + 2bx 1 x 2 + cx 2 2, (16.7)nebo maticově ve tvaruQ(x) = x ⊤ Ax, x =[︂x1x 2]︂, A =[︂ abbc]︂.

132 Kvadratické formyMatici A přitom můžeme považovat za matici Q ve standardní bází S = (s I 1, s I 2).Budeme se zabývat otázkou, na jaký tvar lze redukovat matici A přechodem kevhodné nové bázi. Pro zjednodušení výkladu se omezíme na hledání redukovanéhotvaru vhodného násobku formy Q, takže pro nenulovou formu můžeme předpokládat,že některý nenulový koeficient formy Q je roven jedné.Předpokládejme nejprve, že a = 1, takže doplněním čtverců můžeme upravit(16.7) na tvarQ(x) = (︀ x 2 1 + 2x 1 (bx 2 ) + (bx 2 ) 2)︀ + (c − b 2 )x 2 2 = (x 1 + bx 2 ) 2 + (c − b 2 )x 2 2.Budeme rozlišovat dva případy. Jestliže c − b 2 ≠ 0, pak pomocí substitucedostaneme jeden z tvarůy 1 = x 1 + bx 2 , y 2 = √︀ |c − b 2 |x 2 (16.8)Q(x) = y 2 1 + y 2 2, Q(x) = y 2 1 − y 2 2.Zapíšeme-li si substituci (16.8) v maticovém tvaru y = Tx s[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂x1y11 bx = , y = , T =x 2 y 2 0 √︀ |c − b 2 |můžeme provedenou úpravu zapsat též v maticovém tvarukde D je jedna z maticQ(x) = x ⊤ Ax = x ⊤ T ⊤ DTx = y ⊤ Dy, (16.9)D 1 =[︂ 1 00 1]︂ [︂ 1 0, D 2 =0 −1]︂,]︂. (16.10)Matici T přitom můžeme považovat za matici zpětného přechodu od nové báze Eke standardní bázi S, takže platíy = [x] E= T [x] S= Tx, [Q] E= D, Q(x) = [x] ⊤ E [Q] E [x] E = y⊤ Dy.Jestliže c − b 2 = 0, pak pomocí substituce y 1 = x 1 + bx 2 , y 2 = x 2 dostanemeQ(x) = y1. 2 Zapíšeme-li si tuto substituci opět v maticovém tvaru s[︂ ]︂ 1 bT = ,0 1můžeme provedenou úpravu zapsat též v maticovém tvaru (16.9) s[︂ ]︂ 1 0D = . (16.11)0 0

16.6 Pozitivně definitní kvadratické formy 133Ukazuje se, že každá nenulová kvadratická forma (nebo její násobek) má vevhodné bázi jednu z matic (16.10) nebo (16.11). Pro a = 0 a c ≠ 0 stačí zopakovatpředchozí úvahy s tím, že zaměníme a s c a x 1 s x 2 . Pokud a = c = 0, pak provhodný násobek Q bude b = 1/2. Položíme-lix 1 = y 1 + y 2 , x 2 = y 1 − y 2 ,dostanemeOdtud najdeme transformaciQ(x) = y 2 1 − y 2 2.y 1 = 1 2 (x 1 + x 2 ), y 2 = 1 2 (x 1 − x 2 ),kterou můžeme považovat za přechod k souřadnicím v nové bázi s maticí zpětnéhopřechoduT = 1 [︂ ]︂ 1 1.2 1 −1Přímým výpočtem si lze ověřit, že platí (16.9) s maticí D = D 2 z (16.10).Zahrneme-li do našich úvah i nulovou kvadratickou formu, dojdeme k závěru, žekaždou kvadratickou formu na R 2 můžeme redukovat vhodnou substitucí či přechodemk jiné bázi na jeden z tvarůQ 1 (x) = x 2 1 + x 2 2, Q 2 (x) = x 2 1 − x 2 2, Q 3 (x) = x 2 1, Q 4 (x) = 0,který lze identifikovat z hodnot, jichž může nabývat forma Q na množině R 2 ∖{o}.Každý z těchto tvarů má charakteristický název, který je uveden na obr. 16.1 spoluse znázorněním grafu z = Q(x).16.6 Pozitivně definitní kvadratické formyMimořádný význam v aplikacích mají kvadratické formy, jejichž obor hodnot tvořínezáporná čísla, takže je lze považovat za zobecnění eliptické a parabolické formyz obr. 16.1.Definice 16.5. Kvadratická forma Q na vektorovém prostoru V se nazývá pozitivnědefinitní , jestliže pro libovolné x ∈ V, x ≠ o platí Q(x) > 0. Jestliže prolibovolné x ∈ V platí Q(x) ≥ 0, pak se Q nazývá pozitivně semidefinitní .Příklad 16.6. Kvadratická forma (16.2) je pozitivně definitní.Příklad 16.7. Kvadratická forma q = −Q, kde Q je definována rovností (16.1), jepozitivně definitní. Vyplývá to z úpravy formy na tvar (16.6).

134 Kvadratické formyz2z = x 1 + x22z222z = x 1 − xQ(x)xx 1x 20x 1 02 -22a) Eliptická forma Q ( x) = x 21 + x 2x2-2x 2Q(x)0022-2 2b) Hyperbolická forma Q( x) = x 1 − x 22z2z = x 1zz = 0Q(x)x 2xx 1-2x20xx 12 Q -2x= xc) Parabolická forma ( )2102-202 -2Q x =d) Nulová forma ( ) 002Obr. 16.1: Kvadratické formy na R 2 .Příklad 16.8. Kvadratická forma (16.3) také nabývá pouze nezáporných hodnot,avšak Q(f) = 0 například pro nenulovou funkci f(x) = (x − 1)(x − 2). Kvadratickáforma (16.3) je proto pouze pozitivně semidefinitní.Je-li V je vektorový prostor konečné dimenze s bází E a je-li Q je pozitivnědefinitní kvadratická forma, pak pro libovolné x ≠ o platí [x] E ≠ o aQ(x) = [x] ⊤ E [Q] E [x] E> 0. (16.12)Nerovnost (16.12), kterou splňuje matice pozitivně definitní kvadratické formy, másmysl pro každou symetrickou matici A, kterou budeme nazývat pozitivně definitní, jestliže pro každý sloupcový vektor x ≠ o platí x ⊤ Ax > 0, a pozitivněsemidefinitní , jestliže x ⊤ Ax ≥ 0 pro libovolný sloupcový vektor x. Kvadratická

Příklady k procvičení 135forma je tedy pozitivně definitní (semidefinitní), právě když je její matice v libovolnébázi pozitivně definitní (semidefinitní).Každá pozitivně definitní matice má kladnou diagonálu. Skutečně, je-li A = [a ij ]pozitivně definitní matice, pak pro libovolný sloupec s = s I i jednotkové matice platí0 < s ⊤ As = a ii .Je-li D diagonální matice s diagonálními prvky d 1 , . . . , d n a x = [x i ], pakx ⊤ Dx = d 1 x 2 1 + . . . + d n x 2 n.Matice D je tedy pozitivně definitní, právě když d 1 > 0, . . . , d n > 0. Jelikož pozitivnídefinitnost je vlastnost kvadratické formy, která se přenáší na matice kvadratickéformy, plyne odtud, že symetrická matice kongruentní s diagonální maticíje pozitivně definitní, právě když tato diagonální matice má kladnédiagonální prvky. Obdobné tvrzení platí i pro pozitivně semidefinitní matice.S dalšími vlastnostmi pozitivně definitních matic se budeme seznamovat postupněv dalších kapitolách.Příklady k procvičení16.1. Je dána bilineární forma B : R 2 × R 2 → R definovaná vztahemB(x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 + 5x 2 y 1 − 3x 2 y 2 .Najděte kvadratickou formu příslušnou bilineární formě B a její matici ve standardníbázi.16.2. Je dána bilineární forma B : P 2 × P 2 → R definovaná předpisemB(p(x), q(x)) = p(−1)q(2) + p(2)q(1)a) Nalezněte matici bilineární formy vzhledem ke standardní bázi E = (x 2 , x, 1) a potomnalezněte matice její symetrické a antisymetrické části.b) Určete obraz dvojice polynomů p(x) = −3x 2 + 5x + 2 a q(x) = 4x 2 − 2x.c) Je kvadratická forma Q v P 2 daná předpisem Q(p(x)) = 8a 2 +2c 2 +4ab+10ac+4bc,příslušná k bilineární formě B, jestliže p(x) = ax 2 + bx + c? Své tvrzení zdůvodněte.Klíč k příkladům k procvičení[︂ ]︂ 1 416.1. Q(x) = x 2 1 + 8x 1x 2 − 3x 2 2 , [Q] S = 4 −3⎡8 6 5⎤⎡8 2 516.2. a) [B] S= ⎣ −2 0 −1 ⎦ , [B S ] S= ⎣ 2 0 15 3 25 1 2b) B(p, q) = −62,c) ano.⎤⎡⎦ , [B A ] S= ⎣0 4 0−4 0 −20 2 0⎤⎦

136Kapitola 17Kongruence symetrickýcha diagonálních maticV článku 15.6 jsme si zavedli pro symetrické matice relaci kongruence a ukázali jsmesi, že jakékoliv kongruentní matice můžeme považovat za souřadnice téže kvadratickéformy v různých bázích. Pro kvadratické formy na prostoru dimenze dvě jsme sidokonce dokázali, že mezi symetrickými maticemi dané kvadratické formy v různýchbázích je vždy diagonální matice, přičemž počet jejích kladných či záporných prvkůnezávisí na volbě báze. V této kapitole si tyto výsledky zobecníme a ukážeme siefektivní výpočetní postupy pro nalezení diagonální matice, která je kongruentnís danou symetrickou maticí.17.1 Diagonální redukce pozitivně definitní maticePro další studium kongruencí použijeme elementární řádkové operace a jejich maticovýzápis. Novinkou však bude to, že ke každé elementární operaci budeme následněuvažovat její sloupcovou variantu a místo o elementárních operacích budeme mluvito elementárních kongruencích. Je-li tedy T matice některé elementární operaces řádky čtvercové matice A (viz článek 6.1), pak matici upravenou příslušnouelementární kongruencí lze zapsat ve tvaru TAT ⊤ . Spojíme-li toto pozorování s postupy,které jsme používali při studiu LU rozkladů, snadno dokážeme následujícítvrzení, které lze použít k ověření pozitivní definitnosti matice nebo k řešení soustavs pozitivně definitní maticí.Věta 17.1. Nechť A je pozitivně definitní matice. Pak existuje regulární dolnítrojúhelníková matice L a diagonální matice D s kladnou diagonálou tak, žeLAL ⊤ = D. (17.1)

17.1 Diagonální redukce pozitivně definitní matice 137Důkaz. Nechť A = [a ij ] je daná pozitivně definitní matice řádu n. V článku 16.6jsme si ukázali, že každá pozitivně definitní matice má kladné diagonální prvky,takže a 11 > 0.S pomocí maticového zápisu elementárních operací najdeme, stejně jako v důkazuvěty 7.2, dolní trojúhelníkovou matici L 1 , pro kterou platí⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1n0 a 1 22 . . . a 1 2nL 1 A = ⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ .0 a 1 n2 . . . a 1 nnJelikož A je symetrická, plyne odtud, že matice (L 1 A) ⊤ = AL ⊤ 1 má stejný prvnísloupec jako A, takže[︂ ]︂L 1 AL ⊤ a11 o1 =, (17.2)o A 1kdeA 1 =⎡⎢⎣a 1 22 . . . a 1 2n... . .a 1 n2 . . . a 1 nnMatice A 1 je však nejen symetrická, jak je patrné z (17.2), nýbrž i pozitivně definitní,neboť pro každý vektor[︂ ]︂ 0x = ,y⎤⎥⎦ .kde y ≠ o, platí0 < x ⊤ L 1 AL ⊤ 1x = y ⊤ A 1 y.Opakováním tohoto postupu najdeme dolní trojúhelníkové matice L n−1 · · · L 1tak, že proL = L n−1 · · · L 1platí (17.1). Jelikož L je součin regulárních dolních trojúhelníkových matic, je Lpodle článku 7.2 také dolní trojúhelníková matice.Důkaz je založen na mírné modifikaci postupu uvedeného v článku 7.4 a dávánám současně návod, jak L a D nalézt.Příklad 17.2. Najděte diagonální matici D, která je kongruentní s pozitivně definitnímaticí⎡⎤2 −1 0A = ⎣ −1 2 −1 ⎦ . (17.3)0 −1 2

138 Kongruence symetrických a diagonálních maticŘešení. Matici A upravíme spolu s jednotkovou maticí na horní trojúhelníkovoumatici. Dostaneme:⎡⎤⎡⎤[︁ ]︁ 2 −1 0 1 0 02 −1 0 1 0 0⎢⎥A I = ⎣ −1 2 −1 0 1 0 ⎦r 2 + 1r ⎢ 32 1 ↦→ ⎣ 0 −1 1 1 0 ⎥2 2⎦ ↦→0 −1 2 0 0 10 −1 2 0 0 1 r 3 + 2r 3 2⎡⎤2 −1 0 1 0 0⎢ 3↦→ ⎣ 0 −1 1 ⎥1 02 2⎦4 1 20 0 13 3 3Snadno si ověříme, že pro⎡ ⎤ ⎡ ⎤platíL =13⎢⎣1 0 011 0213213213⎥⎦ , D =⎢⎣⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡1 0 0 2 −1 0LAL ⊤ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎥ ⎢= ⎣ 1 02⎦ ⎣ −1 2 −1 ⎦ ⎣0 −1 22 0 00 3 200 0 4 31 1 2⎥⎦ (17.4)130 1 2 30 0 1⎤⎥⎦ = D.17.2 LDL ⊤ rozklad a řešení soustav s pozitivnědefinitní maticíRozklad (17.1) je základem efektivních algoritmů pro řešení soustav s pozitivnědefinitními maticemi, neboť je ekvivalentní rozkladůmA −1 = L ⊤ D −1 L nebo A = ¯LD¯L ⊤ , ¯L = L −1 .Příklad 17.3. Využijte řešení příkladu 17.2 k řešení soustavy:2x 1 − x 2 = 1−x 1 + 2x 2 − x 3 = 0−x 2 + 2x 3 = 1(17.5)Řešení. Matice soustavy A je dána rovností (17.3), takže pro L a D definovanérovností (17.4) platí LAL ⊤ = D a A = L −1 DL −⊤ . Označíme-li si b pravou stranusoustavy (17.5), můžeme si vyjádřit její řešení ve tvaru⎡ ⎤ ⎡x = A −1 b = L (︀ ⊤ D −1 (Lb) )︀ 1 1 1 12 3⎢= ⎣ 0 1 2 ⎥ ⎢0 0⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 123⎦ ⎣ 0 2 0 ⎥ ⎢ 13⎦ ⎣ 1 0 ⎥ ⎢2⎦ ⎣ 00 0 1 0 0 3 1 21 14 3 3Soustava (17.5) má tedy řešení x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1.⎥⎦ =⎡ ⎤1⎢ ⎥⎣ 1 ⎦ .1

17.3 Kongruence symetrické a diagonální matice 13917.3 Kongruence symetrické a diagonální maticeDoplněním důkazu věty 17.1 můžeme dokázat, že každá symetrická matice je kongruentnís diagonální maticí.Věta 17.4. Nechť A = [a ij ] je symetrická matice. Pak existuje regulární matice Ta diagonální matice D tak, žeTAT ⊤ = D. (17.6)Důkaz. Nechť A = [a ij ] je symetrická matice řádu n. Jestliže a 11 = 0 a některýmimodiagonální prvek a i1 = a 1i je nenulový, pak přičtením nebo odečtením i-téhořádku k prvnímu řádku a následným provedením obdobné operace se sloupci můžemedostat do levého horního rohu nenulový prvek. Můžeme se o tom přesvědčit úpravou[︃ 1 i ]︃1 0 a 1i r 1 + αr ii a i1 a ii[︃1 i1 αa i1 a 1i + αa ii↦→i a i1 a ii]︃ [︃1 i]︃1 2αa i1 + α 2 a ii a 1i + αa ii↦→,i a i1 + αa ii a iis 1 + αs ikde jsme pro přehlednost vynechali řádky a sloupce matice A, které neovlivníprvek v levém horním rohu upravené matice, a dosazením α = 1 nebo α = −1.Maticový zápis takové úpravy má tvarĀ = [¯a ij ] = G 1 AG ⊤ 1,kde ¯a 11 ≠ 0 a G 1 je matice tvaru (6.2), která při násobení zleva realizuje přičteníprvního řádku k i-tému řádku nebo odečtení prvního řádku od i-tého řádku, tedyG 1 = G i1 (1) nebo G 1 = G i1 (−1). Pokud a 11 ≠ 0, pak položíme G 1 = I aĀ = A = G 1 AG ⊤ 1.Jelikož ¯a 11 ≠ 0, pak najdeme, stejně jako v článku 17.1, dolní trojúhelníkovoumatici L 1 tak, že[︂ ]︂L 1 ĀL ⊤ ¯a11 o1 =.o A 1Protedy platíT 1 AT ⊤ 1 =T 1 = L 1 G 1[︂¯a11o]︂o.A 1Celý postup můžeme opakovat, nejprve s maticí A 1 , k postupné eliminaci mimodiagonálníchprvků, až po n − 1 krocích dostaneme prorovnost (17.6).T = T n−1 · · · T 1

140 Kongruence symetrických a diagonálních maticDůkaz věty ukazuje, jak lze najít diagonální matici, která je kongruentní s danousymetrickou maticí.Příklad 17.5. Najděte regulární matici T a diagonální matici D tak, aby pro matici⎡0 1⎤0A = ⎣ 1 0 1 ⎦0 1 0platiloTAT ⊤ = D.Řešení. Matici A nejprve upravíme na diagonální tvar pomocí elementárních kongruencí.Dostaneme postupně:⎡ ⎤0 1 0 r 1 + r 2⎡1⎤1 1⎡ ⎤2 1 1⎣ 1 0 1 ⎦↦→ ⎣ 1 0 1 ⎦ ↦→ ⎣ 1 0 1 ⎦r 2 − 1r 2 1 ↦→0 1 00 1 01 1 0 r 3 − 1r 2 1s 1 + s 2⎡2 1 1⎤ ⎡2 0⎤0⎡2⎤0 0↦→ ⎣ 0 − 1 1 ⎦ ↦→ ⎣ 0 − 1 1 ⎦ ↦→ ⎣ 0 − 1 1 ⎦ ↦→2210 − 1 2 210 2 2r2 2s 2 − 1s 2 1 s 3 − 1s 2 2 3 + r 2 0 0 02 1s 2 + s 3⎡2⎤0 0↦→ ⎣ 0 − 1 0 ⎦20 0 0Matici T najdeme tak, že řádkové operace, které jsme použili k úpravě A, postupněprovedeme na jednotkové matici. Dostaneme tak⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤1 0 0 1 + r 2 1 1 01 1 0⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ 0 1 0 ⎦r↦→ ⎣ 0 1 0 ⎦r 2 − 1r ⎢2 1 ↦→ ⎣ − 1 1 ⎥0↦→2 20 0 10 0 1 r 3 − 1r 2 1 − 1 − 1 1⎦r2 2 3 + r 2⎡ ⎤1 1 0↦→ ⎣ − 1 10 ⎦ = T.2 2−1 0 1Snadno si ověříme, že platíTAT ⊤ =⎡⎢⎣2 0 00 − 1 200 0 0⎤⎥⎦ = D.

17.4 Zákon setrvačnosti kvadratických forem 141Důsledek 17.6. Nechť Q je libovolná kvadratická forma na vektorovém prostorukonečné dimenze. Pak existuje báze F prostoru V tak, že [Q] Fje diagonální.Důkaz. Nechť E je libovolná báze prostoru V. Jelikož [Q] Eje symetrická matice,existuje podle věty 17.4 regulární matice ¯S tak, že ¯S [Q] E¯S ⊤ = D, kde D je diagonálnímatice. To však je pro S = ¯S ⊤ ekvivalentní vztahu S ⊤ [Q] ES = D. Je-li F báze Vdefinovaná maticí přechodu S, pak podle (15.10) platí [Q] F= S ⊤ [Q] ES = D.17.4 Zákon setrvačnosti kvadratických foremNásledující věta nám říká, že kongruence zachovává i počet kladných, zápornýcha nulových prvků na diagonále. Poznamenejme, že toto tvrzení jsme si už ukázalipro pozitivně definitní matice a symetrické matice řádu dvě.Věta 17.7. Nechť D a E jsou diagonální matice řádu n s diagonálami d 1 , . . . , d na e 1 , . . . , e n . Nechť T je regulární a D = T ⊤ ET. Pak počet kladných, zápornýchi nulových prvků na diagonálách obou matic je shodný.Důkaz. Jelikož násobení regulární maticí zachovává hodnost matice, můžeme předpokládat,že obě matice mají stejný počet h nenulových prvků. Budeme také předpokládat,že diagonály jsou uspořádány tak, žed 1 > 0, . . . , d p > 0, d p+1 < 0, . . . , d h < 0e 1 > 0, . . . , e q > 0, e q+1 < 0, . . . , e h < 0.V opačném případě je přeuspořádáme pomocí elementárních kongruencí odvozenýchz výměny řádků. Dále budeme předpokládat, že T je regulární matice taková, žeD = T ⊤ ET. (17.7)Kdyby p < q, pak by existovalo řešení x soustavy rovnicx 1 = 0, . . . , x p = 0, r T q+1x = 0, . . . , r T h x = 0,které má některou z prvních h složek nenulovou, neboť podle předpokladu je rovnicméně než h. Musí to být zřejmě některá ze složek x p+1 , . . . , x h takže platícož je spor s (17.7).x ⊤ Dx < 0, x ⊤ T ⊤ ETx ≥ 0,

142 Kongruence symetrických a diagonálních matic17.5 PříkladyPříklad 17.8. Určete bázi v níž má kvadratická formadiagonální matici.Q(x) = (x 1 + x 2 ) 2 + (x 2 − 2x 3 ) 2 + x 2 3Řešení. Pokud si uvědomíme, že x = [x] S = [x 1 , x 2 , x 3 ] ⊤ , kde S je standardní bázeR 3 a označíme-li⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤y 1 = x 1 + x 2 ⎬ y 1 1 1 0 x 1y 2 = x 2 − 2x 3⎭ ⇔ ⎣y 2⎦ = ⎣0 1 −2⎦⎣x 2⎦ ⇔ [x] E = T[x] Sy 3 = x 3y 3 0 0 1 x 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 1 0y 1kde T = ⎣0 1 −2⎦ a [x] E = ⎣y 2⎦ jsou souřadnice vektoru x vzhledem k nějaké0 0 1y 3bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ). Matice T se obvykle nazývá matice přechodu od standardníbáze S k nové bázi E. Vše uvedenou substitucí dostáváme kvadratickou formu vetvaru Q(x) = y1 2 + y2 2 + y3. 2 Tento tvar můžeme dále upravit⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 y 1Q(x) = y1 2 + y2 2 + y3 2 = [y 1 , y 2 , y 3 ] ⎣0 1 0⎦⎣y 2⎦ = [x] T E [Q] E[x] E .0 0 1 y 3Odtud je patrné, že v bázi E má matice kvadratické formy⎡1 0⎤0[Q] E= ⎣0 1 0⎦0 0 1diagonální tvar a jelikož všechny její diagonální prvky jsou kladné je kvadratickáforma Q pozitivně definitní.Zbývá tedy určit tuto bázi. Jelikož [x] E = T[x] S a T je regulární můžemetaktéž psát [x] S = T −1 [x] E . Dosadíme-li za x postupně všechny vektory bázeE = (e 1 , e 2 , e 3 ) dostanemee i = [e i ] S = T −1 [e i ] E = T −1 s I T −1i = si , i = 1, 2, 3.Vypočteme tedy nejdříve matici T −1 :⎡1 1 0 1 0⎤0⎣ 0 1 −2 0 1 0 ⎦ r 2 + 2r 30 0 1 0 0 1⎡⎤1 0 0 1 −1 −2↦→ ⎣ 0 1 0 0 1 2 ⎦ .0 0 1 0 0 1⎡↦→ ⎣1 1 0 1 0 00 1 0 0 1 20 0 1 0 0 1⎤⎦r 1 − r 2↦→

17.5 Příklady 143Odtud⎡T −1 = ⎣1 −1 −20 1 20 0 1⎤⎡⎦ , e 1 = ⎣100⎤⎡⎦ , e 2 = ⎣−110⎤ ⎡⎦ , e 3 = ⎣−221⎤⎦ .E = (e 1 , e 2 , e 3 ) je tedy hledaná báze v níž má kvadratická forma Q diagonálnímatici.Snadno to můžeme ověřit sestavením matice Q pro bázi E. Budeme tedy dosazovatdo symetrické bilineární formyB S (x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3 ,která přísluší kvadratické formě Q.B S (e 1 , e 1 ) = 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 0 = 1B S (e 1 , e 2 ) = 1 · (−1) + 1 · 1 + 0 · (−1) + 2 · 0 · 1 − 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 == 0 = B S (e 2 , e 1 )B S (e 1 , e 3 ) = 1 · (−2) + 1 · 2 + 0 · (−2) + 2 · 0 · 2 − 2 · 0 · 1 − 2 · 0 · 2 + 5 · 0 · 1 == 0 = B S (e 3 , e 1 )B S (e 2 , e 2 ) = (−1) · (−1) + (−1) · 1 + 1 · (−1) + 2 · 1 · 1 − 2 · 1 · 0 − 2 · 0 · 1++ 5 · 0 · 0 = 1B S (e 2 , e 3 ) = (−1) · (−2) + (−1) · 2 + 1 · (−2) + 2 · 1 · 2 − 2 · 1 · 1 − 2 · 0 · 2++ 5 · 0 · 1 = 0 = B S (e 3 , e 2 )B S (e 3 , e 3 ) = (−2) · (−2) + (−2) · 2 + 2 · (−2) + 2 · 2 · 2 − 2 · 2 · 1 − 2 · 1 · 2++ 5 · 1 · 1 = 1Odtud sestavíme matici kvadratické formy vzhledem k bázi E ve tvaru⎡1 0⎤0[B S ] E= [Q] E= ⎣ 0 1 0 ⎦ .0 0 1Báze E je tedy opravdu bází ve které má matice kvadratické formy diagonální tvar.Příklad 17.9. Určete bázi, ve které má kvadratická forma Q na R 3 definovanápředpisemQ(x) = x 2 1 + 2x 1 x 2 + 2x 2 2 − 4x 2 x 3 + 5x 2 3diagonální tvar a formu klasifikujte.Řešení. Nejprve nalezneme matici kvadratické formy vzhledem ke standardní bázi.Tedy budeme dosazovat postupně vektory standardní báze do symetrické části příslušnébilineární formyB S (x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + 5x 3 y 3

144 Kongruence symetrických a diagonálních maticB S (s I 1, s I 1) = 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 0 = 1B S (s I 1, s I 2) = 1 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0 + 2 · 0 · 1 − 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 = 1= B S (s I 2, s I 1)B S (s I 1, s I 3) = 1 · 0 + 1 · 0 + 0 · 0 + 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 1 − 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 1 = 0 == B S (s I 3, s I 1)B S (s I 2, s I 2) = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 1 · 1 − 2 · 1 · 0 − 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 = 2B S (s I 2, s I 3) = 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · 0 + 2 · 1 · 0 − 2 · 1 · 1 − 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 1 = −2 == B S (s I 3, s I 2)B S (s I 3, s I 3) = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0 + 2 · 0 · 0 − 2 · 0 · 1 − 2 · 1 · 0 + 5 · 1 · 1 = 5Matice kvadratické formy vzhledem ke standardní bázi má tedy tvar:⎡1 1 0⎤[Q] S= ⎣ 1 2 −2 ⎦ .0 −2 5Pomocí elementárních kongruencí nalezneme matici R a diagonální tvar kvadratickéformy.⎡1 1 0 1 0⎤0⎡1 1 0 1 0⎤0⎣ 1 2 −2 0 1 0 ⎦ r 2 − r 1 ↦→ ⎣ 0 1 −2 −1 1 0 ⎦ ↦→0 −2 5 0 0 10 −2 5 0 0 1 r 3 + 2r 2⎡↦→ ⎣1 1 0 1 0 00 1 −2 −1 1 00 0 1 −2 2 1⎡D = (RA) R ⊤ = ⎣⎤1 1 00 1 −20 0 1⎡⎦ ⇒ R = ⎣⎤ ⎡⎦ ⎣1 0 0−1 1 0−2 2 11 −1 −20 1 20 0 1Bázi E určíme ze sloupců matice T −1 = R ⊤ , t.j.⎡ ⎤1⎡ ⎤−1e 1 = ⎣ 0 ⎦ , e 2 = ⎣010⎦ , e 3 =⎤⎤⎦ ,⎡⎦ = ⎣⎡⎣−2211 0 00 1 00 0 1⎤⎦ .⎤⎦ = [Q] E.Vzhledem k bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ) má kvadratická forma Q diagonální matici⎡1 0⎤0[Q] E= ⎣ 0 1 0 ⎦0 0 1a jelikož jsou všechny diagonální prvku kladné je forma pozitivně definitní.Příklad 17.10. Nalezněte LDL ⊤ rozklad matice⎡⎤4 1 0A = ⎣ 1 4 −1 ⎦ .0 −1 2

17.5 Příklady 145Řešení. Pomocí elementárních řádkových úprav nalezneme matici (L −1 A) a L −1⎡4 1 0 1 0⎤0⎡4 1 0 1 0⎤0⎣ 1 4 −1 0 1 0 ⎦ 4r 2 ↦→ ⎣ 4 16 −4 0 4 0 ⎦ r 2 − r 1 ↦→0 −1 2 0 0 10 −1 2 0 0 1⎡↦→ ⎣⎡↦→ ⎣4 1 0 1 0 00 15 −4 −1 4 00 −1 2 0 0 1⎤4 1 0 1 0 00 15 −4 −1 4 00 −15 30 0 0 15⎦15r 3⎤⎦↦→r 3 + r 2⎡↦→ ⎣4 1 0 1 0 00 15 −4 −1 4 00 0 26 −1 4 15⎤⎦ .Odtud dostáváme⎡L −1 = ⎣⎡D = (L −1 A)L −⊤ = ⎣1 0 0−1 4 0−1 4 154 1 00 15 −40 0 26⎤⎦⎤ ⎡⎦ ⎣1 −1 −10 4 40 0 15⎤⎡⎦ = ⎣4 0 00 60 00 0 390⎤⎦ .Určíme ještě L⎡1 0 0 1 0⎤0⎣ −1 4 0 0 1 0 ⎦ r 2 + r 1−1 4 15 0 0 1 r 3 + r 1⎡⎤1 0 0 1 0 0↦→ ⎣ 0 4 0 1 1 00 0 15 0 −1 1⎡1 0 0 1 0 0↦→ ⎣ 0 1 0 1 104 40 0 1 0 − 1 115 15⎦ 1r 4 21r 15 3⎤⎦ .Řešením je tedy, že A = LDL ⊤ , kde⎡1 0 0L = ⎣ 1 104 40 − 1 115 15⎤⎡↦→ ⎣1 0 0 1 0 00 4 0 1 1 00 4 15 1 0 1⎡↦→ ⎣⎦ , D = ⎣Příklad 17.11. LDL ⊤ rozkladem řešte soustavu⎡⎤⎦1 0 0 1 0 00 4 0 1 1 00 0 15 0 −1 14 0 00 60 00 0 3904x 1 + x 2 = 1x 1 + 4x 2 − x 3 = 0− x 2 + 2x 3 = 0⎤⎦ .r 3 − r 2⎤⎦↦→

146 Kongruence symetrických a diagonálních maticŘešení. Matice soustavy a vektor pravých stran má tvar:⎡⎤ ⎡ ⎤4 1 01A = ⎣ 1 4 −1 ⎦ , b = ⎣ 0 ⎦ .0 −1 20Ihned jde vidět, že matice A je totožná s maticí v zadání předchozího příkladua proto využijeme řešení předchozího příkladu kde jsme určili Choleského rozklad⎡⎤ ⎡⎤1 0 04 0 0L = ⎣ 1 10 ⎦ , D = ⎣ 0 60 0 ⎦ .4 40 − 1 10 0 39015 15Hledání Choleského rozkladu bychom však mohli zkrátit o výpočet matice L neboťk řešení soustavy nám plně postačí i její inverze tedy⎡1 0 0⎤L −1 = ⎣ −1 4 0 ⎦ .−1 4 15Nyní vlastní řešení:1. Dopředná substituce Lz ⎡ = b. Jelikož⎤máme ⎡ ⎤k dispozici ⎡ ⎤L −1 můžeme ji vyřešit1 0 0 1 1součinem z = L −1 b = ⎣ −1 4 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ = ⎣ −1 ⎦−1 4 15 0 −12. Dy = z. Jelikož D je diagonální matice můžeme řešení určit triviálně:⎡ ⎤4y 1 = 1 y 1 = 1 1460y 2 = −1 ⇔ y 2 = −14odtud y = ⎣ −1 ⎦ .60390y 3 = −1 y 3 = −160−13903903. Zpětná substituce L ⊤ x = y. Se znalostí L −1 řešíme opět jako součin⎡1 −1⎤ ⎡−1⎤ ⎡ ⎤x = L −⊤ y = ⎣ 0 4 4 ⎦ ⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ .0 0 15Řešením soustavu tedy je x 1 = 726 , x 2 = −113 , x 3 = −126 . Příklady k procvičení17.1. Pomocí elementárních kongruencí převeďte matici⎡2 −1 0⎤A = ⎣ −1 2 −1 ⎦0 −1 2na diagonální tvar.14−160−1390726−113−126

Příklady k procvičení 14717.2. Klasifikujte následující kvadratické formy:a) Q : R 2 → R, Q(x) = 3x 2 2 − 2x 1x 2 ,b) Q : R 3 → R, Q(x) = −3x 2 1 − 4x2 2 − 2x2 3 + 6x 1x 2 + 2x 1 x 3 − 4x 2 x 3 ,c) Q : R 3 → R, Q(x) = x 2 1 + x2 2 + x2 3 − 4x 1x 2 − 4x 2 x 3 ,d) Q : R 3 → R, Q(x) = x 2 1 + 4x2 2 + 8x2 3 − 4x 1x 2 + 6x 1 x 3 − 12x 2 x 3 ,e) Q : R 3 → R, Q(x) = x 2 1 + x2 2 + 4x2 3 − x 1x 2 − x 2 x 3 .17.3. Je dána kvadratická forma Q. Určete bázi, ve které má tato kvadratická forma diagonálnímatici a formu klasifikujte.a) Q : R 2 → R, Q(x) = 3x 2 1 + 2x 1x 2 ,b) Q : R 2 → R, Q(x) = −2x 2 1 + 2x 1x 2 − 3x 2 2 ,c) Q : R 2 → R, Q(x) = −2x 2 1 − 2x 1x 2 − 1 2 x2 2 ,d) Q : R 3 → R, Q(x) = 2x 2 1 + 4x2 2 + 29x2 3 + 4x 1x 2 − 12x 1 x 3 − 4x 2 x 3 .Klíč k příkladům k procvičení⎡17.1. Například D = ⎣17.2. a) indefinitní,b) negativně definitní,c) indefinitní,d) indefinitní,2 0 00 6 00 0 12⎤⎦e) pozitivně definitní.[︂ ]︂ 3 017.3. a) indefinitní, báze D = ([1, 0], [1, −3]), [Q] D=0 −3[︂ ]︂ −2 0b) negativně definitní, báze D = ([1, 0], [1, 2]), [Q] D=0 −10[︂ ]︂ −2 0c) negativně semidefinitní, báze D = ([1, 0], [1, −2]), [Q] D=0 0⎡ ⎤2 0 0d) pozitivně definitní, báze D = ([1, 0, 0], [−1, 1, 0]), [Q] D= ⎣ 0 2 0 ⎦0 0 3

148Kapitola 18Skalární součin a ortogonalitaAž doposud jsme se v souvislosti s vektorovými prostory nezabývali velikostí vektorůani úhly mezi vektory. Napravíme to v této kapitole, kde si zavedeme kosinus úhlui délku vektorů pomocí bilineární formy a naznačíme možnosti jejich využití.x 2v 2v αu 2 α 2uα 10 v 1u 1 x 1Obr. 18.1: Úhel vektorů.18.1 Definice skalárního součinuJak rozšířit pojem úhlu (či spíše kosinu úhlu) vektorů a délky vektoru na obecnývektorový prostor nám napoví obr. 18.1. Pro kosinus úhlu α vektorů u a v platícos α = cos(α 2 − α 1 ) = cos α 1 cos α 2 + sin α 1 sin α 2 =u 1 v= √︀ 1 u· √︀ 2 v+ √︀ · √︀ 2u21 + u 2 2 v21 + v22 u21 + u 2 2 v21 + v22

18.2 Norma vektoru 149zatímco pro délky ‖u‖, ‖v‖ vektorů u a v platí‖u‖ =√︁√︁u 2 1 + u 2 2 a ‖v‖ = v1 2 + v2.2Prohlédneme-li si oba vzorce, můžeme si všimnout, že obě veličiny, které chcemezobecnit, tedy délka vektoru i kosinus úhlu vektorů, můžeme vyjádřit pomocí jedinésymetrické pozitivně definitní bilineární formy(u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 ,které budeme dále říkat euklidovský skalární součin. S jeho pomocí můžemevyjádřit jak kosinus úhlu α vektorů u, v v R 2 , tak délku ‖u‖ pomocí vzorcůcos α =(u, v)√︀(u, u)√︀(v, v), ‖u‖ = √︀ (u, u). (18.1)Vzorce (18.1) mají po zadání bilineární formy smysl pro vektory libovolného vektorovéhoprostoru. To vede k následující definici.Definice 18.1. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je bilineárnísymetrická pozitivně definitní forma na V. Označíme-li si (u, v) skalární součinvektorů u, v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α ∈ R:(u + v, w) = (u, w) + (v, w) (S1)(αu, v) = α(u, v)(u, v) = (v, u)(S2)(S3)(u, u) > 0 pro u ≠ o (S4)Příklady skalárních součinů na různých vektorových prostorech jsou v článku16.6.18.2 Norma vektoruPokud použijeme vzorec (18.1) pro zavedení délky vektoru pomocí skalárního součinu,bude podle axiomu (S4) zřejmé, že délka vyjde kladná pro nenulový vektor,avšak nebude hned jasné, zda je taková definice v souladu s dalšími vlastnostmi,které obvykle připisujeme délce vektoru. Ukazuje se, že pro aplikace jsou hlavnívlastnosti, které si zformulujeme v následující definici normy vektoru, kterou můžemepovažovat za rozšíření délky vektoru z R 2 na obecný vektorový prostor. Normumůžeme považovat také za zobecnění absolutní hodnoty reálného nebo komplexníhočísla.

150 Skalární součin a ortogonalitaDefinice 18.2. Nechť V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoruv ∈ V přiřazuje nezáporné reálné číslo ‖v‖, se nazývá norma, jestliže pro každéu, v ∈ V a libovolný skalár α platí:Příklad 18.3. Předpis‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖‖αu‖ = |α| ‖u‖(N1)(N2)‖u‖ = 0, právě když u = o (N3)‖u‖ ∞ = max{|u 1 |, |u 2 |}definuje normu na R 2 . Množina vektorů s normou menší nebo rovnou 1 je na obr.18.2.x 21x 1vObr. 18.2: Množina vektorů ‖v‖ ∞ ≤ 1.18.3 Norma indukovaná skalárním součinemV tomto článku si ukážeme, že předpis (18.1) definuje normu ve smyslu odstavce18.2. Použijeme při tom následující nerovnost.Věta 18.4 (Schwarzova nerovnost). Nechť V je reálný vektorový prostor seskalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u, v ∈ V platíRovnost nastane, právě když jsou u, v závislé.(u, v) 2 ≤ (u, u)(v, v). (18.2)

18.4 Ortogonální množiny vektorů 151Důkaz. Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, žev ≠ o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platíZvolíme-li sidostaneme po úpravě0 ≤ (u + αv, u + αv) = (u, u) + 2α(u, v) + α 2 (v, v).(u, v)α = −(v, v) ,0 ≤ (u, u) −(u, v)2(v, v) ,odkud po vynásobení obou stran nerovnosti (v, v) a jednoduché úpravě dostaneme(18.2). Rovnost nastane, jen když (u + αv, u + αv) = 0, t.j. 1 · u + αv = o.Z (18.2) plyne, že ani ve vektorovém prostoru nepřevýší absolutní hodnota kosinuúhlu hodnotu 1.Důsledek 18.5. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a nechť je prokaždý vektor v ∈ V definováno ‖v‖ = √︀ (v, v). Pak pro každé dva vektory u, v ∈ Vplatí‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ (18.3)a zobrazení v ↦→ ‖v‖ je norma na V.Důkaz. S použitím axiomů skalárního součinu s Schwarzovy nerovnosti dostaneme‖u + v‖ 2 = (u + v, u + v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) ≤≤ ‖u‖ 2 + 2‖u‖‖v‖ + ‖v‖ 2 = (‖u‖ + ‖v‖) 2 ,takže platí (18.3). Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkemaxiomů skalárního součinu.Norma definovaná předpisem ‖v‖ = √︀ (v, v) se nazývá eukleidovská norma.18.4 Ortogonální množiny vektorůDefinice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohovévektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu rovennule.Definice 18.6. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množinavektorů E = {e 1 , . . . , e k } je ortogonální , právě když (e i , e j ) = 0 pro i ≠ j.Jestliže navíc (e i , e i ) = 1 pro všechna i = 1, . . . , k, pak je E ortonormální .Množina všech vektorů x ∈ V, které jsou ortogonální k dané množině vektorů U,se nazývá ortogonální doplněk U (vzhledem k množině V) a značí se U ⊥ .

152 Skalární součin a ortogonalitaJe-li E = {e 1 , . . . , e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá,neboť po skalárním vynásobení rovnostivektorem e i ∈ E dostanemex 1 e 1 + . . . + x k e k = o(e i , x 1 e 1 + . . . + x k e k ) = (e i , o),odkud pomocí axiomů skalárního součinu získámex i (e i , e i ) = 0,tedy x i = 0.Obdobným způsobem můžeme vypočítat souřadnice libovolného vektoru x danéhovektorového prostoru V v ortogonální bázi E = (e 1 , . . . , e n ), neboť z rovnostix = x 1 e 1 + . . . + x k e kdostaneme po skalárním vynásobení obou stran vektorem e i ∈ E a úpravě, žex i = (e i, x)(e i , e i ) . (18.4)Nemusíme tedy řešit žádnou soustavu rovnic.Neméně snadné je vypočítat eukleidovskou normu x ze souřadnic [x] E, neboť(x, x) = (x 1 e 1 + . . . + x n e n , x 1 e 1 + . . . + x n e n ) = x 2 1 + . . . + x 2 n.Ortogonální soustavy vektorů mají rozsáhlé uplatnění například při analýze signálů,při ekonomickém uchovávání rozsáhlých dat i v matematice. Následující větapopisuje doplněk oboru hodnot matice.Věta 18.7. Nechť A je libovolná matice. Pak N (A ⊤ ) je ortogonální doplněk H(A).Důkaz. Nechť x ∈ H(A) a y ∈ N (A ⊤ ). Pak A ⊤ y = o a x lze vyjádřit ve tvarux = Az. Platí tedyx ⊤ y = (Az) ⊤ y = z ⊤ A ⊤ y = 0,takže množiny N (A ⊤ ) a H(A) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m, n) odtudsnadno plyne h(A) + d(A ⊤ ) ≤ m, takže podle (13.1) platí h(A) ≤ h(A ⊤ ). Poslednínerovnost však platí i když nahradíme matici A maticí k ní transponovanou, takžeh(A) = h(A ⊤ ) a h(A) + d(A ⊤ ) = h(A ⊤ ) + d(A ⊤ ) = m, takže N (A ⊤ ) je ortogonálnídoplněk H(A).

18.5 Schmidtův ortogonalizační proces 153Příklad 18.8. Nechť e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1−x jsou dvě lineární funkce vektorovéhoprostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností(p, q) = p(0)q(0) + p(1)q(1). (18.5)Snadno se ověří, že předpis (18.5) skutečně definuje skalární součin na P 2E = (e 1 , e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2 , neboťa že(e 1 , e 2 ) = 0(1 − 0) + 1(1 − 1) = 0, (e 1 , e 1 ) = 1, (e 2 , e 2 ) = 1.Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a + bx můžeme vyjádřit ve tvarukdee = α 1 e 1 + α 2 e 2 ,α 1 = (e, e 1 ) = e(0) · e 1 (0) + e(1) · e 1 (1) = e(1) = a + bα 2 = (e, e 2 ) = e(0) · e 2 (0) + e(1) · e 2 (1) = e(0) = a.Snadno si ověříme, že skutečně platía + bx = (a + b)x + a(1 − x).Příklad 18.9. Nechť V je vektorový prostor všech po částech konstantních funkcína intervalu (0, 8], které mají skoky v celých číslech, v nichž jsou spojité zleva. Natomto prostoru definujeme skalární součin předpisem(f, g) =∫︁ 80f(x)g(x) dx = f(1)g(1) + f(2)g(2) + . . . + f(8)g(8).Snadno se ukáže, že vektory Haarovy báze H = (h 1 , . . . , h 8 ), viz obr. 18.3, jsou ortogonální.Vektory jsou uspořádány podle délky intervalu, na kterém jsou nenulové.Takto zvolená báze nám umožňuje analyzovat frekvenci změn funkce. Napříkladpodle (18.4) je[︀[f]H]︀8 = (h 8, f)(h 8 , h 8 )f(8) − f(7)= ,2odkud lze usoudit, že velké poslední souřadnice charakterizují častou změnu funkce.18.5 Schmidtův ortogonalizační procesKde vzít ortogonální bázi? V tomto článku si ukážeme, že z každé báze F == (f 1 , . . . , f n ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázi E = (e 1 , . . . , e n ), která mátu vlastnost, že každý vektor e i je lineární kombinací vektorů f 1 , . . . , f i .

154 Skalární součin a ortogonalita1h 11h 2-101 2 3 4 5 6 7 8 x-101 2 3 4 5 6 7 8 x1h 31h 4-101 2 3 4 5 6 7 8 x-101 2 3 4 5 6 7 8 x1h 51h 6-101 2 3 4 5 6 7 8 x-101 2 3 4 5 6 7 8 x1h 71h 8-101 2 3 4 5 6 7 8 x-101 2 3 4 5 6 7 8 xObr. 18.3: Haarova báze.Na začátku si všimneme, že f 1 ≠ o, a položímee 1 = f 1 .Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1 , . . . , e k takové, že pro každé i ∈∈ {1, . . . , k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1 , . . . , f i . Najdeme koeficientyα 1 , . . . , α k tak, abye k+1 = f k+1 − α 1 e 1 − . . . − α k e kbyl ortogonální k e 1 , . . . , e k . Jelikož pro i ∈ {1, . . . , k} by mělo platit0 = (e k+1 , e i ) = (f k+1 − α 1 e 1 − . . . − α k e k , e i ) = (f k+1 , e i ) − α i ‖e i ‖ 2 ,stačí položit α i = (f k+1 , e i )/‖e i ‖ 2 . Vektor e k+1 je zřejmě nenulový, neboť jej můžemevyjádřit jako lineární kombinaci vektorů f 1 , . . . , f k+1 s koeficientem 1 u f k+1 . Právěpopsaný algoritmus se nazývá Schmidtův ortogonalizační proces. Normalizacívektorů báze E = (e 1 , . . . , e n ) dostaneme ortonormální bázi G = (g 1 , . . . , g n ) s vektoryg 1 = e 1‖e 1 ‖ , . . . , g n =e n‖e n ‖ .

18.6 Ortogonální matice 155Příklad 18.10. Nechť⎡A = ⎣2 −1 0−1 2 −10 −1 2⎤⎦ .Najděte ortogonální bázi R 3 vzhledem ke skalárnímu součinu(x, y) A= x ⊤ Ay.Řešení. Bázi sestavíme Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardníbáze S = (s I 1, s I 2, s I 3).∙⎡e 1 = s I 1 = ⎣100⎤⎦ .∙ Položíme e 2 = s I 2 − αe 1 a určíme α aby platilo0 = (e 1 , e 2 ) A= e ⊤ 1As I 2 − αe ⊤ 1Ae 1 = −1 − 2α,odkud α = − 1 2 a e 2 =⎡⎢⎣1210⎤⎥⎦ .∙ Položíme e 3 = s I 3 − α 1 e 1 − α 2 e 2 a určíme α 1 , α 2 aby platilo0 = (e 1 , e 3 ) A= e ⊤ 1As I 3 − α 1 e ⊤ 1Ae 1 = −2α 1 ,0 = (e 2 , e 3 ) A= e ⊤ 2As I 3 − α 2 e ⊤ 2Ae 2 = −1 − 3 2 α 2.Řešením této soustavy dostaneme α 1 = 0, α 2 = − 2 3 ae 3 =⎡⎢⎣13231⎤⎥⎦ .18.6 Ortogonální maticeČtvercová matice U, která splňuje U ⊤ U = I, se nazývá ortogonální matice.Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje U −1 = U ⊤ . Následujícívěta nám říká, že násobení ortogonální maticí zachovává délky i úhly vektorů.

156 Skalární součin a ortogonalitaVěta 18.11. Nechť U je čtvercová matice řádu n. Pak jsou následující tvrzeníekvivalentní:(i)U ⊤ U = I.(ii) Pro všechny sloupcové vektory x řádu n platí(Ux) ⊤ (Ux) = x ⊤ x.(iii) Pro všechmy sloupcové vektory x, y řádu n platí(Ux) ⊤ (Uy) = x ⊤ y.Důkaz. Z (i) plyne (ii). Z U ⊤ U = I plyne(Ux) ⊤ (Ux) = x ⊤ U ⊤ Ux = x ⊤ x.Z (ii) plyne (iii). Ověří se použitím (16.4) a předpokladu.Z (iii) plyne (i). Z předpokladu dostaneme pro sloupce s i , s j jednotkové matice[︀U ⊤ U ]︀ ij = s⊤ i U ⊤ Us j = (Us i ) ⊤ Us j = s ⊤ i s j = s ⊤ i Is j = [I] ij.Ortogonální matice se uplatní v numerických metodách, neboť jejich inverznímatice lze získat transponováním a jejich násobením se nezesilují zaokrouhlovacíchyby.18.7 PříkladyPříklad 18.12. Rozhodněte, zda-li zobrazení definované předpisem[u, v] = 2u 1 v 1 + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3tvoří skalární součin na R 3 .Řešení.)︁1.(︁∀u, v, w ∈ R 3 :[u + v, w] = 2(u 1 + v 1 )w 1 + 4(u 2 + v 2 )w 2 + 2(u 3 + v 3 )w 3 == 2u 1 w 1 + 4u 2 w 2 + 2u 3 w 3 + 2v 1 w 1 + 4v 2 w 2 + 2v 3 w 3 = [u, w] + [v, w].

18.7 Příklady 1572.)︁(︁ )︁(︁∀u, v ∈ R 3 ∀α ∈ R :3.)︁(︁∀u, v ∈ R 3 :[αu, v] = 2(αu 1 )v 1 + 4(αu 2 )v 2 + 2(αu 3 )v 3 == α(2u 1 v 1 + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3 ) = α[u, v].[v, u] = 2v 1 u 1 + 4v 2 u 2 + 2v 3 u 3 = 2u 1 v 1 + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3 = [u, v].Body 1., 2., 3. jsme dokázali, že zadané zobrazení je symetrická bilineární forma.Nyní zbývá dokázat, že její příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.[u, u] = 2u 2 1 + 4u 2 2 + 2u 2 3 > 0, ∀u ∈ R 3 , u ≠ o.Z posledního vyplývá, že [u, u] je pozitivně definitní a tedy předpis [u, v]je skalárnímsoučinem na R 3 .Příklad 18.13. Rozhodněte, zda-li zobrazení R 3 ∋ v → ‖v‖ 1= |v 1 | + |v 2 | + |v 3 | jenormou na R 3 . Pokud ano, vypočtěte ‖x‖ 1, kde x = [1, 3, −2].Řešení. Musíme ověřit všechny tři vlastnosti normy.(︁ )︁1. ∀u, v ∈ V :2.‖u + v‖ 1= |u 1 + v 1 | + |u 2 + v 2 | + |u 3 + v 3 | ≤(︁ )︁(︁ )︁∀u ∈ V ∀α ∈ R :≤ |u 1 | + |v 1 | + |u 2 | + |v 2 | + |u 3 | + |v 3 | == |u 1 | + |u 2 | + |u 3 | + |v 1 | + |v 2 | + |v 3 | = ‖u‖ 1+ ‖v‖ 1.‖αu‖ 1= |αu 1 | + |αu 2 | + |αu 3 | = |α| |u 1 | + |α| |u 2 | + |α| |u 3 | == |α| (|u 1 | + |u 2 | + |u 3 |) = |α| ‖u‖ 1.3.‖u‖ 1= |u 1 | + |u 2 | + |u 3 | = 0 ⇔ |u 1 | = |u 2 | = |u 3 | = 0.⇔ u 1 = u 2 = u 3 = 0 ⇔ u = o.Zobrazení ‖v‖ 1tedy tvoří normu na R 3 . Pro x = [1, 3, −2] je‖x‖ 1= |1| + |3| + |−2| = 6.

158 Skalární součin a ortogonalitaPříklady k procvičení18.1. Určete pomocí Schmidtova ortogonalizačního procesu ortonormální bázi (e 1 , e 2 , e 3 )lineárního obalu vektorů v 1 = [1, 1, 1, 1], v 2 = [0, 1, 1, 1], v 3 = [1, 0, 1, 1] a najdětesouřadnice vektorů v 1 , v 2 , v 3 v bázi (e 1 , e 2 , e 3 ).18.2. Ověřte, že matice[︂ ]︂cos(α) sin(α)U(α) =− sin(α) cos(α)je ortogonální. Popište geometricky účinek násobení maticí U(α).18.3. Využijte báze (e 1 , e 2 , e 3 ) z příkladu 18.10 k řešení soustavy2x 1 − x 2 = 1−x 1 + 2x 2 − x 3 = 1− x 2 + 2x 3 = 1Řešení hledejte ve tvaru lineární kombinace vektorů e 1 , e 2 , e 3 .18.4. Je dán skalární součin [u, v] = 2u 1 v 1 + 4u 2 v 2 + 2u 3 v 3 na vektorovém prostoru R 3 .Určete normu vektoru x = [1, 3, −2] vzhledem k tomuto skalárnímu součinu.18.5. Je dán vektorový prostor R 3 se skalárním součinem (u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .Vypočtěte souřadnice vektoru x = [3, 4, 5] ⊤ vzhledem k ortogonální bázi⎛⎡E = ⎝⎣1−11K výpočtu využijte ortogonality báze.⎤⎡⎦ , ⎣110⎤⎡⎦ , ⎣− 1 2121⎤⎞⎦⎠ .Klíč k příkladům k procvičení18.4. √ 46.18.5. x = [ 4 3 , 7 2 , 11 3 ]⊤ .

159Kapitola 19Variační metody a metodanejmenších čtvercůV této kapitole se seznámíme s výsledky, které dávájí do souvislosti teorii lineárníchzobrazení a bilineárních a kvadratických forem. Zobecnění těchto výsledků je základemmoderních metod řešení rovnic, které popisují elektromagnetické, silové nebodeformační pole. Zde je použijeme k analýze soustav rovnic, které nemají řešení,s cílem naznačit zvídavému čtenáři užitečnost zavedených pojmů.19.1 Variační principVěta 19.1. Nechť A je symetrická pozitivně definitní matice řádu n, takže předpis(x, y) A= x ⊤ Ay (19.1)definuje skalární součin na R n . Nechť b, ¯x ∈ R n a nechť b značí lineární funkcidefinovanou předpisemb(x) = b ⊤ x.Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:(i) A¯x = b.(ii) (¯x, y) A= b(y) pro všechna y ∈ R n .(iii) ¯x je jediný vektor R n takový, že pro libovolné x ∈ R n platíq(¯x) ≤ q(x), (19.2)kdeq(x) = 1 2 (x, x) A − b(x).

160 Variační metody a metoda nejmenších čtvercůDůkaz. Z (i) plyne (ii). Jestliže x splňuje rovnost (i), pak ji splňuje i po přenásobeníy ⊤ zleva, takže platí (ii).Z (ii) plyne (iii). Označíme-li si h = x − ¯x, pakq(x) − q(¯x) = 1 2 (¯x + h, ¯x + h) A − b(¯x + h) − 1 2 (¯x, ¯x) A + b(¯x) == 1 2 (h, h) A + (¯x, h) A − b(h).Jestliže tedy (¯x, y) A= b(y) pro libovolné y ∈ R n , plyne z právě odvozené rovnosti,žeq(x) − q(¯x) = 1 2 (h, h) A ≥ 0,neboť skalární součin je nezáporný. Jelikož z (h, h) A= 0 plyne h = o, je tímdokázáno i tvrzení o jednoznačnosti.Z (iii) plyne (i). Nechť platí (19.2) a Aȳ = b. Již jsme si dokázali, že pro všechnax ∈ R n platíq(ȳ) ≤ q(x).Z jednoznačnosti minima pak dostaneme ¯x = ȳ, tedy A¯x = b.19.2 Metoda nejmenších čtvercůNechť A je matice typu (m, n) a nechť b ∈ R m . Budeme se zabývat otázkou, jaknajít x tak, aby rovnice Ax = b byla co nejlépe splněna, a to i v případě, že jejípřesné řešení neexistuje.Taková úloha může vzniknout například při opakovaném měření některé fyzikálníveličiny x. Jestliže například naměříme x 1 = 20, x 2 = 20, x 3 = 17, dostaneme pro xrovnicex = 20x = 20x = 17(19.3)které nemají řešení, přestože jsme přesvědčeni, že veličina x reálně existuje. Našísnahou bude určit x tak, aby vyhovovalo rovnicím (19.3) v určitém smyslu co nejlépe.Zavedeme si označenír(x) = Ax − bpro reziduum rovnice Ax = b, jejíž řešení je ekvivalentní nalezení x, pro kterér(x) = o. Snaze najít x, které splňuje co nejlépe rovnici Ax = b, tedy odpovídápožadavek, aby reziduum r(x) bylo malé, tedy aby minimalizovalo vhodnou normur(x). Z výpočetního hlediska se ukazuje nejjednodušší minimalizovat eukleidovskounormu ‖r‖ = √ r ⊤ r.Podmínku pro minimum v případě matice A s nezávislými sloupci si odvodímepomocí věty 19.1.

19.2 Metoda nejmenších čtverců 161Věta 19.2. Nechť A je obdélníková matice typu (m, n) s hodností n. Nechť m ≥ na b ∈ R m . Pak minimum ‖Ax−b‖ na R n je dosaženo v řešení normální rovniceA ⊤ Ax = A ⊤ b. (19.4)Důkaz. Pro Eukleidovskou normu rezidua r(x) = Ax − b platí‖r(x)‖ 2 = (Ax − b) ⊤ (Ax − b) = x ⊤ (A ⊤ A)x − 2 (︀ A ⊤ b )︀ ⊤x + b ⊤ b.Jelikož matice A má nezávislé sloupce, plyne z x ≠ o, že Ax ≠ o ax ⊤ (A ⊤ A)x = ‖Ax‖ 2 > 0,takže A ⊤ A je symetrická pozitivně definitní matice. K dokončení důkazu stačí označitb(x) = (︀ A ⊤ b )︀ x,(x, x) A ⊤ A = x ⊤ (A ⊤ A)xa použít větu (19.1) k nalezení rovnice pro minimum‖r(x)‖ 2 = (x, x) A ⊤ A − 2b(x) + b ⊤ b.Poznámka. Řešení x normální rovnice splňuje A ⊤ (Ax − b) = o, tedy r(x) jeortogonální ke sloupcovému prostoru S(A). Zapíšeme-li si vektor b ve tvarub = Ax − r(x),snadno zjistíme, že Ax je ze všech bodů S(A) nejblíže k b a r(x) je chyba ortogonálník S(A). Metoda současně minimalizuje mocninu normy chyby, která je určenasoučtem čtverců složek r(x). Odtud pochází název metoda nejmenších čtverců.Geometrický význam metody nejmenších čtverců ilustruje obr. 19.1.Příklad 19.3. Najděte x 1 , x 2 tak, aby byly rovnicex 1 + x 2 = 02x 1 + x 2 = 43x 1 + x 2 = 4(19.5)splněny co nejlépe ve smyslu eukleidovské normy rezidua.Řešení. Označíme-li A matici soustavy (19.5) a b její pravou stranu, vypočteme, že[︂ ]︂ ⎡ ⎤1 1 [︂ ]︂1 2 3A ⊤ A =⎣ 2 1 ⎦ 14 6= ,1 1 16 33 1

162 Variační metody a metoda nejmenších čtvercůb-r(b)AxS(A)Obr. 19.1 Geometrický význam metody nejmenších čtverců.A ⊤ b =takže x je řešením soustavy:[︂ 1 2 31 1 1]︂ ⎡ ⎣04414x 1 + 6x 2 = 206x 1 + 3x 2 = 8⎤[︂⎦ 20=8Odtud vypočteme x 1 = 2, x 2 = − 4.3Řešení definuje přímku o rovnici y = 2t − 4 , která minimalizuje součet čtverců3odchylek r i předepsaných hodnot, jak je to vyznačeno na obr. 19.2.]︂,19.3 Aproximace a projektoryV aplikacích se často vyskytuje úloha najít k danému vektoru v vektorového prostoruV vektor u, který patří do podprostoru U ⊂ V a který je k v nejbližší v dané normě.Pro V = R n , podprostor U zadaný bází tvořenou sloupci matice A ∈ R n,ma eukleidovskou normu je řešení této úlohy snadným důsledkem věty 19.2, neboťsouřadnice x = [u] Av bázi A = (s A 1 , . . . , s A m) splňují normálovou rovnici (19.4),odkudx = (︀ A ⊤ A )︀ −1A ⊤ v, u = A (︀ A ⊤ A )︀ −1A ⊤ v.Násobení maticíP = A (︀ A ⊤ A )︀ −1A⊤

19.3 Aproximace a projektory 163y543214y = 2t−3r 2r 12 2r + r +2 rr 32→1 3min-101 2 3tObr. 19.2 Metoda nejmenších čtverců.tedy každému vektoru přiřadí nejbližší vektor u ∈ S(A). Matice P se nazývá ortogonálníprojektor na S(A), neboť zobrazení v ↦→ Pv má podobné vlastnosti jakoortogonální projekce na osu souřadnic z obr. 19.3. Například pro libovolný vektor vplatí(︁P 2 v = A (︀ A ⊤ A )︀ )︁ (︁−1A⊤A (︀ A ⊤ A )︀ )︁−1A⊤v = A (︀ A ⊤ A )︀ −1A ⊤ u = Pv,(v − Pv) ⊤ Pv = v ⊤ Pv − v ⊤ P 2 v = v ⊤ Pv − v ⊤ Pv = o.Vektor Pv je nejlepší aproximací (přiblížením) k vektoru v z podprostoru Uve smyslu Eukleidovské normy.Příklad 19.4. Nechť⎡u = ⎣123⎤⎡⎦ , v = ⎣Najděte pomocí projektoru násobek ^v = αv vektoru v, který je nejbližší vektoru u.Řešení. Pro naši úlohuP = v (︀ v ⊤ v )︀ −1v ⊤ ,⎡ ⎤ ⎛ ⎡ ⎤⎞1^v = Pu = ⎣ 1 ⎦ ⎝ [︀ 1 1 1 ]︀ −1 ⎡1 [︀ ]︀1⎣ 1 ⎦⎠1 1 1 ⎣ 2113111⎤⎦ .⎤⎡⎦ = ⎣222⎤⎦ .

164 Variační metody a metoda nejmenších čtvercůUy = Px = P(Px)xx-PxPříklady k procvičeníObr. 19.3 Projekce.19.1. Najděte řešení soustavy (19.3) metodou nejmenších čtverců.19.2. Zjednodušte vzorec pro řešení soustavy Ux = b metodou nejmenších čtverců v případě,že U je ortogonální matice.

165Část IVDeterminanty

166Kapitola 20Induktivní definice determinantuSnaha o nalezení vzorce pro řešení soustav lineárních rovnic vedla k zavedení funkcejejich koeficientů, která se nazývá determinant. Determinant má mnoho vlastností,které se uplatní v teorii a při číselném řešení některých problémů formulovanýchpomocí malých matic. Pomocí determinantů lze například zformulovat kritéria protestování pozitivní definitnosti nebo regulárnosti matic. S použitím determinantů sebudeme seznamovat postupně. Mnoho problémů, jejichž řešení lze explicitně popsatpomocí determinantů, však lze řešit efektivněji bez jejich použití.20.1 Explicitní řešení malých soustavAbychom získali představu o struktuře vzorců pro řešení soustavy n lineárních rovnico n neznámých, odvodíme si tyto vzorce pro n = 1, 2, 3.Pro n = 1 dostaneme pro a 11 ≠ 0 elementárněPro n = 2 budeme řešit soustavua 11 x 1 = b 1 , x 1 = b 1a 11. (20.1)a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 .(20.2)Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme[︂ ]︂[︂]︂a11 a 12 b 1a↦→11 a 12 b 1a 21 a 22 b 2 a 22 r 1 − a 12 r 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 0 b 1 a 22 − a 12 b 2[︂ ]︂[︂ ]︂a11 a 12 b 1a11 a↦→12 b 1,a 21 a 22 b 2 a 11 r 2 − a 21 r 1 0 a 11 a 22 − a 12 a 21 a 11 b 2 − b 1 a 21odkud pro a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 dostanemex 1 = b 1a 22 − a 12 b 2a 11 a 22 − a 12 a 21, x 2 = a 11b 2 − b 1 a 21a 11 a 22 − a 12 a 21. (20.3)

20.1 Explicitní řešení malých soustav 167Obdobně, avšak pracněji, bychom mohli odvodit řešení soustavyDostali bychom například vzoreca 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 . (20.4)a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3x 1 = (a 22a 33 − a 23 a 32 )b 1 + (a 13 a 32 − a 12 a 33 )b 2 + (a 12 a 23 − a 13 a 22 )b 3a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 (a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 31 a 22 ) ,který má také smysl pouze pro nenulový jmenovatel.Nyní si všimněme, že ve všech třech případech lze čitatele i jmenovatele vyjádřitpomocí jedné funkce matice. Nejjednodušší je to pro n = 1, kdy stačí označit siformálnědet [︀ a ]︀ = ⃒ ⃒ a ⃒ ⃒ = a, (20.5)takže řešení (20.1) lze zapsat ve tvarux 1 =⃒ b 1⃒ ⃒⃒ a 11⃒ ⃒.Pro n = 2 si označme[︂ a bdetc d]︂=⃒ acbd⃒ = ad − bc = a ⃒ d ⃒ − b ⃒ c ⃒ . (20.6)Řešení soustavy (20.3) lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvarux 1 =⃒ b ⃒ 1 a 12 ⃒⃒⃒ /d, xb 2 a 2 =22⃒ a ⃒11 b 1 ⃒⃒⃒/d,b 2kded = a 11 a 22 − a 12 a 21 =⃒ a ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒11 a 12 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ a= a 11 a 12 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ aa 21 a 11 − a 11 a 12 ⃒⃒⃒22 a 21 a 1222 a 22Konečně pro n = 3 si zaveďme označení⎡⎤⃒a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 13 ⃒⃒⃒⃒⃒det ⎣ a 21 a 22 a 23⎦ =a 21 a 22 a 23 =a 31 a 32 a 33⃒ a 31 a 32 a 33= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 ) =⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12 a 13 ⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12 a 13 ⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12 a 13 ⃒⃒⃒⃒⃒= a 11 a 21 a 22 a 23 − a 12 a 21 a 22 a 23 + a 13 a 21 a 22 a 23 =a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33= a 11⃒ ⃒⃒⃒ a 22 a 23a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒− a 12⃒ ⃒⃒⃒ a 21 a 23a 31 a 33⃒ ⃒⃒⃒+ a 13⃒ ⃒⃒⃒ a 21 a 22a 21a 21a 31 a 32⃒ ⃒⃒⃒(20.7)

168 Induktivní definice determinantuŘešení x 1 lze pak zapsat ve tvaru⃒ b 1 a 12 a 13 ⃒⃒⃒⃒⃒ x 1 =b 2 a 22 a 23 /d, d =⃒ b 3 a 32 a 33⃒a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒.Vzorce (20.5), (20.6) a (20.7) nám tedy definují funkce matic, s jejichž pomocímůžeme napsat vzorce pro řešení soustav (20.1), (20.2) a (20.4). Tyto vzorce námdávají i určité vodítko k obecné definici determinantu, který zde chápeme jako funkcimatice, s jejíž pomocí můžeme zapsat vzorec pro řešení soustavy lineárních rovnic.20.2 Induktivní definice determinantuPro každou čtvercovou matici A = [︀ ]︀a ij , nechť MAij značí matici, která vzniknevyškrtnutím jejího i-tého řádku a j-tého sloupce. Matice M A ij se nazývá minormatice A příslušný k dvojici indexů (i, j). Například⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 2 31 2 3 [︂ ]︂A = ⎣ 4 5 6 ⎦, M A 12 = ⎣ 4 5 6 ⎦ 4 6= .7 97 8 97 8 9Definice 20.1. Nechť A = [︀ ]︀a ij je čtvercová matice řádu n s reálnými nebokomplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo⃒ A ⃒ a vypočteme jej podle následujících pravidel:(D1) Je-li n = 1, pak det A = det [︀ a 11]︀= a11 .(D2) Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercovématice řádu n − 1. Pak⃒ ⃒ ⃒ ⃒ det A = a 11 M A ⃒11 − a12 M A ⃒12 + a13 M A ⃒13 − · · · + (−1) n+1 a 1n M A ⃒1n(20.8)Determinant matice je tedy funkce prvků matice, která je definováma explicitněpro n = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinantmatice řádu n pomocí determinantů řádu n − 1. Výpočet determinantu matice n--tého řádu se tedy pomocí pravidla (D2) redukuje napřed na výpočty determinantůmatice řádu n − 1, pak se výpočet determinantu každé matice řádu n − 1 redukujepomocí téhož pravidla na výpočty determinantů matic řádu n − 2, až se problémredukuje na výpočty determinantů matic prvního řádu, které se určí podle pravidla(D1). Například⃒1 2 31 −1 2−1 2 1⃒ ⃒ ⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ = 1 −1 2⃒⃒⃒ 2 1 ⃒ − 2 1 2⃒⃒⃒ −1 1 ⃒ + 3 1 −1−1 2 ⃒ = −8.

20.3 Výpočetní náročnost 169Pro obecnou dolní trojúhelníkovou matici L = [︀ ]︀l ij si můžeme odvodit, žedeterminant L je roven součinu diagonálních prvků matice L, neboť⃒ ⃒ ⃒ l 11 0 . . . 0 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ l 22 0 . . . 0 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ l 21 l 22 . . . 0 l 32 l 33 . . . 0. . . .= l 11... . . ..= · · · = l 11 · · · l nn . (20.9).⃒ l n1 l n2 . . . l nn l n2 l n3 . . . l nnOdtud speciálně plynedet I = 1.Pro mírné zpřehlednění zápisu vzorce (20.8) si definujme algebraický doplněkmatice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisemA ij = (−1) ⃒ i+j M A ⃒ij .Vzorec (20.8) lze pak přepsat ve tvarudet A = a 11 A 11 + · · · + a 1n A 1n .20.3 Výpočetní náročnostDeterminant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla (D2) vyžaduje vyčíslenísoučtu n součinů čísel a determinantů matic řádu n − 1. Použijeme-li pravidlo (D2)na determinanty řádu n − 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-téhořádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n−1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n−2.Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řáduvyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n − 1)n! součinů. To ječíslo tak obrovské, že vyčíslení determinantů řádu 30 podle induktivní definice byna počítači s bilionem (10 12 ) operací za sekundu trvalo biliony let! Naštěstí se sotvavyskytne potřeba počítat determinanty tak velkých matic (na rozdíl od řešení soustav).Navíc existují efektivnější postupy výpočtu determinantů, s nimiž se postupněseznámíme.Příklady k procvičení20.1. Podle definice (20.8) vypočtěte determinant matic⎡ ⎤1 2 3 [︂A = ⎣ 4 5 6 ⎦ sin xa B =cos x7 8 9Klíč k příkladům k procvičení20.1. det A = 0, det B = 1− cos xsin x]︂.

170Kapitola 21Determinant a antisymetrickéformyV této kapitole se seznámíme s vlastnostmi determinantu, které nám umožní pochopitsouvislosti s některými známými pojmy, zejména s lineárními funkcionály a bilineárnímiformami. Budou nás přitom zajímat zejména ty vlastnosti determinantu,které se objeví, když se na determinant budeme dívat jako na funkci celých řádkůmatice. Abychom se vyhnuli nepřehledným zápisům manipulací s řádky matice A,budeme označovat hvězdičkou * submatice A, které se manipulací nezúčastní.21.1 Linearita v prvním řádkuLemma 21.1. Nechť A = [a ij ] a B = [b ij ] jsou čtvercové matice, které se lišínanejvýš v prvním řádku, a α je libovolný skalár. Pak⃒ ⃒ αrA 1⃒⃒⃒ * ⃒ = α det A a r A 1 + r B 1* ⃒ = det A + det B.Důkaz. Podle definice determinantu platí⃒ αrA 1*⃒ ⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ αa 11 . . . αa 1n ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒ = a 21 . . . a 2n.. ..= αa 11 A 11 + . . . + αa 1n A 1n = α det A.a n1 . . . a nn

21.2 Antisymetrie v prvních dvou řádcích 171a⃒ rA 1 + r B 1*⃒ ⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ a 11 + b 11 . . . a 1n + b 1n ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒ = a 21 . . . a 2n.. ..= (a 11 + b 11 )A 11 + . . . + (a 1n + b 1n )A 1n =.a n1 . . . a nn= (a 11 A 11 + . . . + a 1n A 1n ) + (b 11 A 11 + . . . + b 1n A 1n ) = det A + det B.21.2 Antisymetrie v prvních dvou řádcíchLemma 21.2. Nechť A=[a ij ] je čtvercová matice řádu n ≥ 2. Pak⃒ ⃒ r A 1 ⃒⃒⃒⃒⃒ r Adet A =r A 2 ⃒⃒⃒⃒⃒2 = −r A 1 .⃒ * ⃒ *Důkaz. Pro n = 2 platí⃒⃒ rA 1r A 2⃒ ⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ = a 11 a 12 ⃒⃒⃒ = aa 11 a 22 − a 12 a 21 = −(a 21 a 12 − a 22 a 11 ) = − ⃒22a 21⃒ rA 2r A 1⃒ .Důkaz pro obecnější případ se provede rozepsáním determinantů minorů v (20.8)a vhodnou úpravou. Úplný důkaz je však komplikovaný.21.3 Antisymetrie v libovolné dvojici řádkůVěta 21.3. Nechť A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n ≥ 2, nechť i < j a nechťB = [b ij ] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-téhořádku. Pak⃒ ⃒ * ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ * ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A i ir A j idet A =* = −* = − det B. (21.1)r A j jr A i j⃒ * ⃒ *

172 Determinant a antisymetrické formyDůkaz. Důkaz provedeme indukcí. Pro n = 2 tvrzení platí podle lemmatu 21.2.Abychom tvrzení dokázali pro n > 2, předpokládejme, že (21.1) platí pro maticeřádu 2, . . . , n − 1 a že 1 ≤ i < j ≤ n. Rozepišme si det A podle definice na tvardet A = a 11 |M A 11| − a 12 |M A 12| + . . . + (−1) n+1 a 1n |M A 1n|.Budeme rozlišovat dva případy:1. Pro 1 < i tvrzení platí, neboť každá submatice M B 1k vznikne podle předpokladuz M A 1k výměnou příslušných řádků, takže pomocí indukčního předpokladu a a 11 == b 11 , . . . , a 1n = b 1n dostanemedet B = b 11 |M B 11| − b 12 |M B 12| + . . . + (−1) n+1 b 1n |M B 1n| == a 11(︀−|MA11 | )︀ − a 12(︀−|MA12 | )︀ + . . . + (−1) n+1 a 1n(︀−|MA1n | )︀ = − det A.2. Jestliže i = 1, pak pomocí dokázaného tvrzení a lemmatu 21.2 dostaneme postupnědet B =⃒⃒r A j ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1r A 2 2*r A 1 j*= −⃒⃒r A j ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1r A 1 2*r A 2 j*=⃒⃒r A 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1r A j 2*r A 2 j*= −⃒⃒r A 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1r A 2 2*r A j*j= − det A.21.4 Linearita v libovolném řádkuVěta 21.4. Nechť A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkouk-tého. Pak pro libovolné α platí⃒ *⃒⃒⃒⃒⃒ *kαr A k⃒ * ⃒ = α det A a k r A k + rB k= det A + det B.* ⃒Důkaz. Pro k = 1 jsme tvrzení dokázali lemmatem 21.1.Pro k > 1 dostaneme postupným použitím věty 21.3 a lemmatu 21.1⃒r A 1*αr A k*⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ αr A k ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A k ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1k = − ***r A 1 k = −α r A 1 k = α r A = α det Ak k⃒ * * *

21.4 Linearita v libovolném řádku 173a⃒r A kr A 1*+ rB k*⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A k+ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ rB k ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A k ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r B k ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1k = − ** *r A 1 k = − r A 1 k − r B 1 k⃒* * *= det A + det B.Věty 21.3 a 21.4 můžeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrickábilineární forma libovolné dvojice řádků matice.Důsledek 21.5. Nechť A je libovolná čtvercová matice:(i) Má-li A dva stejné řádky, pak det A = 0.(ii) Má-li A nulový řádek, pak det A = 0.(iii) Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, apak det A = det B.r B k = r A k + αr A l , k ≠ l,(iv) Jsou-li řádky A lineárně závislé, pak det A = 0.Důkaz.(i) Jestliže v matici A vyměníme dva stejné řádky, matice se nezmění, avšak podlevěty 21.4 dostanemedet A = − det A.Odtud det A = 0.(ii) Nechť r A i= o. Pak s použitím věty 21.3 dostaneme⃒ ⃒ *⃒⃒⃒⃒⃒ *⃒⃒⃒⃒⃒det A =o⃒ * ⃒ i = *0 · o* ⃒ i = 0 o*⃒ = 0.(iii) Podle vět 21.3 a 21.4 platí*r A l ldet B =*r A k⃒+ =αrA lk* ⃒ ⃒⃒* ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒r A l l*r A k k*+⃒*r A l*αr A l*lk⃒=⃒⃒* ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒r A l l*r A k k*+ α⃒⃒* ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒r A l l*r A l k*== det A.

174 Determinant a antisymetrické formy(iv) Jsou-li řádky matice A lineárně závislé, pak podle věty 10.5 existuje index ia koeficienty α 1 , . . . , α i−1 tak, žer A i = α 1 r A 1 + . . . + α i−1 r A i−1.Odtudtakže podle (iii) a (ii) platí⃒ * ⃒⃒⃒⃒⃒ det A =r A i i =⃒ * ⃒=⃒r A i − α 1 r A 1 − . . . − α i−1 r A i−1 = o,*r A i − α 1 r A 1**r A i − α 1 r A 1 − . . . − α i−1 r A i−1*⃒ i = . . . =⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒ *⃒ i = o*i = 0.⃒21.5 Výpočet hodnoty determinantuV článcích 21.3 a 21.4 jsme si ukázali, že elementární řádkové úpravy ovlivňují velmijednoduše hodnotu determinantu. Přičtení násobku některého řádku k jinému ji nezměnívůbec, vzájemná výměna dvou řádků změní její znaménko a vynásobení řádkuskalárem ji vynásobí tímto skalárem. Elementární řádkové úpravy matice proto můžemevyužít k převodu matice na speciální tvar vhodný pro výpočet determinantu.Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle (20.9)roven součinu diagonálních prvků. Brzy uvidíme, že stejně se vypočte i determinanthorní trojúhelníkové matice.Příklad 21.6.3 2 1r 1 + r 32 0 2r 2 + 2r 3 =⃒ 3 1 −1 ⃒⃒6 3 08 2 03 1 −1⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒ 6 3 0⃒ = 2 4 1 03 1 −1= 2 · (−6) · 1 · (−1) = 12r 1 − 3r 2 = 2⃒⃒−6 0 04 1 03 1 −1⃒ =Příklad 21.7.0 1 11 0 1⃒ 1 1 0 ⃒ r 3r 2= −⃒0 1 11 1 01 0 1r 1 − r 3⃒= −⃒−1 1 01 1 01 0 1r 1 − r 2⃒= −⃒−2 0 01 1 01 0 1⃒ == −(−2) · 1 · 1 = 2

21.6 Determinant součinu matic 17521.6 Determinant součinu maticVěta 21.8. Nechť A a B jsou čtvercové matice řádu n. Pakdet(AB) = det A · det B.Důkaz. Předpokládejme nejprve, že A je diagonální, tedy⎡⎤d 1 0 . . . 00 d 2 . . . 0A = ⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ .0 0 · · · d nPakdet(AB) =⃒d 1 r B 1.d n r B n= d 1 · · · d n det B = det A · det B.⃒Je-li A libovolná regulární matice, pak existuje posloupnost T 1 , . . . , T k sestávajícíz l elementárních permutačních matic (6.1) a k − l Gaussových transformací(6.2), která splňuje⎡⎤d 1 0 . . . 00 d 2 . . . 0T k · · · T 1 A = ⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ = D.0 0 . . . d nJelikož násobení Gaussovou transformací realizuje přičtení některého řádku k jinémua násobení permutací realizuje výměnu řádků, platídet(AB) = (−1) l det(T k · · · T 1 AB) = (−1) l det(DB) = (−1) l det D · det B == (−1) l det(T k · · · T 1 A) · det B = (−1) l (−1) l det A · det B == det A · det B.Je-li konečně A singulární, pak A má závislé řádky a existuje posloupnostT 1 , . . . , T k Gaussových transformací tak, že matice T k · · · T 1 A má nulový řádek.Pak má však nulový řádek i matice T k · · · T 1 AB a podle důsledku (ii) z článku 21.4platídet(AB) = det(T k · · · T 1 AB) = 0.

176 Determinant a antisymetrické formyPříklady k procvičení21.1. Dokažte, že pro libovolnou čtvercovou matici A řádu n a skalár α platídet(αA) = α n det A.21.2. Vypočtěte:a)⃒0 1 21 0 21 2 0⃒b)⃒0 1 21 0 31 2 0⃒21.3. Ověřte, žeB(x, y) =⃒x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 2 3je antisymetrická bilineární forma definovaná pro reálné aritmetické vektoryx = [x 1 , x 2 , x 3 ] a y = [y 1 , y 2 , y 3 ].Klíč k příkladům k procvičení21.2. a) 6, b) 7⃒

177Kapitola 22Determinant a inverzní maticeSpojením induktivní definice determinantu s výsledky předchozí kapitoly dostanemevztahy, jejichž maticová interpretace vede ke vzorcům pro inverzní matici a řešenísoustav. Snadno odvodíme i některé další vlastnosti determinantů. Budeme přitompoužívat stejné konvence jako v kapitole 21.22.1 Rozvoj determinantu podle prvků libovolnéhořádkuVěta 22.1. Jestliže A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n > 1, pak pro libovolnýindex k platídet A = a k1 A k1 + . . . + a kn A kn . (22.1)Důkaz. Pro libovolné k dostaneme postupnou výměnou původně k-tého řádku s řádkembezprostředně nad ním⃒ ⃒ r A ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 1r A ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A 11r A 2r det A =2.A k12r = −2.A 2= . . . = (−1)1. k−1 =r A k − 1k−1r A k − 1r A kr A k − 1kk r A k−2kk−1r A kk−1⃒ * ⃒ * ⃒* ⃒= (−1) k−1 (︀ a k1 |M A k1| − a k2 |M A k2| + . . . + (−1) n+1 |M A kn| )︀ == (−1) k+1 a k1 |M A k1| + . . . + (−1) k+n |M A kn| == a k1 A k1 + . . . + a kn A kn .

178 Determinant a inverzní maticeDůsledek 22.2. Nechť A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n > 1.(i) Jsou-li k, l dva různé indexy řádků matice A, pak(ii) Je-li A trojúhelníková matice, pakDůkaz.a k1 A l1 + . . . + a kn A ln = 0. (22.2)det A = a 11 · · · a nn . (22.3)(i) Povšimněme si, že hodnota A li vůbec nezávisí na l-tém řádku matice A. Platítedy⃒ * ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ r A k ka k1 A l1 + . . . + a kn A ln =* = 0.r A k l⃒ *(ii) Je-li A dolní trojúhelníková matice, platí (22.3) podle (20.8). Je-li A horní trojúhelníkovámatice, pak opakovaným použitím (22.1) dostaneme postupně⃒ ⃒ ⃒ a 11 a 12 · · · a 1n ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12 · · · a 1 n−1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 0 a 22 · · · a 2n 0 a 22 · · · a 2 n−1det A =. ...= a nn. .. ...= . . . = a 11 a 22 · · · a nn .. .⃒ 0 0 · · · a nn 0 0 · · · a n−1 n−122.2 Adjungovaná a inverzní maticeAbychom si mohli zapsat rovnosti (22.1) a (22.2) maticově, zavedeme si nejprvenový pojem.Definice 22.3. Nechť A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovanámatice ̃︀A k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem⎡⎤A 11 . . . A n1⎢ ̃︀A = ⎣.. ..⎥ . ⎦ .A 1n . . . A nn

22.2 Adjungovaná a inverzní matice 179Příklad 22.4. Pro maticiplatí⎡A = ⎣A 11 =⃒ 0 21 −1 ⃒ = −2,A 13 =⃒ 2 03 1 ⃒ = 2,A 22 =⃒ 3 13 −1 ⃒ = −3 − 3 = −6, A A 31 =⃒ 2 10 2 ⃒ = 4,A 33 =⃒ 3 22 0 ⃒ = −4,3 2 12 0 23 1 −1⎤⎦ (22.4)A 12 = −⃒ 2 23 −1 ⃒ = −(−2 − 6) = 8,A 21 = −⃒ 2 11 −1 ⃒ = −(−2 − 1) = 3,23 = −⃒ 3 23 1 ⃒ = 3,A 32 = −⃒ 3 12 2 ⃒ = −4,takže⎡̃︀A = ⎣−2 3 48 −6 −42 3 −4⎤⎦ . (22.5)Věta 22.5. Nechť A je čtvercová regulární matice řádu n > 1. Pak det A ≠ 0 aA −1 = 1det A ̃︀A. (22.6)Důkaz. Je-li A čtvercová regulární matice, pak existuje posloupnost elementárníchřádkových operací, která převede A na jednotkovou matici I. Jelikož determinantmatice upravené elementární transformace se může od determinantu původní maticelišit jen nenulovým násobkem a det I = 1, platí det A ≠ 0.Nyní si povšimněme, že (22.1) a (22.2) můžeme zapsat maticově pomocí adjungovanématice ve tvaruA ̃︀A = (det A) · I.Odtud(︂ )︂ 1Adet A ̃︀A = I.

180 Determinant a inverzní maticePříklad 22.6. Pro matici A definovanou rovností (22.4) dostaneme s využitím(22.5)⎡⎢⎣3 2 12 0 23 1 −1⎤⎥⎦−1= 1 12⎡⎢⎣−2 3 48 −6 −42 3 −4Správnost výsledku si můžeme ověřit vynásobením.⎤⎡⎥ ⎢⎦ = ⎣− 1 62Důsledek 22.7. Matice A je regulární, právě když det A ≠ 0.14133− 1 2− 1 31614− 1 3Důkaz. Je-li A singulární, pak má závislé sloupce, takže podle důsledku (iv) části21.4 platí det A = 0. Obrácené tvrzení plyne z právě dokázané věty.⎤⎥⎦ .22.3 Determinant transponované maticeVěta 22.8. Nechť A je čtvercová matice. Pakdet A ⊤ = det A. (22.7)Důkaz. Podle článku 7.1 lze každou permutační matici P vyjádřit ve tvaruP = P 1 · · · P ksoučinu elementárních permutačních matic P i , které jsou symetrické, takžeaP ⊤ = P k · · · P 1det P ⊤ = |P k | · · · |P 1 | = det P.Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové maticeje podle důsledku (ii) článku 22.1 roven součinu jejích diagonálních prvků, platí(22.7) také pro každou trojúhelníkovou matici.Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty 7.2 o LUP rozkladu existujídolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační maticeP tak, žeA = LUP.S použitím věty o součinu determinantů 21.8 odtud plynedet A ⊤ = det(P ⊤ U ⊤ L ⊤ ) = |P ⊤ ||U ⊤ ||L ⊤ | = |L||U||P| = det(LUP) = det A.

22.4 Determinant jako funkce sloupců 18122.4 Determinant jako funkce sloupcůZe vztahu (22.7) vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejnévlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinantje antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice.Způsob odvození si budeme ilustrovat na důkazu následující věty o rozvoji determinantupodle sloupců, kterou upotřebíme v článku 22.5.Věta 22.9. Nechť A je čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro i = 1, . . . , n platídet A = a 1i A 1i + . . . + a ni A ni .Důkaz. S použitím věty 22.8 dostaneme⃒ a 11 . . . a n1 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ..det A = det A ⊤ =a 1i . . . a ni =..⃒ a 1n . . . a nn= (−1) i+1 a 1i |M ⊤ 1i| + . . . + (−1) i+n a ni |M ⊤ ni| == (−1) i+1 a 1i |M 1i | + . . . + (−1) i+n a ni |M ni | == a 1i A 1i + . . . + a ni A ni .22.5 Cramerovy vzorce pro řešení soustavPoužijeme-li vzorec (22.6) pro inverzní matici k řešení soustavyAx = bs regulární čtvercovou maticí A řádu n > 1, dostaneme pro složky x i řešení x vzorcex i = [︀ A −1 b ]︀ i = 1det A (A 1ib 1 + . . . + A ni b n ). (22.8)Povšimneme-li si, obdobně jako při odvození (22.2), že minory příslušné k prvkům i--tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, můžeme výraz v kulaté závorce (22.8)považovat za rozvoj determinantu maticeA b i = [︀i* b * ]︀ = [︀ is A 1 . . . s A i−1 b s A i+1 . . . s A n]︀,

182 Determinant a inverzní maticekterá vznikne z A záměnou i-tého sloupce za b podle i-tého sloupce. Výrazyx i = det Ab idet A ,i = 1, . . . , nse nazývají Cramerovy vzorce. Jejich speciální případy jsme si odvodili elementárnímivýpočty v kapitole 20.Příklad 22.10. Najděte řešení soustavypomocí Cramerových vzorců.3x 1 + 2x 2 + x 3 = 62x 1 + 2x 3 = 03x 1 − x 2 − x 3 = 0Řešení. Postupně vypočteme determinant matice soustavy3 2 1|A| =2 0 2⃒ 3 −1 −1 ⃒ = 12a čitatele Cramerových vzorců6 2 1|A b 1| =0 0 2⃒ 0 −1 −1 ⃒ = 12, 3 6 1|Ab 2| =2 0 2⃒ 3 0 −1 ⃒ = 48, 3 2 6|Ab 3| =2 0 0⃒ 3 −1 0 ⃒ = −12Odtudx 1 = |Ab 1|det A = 1, x 2 = |Ab 2|det A = 4, x 3 = |Ab 3|det A = −1.22.6 Použití Cramerových vzorcůCramerovy vzorce, které jsme si odvodili v kapitole 22.5, lze považovat za úplnéřešení soustavy lineárních rovnic v tom smyslu, že ho redukují na vyčíslení součtůa součinů, prakticky dosazení do vzorečku. To je užitečné zejména v případech,kdy potřebujeme vyjádřit řešení malé soustavy s proměnnými koeficienty. Jelikož sek efektivnímu výpočtu determinantu číselné matice obvykle vyplatí upravit maticina trojúhelníkový tvar, který lze přímo použít k řešení soustavy, lze si jen těžko představitefektivní využití Cramerových vzorců k řešení rovnic s číselnými koeficienty.Obdobné úvahy platí i pro vzorce pro výpočet inverzní matice.

Příklady k procvičení 183Příklady k procvičení22.1. Vypočtěte: ⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 2 3 41 0 2 −10 1 2 01 0 1 2a) rozvojem podle třetího řádku,b) rozvojem podle druhého sloupce.22.2. Vyjádřete řešení soustavy⃒(p + 2)x 1 − x 2 = 1−x 1 + 2x 2 = 1v závislosti na parametru p ≥ 0. K řešení použijte:a) vzorce pro inverzní matici,b) Crammerovy vzorce.22.3. Najděte nenulové řešení soustavys využitím věty 22.1 a vzorce (22.2).2x 1 + 3x 2 − x 3 = 0x 1 − x 2 + x 3 = 0Nápověda: Povšimněte si, že když opíšete kteroukoliv rovnici ještě jednou, získátesoustavu, jejíž determinant je roven nule.22.4. Rozhodněte pomocí determinantu, zda má soustavajediné řešení.x 1 − x 2 − x 3 = 1−x 1 + x 2 − x 3 = 0−x 1 − x 2 + x 3 = 122.5. Pomocí Crammerových vzorců nalezněte inverzní matici k matici⎡1 2⎤2A = ⎣ −1 0 2 ⎦ .1 1 122.6. Pomocí Cramerova pravidla vyřešte soustavux 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1−x 1 + 2x 3 = −1x 1 + x 2 + x 3 = 0

184 Determinant a inverzní maticeKlíč k příkladům k procvičení⎡22.5. ⎣−1 0 232− 1 2−2− 1 212122.6. [−1, 2, −1] ⊤ .⎤⎦

185Část VÚvod do spektrální teorie

186Kapitola 23Vlastní čísla a vektoryLineární transformace A obvykle nezobrazí daný vektor e na jeho násobek, takže ea Ae jsou typicky nezávislé vektory. Výjimečně se však může stát, že existuje číslo λtak, že Ae = λe. Ukazuje se, že takové dvojice λ a e jsou velmi důležité pro pochopenílineárních transformací a matic. V aplikacích se s nimi setkáme například při studiustability systémů, při analýze kmitání a při numerickém řešení rovnic rovnováhy čielektrického pole.23.1 Vlastní čísla a vektoryDefinice 23.1. Nechť A ∈ L(V) je lineární transformace definovaná na vektorovémprostoru V. Jestliže existuje nenulový vektor e ∈ V a skalár λ tak, žeAe = λe, (23.1)pak se λ nazývá vlastní číslo transformace A, e se nazývá vlastní vektor příslušnýk λ a (λ, e) se nazývá vlastní dvojice transformace A.Rovnost (23.1) si můžeme zapsat pomocí identity ve tvaru(A − λI)e = o,takže λ je vlastním číslem A, právě když A − λI není prosté zobrazení,a vlastní vektory A příslušné k λ jsou prvky jádra A − λI.Množina všech vlastních čísel A ∈ L(V) je podmnožinou množiny σ(A) všechskalárů λ, pro které neexistuje (A − λI) −1 . Množina σ(A) se nazývá spektrumtransformace A a pro transformace prostorů konečné dimenze je totožná s množinouvšech vlastních čísel A. Slovo „spektrum“ znamená „duch“ a vystihuje skutečnost,že spektrum na matici není vidět, avšak s jeho pomocí se mnohé vlastnosti maticsnadno vyloží, obdobně jako hýbání stolu na spiritistické seanci pomocí nějakéhoducha. Je tu ovšem i rozdíl – pokud se něco dovíme o spektru matice, pomůže námto řešit konkretní úlohy.

23.1 Vlastní čísla a vektory 187Obr. 23.1: Matice a její spektrum.Příklad 23.2. NechťA =[︂ 1 00 2Pak vektory standardní báze s 1 , s 2 jsou vlastní vektory matice A odpovídající pořadě vlastním číslům 1 a 2, neboť[︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂1 0 1 1 1 0 0 0= 1 a= 2 .0 2 0 0 0 2 1 1Vyjádříme-li si vektor x ve tvarumůžeme si Ax vyjádřit ve tvaru]︂.x = x 1 s 1 + x 2 s 2 ,Ax = 1 · x 1 s 1 + 2 · x 2 s 2 .Příklad 23.3. Nechť F je prostor všech reálných funkcí, které mají všechny derivacespojité. Označíme-li si D zobrazení, které každé funkci f přiřazuje její derivaci f ′ ,pak exponenciální funkce f(x) = e λx splňujeDf(x) = f ′ (x) = λe λx = λf(x).Každé reálné číslo je tedy vlastním číslem D. Označíme-li si g(x) = sin(λx), pak−D 2 g(x) = −g ′′ (x) = λ 2 sin(λx) = λ 2 g(x),takže každé nezáporné číslo je vlastním číslem −D 2 .Příklad 23.4. Nechť V je libovolný vektorový prostor a I je identické zobrazenídefinované na V. Pak pro každý vektor v ∈ V platíIv = 1 · v,takže každý nenulový vektor je vlastním vektorem identity odpovídající vlastnímučíslu 1 a σ(I) = {1}.

188 Vlastní čísla a vektory23.2 Charakteristický mnohočlen a spektrumJe-li A čtvercová matice, tak násobení maticí A − λI není podle článku 13.4 prostézobrazení, právě když A−λI je singulární. Podle důsledku 22.7 tedy skalár λ ∈ σ(A),právě když det(A − λI) = 0.Výraz det(A − λI) se nazývá charakteristický mnohočlen matice A a každévlastní číslo λ ∈ σ(A) je kořenem charakteristické rovnice|A − λI| = 0. (23.2)Násobnost vlastního čísla λ jako kořene rovnice (23.2) se nazývá algebraická násobnost.Podle takzvané základní věty algebry má každá algebraická rovnice s komplexnímikoeficienty alespoň jeden komplexní kořen. Odtud vyplývá, že každá čtvercovámatice považovaná za transformaci komplexního prostoru má neprázdnéspektrum.Ukazuje se, že komplexní kořeny charakteristické rovnice mohou mít význam propochopení vlastností reálných matic, které obvykle vznikají při formulaci technickýchproblémů. V dalším výkladu proto budeme uvažovat pouze komplexní vektorovéprostory a komplexní matice. Připomeňme, že reálnou matici považujeme zazvláštní případ komplexní matice.Řešením charakteristické rovnice můžeme vypočítat vlastní čísla a k nim příslušnévlastní vektory malých matic. Například vlastní čísla matice[︂ ]︂ 2 1A =1 2vypočteme řešením rovnicedet(A − λI) =⃒ 2 − λ 11 2 − λ⃒ = λ2 − 4λ + 3 = 0,odkud λ 1 = 3, λ 2 = 1. Vlastní vektory matice A vypočteme postupně řešenímsoustavλ 1 : −x 1 +x 2 = 0 λ 2 : x 1 + x 2 = 0odkudSnadno si ověříme, že[︂ ]︂ [︂ ]︂2 1 11 2 1x 1 −x 2 = 0 x 1 + x 2 = 0,[︂ ]︂ 1e 1 =1[︂ 1= 31]︂,[︂a e 2 =[︂ 2 11 2]︂ [︂1−11−1]︂.]︂[︂= 11−1]︂.

23.3 Neprázdnost spektra transformace 18923.3 Neprázdnost spektra transformaceVěta 23.5. Nechť A ∈ L(V) je lineární transformace komplexního prostoru Vkonečné dimenze. Pak σ(A) ≠ ∅.Důkaz. Nechť F = (f 1 , . . . , f n ) je báze V. Jelikož matice A = [A] Fmá neprázdnéspektrum, podle článku 23.2, existuje λ ∈ C a sloupcový vektor x = [x i ] tak, žeAx = λx.Označme sitakže [e] F= x. Pake = x 1 f 1 + . . . + x n f n ,takže Ae = λe a λ ∈ σ(A).[Ae] F= [A] F[e] F= Ax = λx = λ [e] F= [λe] F,23.4 Invariantnost vzhledem k podobnostiVzhledem k tomu, že podobné matice lze považovat za matice téhož zobrazení v různýchbázích, dá se očekávat, že podstatné charakteristiky podobných matic budoustejné.Nechť A je libovolná čtvercová matice a nechťAe = λe. (23.3)Po přenásobení (23.3) libovolnou regulární maticí T dostanemeodtudTAe = λTe,TAT −1 (Te) = λ(Te).Odtud plyne, že podobné matice mají stejná vlastní čísla.Podobnost zachovává nejen spektrum, ale i charakteristický mnohočlen. Skutečně,použitím věty 21.8 o součinu determinantů a jednoduchými úpravami dostanemedet(TAT −1 − λI) = |TAT −1 − λTIT −1 | = |T(A − λI)T −1 | = |T||A − λI||T −1 | == det(A − λI),takže podobné matice mají stejný charakteristický mnohočlen.

190 Vlastní čísla a vektory23.5 Součet a součin vlastních číselI když jsme si řekli, že spektrum není na matici obvykle vidět, neznamená to, že namatici není vidět žádná informace o spektru. Ukážeme si to podrobnějším rozboremcharakteristické rovnice.Pomocí matematické indukce a induktivní definice determinantu lze dokázat, žepro čtvercovou matici A = [a ij ] n-tého řádu platídet(A − λI) = (a 11 − λ) · · · (a nn − λ) + p n−2 (λ), (23.4)kde p n−2 je mnohočlen řádu nejvýše n − 2. Charakteristický mnohočlen (23.4) můžemedále upravit na tvardet(A − λI) = (−λ) n + (a 11 + . . . + a nn )(−λ) n−1 + q n−2 (λ), (23.5)s mnohočlenem q n−2 stupně nejvýše n−2. Jelikož charakteristický mnohočlen (23.4)je mnohočlen n-tého stupně, můžeme ho také vyjádřit pomocí základní věty algebryve tvaru součinu kořenových činitelůdet(A − λI) = (λ 1 − λ) · · · (λ n − λ) == (−λ) n + (λ 1 + . . . + λ n )(−λ) n−1 + . . . + λ 1 · · · λ n . (23.6)Po dosazení λ = 0 do (23.6) dostanemea porovnáním koeficientů u (−λ) n−1 v (23.5) a (23.6)det A = λ 1 · · · λ n (23.7)a 11 + . . . + a nn = λ 1 + . . . + λ n .Součet diagonálních prvků matice se nazývá stopa matice.Příklad 23.6. Určete součet a součin vlastních čísel matice[︂ ]︂ 2 1A = .1 2Řešení. Nechť λ 1 , λ 2 jsou vlastní čísla matice A. Pakλ 1 + λ 2 = 2 + 2 = 4λ 1 λ 2 = 4 − 1 = 3.

23.6 Lokalizace vlastních čísel 19123.6 Lokalizace vlastních číselPři řešení některých úloh není nutné mít úplnou informaci o spektru, ale stačí jenurčit část komplexní roviny, kde se spektrum nachází. Například najdeme-li částkomplexní roviny, která obsahuje spektrum dané matice A a neobsahuje nulu, budememít, podle (23.7), zaručeno, že A je regulární. Z tohoto důvodu je užitečnánásledující věta.Věta 23.7 (Geršgorin). Nechť A = [a ij ] je čtvercová komplexní matice řádu na nechťr i = |a i1 | + . . . + ̂︂|a ii | + . . . + |a in | a S i = {x ∈ C : |x − a ii | ≤ r i },kde stříška nad symbolem značí jeho vynechání. Pakσ(A) ⊂ S 1 ∪ . . . ∪ S n .Důkaz. Nechť Ax = λx, x = [x i ] a x ≠ o. Paka i1 x 1 + . . . + a ii x i . . . + a in x n = λx iodkud převedením členu a ii x i na pravou stranu dostanemea i1 x 1 + . . . + ̂︂a ii x i + . . . + a in x n = (λ − a ii )x i .Pomocí vlastností absolutní hodnoty tak snadno ověříme, že platí|a i1 ||x 1 | + . . . + ̂ |a ii ||x i | + . . . + |a in ||x n | ≥ |λ − a ii ||x i |. (23.8)Nechť i je takové, že |x i | = max |x j |. Jelikož |x i | > 0, platíj|x j |/|x i | ≤ 1. (23.9)Vydělíme-li rovnost (23.8) |x i |, dostaneme s použitím (23.9)tedy λ ∈ S i .|a i1 | + . . . + ̂︂|a ii | + . . . + |a in | ≥ |λ − a ii |,Příklad 23.8. Pomocí Geršgorinovy věty najděte co nejmenší část komplexní roviny,která obsahuje spektrum matice⎡ ⎤2 i 0A = ⎣ 1 3 1 ⎦ .1 i 4Řešení. r 1 = |i| + |0| = 1, r 2 = 1 + 1 = 2, r 3 = 1 + |i| = 2. Odtud S 1 = {x ∈∈ C : |x − 2| ≤ 1}, S 2 = {x ∈ C : |x − 3| ≤ 2}, S 3 = {x ∈ C : |x − 4| ≤ 2}, takžeσ(A) ⊂ S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 . Část komplexní roviny obsahující σ(A) je na obrázku 23.2,kde je vyšrafována oblast obsahující σ(A). Z obrázku 23.2 plyne, že 0 ∉ σ(A), takžematice A je regulární.

192 Vlastní čísla a vektory2iImi01 2 3 45 6RePříklady k procvičeníObr. 23.2: Spektrum matice.23.1. Najděte všechna vlastní čísla a vlastní vektory matic:⎡3 1⎤0⎡2 1⎤0a) A = ⎣ 0 2 1 ⎦ b) B = ⎣ 0 1 1 ⎦ c) C =0 0 10 0 123.2. Najděte všechna vlastní čísla matice⎡23.3. NechťA = ⎣A =Vypočtěte vlastní čísla matic A, A 2 , A −1 .1 0 00 5 40 4 5[︂ 5 44 523.4. Nechť A je libovolná regulární matice s vlastním číslem λ. Dokažte:a) λ 2 ∈ σ(A 2 ).b) λ −1 ∈ σ(A −1 ).c) λ 2 + 2λ + 1 ∈ σ(A 2 + 2A + I).23.5. Nechť⎡A = ⎣⎤]︂.2i 1 0−1 4i 11 1 4a) Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice A.⎦ .⎡⎣0 1 00 0 10 0 0b) Znázorněte část komplexní roviny, která podle Geršgorinovy věty obsahuje σ(A).⎤⎦ .⎤⎦

193Kapitola 24Spektrální rozklad symetrickématiceV kapitole 23 jsme viděli, že obrazy vlastních vektorů jsou určeny vlastními čísly,které splňují některé podivuhodné relace. Nyní si ukážeme, že z vlastních vektorůsymetrické matice můžeme sestavit ortonormální bázi. Toto tvrzení je snad to nejdůležitější,co se dá říct o symetrických maticích.24.1 Spektrum symetrické maticeVěta 24.1. Nechť A je reálná symetrická matice. Pak σ(A) ⊂ R.Důkaz. Předpokládejme, že λ je komplexní vlastní číslo reálné symetrické maticeA = [a ij ] řádu n, jemuž přísluší vlastní vektor e = [e i ], takžeAe = λe. (24.1)Pak pro λ komplexně sdružené s λ a vektor e = [e j ] se složkami e j komplexněsdruženými s e j platí, podle pravidla o součinu komplexně sdružených čísel, že[Ae] i= a i1 e 1 + . . . + a in e n = a i1 e 1 + . . . + a in e n = λe i = λe i = [︀ λe ]︀ ipro každý index i, takžeAe = λe. (24.2)Přenásobíme-li nyní rovnici (24.1) zleva e ⊤ a rovnici (24.2) zleva e ⊤ , dostanemeodkud s pomocísnadno odvodíme λ = λ.e ⊤ Ae = λe ⊤ e = λ (︀ |e 1 | 2 + . . . + |e n | 2)︀ ,e ⊤ Ae = λe ⊤ e = λ (︀ |e 1 | 2 + . . . + |e n | 2)︀ ,e ⊤ Ae = (︀ e ⊤ Ae )︀⊤ = e ⊤ Ae

194 Spektrální rozklad symetrické matice24.2 Vlastní vektory reálné symetrické maticeVěta 24.2. Vlastní vektory reálné symetrické matice A odpovídající různým vlastnímčíslům jsou ortogonální.Důkaz. Předpokládejme, že λ ≠ μ jsou vlastní čísla matice A, kterým odpovídajívlastní vektory e a f, takžeAe = λe a Af = μf. (24.3)Přenásobíme-li rovnice (24.3) postupně zleva f ⊤ a e ⊤ , dostanemeodkud s pomocíplynef ⊤ Ae = λf ⊤ e a e ⊤ Af = μe ⊤ f,f ⊤ Ae = (︀ f ⊤ Ae )︀⊤ = e ⊤ Af a f ⊤ e = (︀ f ⊤ e )︀⊤ = e ⊤ fPro λ ≠ μ tedy musí platit f ⊤ e = 0.λf ⊤ e = μf ⊤ e.Poznámka. Vlastní vektory libovolně blízkých matic se mohou výrazně lišit. Napříkladmatice⎡⎤1 + ε 0 0A ε = ⎣ 0 1 − ε 0 ⎦0 0 2má, až na skalární násobky, pouze tři nezávislé vlastní vektory tvořené sloupci maticeI 3 , avšak jakýkoli sloupcový vektor, který je lineární kombinací prvních dvousloupců jednotkové matice I 3 , je vlastním vektorem matice A 0 . Výpočet vlastníchvektorů odpovídajících blízkým vlastním číslům proto může být významně ovlivněnzaokrouhlovacími chybami. Je však možné dokázat, že vlastní čísla blízkých maticjsou si také blízká.24.3 Invariantní podprostoryDefinice 24.3. Nechť U je podprostorem vektorového prostoru V a nechť A ∈∈ L(V). JestližeA(U) ⊂ U,pak se U nazývá invariantní podprostor A a zúžení A|U transformace Ana U definované předpisemje také lineární transformace U.A|U : U ∋ u ↦→ Au ∈ U

24.3 Invariantní podprostory 195Příklad 24.4. NechťPak⎡A = ⎣5 −4 0−4 5 00 0 1U = {x ∈ R 3 : [x] 3 = 0} a V = {x ∈ R 3 : [x] 1 = [x] 2 = 0}jsou invariantní podprostory A.Příklad 24.5. Nechť A je čtvercová matice, λ ∈ σ(A) a N λ = N (A − λI). Pak prokaždý vektor u ∈ N λ platí(A − λI)Au = (A 2 − λA)u = A(A − λI)u = Ao = o,takže N λ je invariantní podprostor A. Jelikož u ∈ N (A−λI), právě když Au = λu,platíA|N λ = λI|N λ .Věta 24.6. Nechť U je invariantní podprostor reálné symetrické matice A dimenzen. PakU ⊥ = {v ∈ R n : v ⊤ u = 0 pro všechna u ∈ U}je invariantní podprostor U.Důkaz. Nechť U je invariantní podprostor matice A, u ∈ U a v ∈ U ⊥ , takže v ⊤ u = 0.Pak(Av) ⊤ u = v ⊤ (Au) = λv ⊤ u = 0.Dokázat, že U ⊥ je vektorový prostor, ponecháváme jako cvičení.V dalším výkladu budeme potřebovat ještě jedno snadné pozorování.Lemma 24.7. Nechť U a W jsou invariantní podprostory A ∈ L(V). Pak U + Wa U ∩ W jsou invariantní podprostory A.Důkaz. Jestliže U a W jsou invariantní podprostory A, v = u + w, u ∈ U a w ∈ W,pak Au ∈ U, Aw ∈ W aObdobně se dokáže i druhé tvrzení.⎤⎦ .Av = A(u + w) = Au + Aw ∈ U + W.Důsledek 24.8. Nechť e 1 , . . . , e k jsou vlastní vektory matice A. Paki U ⊥ jsou invariantní podprostory A.U = ⟨e 1 , . . . , e k ⟩Poznámka. I když vlastní vektory mohou být velmi citlivé na drobné změny matice,snadno se ověří, že obdobné tvrzení neplatí pro invariantní podprostory tvořenéobalem vlastních vektorů izolovaného shluku vlastních čísel symetrické matice.

196 Spektrální rozklad symetrické matice24.4 Spektrální rozklad reálné symetrické maticeVěta 24.9. Nechť A je reálná symetrická matice. Pak existuje ortogonální maticeU a diagonální matice D tak, žeA = U ⊤ DU. (24.4)Řádky r U i matice U jsou transponované ortonormální vlastní vektory matice Apříslušné vlastním číslům λ i = [D] ii .Důkaz. Nechť e 1 je vlastní vektor matice A řádu n. Pak E 2 = ⟨e 1 ⟩ ⊥ je podle věty 24.6invariantní podprostor A, takže podle věty 23.5 existuje vlastní vektor e 2 transformaceA|E 2 , který je ovšem také vlastní vektor A ortogonální k e 1 . Z e 1 a e 2 vytvořímeinvariantní podprostory ⟨e 1 , e 2 ⟩ a E 3 = ⟨e 1 , e 2 ⟩ ⊥ = ⟨e 1 ⟩ ⊥ ∩ ⟨e 2 ⟩ ⊥ . Opakováním postupupro E 3 = ⟨e 1 , e 2 ⟩ ⊥ , . . . , E n = ⟨e 1 , . . . , e n−1 ⟩ ⊥ dostaneme postupně ortogonálnívlastní vektory e 3 , . . . , e n . Sestavíme-li z normalizovaných vlastních vektorů maticiU ⊤ = [e 1 , . . . , e n ], dostaneme⎡⎡ ⎤λ 1 0 . . . 0UAU ⊤ = U[Ae 1 , . . . , Ae n ] =⎢⎣e ⊤ 1.e ⊤ n⎥⎦ [λ 1 e 1 , . . . , λ n e n ] =⎢⎣⎤0 λ 2 . . . 0.. . ..⎥ . ⎦ ,0 0 . . . λ nodkud po přenásobení U ⊤ zleva a U zprava dostaneme s použitím U ⊤ = U −1 rovnost(24.4).Příklad 24.10. NechťA =[︂ 5 44 5Pak A má vlastní čísla λ 1 = 9, λ 2 = 1, kterým odpovídají vlastní vektory[︂ ]︂ [︂ ]︂1 1e 1 = a e12 = .−1]︂.Jelikoža‖e 1 ‖ =‖e 2 ‖ =√︁e ⊤ 1e 1 = √ 2√︁e ⊤ 2e 2 = √ 2,můžeme sestavit z normalizovaných vlastních vektorů matici[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃e ⊤U =1/‖e 1 ‖√2 1 √2 1== 1 1 1√e ⊤ 2/‖e 2 ‖2 1 −11 √2− 1 √2]︃.

24.5 Geometrie spektrálního rozkladu 197Snadno si ověříme, žeA = 1 √2[︂ 1 11 −1]︂ [︂ 9 00 1]︂ 1 √2[︂ 1 11 −124.5 Geometrie spektrálního rozkladuJelikož z vlastních vektorů symetrické matice A lze sestavit ortonormální bázi prostorusloupcových vektorů stejné dimeze jako A, lze si účinek A představit tak, žeroztahuje, zkracuje a případně překlápí složku každého vektoru rovnoběžnou s vlastnímvektorem e i v závislosti na jeho vlastním čísle λ i , tak jako na obrázku 24.1.Odtud plyne, že pro obsah P ′ obrazu libovolného obrazce o původním obsahu P přizobrazení x ↦→ Ax bude platitP ′ = | det A|P.Kružnice se přitom zobrazí na elipsu s hlavními osami |λ 1 |, |λ 2 | tak jako na obrázku24.2.Obdobné úvahy platí i pro prostorové útvary a lze jim dát smysl i v prostorechvyšší dimenze.]︂.xAxe 2λ 1 e 1λ 2 e 2e 1oObr. 24.1: Účinek zobrazení x ↦→ Ax.24.6 Extremální vlastnosti vlastních číselJelikož pro jednotkové vektory platí x ⊤ x = 1, lze z předchozích úvah, zejménaz obrázku 24.2, očekávat, že extrémní hodnoty výrazu x ⊤ Ax pro x ⊤ x = 1 budev případě symetrické matice dosaženo v příslušných vlastních vektorech. Dokážemesi toto tvrzení konkrétněji.

198 Spektrální rozklad symetrické maticee 2λ 1 e 1e 1λ 2 e 2oObr. 24.2: Obsah obrazu kruhu při zobrazení x ↦→ Ax.Věta 24.11. Nechť λ 1 ≤ . . . ≤ λ n jsou vzestupně uspořádaná vlastní čísla symetrickématice A. Pakλ 1 = min x ⊤ Ax a λ n = max x ⊤ Ax.x ⊤ x=1x ⊤ x=1Důkaz. Nechť A = U ⊤ DU je spektrální rozklad matice A. Pak platí(Ux) ⊤ Ux = x ⊤ U ⊤ Ux = x ⊤ x,takžemax x ⊤ Ax = max x ⊤ U ⊤ DUx = max{(Ux) ⊤ DUx : (Ux) ⊤ Ux = 1} =x ⊤ x=1x ⊤ x=1= max y ⊤ Dy = max λ 1 yy ⊤ y=1y ⊤ 1 2 + . . . + λ n yn 2 ≤ max λ n y ⊤ y = λ n .y=1y ⊤ y=1Přímým výpočtem si lze ověřit, že maxima je dosaženo ve vlastním vektoru příslušnémk λ n .Obdobně se dokáže i tvrzení o minimu.

Příklady k procvičení 199Příklady k procvičení24.1. a) Nechť A, U, V značí matici z příkladu 24.4 a její invariantní podprostory. Najdětematici zúžení A|U v bázi E = (s 1 , s 2 ),b) Najděte σ(A|U) a σ(A|V).⎡s 1 = ⎣c) Najděte spektrální rozklad matice A.24.2. Tenzor100⎤⎡⎦ , s 2 = ⎣[︂ ]︂σ11 σT =12σ 22σ 21lze považovat za zobrazení, které každému vektoru n přiřazuje vektor Tn, který určujesílu působící na úsečku délky d = √ n ⊤ n určenou normálou n. Najděte vzorec promaximální a minimální sílu působící na jednotkovou úsečku.010⎤⎦ .

200Kapitola 25Důsledky spektrálního rozkladu25.1 Lokalizace spektra pomocí kongruenceVěta o spektrálním rozkladu 24.9 říká, že každá symetrická matice A je současněpodobná a kongruentní s diagonální maticí D mající na diagonálespektrum σ(A) matice A. Jelikož podobnost zachovává spektrum matice, kongruencezachovává znaménka diagonálních prvků a pozitivní definitnost či semidefinitnostdiagonální matice poznáme podle diagonálních prvků, platí, že symetrickámatice A je pozitivně definitní (semidefinitní), právě když má kladné(nezáporné) spektrum σ(A).Větu o spektrálním rozkladu můžeme použít též jako základní teoretický nástrojk odvození postupu pro určení počtu vlastních čísel symetrické matice v danémintervalu nebo na polopřímce. Postupem uvedeným v článku 17.3 totiž můžeme najítpoměrně snadno diagonální matici E, která je kongruentní s maticí D ze spektrálníhorozkladu. Podle zákona setrvačnosti kvadratických forem 17.7 však mají matice Da E stejný počet kladných, záporných a nulových diagonálních prvků, takže podlediagonály E můžeme určit počet kladných, záporných a nulových prvků σ(A).Jelikož z Ae = λe plyne (A − cI)e = (λ − c)e, můžeme použitím téhož postupuna matici A − cI zjistit počet vlastních čísel A, která jsou větší než c, menší nežc, nebo se rovnají c. Jednoduchou modifikací tohoto postupu můžeme určit, kolikvlastních čísel je v daném intervalu.Příklad 25.1. Určete, zda má maticenějaké vlastní číslo větší než 2.⎡0 1⎤0A = ⎣1 1 1⎦0 1 0Řešení. Matice A má vlastní číslo větší než 2 právě tehdy, když má matice A − 2I

25.2 Sylvesterovo kritérium pozitivní definitnosti 201nějaké kladné vlastní číslo. Postupnou úpravou dostaneme⎡⎤⎡−2 1 0A − 2I = ⎣ 1 −1 1 ⎦r 2 + 1r 2 1 ↦→ ⎣0 1 −2⎡↦→ ⎣⎤−2 0 00 − 1 1 ⎦20 1 −2 r 3 + 2r 2⎡↦→ ⎣⎤−2 1 00 − 1 1 ⎦ ↦→20 1 −2s 2 + 1s 2 1⎤ ⎡−2 0 00 − 1 1 ⎦ ↦→ ⎣20 0 0s 3 + 2s 2⎤−2 0 00 − 1 0 ⎦.20 0 0Jelikož 0 ∈ σ(A − 2I), platí 2 ∈ σ(A), avšak žádné vlastní číslo A není větší než2. 25.2 Sylvesterovo kritérium pozitivní definitnostiSpojíme-li pozorování předchozích odstavců s našimi znalostmi determinantů a kongruence,můžeme dokázat podmínku pro pozitivní definitnost matice pomocí determinantů.Věta 25.2 (Sylvester). Nechť A = [a ij ] je čtvercová matice a nechť⎡⎤a 11 . . . a 1i⎢A i = ⎣ ...⎥ . . ⎦ , i = 1, . . . , n.a i1 . . . a iiPak matice A je pozitivně definitní, právě kdyždet A i > 0,i = 1, . . . , n.Důkaz. Je-li matice A pozitivně definitní, pak je pozitivně definitní i každá jejísubmatice A i , neboť pro libovolný nenulový vektor y řádu i a[︂ ]︂ yx =o n−iplatí 0 < x ⊤ Ax = y ⊤ A i y. Pozitivně definitní matice však mají podle odstavce 25.1kladná vlastní čísla, takže i jejich součin, rovnající se det A i , je kladný.Nechť obráceně det A i > 0 pro i = 1, . . . , n. Pak speciálně a 11 = det A 1 > 0,takže stejně jako v důkazu věty 17.1 najdeme matici L 1 tak, že platí[︂ ]︂L 1 AL ⊤ a11 o1 =.o Ā 1

202 Důsledky spektrálního rozkladuNyní si připomeňme, že L 1 lze zapsat obdobným předpisem jako (7.3) pomocí součinumatic, jejichž násobením se realizuje přičtení násobku prvního řádku nebosloupce násobené matice k jinému řádku nebo sloupci téže matice. To však znamená,že násobení maticí L 1 zleva ani násobení maticí L 1 ⊤ zprava nemění determinantymatic A i . Specielně odtud vyplývá, že pro prvek a 1 22 v levém horním rohu maticeĀ 1 platídet A 2 = a 11 a 1 22 > 0,takže a 1 22 je kladný. Opakováním tohoto postupu nakonec lze ukázat, že matice A jekongruentní s diagonální maticí s kladnými čísly na diagonále, tedy že A je pozitivnědefinitní.Poznámka. Pro Sylvesterovo kritérium platí to, co bylo řečeno o determinantechobecně. Pro rozhodnutí o pozitivní definitnosti větší matice je vhodnější použítLDL ⊤ rozkladu (viz článek 17.2).25.3 Skalární funkce symetrické maticeV článku 13.7 jsme si ukázali, že do jakéhokoliv mnohočlenu můžeme „dosadit“lineární transformace tak, že výsledek nezáleží na konkrétním zápisu mnohočlenu,takže mnohočleny lineární transformace můžeme upravovat obdobně jako skalárnímnohočleny. Pro mnohé aplikace je však důležité umět dosazovat alespoň symetrickématice do funkcí, které jsou obecnější než mnohočlen, ovšem tak, aby byla splněnapravidla, která jsou nezbytná k počítání s maticovými funkcemi.Definice 25.3. Nechť A je symetrická matice řádu n a nechť F A je množina všechreálných funkcí definovaných na jejím spektru σ(A). Zobrazení, které každé funkcif ∈ F A přiřazuje symetrickou matici f(A) řádu n, definuje skalární funkcematice A, jestliže pro libovolné funkce f, g ∈ F A a identitu id R platí:(F1) id R (A) = A.(F2) (f + g)(A) = f(A) + g(A).(F3) (f · g)(A) = f(A) · g(A).(F4) Jestliže f(x) ≥ x pro x ∈ σ(A), pak f(A) je pozitivně semidefinitní.Snadno se ověří, že skalární funkce diagonální matice⎡⎤λ 1 0 . . . 00 λ 2 . . . 0D = ⎢⎣ . ...⎥ . . ⎦0 0 . . . λ n

25.3 Skalární funkce symetrické matice 203můžeme definovat předpisem⎡f(D) = ⎢⎣f(λ 1 ) 0 . . . 00 f(λ 2 ) . . . 0. ... . .0 0 . . . f(λ n )⎤⎥⎦ ,který má smysl pro libovolnou reálnou funkci f definovanou na σ(D) = {λ 1 , . . . , λ n }.Pro libovolnou čtvercovou matici A se spektrálním rozkladem A = U ⊤ DU pakpředpisf(A) = U ⊤ f(D)U (25.1)definuje skalární funkci matice A pro každou reálnou funkci definovanou na σ(A).Například pro funkce f a g definované na σ(A) platí(f · g)(A) = U ⊤ (f · g)(D)U = U ⊤ f(D)g(D)U = U ⊤ f(D)UU ⊤ g(D)U = f(A)g(A).Porovnáme-li (25.1) s větou o spektrálním rozkladu 24.9, snadno zjistíme, žeλ ∈ σ(A), právě když f(λ) ∈ σ (︀ f(A) )︀ , což se dá vyjádřit stručně ve tvaruσ (︀ f(A) )︀ = f (︀ σ(A) )︀ . (25.2)Příklad 25.4. Pro maticivypočtěte √ A.A =[︂ 5 44 5]︂Řešení. Podle příkladu 24.10 platíkdeOdtud√ √ A = U⊤DU = 1 2[︂ ]︂ 2 1= .1 2D =[︂ 9 00 1[︂ 1 11 −1]︂A = U ⊤ DU,]︂ [︂ 3 00 1a U = 1 √2[︂ 1 11 −1]︂ [︂ 1 11 −1]︂= 1 2]︂.[︂ 1 11 −1]︂ [︂ 3 31 −1]︂=Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že[︂ ]︂ [︂ 2 1 2 11 2 1 2]︂=[︂ 5 44 5]︂.

204 Důsledky spektrálního rozkladu25.4 Polární rozkladI když spektrální rozklad platí jen pro symetrické matice, můžeme s jeho pomocílépe pochopit i obecnější matice.Věta 25.5. Nechť A je libovolná čtvercová matice. Pak existuje symetrická pozitivněsemidefinitní matice B = √ A ⊤ A a ortogonální matice U tak, žeRozklad (25.3) se nazývá polární rozklad.A = UB. (25.3)Důkaz. Omezíme se pro jednoduchost jen na případ regulární matice A. Kdybyrozklad (25.3) existoval, pak by platiloA ⊤ A = BU ⊤ UB = B 2 .Matice B 2 = A ⊤ A je pozitivně definitní, neboť pomocí regularity A dostaneme prox ≠ o, žex ⊤ B 2 x = x ⊤ A ⊤ Ax = (Ax) ⊤ Ax = ‖Ax‖ 2 > 0.Podle úvahy v článku 25.1 má tedy A ⊤ A kladné spektrum, takže existuje odmocninaz A ⊤ A aB = √ A ⊤ A.Z (25.3) dostanemeodkudU = AB −1 ,UU ⊤ = AB −1 B −1 A ⊤ = A(A ⊤ A) −1 A = AA −1 A −⊤ A ⊤ = I,takže U je ortogonální. Z (25.2) také plyne, že B je pozitivně definitní.Poznámka. Má-li matice A tak malé prvky, že prvky A 2 jsou zanedbatelné vesrovnání s A, pak můžeme najít přibližný polární rozklad matice I + A pomocíI + A =. (︂I + 1 )︂ (︂2 (A + A⊤ ) I + 1 )︂2 (A − A⊤ ) .Matice B = I + 1(A + 2 A⊤ ) je zřejmě symetrická, pozitivně definitní, zatímco U == I + 1(A − 2 A⊤ ) je, až na zanedbatelnou chybu, ortogonální, neboť(︂U ⊤ U = I + 1 )︂ (︂2 (A⊤ − A) I + 1 )︂2 (A − A⊤ ) = I − 1 4 (A⊤ − A) 2 . = I.Přibližný polární rozklad se používá například v lineární pružnosti k definicitenzoru deformace. Využívá se přitom toho, že matice D = 1 2 (A + A⊤ ), která charakterizujedeformaci tělesa vzhledem k referenční konfiguraci, závisí lineárně naA.

25.5 Geometrický význam determinantu 20525.5 Geometrický význam determinantuPorovnáním věty o polárním rozkladu 25.5 s článkem 25.3 vyplývá, že zobrazeníx ↦→ Ax definované libovolnou čtvercovou maticí změní libovolnou plochu P naplochuP ′ = | det √ A ⊤ A| P. (25.4)Pomocí věty o součinu determinantů 21.8 a o determinantu transponované matice22.8 dostaneme| det √ A ⊤ A| 2 = | det √ A ⊤ A det √ A ⊤ A| = | det √ A ⊤ A √ A ⊤ A| =odkud po dosazení do (25.4) vychází= | det A ⊤ A| = | det A ⊤ det A| = | det A| 2 ,P ′ = | det A| P.Příklad 25.6. Najděte vzorec pro plochu P rovnoběžníka určeného vektory[︂ ]︂ [︂ ]︂u1v1u = , v = .u 2 v 2As 2u=As 1vuv=As 2As 1Řešení. Povšimněme si napřed, žeObr. 25.1: Plocha rovnoběžníka.u = [︀ u, v ]︀ [︂ 10]︂, v = [︀ u, v ]︀ [︂ 01Rovnoběžník určený vektory u, v je tedy možno považovat za obraz jednotkovéhočtverce určeného vektory standardní báze[︂ ]︂ [︂ ]︂1 0s 1 = , s02 =1]︂.

206 Důsledky spektrálního rozkladupři zobrazení x ↦→ Ax s maticíA = [︀ u, v ]︀ .Platí tedy[︂ ]︂⃒ P = | det A| · 1 =⃒ det u1 v 1 ⃒⃒⃒.u 2 v 2Příklad 25.7. Určete objem V čtyřstěnu s vrcholy určenými polohovými vektoryo a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤u 1v 1w 1u = ⎣ u 2⎦ , v = ⎣ v 2⎦ , w = ⎣ w 2⎦ ,u 3 v 3 w 3tak jako na obrázku 25.2.wve 3ue 1e 2Obr. 25.2: Objem čtyřstěnu.Řešení. Objem čtyřstěnu určeného nulovým vektorem a jednotkovými vektory standardníbáze je roven 1/6. Čtyřstěn s vrcholy o, u, v, w můžeme považovat za obrazčtyřstěnu určeného vrcholem a jednotkovými vektory standardní báze při zobrazeníx ↦→ Ax s maticíA = [︀ u, v, w ]︀ ,takžeV = 1 6⎡⃒ det ⎣⎤u 1 v 1 w 1u 2 v 2 w 2⎦u 3 v 3 w 3⃒ .

25.6 Singulární rozklad a podmíněnost matice 20725.6 Singulární rozklad a podmíněnost maticeDalší důležitý rozklad je jednoduchým důsledkem vět o polárním a spektrálnímrozkladu.Věta 25.8. Nechť A ∈ R m×n je libovolná reálná matice. Pak existují ortogonálnímatice U ∈ R m×m , V ∈ R n×n a diagonální matice S, na jejíž diagonále jsou vlastníčísla matice √ A ⊤ A (pro m ≥ n) nebo √ AA ⊤ (pro n ≥ m) tak, žeA = U ⊤ SV. (25.5)Diagonální matici zde chápeme ve zobecněném smyslu, takže předpokládáme, že Smá jeden z následujících tvarů:m=nm>n⏞ ⏟ ⏞⎡⏟σ⎡⎤ 1 0 · · · 0σ 1 0 · · · 00 σ 2 · · · 00 σ 2 · · · 0⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ ,. ... . .0 0 · · · σ n⎢0 0 · · · σ n⎣ . . . .0 0 · · · 0m n: Označme à = [︀ Asingulární rozkladA = WV ⊤ SV = (︀ VW ⊤)︀ ⊤SV = U ⊤ SVU ⊤ U = WV ⊤ VW ⊤ = I.0 ]︀ ∈ R m×m . Pak dle předchozího důkazu existujeà = Ũ ⊤˜SṼ

208 Důsledky spektrálního rozkladumatice Ã, kde matice ˜S má na diagonále vlastní čísla matice˜B = √ [︂√ ]︂A ⊤ A⊤ A 0A =.0 0Je zřejmé, že matice ˜B má alespoň m − n vlastních čísel nulových a můžeme označitbloky maticŨ = U, ˜S = [︀ S 0 ]︀ [︂ ]︂ V Va, Ṽ = , kde S ∈ R m×n , V ∈ R n×n .V cV bKonečně[︀A 0]︀= Ã = Ũ ⊤˜SṼ = [︀ U ⊤ SV 0 ]︀ .Pro m < n je matice A ⊤ ∈ R n×m , n > m a existuje tedy její singulární rozkladJe zřejmé, že A = U ⊤ SV, kde U = Ṽ, V = Ũ a S = ˜S ⊤ .==Û ⊤ Ŝ ˆVAU ⊤ S VObr. 25.3: Redukovaný singulární rozklad (m > n).Poznámka. V pravé části obrázku 25.3 je znázorněn výše výše zmíněný singulárnírozklad matice A ∈ R m×n pro m > n. Je patrné, že při násobení U ⊤ S je zbytečnéznát posledních m − n sloupců matice U ⊤ , které by zbytečně zabíraly paměť. Protose používá pojem redukovaný singulární rozkladA = ^U ⊤^S ^V,kde matice U, (respektive matice V v případě m < n) není čtvercová, viz leváčást obrázku 25.3. Matici A můžeme často aproximovat součinem mnohem menšíchmatic, když použijeme jen části matic singulárního rozkladu, které přísluší relativněvelkým diagonálním prvkům matice ^S. Je to jedno z pozorování, které umožniloúspěch vyhledávače Google.Věta o singulárním rozkladu říká, že lineární zobrazeníx ↦→ Ax = U ⊤ SVx

25.6 Singulární rozklad a podmíněnost matice 209s libovolnou čtvercovu maticí A ∈ R n×n si můžeme představit jako složení tří zobrazení.První a poslední zobrazení je násobení ortonormální maticí V, respektive U ⊤ .Pro matici U ⊤ to znamená, žen∑︁n∑︁x = α i s i ↦→ U ⊤ x = α i u ii=1kde S = (s 1 , . . . , s n ) je standartní báze v R n , α i jsou souřadnice vektoru x ve standartníbázi a vektory u i jsou řádky matice U, které si lze představit jako nové bázovévektory. Analogický geometrický význam má zobrazení x ↦→ Vx. Geometricky lzetoto zobrazení chápat jako otočení a změnu směru některých bázových vektorů zaopačný (zrcadlení). Zobrazení x ↦→ Sx znamená roztažení/zkrácení ve směru souřadnicovýchos. Uvědomme si, že zobrazení dané ortonormální maticí (V, U ⊤ ) zobrazíjednotkovou sféru ‖x‖ = 1 na sebe sama a násobení maticí S zobrazí jednotkovousféru na n–dimenzionální elipsu. Jelikož SVD rozklad existuje ke každé matici A, takjakékoli lineární zobrazení z R n do R n zobrazí jednotkovou sféru na n–dimenzionálníelipsu, viz obrázek 25.4.i=1Vxs 2s 1xVv 1v 2ASSVxσ 2 u 2U ⊤σ 2 s 2σ 1 s 1σ 1 u 1AxObr. 25.4: Geometrická interpretace SVD rozkladu v R 2 .Právě singulární čísla tedy definují změnu délky vektorů. Z toho vyplývá, žematice je singulární, právě když nejmenší singulární číslo σ min je nulové. Z těchtoúvah je také patrné, že nenulová matice je blízká singulární matici, právě kdyžje σ min mnohem menší než největší singulární číslo σ max . Pro regulární matici Acharakterizuje čísloκ(A) = σ max /σ min ≥ 1míru regularity matice A a nazývá se číslo podmíněnosti matice A. Číslo podmíněnostilze vypočítat pomocí numerických metod.

210 Důsledky spektrálního rozkladuPoznámka. Jelikož matice je singulární, právě když je její determinant nulový,mohlo by se zdát, že kvantitativní mírou regularity matice by mohl být její determinant.Příklad maticeA = 0.1 I 100 ,která má inverzi A −1 = 10 I 100 a det A = 10 −100 však ukazuje, že determinantnení vhodná kvantitativní míra regularity matice!25.7 Pseudoinverzní maticeI když k singulární čtvercové matici A neexistuje inverzní matice, můžeme pomocísingulárního rozkladu 25.8⎡⎤σ 1 0 · · · 0A = U ⊤ 0 σ 2 · · · 0SV, S = ⎢⎣.0 0 ..⎥ . ⎦ ,0 0 · · · σ ndefinovat maticiA + = V ⊤ S + U,kde S + je diagonální matice s diagonálními prvky σ + i splňujícími σ + i = σ −1i proσ i ≠ 0 a σ + i = 0 pro σ i = 0, která v některém smyslu nahrazuje neexistující inverznímatici. Snadno se ověří, že takto definovaná matice splňuje Moore–Penroseovypodmínky:(MP1) AA + A = A(MP2) A + AA + = A +(MP3) (︀ AA +)︀ ⊤= AA+(MP4) (A + A )︀ ⊤= A + AJe-li A čtvercová matice, paksplňuje normálovou rovnicix LS = A + bA ⊤ Ax LS = V ⊤ SUU ⊤ SVV ⊤ S + Ub = V ⊤ SUb = A ⊤ b,takže pro libovolný vektor h platí‖A (︀ x LS + h )︀ − b‖ 2 = ‖Ax LS − b‖ 2 + 2h ⊤(︀ A ⊤ Ax LS − A ⊤ b )︀ + ‖Ah‖ 2 == ‖Ax LS − b‖ 2 + ‖Ah‖ 2 ≥ ‖Ax LS − b‖ 2 .Vektor x LS tedy minimalizuje ‖Ay − b‖, čili řeší rovniciAx = b (25.7)

25.7 Pseudoinverzní matice 211ve smyslu nejmenších čtverců. Jelikož poslední nerovnost přejde v rovnost jen kdyžje splněno Ah = o, lze libovolné řešení rovnice (25.7) ve smyslu nejmenších čtvercůzapsat ve tvaru x = x LS + n, n ∈ N (A). Z (MP2) a (MP3) dále dostanemex LS = A + b = A + AA + b = (︀ A + A )︀ ⊤A + b = A ⊤ A + A + b,tedy x LS patří do oboru hodnot H(A ⊤ ) matice A ⊤ . Libovolný vektor n z nulovéhoprostoru N (A) matice A je však podle věty 18.7 ortogonální k H(A ⊤ ) a tedy i k x LS .Pro vektor x = x LS + n, n ∈ N (A) tedy platí‖x‖ 2 = ‖x LS + n‖ 2 = ‖x LS ‖ 2 + ‖n‖ 2 ≥ ‖x LS ‖ 2 ,takže vektor x LS nejen řeší rovnici (25.7) ve smyslu nejmenších čtverců, ale má zevšech řešení nejmenší normu.

212Kapitola 26Jordanova forma maticeJak víme ze 14. kapitoly, matici můžeme považovat za reprezentaci lineární transformaceprostoru konečné dimenze v dané bázi a matice téže transformace v různýchbázích jsou si podobné. Vzniká tak otázka, na jaký tvar lze vhodným výběrembáze redukovat matici lineární transformace. Odpověď je jednoduchá v případě, žeexistuje báze prostoru sestávající z vlastních vektorů, takže dostaneme diagonálnímatici. V této kapitole se budeme zabývat obecným případem. Vzhledem k tomu, ževlastní čísla reálné matice mohou být komplexní, budeme do konce kapitoly uvažovatvýhradně komplexní matice a vektorové prostory.26.1 Jordanova forma matice s jedním vlastnímvektoremV článku 23.3 jsme si dokázali, že každá matice má alespoň jeden vlastní vektor.Víc jich mít nemusí. Například matice⎡A = ⎣2 1 10 2 10 0 2má jediné vlastní číslo λ = 2, avšak soustava⎡(A − λI)x = ⎣má, až na skalární násobek, jediné řešení0 1 10 0 10 0 0⎡e 1 = ⎣100⎤⎤⎦⎤ ⎡⎦ ⎣⎦ .⎤x 1x 2⎦ = ox 3

26.1 Jordanova forma matice s jedním vlastním vektorem 213Ukazuje se, že vektor e 1 lze doplnit vektory e 2 , e 3 do báze, v níž má lineárnízobrazení A : x ↦→ Ax speciální tvar. K jejich nalezení si povšimneme, že existujee 2 tak, žee 1 = (A − 2I)e 2 .V našem případě najdeme e 2 řešenímx 2 + x 3 = 1x 3 = 0,odkudPodobně najdeme vektorkterý splňujePlatí tedy⎡e 2 = ⎣⎡e 3 = ⎣0100−11⎤⎦ .⎤⎦ ,e 2 = (A − 2I)e 3 .Ae 1 = 2e 1Ae 2 = e 1 + 2e 2Ae 3 = e 2 + 2e 3 ,takže matice zobrazení A : x ↦→ Ax v bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ) je dána předpisem⎡2 1⎤0[A] E= ⎣ 0 2 1 ⎦ .0 0 2Podobným způsobem lze dokázat, že je-li A libovolná čtvercová matice s jedinýmvlastním vektorem e 1 odpovídajícím vlastnímu číslu λ, pak e 1 lze doplnit do bázetak, že zobrazení A : x ↦→ Ax má v E matici⎡⎤λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0.J λ =. . .. . .. ..⎢⎣. ⎥0 0 0 .. 1 ⎦0 0 0 . . . λMatice J λ se nazývá Jordanův blok příslušný k vlastnímu číslu λ. Připomeňme,že za Jordanův blok řádu jedna považujeme matici řádu jedna s vlastním číslem nadiagonále.

214 Jordanova forma matice26.2 Jordanova forma obecné maticeJe-li A libovolná čtvercová matice, pak lze dokázat, i když to není snadné, že existujínezávislé vlastní vektory e 1 , . . . , e k příslušné k vlastním číslům λ 1 , . . . , λ k , které lzev případě potřeby doplnit do báze E vektory e il splňujícími e il = (A − λ i I) l e i , a totak, že zobrazení A : x ↦→ Ax má v E blokově diagonální matici s Jordanovýmibloky J λi na diagonále. Platí tedy následující věta.Věta 26.1. Nechť A je libovolná čtvercová matice, která má k nezávislých vlastníchvektorů příslušných k vlastním číslům λ 1 , . . . , λ k . Pak existuje regulární matice Ttak, žeA = T −1 JT,kde⎡⎤J λ1 O . . . OO J λ2 . . . OJ = ⎢⎣.. . ..⎥ . ⎦ .O O . . . J λnPočet Jordanových bloků J λ matice A příslušných λ je roven počtu nezávislýchvlastních vektorů příslušných k λ a nazývá se geometrická násobnost vlastníhočísla λ. Geometrická násobnost je také rovna defektu matice A−λI. Z naší definiceje zřejmé, že algebraická násobnost jakéhokoliv vlastního čísla není menší než jehogeometrická násobnost.Struktura Jordanovy formy matice je určena defekty d il = d(A − λ i I) l . K pochopenípravidla si připomeňme, že podobné matice mají stejný defekt a že defektblokově diagonální matice je roven součtu defektů jejích diagonálních bloků. Stačítedy sledovat defekty mocnin jednoho Jordanova bloku N = J λi −λ i I řádu m maticeA − λ i I, který má tvar⎡⎤0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0.N =. . .. . .. ..⎢⎣. ⎥0 0 0 .. 1 ⎦0 0 0 . . . 0Násobení maticí N si můžeme představit tak, že se vynechá první řádek, ostatnířádky se posunou nahoru a poslední řádek se vyplní nulami. ProtoN p = Opro p ≥ m a pro p < m platí, že defekt matice N p je právě o jedničku menší neždefekt matice N p+1 . Zavedeme-li tedy označení w i1 = d i1 , w i2 = d i2 − d i1 , w i3 == d i3 − d i2 , . . . , pak w il bude celkový počet Jordanových bloků řádu nejméně ls vlastním číslem λ i . Čísla w il se nazývají Weyrovy charakteristiky matice podle

26.3 Mocnina matice 215vynikajícího profesora matematiky na české technice Eduarda Weyra (1852-1903).Například nenulové Weyrovy charakteristiky matice⎡⎤2 1 0 0⎢ 0 2 0 0⎥⎣ 0 0 2 1 ⎦0 0 0 2odpovídající vlastnímu číslu λ 1 = 2 jsou w 11 = 2, w 12 = 2, což odpovídá tomu, žematice má dva Jordanovy bloky řádu nejméně jedna a dva Jordanovy bloky řádunejméně 2.26.3 Mocnina maticeJako příklad použití Jordanovy formy se budeme zabývat studiem mocnin matice.Začneme Jordanovým blokemJ λ = λI + Nřádu m, kde N = J − λI je, jako v odstavci 26.2, matice s nulovými prvky kromějedniček nad diagonálou. Pak⎡λ 2 2λ 1 0 . . . 0⎤0 0 0 0 . . . λ 2 0 λ 2 2λ 1 . . . 0. . . .. . .. . .. .J 2 λ = (λI + N) 2 = λ 2 I + 2λN + N 2 =. 0 0 0 .. . .. 1.⎢⎣. ⎥0 0 0 0 . . 2λ ⎦PodobněJ 3 λ = (λI + N) 3 = λ 3 I + 3λ 2 N + 3λN 2 + N 3 .Obecněji dostaneme s použitím binomické větyJ k λ = (λI + N) k = λ k I +(︂ k1)︂λ k−1 N + · · · +(︂ kk)︂N k ,což můžeme pomocí N m = O upravit pro k > m na tvar(︂ )︂(︂ )︂k kJ k λ = λ k I + λ k−1 N + · · · + λ k−m+1 N m−1 .1 m − 1Dále si všimněme, že platí)︂ ⃒ ⃒ k ⃒⃒⃒⃒(︂λ k−i =ik(k − 1) · · · (k − i + 1)|λ| k−i ≤ k i |λ| k−i ,1 · · · i

216 Jordanova forma maticea želimk→∞ ki λ k−i = 0,právě když |λ| < 1. Prvky matice J k λ proto konvergují k nule pro k → ∞, právěkdyž |λ| < 1. Je-li však A libovolná čtvercová matice, pak existuje regulární maticeT a blokově diagonální matice J s Jordanovými bloky na diagonále tak, žeJelikožaA = T −1 JT.A k = T −1 JTT −1 JT · · · T −1 JT = T −1 J k T⎡⎤J k λ 1O . . . OJ k O J k λ 2. . . O= ⎢ .⎣ . . .. ⎥ . ⎦ ,O O . . . J k λ pdostáváme odtud tvrzení, že prvky libovolné matice A k konvergují k nule pro k → ∞,právě když spektrální poloměrρ(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)}je menší než 1. Toto tvrzení je důležité pro studium iteračních procesů.26.4 Význam Jordanovy formyJordanova forma má velký význam pro teorii, neboť umožňuje redukovat úlohys obecnými maticemi na úlohy s Jordanovými bloky, jak jsme to viděli v odstavci26.3. Umožňuje nám například definovat skalární funkce libovolné matice. Početnívyužití Jordanovy formy je však velmi omezené, neboť je numericky nestabilní. Napříkladmatice⎡⎤2 − ε 1 1A ε = ⎣ 0 2 + ε 1 ⎦0 0 2má pro libovolné ε ≠ 0 tři různá vlastní čísla, takže její Jordanův tvar je⎡2 − ε 0⎤0J ε = ⎣ 0 2 + ε 0 ⎦ ,0 0 2zatímco⎡J 0 = ⎣2 1 00 2 10 0 2⎤⎦ .

217Část VIAnalytická geometrie

218Kapitola 27Přímky, roviny a metrické úlohyV závěrečných kapitolách si ukážeme použití aparátu lineární algebry k formulacia řešení úloh analytické geometrie, což je oblast matematiky, která se zabývá studiemgeometrických objektů charakterizovaných číselnými množinami. Budeme přitomvycházet z vlastností trojrozměrného eukleidovského prostoru E 3 , jehož základnívlastnosti budeme považovat za známé.27.1 Eukleidovský prostorPři studiu geometrie lze vystačit s vektorovými prostory, jak jsme se ostatně mohlipřesvědčit při odvození vzorců pro objemy těles v 25. kapitole. Ukazuje se však,že pro řešení některých úloh je vhodnější uvažovat algebraické struktury s vektoryi body.Definice 27.1. Nechť je dán vektorový prostor V se skalárním součinem, množinabodů E a zobrazeníE × E ∋ (A, B) ↦→ −−→ AB ∈ V.Množina E se nazývá eukleidovský bodový prostor se zaměřením V, jestližeplatí:(A1) Ke každému A ∈ E a v ∈ V existuje jediný bod B ∈ E tak, že(A2) Pro libovolné body A, B, C ∈ E platí−−→AB = v.−−→AC = −−→ AB + −−→ BC.Slovo „eukleidovský“ připomíná řeckého matematika Eukleida ze 4. století přednaším letopočtem, který v třinácti dílech Základů rozpracoval deduktivní metoduřešení problémů.

27.2 Přímky v E 3 219Z axiómů lze odvodit rovnosti, které odpovídají naší intuici. Například−−→AA = o,neboť pro daný bod A ∈ E existuje podle (A1) k libovolnému v ∈ V bod B ∈ E tak,že v = −−→ AB, a z komutativity operace sčítání vektorů a (A2) plyne, žev + −−→ AA = −−→ AA + v = −−→ AA + −−→ AB = −−→ AB = v.Obdobně lze dokázat, že pro libovolné body A, B ∈ E platí−−→AB = − −−→ BA.V následujícím výkladu budeme uvažovat trojrozměrný eukleidovský bodový prostorE 3 , za jehož zaměření budeme považovat množinu všech volných vektorů. Každéuspořádané dvojici bodů A, B ∈ E 3 přiřadíme volný vektor, který je určen orientovanouúsečkou s počátečním bodem A a koncovým bodem B.Zvolíme-li si libovolný bod O ∈ E 3 a ortonormální bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ) zaměřeníE 3 , pak zobrazení[︁ −−→]︁E 3 ∋ A ↦→ OA ∈ R 3bude každému bodu A přiřazovat jednoznačně aritmetický vektor. Bod O se nazývápočátek soustavy souřadnic a čtveřice (O, e 1 , e 2 , e 3 ) kartézská soustavasouřadnic E 3 . S její pomocí můžeme E 3 i jeho zaměření ztotožnit s prostorem třírozměrnýcharitmetických vektorů se standardním skalárním součinem definovanýmpředpisem(u, v) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .Abychom mohli jednoznačně definovat nové operace v původním eukleidovskémbodovém prostoru pomocí souřadnic, musíme specifikovat tzv. orientaci soustavysouřadnic. V dalším budeme používat výhradně pravotočivé soustavy souřadnic,jejichž bázové vektory lze umístit (bez vykloubení prstů) po řadě ve směrupalce, ukazováku a prostředníku pravé ruky, jako na obr. 27.1.E27.2 Přímky v E 3Nechť A ∈ E 3 je zadaný bod a u ∈ E 3 zadaný nenulový vektor. Pak přímka pprocházející bodem A se směrem u je množinap = {A + tu : t ∈ R}.Rozepíšeme-li si tento zápis po složkách, dostaneme pro body X = [X 1 , X 2 , X 3 ]přímky p procházející bodem A = [A 1 , A 2 , A 3 ] ve směru u = [u 1 , u 2 , u 3 ] tzv. parametrickérovnice přímkyX 1 = A 1 + tu 1X 2 = A 2 + tu 2X 3 = A 3 + tu 3 ,

220 Přímky, roviny a metrické úlohye 3Oe 1e 2Obr. 27.1: Pravotočivá soustava souřadnic.kde t ∈ R se nazývá parametr.Příklad 27.2. Přímka, která prochází body A = [1, 2, 0] a B = [3, 2, 1], má směru = −−→ AB = −−→ AO + −−→ OB = −−→ OB − −−→ OA = B − A,takže její parametrická rovnice má tvar:X 1= 1 + 2tX 2 = 2X 3 = tPro t = 0 dostaneme X = A, pro t = 1 dostaneme X = B.Nechť p a q jsou přímky zadané předpisyp = {A + tu : t ∈ R} a q = {B + sv : s ∈ R}.Budeme se zabývat jejich vzájemnou polohou.Přímky p a q nemají žádný společný bod, právě když soustavanemá řešení, což nastane, právě kdyžA + tu = B + svh[u, v] < h[u, v, −−→ AB ]. (27.1)Platí-li (27.1) ah[u, v] = 2,pak jsou p a q mimoběžné. Když platí (27.1) ah[u, v] = 1,

27.3 Roviny v E 3 221pak jsou p a q rovnoběžné.Přímky p a q mají alespoň jeden společný bod, právě kdyžh[u, v] = h[u, v, −−→ AB ]. (27.2)Platí-li (27.2) ah[u, v] = 2,pak p a q leží ve stejné rovině a mají společný jediný bod, takže jsou různoběžné.Když platí (27.2) ah[u, v] = 1,pak jsou p a q totožné.27.3 Roviny v E 3Nechť A je zadaný bod a n je zadaný nenulový vektor. Pak rovina procházejícíbodem A s normálovým vektorem n je množinar = {X ∈ E 3 : (n, −−→ AX ) = 0}.Rozepíšeme-li si tuto definici po složkách, dostaneme pro body X = [X 1 , X 2 , X 3 ] rovinyr procházející bodem A = [A 1 , A 2 , A 3 ] s normálovým vektorem n = [n 1 , n 2 , n 3 ]normálovou rovnici rovinynebo obecnou rovnici rovinyn 1 (X 1 − A 1 ) + n 2 (X 2 − A 2 ) + n 3 (X 3 − A 3 ) = 0 (27.3)aX 1 + bX 2 + cX 3 + d = 0,kdea = n 1 , b = n 2 , c = n 3 a d = −n 1 A 1 − n 2 A 2 − n 3 A 3 .Koeficienty u neznámých v obou rovnicích jsou tedy složky normálového vektoruroviny, zatímco absolutní člen d nemá přímý geometrický význam.Je-li dán bod A a dva nezávislé vektory u, v, pakr = {A + tu + sv : t, s ∈ R}definuje rovinu procházející body A, A + u a A + v. Rozepíšeme-li si tento zápis posložkách, dostaneme pro body X = [X 1 , X 2 , X 3 ] roviny r parametrické rovnicerovinyX 1 = A 1 + tu 1 + sv 1X 2 = A 2 + tu 2 + sv 2X 3 = A 3 + tu 3 + sv 3 ,

222 Přímky, roviny a metrické úlohy⎤v nichž můžeme snadno identifikovat souřadnice bodu A i vektorů u, v. Bod X jebodem roviny r, právě když −−→ AX je lineární kombinací u a v, což nastane, právěkdyž⎡X 1 − A 1 X 2 − A 2 X 3 − A 3v 1 v 2 v 3det ⎣ u 1 u 2 u 3⎦ = 0Rozvojem determinantu podle prvního řádku dostaneme normálovou rovnici roviny(27.3) s n = [n 1 , n 2 , n 3 ], kden 1 =⃒ u ⃒ 2 u 3 ⃒⃒⃒ , nv 2 v 2 = −3⃒ u ⃒ 1 u 3 ⃒⃒⃒ , nv 1 v 3 =3⃒ u ⃒1 u 2 ⃒⃒⃒.v 1 v 2Abychom mohli vyšetřit vzájemnou polohu dvou rovin, označme si r a s rovinyr = {X ∈ E 3 : ( −−→ AX, n) = 0} a s = {X ∈ E 3 : ( −−→ BX, m) = 0}.Roviny r a s nemají žádný společný bod, právě když soustava(n, −−→ AX ) = 0 a (m, −−→ BX ) = 0nemá žádné řešení. Rozepíšeme-li si rovnice soustavy na tvarn 1 X 1 + n 2 X 2 + n 3 X 3 = n 1 A 1 + n 2 A 2 + n 3 A 3m 1 X 1 + m 2 X 2 + m 3 X 3 = m 1 B 1 + m 2 B 2 + m 3 B 3 ,lze ověřit, že to může nastat, jen kdyžh[m, n] = 1 a (m, −−→ AB ) ≠ 0.V tomto případě jsou roviny rovnoběžné, ale různé. Jestližeh[m, n] = 2,pak roviny r a s jsou různoběžné a mají společnou přímku, jejíž směrový vektorje ortogonální k m a n. Jestližeh[m, n] = 1 a (m, −−→ AB ) = 0,pak jsou roviny r a s totožné.Podobně můžeme podat výčet možností vzájemné polohy přímky p procházejícíbodem A se směrem u a roviny r procházející bodem B s normálovým vektorem n.Snadno se ověří, že přímka p má jediný společný bod s r, právě když(n, u) ≠ 0. (27.4)Jestliže neplatí (27.4), pak lze rozlišit dva případy. Buď je přímka p rovnoběžnás r, ale neleží v r, což nastane když(n, u) = 0 a (n, −−→ AB ) ≠ 0,nebo p leží v r, což nastane, když(n, u) = 0 a (n, −−→ AB ) = 0.

27.4 Vektorový součin 22327.4 Vektorový součinNechť u = [u 1 , u 2 , u 3 ] a v = [v 1 , v 2 , v 3 ] jsou dva vektory. Pak jakýkoliv vektor w,který je ortogonální k u i v splňuje rovnice:u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0(27.5)Soustava (27.5) má však stejné řešení jako soustavau 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0,jejíž determinant splňuje⎡⎤u 1 u 2 u 3⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒⃒⃒det ⎣ u 1 u 2 u 3⎦u= u 2 u 3 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ u1 − u 1 u 3 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ uvv 1 v 2 v 2 v 2 + u 1 u 2 ⃒⃒⃒3 v 1 v 3 = 0,3 v 1 v 23i jako soustavav 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0,jejíž determinant splňuje⎡⎤v 1 v 2 v 3⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒⃒⃒det ⎣ u 1 u 2 u 3⎦u= v 2 u 3 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ u1 − v 1 u 3 ⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ uvv 1 v 2 v 2 v 2 + v 1 u 2 ⃒⃒⃒3 v 1 v 3 = 0.3 v 1 v 23Vzorcew 1 =⃒ u ⃒ 2 u 3 ⃒⃒⃒ , wv 2 v 2 =3⃒ u ⃒ 1 u 3 ⃒⃒⃒ , wv 1 v 2 =3⃒ u ⃒1 u 2 ⃒⃒⃒, (27.6)v 1 v 2tedy definují složky vektoru w = [w 1 , w 2 , w 3 ], který je kolmý k u i v. Budeme hoznačitw = u × va nazývat vektorový součin vektorů u a v. Vzorce (27.6) si můžeme zapamatovatpomocí mnemotechnického zápisu⃒ e 1 e 2 e 3 ⃒⃒⃒⃒⃒u × v =u 1 u 2 u 3 . (27.7)⃒ v 1 v 2 v 3

224 Přímky, roviny a metrické úlohy⃒Jelikožu 1 u 2 u 3v 1 v 2 v 3w 1 w 2 w 3⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒= w 1⃒ ⃒⃒⃒ u 2 u 3v 2 v 3⃒ ⃒⃒⃒− w 2⃒ ⃒⃒⃒ u 1 u 3v 1 v 3⃒ ⃒⃒⃒+ w 3⃒ ⃒⃒⃒ u 1 u 2v 1 v 2⃒ ⃒⃒⃒= w 2 1 + w 2 2 + w 2 3,má rovnoběžnostěn na obr. 27.2 objem⃒ ⃒ u 1 v 1 w 1 ⃒⃒⃒⃒⃒ u 1 u 2 u 3 ⃒⃒⃒⃒⃒V =u 2 v 2 w 2 =v 1 v 2 v 3 = w1 2 + w2 2 + w3 2 = ‖w‖ 2 .⃒ u 3 v 3 w 3⃒ w 1 w 2 w 3Poněvadž má uvažovaný rovnoběžnostěn výšku ‖w‖ a plochu základnyP = ‖u‖‖v‖ · sin α, (27.8)kde α je odchylka přímek procházejících počátkem O se směrovými vektory u, v,platíP = ‖w‖. (27.9)w=u×vvPuOObr. 27.2: Vektorový součin.Lze ukázat, že vektory (u, v, w) tvoří kladně orientovanou bázi zaměření E 3 .Z (27.8) a (27.9) plynou ihned vzorce pro plochu rovnoběžníka či trojúhelníkav E 3 . Například plocha P trojúhelníka určeného body A, B, C ∈ E 3 je dána vzorcemP = 1 2 ‖−−→ AB × −−→ AC ‖.Je-li a nenulový vektor, pak můžeme definovat zobrazeníA : x ↦→ a × x.

27.5 Určení některých úhlů 225Jsou-li e 1 = [1, 0, 0], e 2 = [0, 1, 0] a e 3 = [0, 0, 1], pak podle (27.7) platí:e 1 e 2 e 3Ae 1 = a × e 1 =a 1 a 2 a 3= a 3 e 2 − a 2 e 3⃒ 1 0 0 ⃒e 1 e 2 e 3Ae 2 = a × e 2 =a 1 a 2 a 3= − a 3 e 1 + a 1 e 3⃒ 0 1 0 ⃒e 1 e 2 e 3Ae 3 = a × e 3 =a 1 a 2 a 3= a 2 e 1 − a 1 e 2⃒ 0 0 1 ⃒Pro matici A v bázi E = (e 1 , e 2 , e 3 ) tedy platí⎡[A] E= ⎣0 −a 3 a 2a 3 0 −a 1−a 2 a 1 0Matice [A] Eje antisymetrická matice, takže matice U = I + [A] Esplňuje⎤⎦ .UU ⊤ = (I + [A] E)(I − [A] E) = I − [A] E[A] ⊤ E .Zobrazení x ↦→ x + a × x proto pro malé ‖a‖ zachovává, až na veličiny srovnatelnés ‖a‖ 2 , úhly i délky vektorů, takže ho lze považovat za otočení okolo a o úhel‖a‖, a zobrazení x ↦→ a × x pro libovolný vektor a přiřazuje každému x vektor,který můžeme považovat podle obr. 27.3 za vektor rychlosti otáčení x kolema s úhlovou rychlostí ‖a‖, a to ve směru, který je v souladu s kladnou orientacítrojice (a, x, a × x).27.5 Určení některých úhlůJsou-li u, v dva nenulové vektory, pak odchylka φ vektorů u, v je úhel φ ∈ [0, π],který splňuje vztah(u, v)cos φ =‖u‖‖v‖ .Odchylka přímek p a q se směrovými vektory u a v se definuje jeko nejmenšíodchylka dvou vektorů, které lze umístit na p nebo q, takže splňujecos φ =|(u, v)|‖u‖‖v‖ .

226 Přímky, roviny a metrické úlohyxa×xaObr. 27.3: Rychlost otáčení.Obdobně se definuje odchylka φ přímky p se směrovým vektorem u a rovinyr s normálovým vektorem n. Můžeme ji vypočítat pomocí odchylky přímky pa libovolné jiné přímky se směrovým vektorem n ze vztahu(︁ π)︁sin φ = cos2 − φ =|(n, u)|‖n‖‖u‖ .Odchylka dvou rovin, což je nejmenší úhel dvou přímek, z nichž každá ležív jedné z rovin, vyjádříme snadno pomocí jejich normálových vektorů n 1 , n 2 a vztahucos φ = |(n 1, n 2 )|‖n 1 ‖‖n 2 ‖ .27.6 Některé metrické úlohyK určení vzdálenosti d bodu M od rovinyr = {X ∈ E 3 : ( −−→ AX, n) = 0}stačí najít průmět vektoru −−→ AM do normálového směru n. Platí tedyd = |(−−→ AM, n)|.‖n‖Vzdálenost d bodu M od přímky p procházející bodem A se směrem u určímes pomocí obr. 27.5. ZP = ‖u × −−→ AM ‖ a P = ‖u‖ · d

27.7 Support Vector Machine 227dostaneme snadnod =−−→‖u × AM ‖.‖u‖Obdobně určíme i nejkratší vzdálenost dvou mimoběžek p a q, kdep = {A + tu : t ∈ R} a q = {B + tv : t ∈ R}.Podle obr. 27.6 platí pro objem V rovnoběžnostěnu určeného hranami −−→ AB, u, v[︁⃒ −−→]︁⃒ ⃒⃒V = ⃒det AB, u, v = P · d,zatímco pro plochu P jeho základny platíP = ‖u × v‖.Odtudd = V P = ⃒ ⃒⃒det[︁ −−→ AB, u, v]︁⃒ ⃒⃒‖u × v‖.d{nAMMArObr. 27.4: Vzdálenost bodu od roviny.27.7 Support Vector MachineJedním z procesů, který je potřeba řešit v oborech počítačové vědy a umělé inteligence,je automatizované učení, speciálně pak metody SVM (Support VectorMachine). Počítač si na tzv. tréninkovém vzorku dat vybuduje model, který těmtodatům “co nejvíce” vyhovuje a tento model pak dále používá při rozhodovacích procesech.Pro jednoduchou představu o co v automatizovaném učení jde, si představmev R 2 množinu bodů a ke každému z nich příslušící ohodnocení 1, nebo −1. Počítačse na tréninkovém vzorku pokusí rozdělit R 2 na oblast obsahující body s ohodnocením1 a na zbytek, obsahující body s ohodnocením −1. Pro jednoduchost sebudeme zabývat případem, kdy jako matematický model zvolíme přímku a navícpředpokládejme, že body tréninkové množiny dat lze přímkou oddělit.

228 Přímky, roviny a metrické úlohyMdPpuAObr. 27.5: Vzdálenost bodu od přímky.vqBVdPAupObr. 27.6: Vzdálenost (příčka) dvou mimoběžek.

27.7 Support Vector Machine 229Reálné úlohy automatizovaného učení se samozřejmě zabývají klasifikací dat vícenež dvou ({1, −1}) kategorií v prostorech větší dimenze (R n ) a samozřejmě složitějšímmodelem pro oddělení bodů různých kategorií. Na zvolené jednoduché úloze sevšak pojmy probírané v této kapitole lépe ukazují a není naším cílem učit čtenářepočítačové vědě. Pomocí pojmů jako vzdálenost bodů a přímek, kolmost vektorůnastíníme, na jakou matematickou formulaci tato úloha vede.Předně potřebujeme matematicky vyjádřit přímku p v R 2 , kterou popíšeme rovnicí,která je splněna pouze pro všechny body (x 1 , x 2 ) ∈ p. Ze střední školy jistěznáte směrnicový tvar přímky x 2 = ax 1 + b, který však nebude vhodný, jelikož neumípopsat přímku x 1 = c. Doufáme, že čtenáře příliš nepobouříme tím, že nepoužijemeani rovnici přímky z kapitoly 27.2 ale jiný, pro tento účel ještě vhodnější tvar.K jednoznačnému popisu přímky p například stačí znát směr w ∈ R 2 , ke kterému jepřímka p kolmá a vzdálenost v od počátku souřadnic S = (0, 0). Uvědomme si, žebod Z ∈ p, který je nejblíže počátku je od bodu O ve směru w, viz obrázek 27.7.wZvpSObr. 27.7: Přímka daná bodem a normálou.Vezmeme-li v úvahu, že pro všechny body X ∈ p je směr XZ kolmý k vektoru w,lze tedy vyjádřit přímku p jakop = {X = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | w T (X − kw) = w T X − k‖w‖ 2 = 0},kde v = k‖w‖. Navíc w T (X − kw) je lineární funkce R 2 ∋ X ↦→ R a p je její nulovouvrstevnicí. Všímavý čtenář si již jistě všiml, že přímka p není trojicí parametrů(w 1 , w 2 , k) určena jednoznačně, jelikož (cw 1 , cw 2 , c −1 k) , c ∈ R {0} určují tutéžpřímku.Mějme dále tréninkovou sadu datT = {︀ X i = (x 1i , x 2i ) ∈ R 2 , y i ∈ {1, −1} ⃒ ⃒ i = 1, . . . , n}︀čítající n bodů a jejich kategorií. Přímka oddělující body obou kategorií, je určenaparametry (w 1 , w 2 , k) takovými, že y i(︀w T (X i − kw) )︀ > 0 pro všechny i = 1, . . . , n.

230 Přímky, roviny a metrické úlohyδ‖w‖p + : w T (X − (k + δ)w) = 0δ‖w‖p : w T (X − kw) = 0p − : w T (X − (k − δ)w) = 0SwObr. 27.8: Přímka daná bodem a normálou.Takovýchto (různých) přímek je nekonečně mnoho a proto budeme hledat takovou,která má největší vzdálenost od obou kategorií, viz obrázek 27.8.Jaká je vzdálenost bodů obou kategorií? Je to vzdálenost přímek w T (X a − (k ++ δ)w) = 0 a w T (X b − (k − δ)w) = 0. Z obrázku je rovněž zřejmé, že body X a a X bbudou mít nejmenší vzdálenost, když X a = X b + lw, tedyw T (X b + lw − (k + δ)w) = w T (X b − (k − δ)w) ⇒ l = 2δa proto vzdálenost bodů obou kategorií je ‖X a − X b ‖ = 2δ‖w‖. Nyní je třeba vzítv úvahu nejednoznačnost parametrů určující přímku p. Zvolme je tedy (nyní jižjednoznačně) tak, aby δ‖w‖ 2 = 1, tedy přímky p + a p − měly tvarp + :w T X − b = 1p − :w T X − b = −1kde b = kδ −1 = k‖w‖ 2 a jejich vzdálenost je 2‖w‖ −1 .Chceme-li maximalizovat vzdálenost bodů obou kategorií, je třeba minimalizovat‖w‖. Upravme ještě podmínku, kterou musí splňovat přímka oddělující body oboukategorií, tj. y i(︀w T (X i − kw) )︀ = y i (w T X i − b) > 0. Jelikož mezi přímkami p + a p −neleží žádný bod, lze tuto podmínku zpřísnit na y i (w T X i − b) ≥ 1. Úlohu naléztpřímku oddělující body obou kategorií jsme převedli na úlohuNajděte (w 1 , w 2 , b) ∈ R 3 takové, žemin ‖w‖ .∀i=1,...,n:y i (w T X i −b)≥1

231Kapitola 28Kvadratické plochyV této kapitole se budeme zabývat kvadratickými plochami, čili kvadrikami, kteréjsou popsány rovnicemi s kvadratickými formami. Tak jako v kapitole 27, omezímese na kvadratické plochy v prostoru E 3 . Budeme také předpokládat, že v E 3 je zadánasoustava souřadnic (O, e 1 , e 2 , e 3 ), s jejíž pomocí můžeme body E 3 ztotožnits třírozměrnými aritmetickými vektory, stejně jako vektory zaměření E 3 .28.1 Kanonický tvar kvadratické formyNechť A je symetrická čtvercová matice řádu tři, nechť b = [b i ] je třírozměrnýsloupcový vektor a nechť c je reálné číslo. Kvadratická plocha q je množina všechbodů, jejichž souřadnice X splňují rovniciX ⊤ AX + 2b ⊤ X + c = 0. (28.1)Kvadratická forma Q(X) = X ⊤ AX se nazývá kvadratický člen rovnice kvadraticképlochy, lineární forma l(X) = 2b ⊤ X se nazývá lineární člen a c se nazývá absolutníčlen rovnice kvadratické plochy. Tak, jak je rovnice (28.1) napsána, nenívyloučeno, že jí nevyhovuje žádný bod E 3 . V některých případech se proto uvažujíi komplexní řešení. My se však omezíme jen na reálná řešení (28.1), která mohoubýt ztotožněna s body E 3 .Podobně, jako nemá absolutní člen rovnice roviny bezprostřední geometrickývýznam, nemají ani prvky matice A či vektoru b obecně žádnou bezprostřednígeometrickou interpretaci. Naším prvním krokem proto bude nalezení takového tvarurovnice kvadratické plochy, jejíž koeficienty mají geometrický význam.Jelikož matice A je symetrická, existuje podle věty o spektrálním rozkladu 24.9ortogonální matice Q tak, že A = Q ⊤ DQ, kde D je diagonální matice s vlastnímičísly λ i matice A na diagonále. Po dosazení do (28.1) dostanemeX ⊤ Q ⊤ DQX + 2b ⊤ X + c = 0. (28.2)Povšimneme-li si, že2b ⊤ X = 2(Qb) ⊤ QX,

232 Kvadratické plochymůžeme pomocí substituce Y = QX přepsat (28.2) na tvarY ⊤ DY + 2(Qb) ⊤ Y + c = 0. (28.3)Podle úvah z článku 14.7 můžeme (28.3) považovat za definici téže kvadratické plochyjako (28.1) v jiné kartézské soustavě souřadnic (O, f 1 , f 2 , f 3 ).Položme ̃︀b = Qb a rozepišme si (28.3) na tvarλ 1 Y 21 + λ 2 Y 22 + λ 3 Y 23 + 2̃︀b 1 Y 1 + 2̃︀b 2 Y 2 + 2̃︀b 3 Y 3 + c = 0.Nyní si všimněme, že pokud λ i ≠ 0, pak(︃λ i Yi2 + 2̃︀b i Y i = λ i Yi2 + 2 ̃︀b iY i + ̃︀b)︃2iλ i λ 2 i− ̃︀b 2 iλ 2 i= λ i(︃Y i + ̃︀b)︃i 2 − ̃︀b 2 i.λ i λ 2 iPomocí vhodné substituce tak můžeme zapsat každou kvadratickou plochu definovanoukvadratickou formou hodnosti 3 ve tvaruλ 1 Z 2 1 + λ 2 Z 2 2 + λ 3 Z 2 3 = d (28.4)a každou kvadratickou plochu definovanou kvadratickou formou hodnosti 2 ve tvaruλ 1 Z 2 1 + λ 2 Z 2 2 + cZ 3 = d. (28.5)Lze ukázat, že každou kvadratickou plochu definovanou kvadratickou formou hodnosti1 můžeme zapsat ve tvaruSubstituce typuλ 1 Z 2 1 + cZ 2 = d. (28.6)Z i = Y i + c ilze interpretovat jako přechod od soustavy (O, f 1 , f 2 , f 3 ) k soustavě (O ′ , f 1 , f 2 , f 3 ), kdev původní soustavě−−→OO ′ = [c 1 , c 2 , c 3 ].28.2 Kvadratické plochy v kanonickém tvaruZatímco ve tvarech (28.4), (28.5) a (28.6) jsou zachovány vlastní čísla kvadratickéformy, která definuje kvadratickou plochu, pro znázornění je vhodnější převést kvadratickouformu na kanonický tvar, v němž lze připsat všem koeficientům geometrickývýznam související s řezy kvadratické plochy souřadnicovými rovinami.Omezíme se zde na stručný výčet kanonických tvarů důležitějších ploch a jejich řezů.Čtenáři doporučujeme doplnit výčet obrázky. Souřadnice bodů kvadrik budeme značitv analytické geometrii obvyklým x, y, z.

28.2 Kvadratické plochy v kanonickém tvaru 233(i) Elipsoidx 2a + y22 b + z2= 1, a > 0, b > 0, c > 0.2 c2 Řezy elipsoidu souřadnicovými rovinami představují elipsy. Pokud a = b = c,dostaneme kulovou plochu.(ii) Jednodílný hyperboloidx 2a + y22 b − z2= 1, a > 0, b > 0, c > 0.2 c2 Řezem rovinou z = 0 dostaneme elipsu s poloosami a, b, zatímco řezy zbývajícímisouřadnicovými rovinami dostaneme hyperboly.(iii) Dvojdílný hyperboloidx 2a − y22 b − z2= 1, a > 0, b > 0, c > 0.2 c2 Rovina z = 0 odděluje oba díly dvojdílného hyperboloidu. Řezy zbývajícímisouřadnicovými rovinami jsou hyperboly.(iv) Eliptický paraboloidx 2a + y2− 2pz = 0, a > 0, b > 0, p ≠ 0.2 b2 V rovině z = 0 leží jediný bod, řezy zbývajícími souřadnicovými rovinami jsouparaboly.(v) Hyperbolický paraboloidx 2a − y2− 2pz = 0, a > 0, b > 0, p ≠ 0.2 b2 Řezem v rovině z = 0 dostaneme dvě přímky, řezy zbývajícími souřadnicovýmirovinami jsou paraboly.(vi) Eliptická kuželová plochax 2a + y22 b − z2= 0, a > 0, b > 0, c > 0.2 c2 Řez rovinou z = 0 je bod, řezy zbývajícími souřadnicovými rovinami tvořírůznoběžky.(vii) Eliptická válcová plochax 2a + y2= 1, a > 0, b > 0.2 b2

234 Kvadratické plochyŘez libovolnou rovinou z = c je elipsa s výše uvedenou rovnicí.(viii) Parabolická válcová plochax 2 = 2py, p ≠ 0.Řez libovolnou rovinou z = c je parabola s výše uvedenou rovnicí.(ix) Hyperbolická válcová plochax 2a − y2= 1, a > 0, b > 0.2 b2 Řez libovolnou rovinou z = c je hyperbola s výše uvedenou rovnicí.

235Literatura[1] Demlová, M. – Pondělíček, B. Úvod do algebry. Praha: ČVUT, 1996.[2] Bican, L.: Lineární algebra. Praha: SNTL, 1979.[3] Borůvka, O.: Základy teorie matic, Praha: Academia, 1971.[4] Budinský, B. – Charvát, J.: Matematika I. Praha: SNTL, 1987.[5] Havel, V. – Holenda, J.: Lineární algebra, Praha: SNTL/ALFA, 1984.[6] Schmidtmayer, J.: Maticový počet a jeho použití v technice, Praha: SNTLPraha, 1967.[7] M. Zahradník, L. Motl: Pěstujeme lineární algebru, Praha: Karolinum,1998.Též na http://www.kolej.mff.cuni.cz/ lmotm275/skripta/[8] Gantmacher, F. R.: Teoria matric, Moskva: Nauka, 1967 (anglický překladChelsea, New York, 1959).[9] Golub, G. – van Loan, Ch.: Matrix Computations, London: The John HopkinsUniversity Press, 1991.

236RejstříkDdefiniceAdjungovaná matice, 178Algebraická operace, 59Asociativní operace, 60Báze vektorového prostoru, 80Bilineární forma, 120Determinant matice, 168Dimenze vektorového prostoru, 90Eukleidovský prostor, 218Grupa, 63Hodnost a defekt zobrazení, 100Invariantní podprostory, 194Inverzní matice, 40Inverzní prvek, 62Komutativní operace, 61Komutativní těleso, 65Kongruentní matice, 125Kvadratická forma, 128Lineárně nezávislé vektory, 76Lineární zobrazení, 98Matice lineárního zobrazení, 113Neutrální prvek, 61Norma vektoru, 150Nulový prostor, 99Ortogonální množina vektorů, 151Podobné matice, 117Podprostor, 68Pozitivně definitní kvadratické formy,133Skalární funkce symetrické matice,202Skalární součin, 149Skládání lineárních zobrazení, 102Součet zobrazení a násobení skalárem,102Souřadnice vektoru, 85Vektorový prostor, 66Vlastní čísla a vektory, 186Zobrazení, 3