ZIDOVI S OTVORIMA

1. UVODZidovi su plošni elementi, odnosno, konstrukcijski elementi čija je jedna dimenzija,debljina, zanemarivo mala u odnosu na druge dvije. Oni su vertikalni konstrukcijskidijelovi objekta i raznolikih su funkcija. Moraju zadovoljiti odreñenu namjenu tekonstrukcijske i estetske zahtjeve. Pa tako, da bi zadovoljili potrebe prostora kojihzatvaraju, moraju udovoljiti brojnim zahtjevima. To je prije svega stabilnost, a potomzaštita od promjene temperature, vlage i zvuka, vatrosigurnost, trajnost, ekonomičnost iestetski izgled. Mogu se dijeliti s više polazišta: prema konstrukcijskoj ulozi, premanamjeni ili zadaći koju imaju, tj. prema sposobnosti nošenja, prema obliku (strukturi),tlocrtnom razmještaju, gradivu od kojeg se izvode, visinskom položaju u zgradi,tehnologiji grañenja, vatrootpornosti...Prema obliku, a time i statičkom tretmanu, razlikuju se niski i visoki zidovi te puni izidovi s otvorima, a prema sposobnosti nošenja nosivi i nenosivi. Nosivi zidovi nose sebe iprenose sva druga predviñena (stalna i pokretna) opterećenja na temelje ili na drugekonstrukcijske sustave, dok nenosivi nose samo sebe. U ovom će se radu govoriti ostatičkom tretmanu nosivih zidova s otvorima.Zid s otvorima moguće je proračunavati na više načina, odnosno modelirajući višerazličitih numeričkih modela. Primjerice, za zid sa slike 1. prikazat ćemo četiri modela(slika 2.).Slika 1.Na slici 2.a. prikazan je zid s otvorima modeliran kao plošni element, tj. zid i gredasmatraju se jednim plošnim elementom. Drugi model (slika 2.b.) sastoji se od zidova kaoplošnih elemenata i greda kao štapnih elementa iznad otvora. Sličan model sastoji se odzidova kao plošnih elemenata, ali su grede štapni elementi iznad otvora koji se nastavljajucijelom dužinom zida (slika 2.c.). Zid s otvorima moguće je modelirati bez plošnihelemenata, tj. kao okvir gdje su zid i greda iznad otvora modelirani kao štapni elementi(slika 2.d.). Naravno da ni jedan model kojim pokušamo opisati stvarnu konstrukciju nijesasvim istinit ili točan, jer su parametri uglavnom idealizirani, neki namjerno ispušteni, aneki mogu biti i nepoznati. Zato inženjer u modeliranju nekog problema mora znati ukojim su granicama idealizirani pojedini utjecaji te u skladu s time znati procjenitiodstupanje modela, a time i točnost rezultata.2

Tε//11//nn= ∆ T + ∆ T + ... + ∆ T + ∆11 1 12 1 1nn 10//T2= ∆ T + ∆ T + ... + ∆ T + ∆ε2⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮Tε21 1 22 2 2nn 20= ∆ T + ∆ T + ... + ∆ T + ∆n1 1 12 1 nn n n0gdje suTi... posmična sila u i-tom čvoru,εi... koeficijent ovisan o vezi izmeñu elemenata i-tog čvora,∆ ... koeficijenti ovisni o geometrijskim veličinama,ik∆ ... članovi ovisni o opterećenju.io2.2. Rješenje M. TessieraU radu Stabilnost visokih grañevina na vjetar M. Tessier promatrao je zid oslabljenpo sredini jednim nizom otvora rasporeñenih tako da čine simetričan sistem. Osnovnepretpostavke koje je pritom usvojio bile su: 1) Točke A i B u osima stupova koje se nalazena istom nivou ostaju na istoj horizontali i nakon deformacije. Drugim riječima,zanemarena je (uzdužna) deformacija zbog uzdužnih sila. 2) Ravni presjeci okomiti na osistupova ostaju ravni i okomiti na osi stupova i nakon deformacije. To jest, primijenjena jepretpostavka Bernoulli-Eulerove teorije. U tom se radu promatraju samo dva posebnaslučaja veze stupova s nepopustljivim temeljima i to: potpuna upetost i zglobna veza.Na temelju navedenih pretpostavki, tražeći progibnu liniju polovine zida zaopterećenje vjetrom, Tessier je došao do linearne diferencijalne jednadžbe drugog redapri čemu suzx ...E ...I ...I ...2// ( l + b)EIz − 6 EI p z = q( h − x),2ab/= y ... tangens kuta nagiba progibne linije,pl ...b ...a ...h ...q ...apscisa mjerena od podnožja,modul elastičnosti materijala zida,moment inercije stupa,moment inercije grede,širina stupa,duljina grede,udaljenost od osi do osi grede,visina zida,intenzitet horizontalnog opterećenja.Rješenjem te diferencijalne jednadžbe dolazi se do jednadžbe progibne linijepomoću koje se odreñuju unutarnje sile u stupovima i gredama.5

Slika 3.Osnovne pretpostavke ove metode su:1) Vrijedi Hookeov zakon, te naprezanja ne prelaze granicu proporcionalnosti.2) Za poprečne presjeke stupova i greda vrijedi Navierova hipoteza o ravnimpresjecima, tj. ravni presjeci i nakon deformacije ostaju ravni. Za presjekzida kao cjeline ova pretpostavka ne vrijedi.3) U sredini greda su točke infleksije. Drugim riječima, u tom presjeku nemamomenata savijanja. Male krutosti greda u odnosu na krutost stupova toomogućavaju.4) U uzdužnom smjeru grede se smatraju apsolutno krutim.5) Visine katova su jednake.6) Moduli elastičnosti stupova i greda su jednaki.7) Površine poprečnih presjeka i momenti inercije stupova i greda konstantni suuzduž visine zida.Osnovni sistem za proračun ovom metodom dobiva se presijecanjem niza lamela posredini. Nepoznanica je uzdužna sila u stupu u presjeku x mjerenom od vrha zida.Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda do koje se dolazi postavljanjemuvjeta kontinuiteta glasi// 2T − α T = ψΜ ,pri čemu suT ... uzdužna sila u stupu u presjeku s apcisom x,Μ r ... moment savijanja od vanjskog opterećenja,α ,ψ ... koeficijenti ovisni o geometrijskim karakteristikama zida.Problem proračuna po ovoj metodi rješavanje je rubnih uvjeta. Takoñer, netočnostiu rezultatima koje nastaju zbog pretpostavke o kontinuiranoj vezi meñu stupovima,povećavaju se s povećanjem razmaka greda i smanjenjem broja etaža. Uz to, u gornjojgredi dobiva se nešto veća sila od stvarne. Zbog tih razloga, ova metoda ne bi se smjelakoristiti za zgrade s relativno malim brojem etaža (manje od sedam).r7

Praktičnu primjenu ove metode omogućavaju Tablice za brzo pronalaženjeunutarnjih sila i progiba koje daju, za ono vrijeme, dovoljno točne veličine zadimenzioniranje.U radu je dano i rješenje za simetričan zid s dva niza otvora koje je vrlo sličnorješenju za zid s jednim nizom otvora. Opisano rješenje za nesimetrične zidove s dva iliviše nizova otvora nije prihvatljivo jer suviše odstupa od stvarnog stanja.2.5. Rješenje V. SimovićaU poglavlju Proračun zidova s otvorima primjenom diferencijskih jednadžbi knjige[7] V. Simović opisuje rješenje zida s jednim nizom otvora i rješenje zida s dva ili višenizova otvora. Ta se rješenja mogu primijeniti i na višeetažne simetrične okvire s jednimrasponom, a uz uvjet da su kutovi zaokreta svih čvorova na istom nivou meñusobnojednaki i na okvire s više raspona.U svrhu pojednostavljenja ručnih proračuna uvedene su pretpostavke prihvatljivekod proračuna grañevinskih konstrukcija:- Osnovne pretpostavke teorije konstrukcija:- Materijal se ponaša po Hookeovom zakonu elastičnosti, a naprezanja suispod granice proporcionalnosti.- Za stupove i grede vrijedi Navierova hipoteza o ravnim poprečnimpresjecima. Ovu je hipotezu moguće usvojiti budući da je visina zidavišestuko veća od širine pojedinih stupova.- Dodatne pretpostavke prihvatljive za ovu vrstu konstrukcija:- U simetrali greda nalaze se točke infleksije, tj. momenti savijanja u tojtočki jednaki su nuli.- Grede se smatraju apsolutno krutima u uzdužnom smjeru.- Geometrijske pretpostavke usvojene za odreñene odsječke visine:- Moduli elastičnosti materijala i debljine zidova su konstantni.- Grede su istih dimenzija i nalaze se na istim razmacima.- Širine otvora su iste.V. Simović započinje rad analizom zida s jednim nizom otvora. Pritompretpostavlja konstantnima po cijeloj visini zida modul elastičnosti, debljine greda idebljinu stupova. Za te pretpostavke dobiveno rješenje služi kao opće rješenje za iste te,samo promjenjive veličine.Odabrani statički sistem zida (slika 4.) statički je neodreñen onoliko puta kolikoima greda. Poprečne sile u gredama su nepoznate, a uzdužne sile u stupovima čine grupneprekobrojne sile. Jednadžbe kontinuiteta čine tročlane linearne algebarske jednadžbe kojese svode na jednadžbe konačnih diferencija drugog reda čijim se rješenjem dobiva izraz zaprekobrojnu veličinu, tj. opće rješenje sistema.8

pri tom suSlika 4.Rješenje diferencijske jednadžbe sastoji se od homogenoga i partikularnog rješenjaX = X + X = C r + C r + X( h) ( p) i i ( p)i i i 1 1 2 2 ii ir1, r 2... korijeni karakteristične jednadžbe,C1, C2... konstante (zavise o rubnim uvjetima).X i ... prekobrojna veličina (jednaka uzdužnoj sili u stupu): Ni = X i .Homogeno rješenje ovisi samo o geometrijskim karakteristikama konstrukcije, apartikularno rješenje ovisi o vanjskim djelovanjima na konstrukciju.Poprečna sila u i -toj gredi dobiva se kao razlika prekobrojnih veličina koje sepreklapaju na toj gredi, tj. kao razlika uzdužnih sila gornjeg i donjeg polja uz gredu:T = X − X −.i i i 1Poljem se smatra područje izmeñu dvije grede. Izraz za ukupni moment savijanja u nekompresjeku polja (i ) glasi:M = M − 2l ⋅ X ,pri čemu suM xi2l ...i xi i... moment savijanja u nekom presjeku polja i od vanjskog opterećenja,razmak izmeñu osi stupovaMomenti u stupovima dobiju se dijeljenjem ukupnog momenta u presjeku u omjerimakrutosti stupova, tj. prema9

I1 I1 0 I1xi1 = xi = xi − 2I I I iM M M lX∑ ∑ ∑I2 I2 0 I2Mxi2 = M = M − 2lX∑I ∑I ∑Ixi xi i,.U knjizi su dana rješenja za razne tipove opterećenja: koncentrirana sila u osi prvegrede, kontinuirano jednoliko distribuirano opterećenje, linearno distribuirano promjenjivoopterećenje te koncentrirana sila u općem položaju. Takoñer, razmatrani su različitigeometrijski i rubni uvjeti: zid istih geometrijskih karakteristika po čitavoj duljini, zidpromjenjive debljine po etažama, tj. u skokovima, zid s elastično popustljivim osloncima,zidovi s posebnim ležajnim konstrukcijama i zidovi s jačom gornjom gredom. Sličnoopisanom proračunu dobivaju se rješenja i za te slučajeve.Za sva rješenja postignuta je zadovoljavajuća točnost sa stajališta odreñenjaveličina potrebnih za dimenzioniranje, tj. točnost u okviru pretpostavaka teorijakonstrukcija, a primjena postupka nije ograničena brojem etaža, visinom zida nitirazmakom greda, što ovu metodu čini primjenjivom u praksi. Primjenjivosti u praktičnimproračunima potpomaže i veći broj numeričkih primjera riješenih u radu.10

3. ELASTIČNO TEŽIŠTEU sljedećim poglavljima izvesti ćemo matricu krutosti štapa s apsolutno krutimdijelovima pri čemu ćemo koristiti elastično težište. Zbog toga ćemo ga ovdje opisati.Metoda sila jedna je od metoda rješavanja statički neodreñenih sistema. U prvomkoraku proračuna metodom sila zadani se sistem zamišljenim raskidanjem veza pretvara ustatički odreñen, koji nazivamo osnovni sistem. Raskinute veze zamjenjuju se silama (tojest parovima sila i momenata) koje odgovaraju silama koje su te veze prenosile. Sile imomente koje uvodimo umjesto raskinutih veza nazivamo prekobrojnim silama (statičkineodreñenim veličinama ili prekobrojnim veličinama). Te sile moraju vratiti narušenuneprekinutost polja pomaka ili osigurati podudaranje pomaka na mjestima uklonjenihležajeva sa stvarnim ležajnim uvjetima. Drugim riječima, one moraju dovesti osnovnisistem u mehaničko stanje izvornog sistema. Vrijednosti prekobrojnih sila izračunavaju seiz uvjeta kompatibilnosti pomaka na mjestima raskinutih veza. U uvjetima kompatibilnostipojavljuju se vrijednosti pomaka koji se proračunavaju metodom jedinične sile.Uvjet kompatibilnosti pomaka izražavamo jednadžbama kontinuiteta (jednadžbeneprekinutosti, odnosno jednadžbe kompatibilnosti pomaka). Sustav jednadžbi glasipri čemu suD⋅ X + ∆ = ∆,D ... matrica fleksibilnosti (popustljivosti) sistema,X... vektor vrijednosti prekobrojnih sila,∆ ... vektor vrijednosti pomaka hvatišta prekobrojnih sila Xipo pravcima i usmislu njihova djelovanja, izazvanih zadanim opterećenjem,∆ ... vektor zadanih vrijednosti prisilnih pomaka hvatišta sila Xipo pravcima i usmislu njihova djelovanjaIzračunavanje elemenata matrice popustljivosti – vrijednosti poopćenih pomaka –relativno je jednostavan ako je sistem konstantnog poprečnog presjeka, a os sistemazadana analitičkim izrazom pogodnim za direktnu integraciju. Za sve ostale slučajeve, kaonpr. kada je sistem promjenjivog poprečnog presjeka ili je oblik sistema dobiven kaotlačna linija, proračun koeficijenta matrice fleksibilnosti postaje složeniji.Koeficijenti fleksibilnosti ovise o izboru osnovnog sistema, iz čega proizlazi dapogodnim odabirom osnovnog sistema možda možemo pojednostavniti taj proračun. Toćemo pokušati utvrditi analizirajući tri puta statički neodreñen okvir (slika 5.).11

Slika 5.Za odabrani osnovni sistem (slika 5.) postavit ćemo jednadžbe kontinuitetaili, u matričnom zapisuPri tom suX δ X δ X δ δ δ1⋅1,1+2⋅1,2+3⋅1,3+1,0= 1 ,X δ X δ X δ δ δ1⋅2,1+2⋅2,2+3⋅2,3+2,0= 2 ,X δ X δ X δ δ δ1⋅3,1+2⋅3,2+3⋅3,3+3,0= 3 ,⎡δ1,1 δ1,2 δ ⎤1,3 ⎡ X1 ⎤ ⎡δ⎤ ⎡δ⎤1,0 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢δ 2,1δ2,2 δ2,3 ⎥ ⋅ ⎢X2 ⎥ + ⎢δ 2,0 ⎥ = ⎢δ2 ⎥ .⎢δ3,1 δ3,2 δ ⎥ ⎢3,3X ⎥ ⎢3δ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3,0 ⎦ ⎢⎣δ3⎥⎦δ i,j ... koeficijenti matrice popustljivosti (koeficijenti popustljivost, koeficijentifleksibilnosti),i ∈ ⎡⎣1, n⎤⎦... označava poopćeni pomak hvatišta sile X po pravcu i usmislu njezina djelovanja,ij ... označava uzrok pomaka,j ∈ ⎡⎣1, n⎤⎦... označava poopćenu jediničnu silu u hvatištu, na pravcu i usmislu djelovanja sile X j ,j = 0 ... označava sva zadana djelovanja.Predznak vrijednosti δ i,j daje smisao pomaka u odnosu na smisaodjelovanja sile X i . Pozitivan predznak znači pomak u smislu djelovanjasile, a negativan pomak u smislu suprotnom djelovanju sile.δ i ... zadana vrijednost prisilnog pomaka hvatišta sile X i po pravcu njezinadjelovanja.Radi jednostavnosti izraza pretpostavit ćemo da nema zadanih prisilnih pomaka, tj.∆ = 0 .Zamislimo da u ravnini okvira postoji jedna točka u kojoj su elementi matricefleksibilnosti izvan glavne dijagonale jednaki nuli. Dakle, točka za koju vrijediδ i, j = 0 za ∀ i ≠ j .12

Ako u tu točku postavimo nepoznate prekobrojne silebit će*⎡δ1,1 δ1,2 δ ⎤ ⎡1,3δ110 0 ⎤⎢⎥ ⎢ * ⎥D = ⎢δ 2,1δ2,2 δ2,3 ⎥ = ⎢ 0 δ220 ⎥ .⎢*δ3,1 δ3,2 δ ⎥ ⎢3,30 0 δ ⎥⎣ ⎦ ⎣ 33 ⎦X i , X2i X3, matrica fleksibilnostiSada su jednadžbe neprekinutostiX ⋅ δ + δ = ,* *1 1,1 1,00* *2 2,2 2,00* *3⋅3,3+3,0= 0,X ⋅ δ + δ = ,X δ δa iz njih slijede jednostavni izrazi za prekobrojne sileX 1X 2X 3δ= − ,δ*1,0*1,1δ= − ,δ*2,0*2,2δ= − ,δ*3,0*3,3ili, u matričnom oblikutj.−-1X = D ∆ ,⎡ 1⎤⎢ 0 0*⎥δ1,1*⎡ X1 ⎤⎢ ⎥ ⎡ δ1,0⎤⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ * ⎥⎢X2 ⎥ = − ⎢ 0 0 ⎥ ⋅ δ*2,0δ ⎢ ⎥ .2,2*⎢⎢ ⎥X⎢3δ ⎥⎣⎥⎦ ⎢ ⎥ 3,01⎣ ⎦⎢ 0 0 ⎥*⎢⎣ δ3,3⎥⎦⋅Vidimo da se sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice raspada na tri neovisnejednadžbe s po jednom nepoznanicom (ortogonalizacija matrice fleksibilnosti). Točka ukojoj nepoznate sile imaju pretpostavljeno svojstvo zove se centar elastičnog pomaka ilielastično težište. Iako su različite od jednako označenih na osnovnom sistemu, sile uelastičnom težištu označuju se sa X1, X2i X3.*Dakle, svi izvandijagonalni koeficijenti matrice fleksibilnosti, tj. koeficijenti: δ1,2,* * * * *δ2,1, δ1,3, δ3,1, δ2,3i δ3,2u elastičnom težištu jednaki su nuli. Kinematički (fizikalno)gledano to ima odreñeno značenje prikazano u tablici 1.13

δδδTablica 1.δ* *1,2=2,1= 0δ* *1,3=3,1= 0δ* *2,3=3,2= 0KoeficijentKinematičko značenjepopustljivosti*pomak hvatišta sile X1po pravcu i u smislu njezinaδ1,2djelovanja uzrokovan djelovanjem sile X2*δ1,2= 0 sila X2ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X1*pomak hvatišta sile X2po pravcu i u smislu njezinaδ2,1djelovanja uzrokovan djelovanjem sile X1*δ2,1= 0 sila X1ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X2*pomak hvatišta sile X1po pravcu i u smislu njezinaδ1,3djelovanja uzrokovan djelovanjem momenta X3*δ1,3= 0 moment X3ne izaziva pomak po pravcu i u smislu sile X1zaokret osi u hvatištu sile X3uzrokovan djelovanjem sile*δ3,1X*δ3,1= 0 sila1*δ2,3*δ2,3= 0*δ3,2*δ3,2= 0 sila21X ne izaziva zaokret u hvatištu sile X3pomak hvatišta sile X2po pravcu i u smislu njezinadjelovanja uzrokovan djelovanjem momenta X3moment X3ne izaziva pomak po pravcu i u smjeru sileX2zaokret osi u hvatištu X3sile uzrokovan djelovanjem sileX2X ne izaziva zaokret osi u hvatištu sile X3Imajući u vidu to kinematičko značenje možemo definirati elastično težište kaotočku pridruženu elastičnom sistemu (luku, okviru ili linijskom elementu) tako da sila kojau njoj djeluje ne izaziva zaokret pripadnog presjeka, a moment koji u njoj djeluje ne* *izaziva pomak. Definicija se temelji na kinematičkom značenju izraza δ = δ = stoga2,3 3,20što je to razlika elastičnog težišta u odnosu na bilo koju drugu točku sistema u kojumožemo postaviti prekobrojne sile. Naime, za sistem sastavljen od ravnih štapova vrijedi* ** *δ = δ = i δ = δ = i za bilo koju drugu točku zbog neovisnosti uzdužnih i1,2 2,101,3 3,10poprečnih djelovanja, odnosno, zbog toga što se pri djelovanju momenta ne javljajuuzdužne sile i/ili uzdužni pomaci i obrnuto. Za zakrivljene štapove koeficijenti δ , δ ,*δ1,3i*δ3,1različiti su od nule u svim točkama osim u elastičnom težištu.Za potpuno odreñenje elastičnog težišta označenog točkom C potrebno je odreditinjegove koordinate ( xC, yC) i kut što ga sila X1zatvara s koordinatnom osi x .Počet ćemo odreñivanjem koordinata elastičnog težišta iz kojeg se prekobrojne sileprenose na okvir preko zamišljenih štapova beskonačne krutosti (slika 6.). Uvest ćemox,y s ishodištem u točki C . Vidimo da vrijedinovi koordinatni sustav ( )x = x − x Ci y = y − yC.*1,2*2,114

Slika 6.Za odreñenje C( x , y ) iskoristit ćemo jednadžbeCCδδ* *1,3 3,1jm1m3EI( s)dsij2 3= δ = ∫ = 0 ,= δ = m m∫ 0EI( s)ds = ,* *2,3 3,2a za to su nam potrebni momentni dijagrami m 1, m 2 i m 3 . Dijagrami m 1 i m 2 prikazanisu na slici 7. Pritom vrijednost momenata nisu nanošene okomito na osi elemenata, negookomito na pravce djelovanja jediničnih sila. Iz dijagrama se vidi da izrazi za momentesavijanja na okviru glasem1 = 1⋅ y ,im = ⋅ x ,m = .2 13 1Odredimo xCkoordinatu iz uvjetaδSlika 7.= δ = :* *2,3 3,20j j j j j jm2 m3 1⋅x ⋅1x x − xcx dsds = ds = ds = ds = ds − xC= 0EI( s) EI( s) EI ( s) EI( s) EI( s) EI( s)∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .i i i i i iSlijeditejixdsds = xCEI ( s) EI ( s)∫ ∫ji15

Odredimo yCkoordinatu iz uvjetaδx =Cj∫ixdsEI( s)j.dsEI ( s)∫= δ = :* *1,3 3,10j j j j j jim1m3 1⋅y ⋅1y y − ycy dsds = ds = ds = ds = ds − yC= 0EI ( s) EI ( s) EI( s) EI( s) EI( s) EI ( s)∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .i i i i i iSlijeditejiydsds = yCEI ( s) EI( s)∫ ∫y =Cj∫iydsEI ( s)j.dsEI( s)∫ijiKako bismo pojednostavnili izraze za koordinate elastičnog težišta definirat ćemoneke karakteristike. Njihove će oznake bitidsdg = ... element „teške linije“,EI ( s)jG = dg =ijidsEI( s)∫ ∫ ... duljina „teške linije“,jxSG( y)= x⋅ dg = dsEI( s)ijj∫ ∫ ... statički moment „teške linije“ oko osi y,ijySG( x)= y ⋅ dg = dsEI( s)∫ ∫ ... statički moment „teške linije“ oko osi x.Prema tim oznakama izrazi za koordinate suiiS ( ) GyxC= ,GS ( ) GxyC= .GNadalje, potrebno je odrediti kut ψ – kut što ga sila X1zatvara sa osi x (slika 8.).Za njegovo odreñenje potrebni su nam dijagrami momenata savijanja m1, m2i m3(slika9.).16

Slika 8.Izrazi za momente savijanja glasem = ⋅ η ,m = ⋅ ξ ,m = .112131Slika 9.Takoñer, potrebno je primijetiti da vrijedi (slika 10.)ξ = xcosψ + ysinψ,η = − xsinψ + y cosψ,odnosno, u matričnom zapisu⎡ξ ⎤ ⎡ cosψ sinψ⎤ ⎡x⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .⎣ η ⎦ ⎣− sinψ cosψ⎦ ⎢ ⎣ y ⎥ ⎦Slika 10.17

Konačno, odredimo kut ψ pomoću jednadžbe δ= δ = .* *1,2 1,20j j jm1m 2( xsin y cos ) ( x cos y sin )ds η ⋅ ξ −ds ψ + ψ ⋅ ψ += =ψ dsEI( s) EI ( s) EI ( s)∫ ∫ ∫i i i2 21 ⎡j y j x ⎤jx y= sin 2ψ− ⎢ ds − ds⎥+ cos 2ψds = 02 ⎢ EI( s) EI ( s) EI ( s)⎣ i i ⎥⎦i∫ ∫ ∫ .Proizlazi da jetg2ψ=j∫ijx y2∫ds = 0EI( s)i.2 j 2x yds − dsEI ( s) ∫ EI( s)iDefinirajmo još karakteristika „teške linije“ da pojednostavnimo izraz:j2yIG( x)= ∫ ds ... moment inercije „teške linije“ oko osi x ,EI( s)ij2xIG( y)= ∫ ds ... moment inercije „teške linije“ oko osi y ,EI( s)ijx yIG( x, y)= ∫ ds ... centrifugalni moment inercije „teške linije“ oko točke C .EI( s)iKut ψ odreñujemo izrazom1 ⎛ IG( x, y)⎞ψ = arctg.2 ⎜ IG( y) − IG( x)⎟⎝⎠Dijagonalni elementi matrice fleksibilnosti odreñuju se, takoñer, prema ranijeizvedenim izrazima u koje uvrstimo pripadne karakteristike „teške linije“:j 2 j 2* m1η2 211= = =G=G+G−GEI( s) EI ( s)iij 2 j 2* m2ξ2 222= = =G=G+G+GEI( s) EI( s)iij 2 j* m3ds33 ∫ dsEI( s) ∫ G ,EI( s)ii∫ ∫ ,δ ds ds I ( ξ ) I ( x)cos ψ I ( y)sin ψ I ( x, y)sin 2ψ∫ ∫ ,δ ds ds I ( η) I ( x)sin ψ I ( y)cos ψ I ( x, y)sin 2ψδ = = =dok se elementi vektora ∆ ( δ ,*1,0*δ2,0iδ*3,0) odreñuju kao i kod ostalih sistema.18

Za simetrične sisteme potpuno odreñenje elastičnog težišta pojednostavljuje sebudući da treba odrediti samo koordinatu yCjer su xC= L / 2 i ψ = 0 .Korištenjem elastičnog težišta (centra elastičnog pomaka) pri proračunu višestrukoneodreñenih nosača, može se postići da matrica fleksibilnosti nije puna. Time se ubrzavapostupak inverzije matrice popustljivosti ili bilo koji iterativni postupak rješavanjajednadžbi kontinuiteta.3.1. Primjer 1.Potrebno je odrediti elastično težište štapa sa slike 11.Postupak:Slika 11.Za početak odredimo duljinu „teške linije“.j jds Li , j∫ dg ∫ ,EI( s)EIi ii,jG = = = ∑e s eGEI∞EI EIsG = 0 + + 0,EI1 2= + + ,sG = .EIZatim odredimo statičke momente „teške linije“ oko osi x i y .∞Statički moment oko osi x jejySG( x) = y ⋅ dg = ds = 0EI ( s)ij∫ ∫ .i19

Statički moment oko osi y jejxSG( y)= x⋅ dg = dsEI( s)ij∫ ∫ ,ie s s e eSG ( y) = e ⋅ + ( e + ) ⋅ + ( e + s + ) ⋅ ,1 2 21 1 1EI∞2 EI 2 EI∞e s s e eSG ( y) = e ⋅ + ( e + ) ⋅ + ( e + s + ) ⋅ ,1 2 21 1 1EI∞2 EI 2 EI∞s sSG ( y) = 0 + ( e1+ ) ⋅ + 0 ,2 EIs sSG ( y) = ( e1+ ) ⋅ .2 EIKonačno, odredimo koordinate elastičnog težišta (centra elastičnog pomaka):S ( ) GxyC=G0yC=sEIy = 0CS ( ) GyxC=Gs( e1 +2)⋅x =xCCsEIs= e1+2sEI1 ⎛ IG( x, y)⎞Očito je da je kut ψ = arctg= 0 , jer je2 ⎜ IG( y) − IG( x)⎟⎝⎠jx yIG( x, y) = ∫ ds = 0 .EI( s)isRješenje: C( xC, yC) ≡ C( e1+ ;0) .220

4. OPĆENITO O OPĆOJ METODI POMAKAMetoda pomaka je metoda proračuna štapnih sistema u kojoj su nepoznanicevrijednosti pomaka odabranih točaka sistema. Odabrane točake sistema, kao npr. točke ukojima se sastaje više elemenata te točke u kojima se dva gredna elementa sastaju podnekim kutem nazivamo čvorovima. Oni mogu biti kruti, zglobni, kruto-zglobni... Ako jepotrebno, čvorom se može proglasiti bilo koja točka sistema. Nepoznate vrijednostipomaka su vrijednosti translacijskih i rotacijskih pomaka čvorova. Translacijske irotacijske pomake čvorova jednim imenom možemo zvati poopćeni pomaci.Metodom pomaka mogu se proračunavati statički neodreñeni, ali i odreñeni sistemi.Ona je općenitija metoda od metode sila te kao takva prikladnija za proračun statičkineodreñenih konstrukcija. Takoñer, relativno laka formalizacija opće metode pomakarazlog je zbog kojeg je ona algoritamska osnova većine kompjutorskih programa zaproračun štapnih konstrukcija.Proračun metodom pomaka provodi se na osnovnom sistemu. Osnovni sistemoblikuje se dodavanjem zamišljenih veza koje spriječavaju poopćene pomake tako da sezadani sistem u prvom koraku „raspada“ na niz meñusobno neovisnih obostrano upetihgreda. Zbog spriječenosti „slobodnih“ pomaka i zaokreta čvorova u dodanim sezamišljenim vezama, pri zadanim djelovanjima, pojavljuju reaktivne sile i momenti kojihu izvornome sistemu nema. Dio sila koje djeluju na čvorove tako se prenosi na podlogu,pa bez njih čvorovi, „izrežemo“ li ih iz sistema, neće biti u ravnoteži. Tako polje pomakaosnovnog sistema odgovara tek jednom od mogućih stanja pomaka izvornog sistema.Kako bismo osnovni sistem doveli u mehaničko stanje u kojemu se nalazi izvornisistem, njegove čvorove prisilno zaokrećemo i pomičemo po pravcima zamišljenih veza.Ti poopćeni pomaci moraju biti takvi da reakcije, koje se zbog njih javljaju u zamišljenimvezama, ponište reakcije izazvane zadanim djelovanjima, jer će tada na čvorove osnovnogsistema djelovati samo one sile koje djeluju na čvorove izvornog sistema. Njihovenepoznate vrijednosti možemo odrediti iz jednadži ravnoteže sila i momenata učvorovima. Drugim riječima, uvjete isčezavanja reakcija u zamišljenim vezamaizražavamo kao uvjete ravnoteže sila i momenata u čvorovima, a rješenja sustavajednadžbi ravnoteže su tražene vrijednosti poopćenih pomaka čvorova.Dakle, proračun metodom pomaka možemo rastaviti na dva koraka. U prvome sekoraku na osnovni sistem nanose zadana djelovanja (sile, slijeganja ležaja, temperaturnepromjene...). Taj korak nazivamo stanje spriječenih pomaka čvorova, a sile na krajevimasvakog elementa koje se javljaju u tom stanju nazivamo silama stanja spriječenih pomakaili, jednostavnije, silama upetosti. U drugome koraku kojeg nazivamo stanje prisilnihpomaka, javljaju se sile stanja prisilnih pomaka. Superponiranjem sila u stanju spriječenihpomaka i sila u stanju prisilnih pomaka dobivamo ukupne sile na krajevima elementa, tj.ukupne poopćene sile kojima čvorovi djeluju na element.U sljedećim ćemo poglavljima zamisao metode pomaka matrično formulirati.21

5. ŠTAPNI MODEL ZIDA S OTVORIMAKako bismo metodom pomaka proračunali zid s otvorima, zid kao plošni elementtrebamo „prevesti“ u štapni sistem (slika 12.). To ćemo učiniti tako što ćemo naći spojnicetežišnih linija zidova koje će činiti proračunski model zida s otvorima. Presječnice težišnihlinija proglasit ćemo čvorovima konstrukcije, a spojnice susjednih čvorova štapovima.Slika 12.Dakle, osnovni element zida s otvorima je ravni štap. Meñutim, krutost štapa nijekonstantna po duljini (slika 13.), već se on sastoji od apsolutno krutog i elastičnog dijela.Apsolutno kruti dio ponaša se kao dio čvora, dok se elastični dio deformira pri djelovanjuopterećenja i pomaka susjednih čvorova.Slika 13.Uvest ćemo oznake koje će nam olakšavati daljnju analizu ravninskih ravnihštapnih sistema u ravnini xy. Štapni element označit ćemo sa ( i, j ) pri čemu su i i jčvorovi, tj. par čvorova koji jednoznačno odreñuje element. Krajeve elementa označitćemo prema pripadnim čvorovima pa ćemo razlikovati kraj i i kraj j . Prema tome, svestatičke i kinematičke veličine na i -tom kraju elementa ( i, j ) označavat ćemo paromindeksa i,j , a veličine na j -tom kraju parom j,i . Lokalni koordinatni sustav odabratćemo tako da čvor i leži u njegovu ishodištu i da se uzdužna os štapa poklapa s osi xloc.Sile na krajevima štapnog elementa smatraju se pozitivnima ako im se smisaodjelovanja poklapa s orijentacijom odgovarajuće osi (slika 14.).22

Slika 14.Vrijednosti sila na kraju i izražene kao zbroj vrijednosti sila u stanju prisilnihpomaka ( n i,j , t i,j , m i,j ) i vrijednosti sila u stanju spriječenih pomaka ( N i,j , T i,j , M i,j )glaseN = n + N , ,i, j i, j i jT = t + T ,i, j i, j i,jIzrazi za vrijednost sila na kraju j analogni suM = m + M .i, j i, j i,jN = n + N ,j, i j, i j,iT = t + T ,j, i j, i j,iM = m + M .j, i j, i j,iPrvi indeks uz oznaku sile na kraju štapa znači broj čvora koji na taj štap djeluje, a drugiindeks označava čvor na koji je vezan drugi kraj štapa.23

6. SILE STANJA PRISILNIH POMAKA – MATRICAKRUTOSTI ŠTAPAIzraze za sile stanja prisilnih pomaka izvesti ćemo metodom sila. Pritom ćemokoristiti elastično težište. Ono se nalazi na osi štapa, na udaljenosti x = e1 +2 s od ishodištalokalnog koordinatnog sustava (primjer 1.). Postavljanjem (nepoznatih) prekobrojnih silaX1, X2i X3u elastično težište, dobivamo osnovni sustav sastavljen od dva konzolnaštapa (slika 15.), a i znatno pojednostavljen proračun.CSlika 15.Za tako odabrani osnovni sustav jednadžbe kompatibilnosti pomaka su⎡* *δ1,1 0 0 ⎤ ⎡ X1 ⎤ ⎡δ⎤ ⎡δ⎤1,0 1⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0 δ2,2 0 ⎥ ⋅ ⎢X2 ⎥ + ⎢δ 2,0 ⎥ = ⎢δ2 ⎥ ,⎢ * *0 0 δ ⎥ ⎢3,3X ⎥ ⎢3δ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3,0 ⎦ ⎢⎣δ3⎥⎦ili, u kraćem oblikuD⋅ X + ∆ = 0 ,jer je vektor ∆ = ⎡δ 1 δ 2 δ 3 ⎤⎣⎦Tjednak nuli.Elemente matrice fleksibilnosti u elastičnom težištu računamo integracijom ugranicama od 0 do L . Pritom je na dijelovima štapa od 0 do e1i od e1+ s do Lvrijednost integrala jednaka nuli radi neizmjerne krutosti štapa ( I = ∞ i A = ∞ ), paintegraciju možemo provoditi u granicama od e 1do e 1+ s .Unutarnje sile od sila u prekobrojnim vezama odreñene su izrazima (slika 16.)n1( x ) = 1,t2( x ) = − 1,m2( x) = x − xc,m3( x ) = 1.24

Slika 16.Izračunajmo vrijednosti dijagonalnih koeficijenata matrice fleksibilnosti:δδδLe + s 2* n11,1dxoe*2,2*2,21n1 ⋅ n11⋅s s∫ ∫ ,= = ds = =EA EA EA EALo1e + s⎛ ⎞1 2 2⎛ m2 ⋅ m2 t2 ⋅ t2 ⎞ m2 t2= ⎜ + k dx ⎜ + k ⎟dsEI GA⎟ =⎝ ⎠ ⎝ EI GA ⎠∫ ∫ ,32 ⎡⎛ 1 s s ⎞ ⎛ 2 s ⎞⎤ 1⋅ s s k ⋅= ⋅ ⎢⎜ ⋅ ⋅ ⎟⋅ ⎜ ⋅ ⎟⎥+ k = + s ,EI ⎣⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠⎦GA 12EI GAE I ⋅12uz G ⋅ A = ⋅ , pri čemu su22(1 + ν ) he1ν ... Poissonov koeficijent (konstanta materijala),k ... bezdimenzionalni koeficijent koji ovisi samo o oblikupoprečnog presjeka štapa; za pravokutni poprečni presjekk = 1,2 ,E ... modul elastičnosti (Youngov modul),25

EG ... modul pomika (Coulombov modul); G = ,2(1 +ν )3b ⋅hI ... moment inercije; za pravokutni poprečni presjek I z = I = ,123b⋅h12⋅12 I ⋅12A... površina poprečnog presjeka; A = b ⋅ h = = ,2 2h hslijedi:δδ*2,2*3,3s 3 2 2 21, 2⋅ s ⋅ 2(1 + ν ) ⋅ h s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅= + = s⋅ h ,12EI 12EI 12EILe + s1 2m3 ⋅ m3 m31⋅s s= dx = ds = =EI EI EI EI∫ ∫ .oe1Matrica fleksibilnosti je⎡ s⎤⎢0 0*EA⎥⎡δ1,10 0 ⎤ ⎢ ⎥2 2⎢ * ⎥ ⎢ s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎥D = ⎢ 0 δ2,20 ⎥ = ⎢ 0 s⋅0*12EI⎥ ,⎢ 0 0 δ ⎥ ⎢ ⎥⎣ 3,3 ⎦ ⎢ s0 0⎥⎢⎣EI ⎥⎦pa je inverznu matricu matrici fleksibilnosti jednostavno dobiti⎡ 1⎤⎢ 0 0*⎥⎡ EA⎤0 0⎢δ1,1⎥⎢⎥s⎢ 1 ⎥⎢⎥⎢12EI⎥= =⎢⎥⎢⎥1EI⎢ 0 0 ⎥⎢⎥0 0*⎢⎢δ ⎣s ⎥⎣⎦3,3⎥⎦−1D ⎢ 0 0 ⎥ 0 0* 2 2⎢ δ2,2 ⎥⎢ s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥.Vektori vrijednosti poopćenih pomaka na krajevima štapa isti su kao i kod štapovakonstantne krutosti po cijeloj duljini. U skladu s prije uvedenim oznakama te prema slici17., vektor pomaka kraja i možemo napisati u i, j = ⎡ui, j wi , j ϕ ⎤⎣i,j ⎦te vektor pomakaTkraja j u j, i = ⎡u j, i wj, i ϕ ⎤⎣j,i ⎦, odnosno, u( i, j)= ⎡ui, j wi , j ϕi, j u j, i wj, i ϕ ⎤⎣j,i ⎦.TT26

Slika 17.Za odreñenje vanjskih članova jednadžbi kontinuiteta, tj. vrijednosti poopćenihpomaka δ , δ i δ , poslužit će nam dijagram pomaka (slika 18.).*1,0*2,0*3,0Slika 18.27

Prema dijagramu pomaka možemo pisatiδ = δ u δ u u − u ,* * *1,0 1,0( i, j ) +1,0( j, i)= i, j j,i* * * * *2,0 2,0( wi , j )2,0( i, j )2,0( wj, i) 2,0( j, i) wi , j xc i, j wj, i ( L xc ) j,i* * *3,0=3,0( i, j ) +3,0( j, i)= i, j − j,i .δ = δ + δ ϕ + δ + δ ϕ = + ⋅ϕ − + − ⋅ ϕ ,δ δ ϕ δ ϕ ϕ ϕIli, isto u matričnom zapisuDefinirat ćemo prijenosnu matricu kao⎛ u⎜⎜ wi,j*i,j⎡δ⎤1,0 ⎡1 0 0 −1 0 0 ⎤⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ϕi,j ⎟⎢δ2,0 ⎥ ⎢0 1 xc0 1 L xc⎥ ⎜ ⎟u⎢ *j,iδ ⎥ ⎢3,00 0 1 0 0 1 ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ − ⎦ ⎜ w ⎟j,i∆ = = − − ⋅ .⎜⎝ϕj,i⎞⎟⎟⎟⎠to jestTC = ⎡ ⎤⎣TiC TjC ⎦,⎡1 0 0 −1 0 0 ⎤⎢⎥TC=⎢0 1 xc0 −1L − xc⎥.⎢⎣0 0 1 0 0 −1⎥⎦Prijenosna matrica je matrica pomoću koje pomake i sile iz elastičnog težišta „prenosimo“na krajeve štapa, odnosno pomoću koje pomake i sile na krajevima štapa izražavamo kaofunkcije pomaka i sila u elastičnom težištu.Sada možemo vektor vrijednosti poopćenih pomaka zapisat u kraćem obliku∆ = T ⋅u .C( i, j)Iz jednadžbi neprekinutosti ( D⋅ X + ∆ = 0 ) možemo izraziti vektor prekobrojnih sila kaotj.ili⎡ EA⎢s−1X = −D ⋅∆ ,X D T u ,−1= − ⋅C⋅0 0i,j⎡ X1⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 0 0 −1 0 0 ⎤⎢ ⎥ ⎢ 12EI⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕi,j ⎥⎢X 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 x 0 12 2c L xc⎢ ⎥s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥ ⎢ ⎥ u j,i⎢ X30 0 1 0 0 1⎢ ⎥⎣⎥⎦⎢ ⎥ ⎢EI⎣− ⎥⎦⎢⎥⎢w⎥j,i⎢ 0 0⎢ ⎥⎣ s ⎥⎦ ⎢ϕj,i ⎥X = = − ⋅ − − ⋅ .⎤⎥( i, j)⎡u⎢⎢w⎣i,j⎤⎥⎥⎦28

Kada znamo izraze za vrijednosti prekobrojnih sila X1, X2i X3, vrijednosti sila nakrajevima elementa lako je naći iz uvjeta ravnoteže sila (slika 19.).Slika 19.Sile na kraju i :nnn∑ Fm , x = 0 ∑ Fm , y = 0 ∑ MF /0m i=m=1m=1m=1ni, j + X1 = 0 ti, j + X2= 0 mi , j + X2⋅ xc+ X3= 0n= − Xi, j 1t= − Xi, j 2m = −( X ⋅ x + X )i, j 2 c 3Formirat ćemo matricu⎛ n ⎞i, j ⎡1 0 0⎤⎛ X1⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ti, j ⎟ = −⎢0 1 0⎥⋅ ⎜ X2 ⎟ .⎜ m ⎟ ⎢i, j 0 xc1⎥⎜ X ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ 3 ⎠Sile na kraju j :nnn∑ Fm , x = 0 ∑ Fm , y = 0 ∑ MF /0m j=m=1m=1m=1n j, i − X1 = 0 t j, i − X2= 0 m j, i X2L xcX3n= Xj, i 1t= Xj, i 2+ ⋅( − ) − = 0m = X ⋅( x − L)+ Xj, i 2 c3U matričnom zapisu⎛ n ⎞j, i ⎡1 0 0⎤⎛ X1⎞⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎜ ⎟⎜ t j, i ⎟ =⎢0 1 0⎥⋅⎜ X2 ⎟ .⎜ m ⎟ ⎢j, i 0 xcL 1⎥⎜ X ⎟⎝ ⎠ ⎣ − ⎦ ⎝ 3 ⎠Ako sile s oba kraja štapnog elementa „stavimo“ u jedan vektor, dobit ćemon⎡ i,j ⎤⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤⎢ ti,j ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎡ X ⎤⎢m1i,j ⎥ ⎢ 0 xc1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = − ⎢⎥⋅⎢Xn2 ⎥⎢ j,i ⎥ ⎢−1 0 0 ⎥ ⎢ X ⎥⎢ 0 1 03t⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦⎢ j,i ⎥ ⎢⎥⎢m⎥ ⎢⎣ 0 L − xc−1⎥⎦⎢⎣j,i ⎥⎦.29

Primijetimo da je matrica kojom množimo vektor prekobrojnih sila da bismo dobili sile nakrajevima elementa, transponirana prijenosna matrica i označimo vektor sila na krajevimaštapa saf( i, j)= ⎡ni, j ti, j mi , j n j, i t j, i m ⎤⎣j,i ⎦.TIz toga slijedi jednostavan izrazf = T X .T( i, j)−C⋅Konačan izraz za vektor sila na krajevima štapnog elementa dobit ćemo uvrštavajući uizraz za vektor prekobrojnih sila u prethodan izraz, pa jef = T ⋅D ⋅T ⋅u .T −1( i, j) CC ( i, j)Kada se to raspiše, dobivamo⎡ ni, j ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ EA⎤⎡ui,j ⎤⎢t⎥ ⎢, 0 1 0⎥ 0 0i j⎢ ⎥⎢w⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥i,j⎢s⎥ ⎡1 0 0 −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥⎢m ⎥i, j⎢ 0 x 1 ⎥c ⎢ 12EIi,j0 0 ⎥ ⎢0 1 x 0 12 2cL x ⎥ ⎢ϕ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅cnj, i 1 0 0 ⎢ s ( s 2, 4 (1 ν ) h ) ⎥⋅ ⎢− − ⎥⋅ ⎢ ⎥ ,⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⋅ + ⋅ + ⋅u⎢ ⎥j,i⎢ 0 0 1 0 0 − 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ t ⎥ ⎢j, i 0 −1 0 ⎥⎣⎦⎢ EI ⎥⎢w⎥j,i⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0mj,i 0 L − xc−1⎢⎣s ⎥⎢ ⎥⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎦⎢⎣ϕ j , i ⎥⎦tj.⎡ EAEA⎤⎢0 0 −0 0ss⎥⎢⎥⎢12EI12 EI ⋅ ( e1+ s / 2)12EI12 EI ⋅( L − xc)0 0 −⎥2 2 2 2 2 2 2 2⎡ ni , j ⎤ ⎢ s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥ ⎡ui,j ⎤⎢t⎥ ⎢⎥2⎢⎢ i,j ⎥ 12EI ⋅ xcEI 12EI ⋅ xc 12EI ⋅ xc EI 12 EI ⋅( L − xc ) ⋅ x w⎥⎢c ⎥0+0 − − +⎢ i,j ⎥2 22 2 2 2 2 2⎢m ⎥ ⎢i,js ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥ ⎢ϕ⎥i,j⎢ ⎥ = ⎢⎥ ⋅ ⎢ ⎥⎢ nj,i ⎥ ⎢ EAEA⎥−0 0 0 0⎢uj,i ⎥⎢ t ⎥ ⎢j,iss⎥ ⎢w⎥j,i⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎣mj,i ⎥12EI12EI ⋅ xc12EI12 EI ⋅( L − xc)⎢ ⎥⎦ ⎢ 0 − − 0−⎥ ⎢⎣ϕ j , i ⎥⎦⎢2 2 2 2 2 2 22s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4⋅(1 + ν ) ⋅ h ) ⎥⎢⎥2⎢12 EI ⋅( L − xc ) EI 12 EI ⋅( L − xc ) ⋅ xc 12 EI ⋅( L − xc ) EI 12 EI ⋅( L − xc) ⎥⎢0 − + 0 − +2 2 2 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥⎣⎦Vidimo da su unutarnje sile u štapovima funkcije fizikalnih i geometrijskih karakteristikate poopćenih pomaka krajeva štapova, a oni su jednaki poopćenim pomacima čvorova.Umnožakkoordinatnom sustavuT −1TC⋅D ⋅T Cpredstavlja matricu krutosti izraženu u lokalnom30

k( i, j)⎡ EAEA⎤⎢0 0 −0 0ss⎥⎢⎥⎢12EI12EI ⋅ xc12EI12 EI ⋅( L − xc)0 0 −⎥⎢2 2 2 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥⎢⎥2⎢12EI ⋅ xc EI 12EI ⋅ xc 12EI ⋅ xcEI 12 EI ⋅( L − xc) ⋅ xc⎥⎢0 + 0 −− +2 2 2 2 22 2 2s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4⋅(1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥= ⎢⎥⎢ EAEA⎥⎢−0 0 0 0ss⎥⎢⎥⎢12EI12EI ⋅ xc12EI12 EI ⋅( L − xc)0 − − 0−⎥⎢2 2 2 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥⎢⎥2⎢12 EI ⋅( L − xc) EI 12 EI ⋅( L − xc ) ⋅ xc 12 EI ⋅( L − xc ) EI 12 EI ⋅( L − xc) ⎥⎢0− + 0 − +2 22 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥⎣⎦.Uvrstimo li x = e1 + s / 2 i L − x = e2 + s / 2, matrica krutosti jeCCk⎡ EAEA⎤⎢0 0 −0 0ss⎥⎢⎥⎢12EI12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) 12EI12 EI ⋅ ( e2+ s / 2)0 0 −⎥⎢2 2 2 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥⎢⎥2⎢ 12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) EI 12 EI ⋅ ( e1+ s / 2)12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) EI 12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) ⋅ ( e2+ s / 2) ⎥⎢0+0 − − +2 2 2 22 2 2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎥( i, j)= ⎢⎥⎢ EAEA⎥⎢−0 0 0 0ss⎥⎢⎥⎢12EI12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) 12EI12 EI ⋅ ( e2+ s / 2)0 − − 0−⎥⎢2 2 2 2 2 2 22s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2,4 ⋅(1+ ν ) ⋅h) ⎥⎢⎥2⎢ 12 EI ⋅ ( e2 + s / 2) EI 12 EI ⋅ ( e1 + s / 2) ⋅ ( e2 + s / 2) 12 EI ⋅ ( e2 + s / 2) EI 12 EI ⋅ ( e2+ s / 2) ⎥⎢0 − + 0 − +2 2 2 2 2 2 2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥⎣⎦.Elementi lokalne matrice krutosti sadržavaju geometrijske i fizikalne karakteristikeštapa i predstavljaju vrijednosti poopćenih sila na krajevima štapnog elementa izazvanihjediničnim poopćenim pomacima po pravcu u i smislu lokalnih koordinatnih osi.Prema tome, vektor vrijednosti sila na krajevima štapnog elemenata umnožak jelokalne matrice krutosti i vektora vrijednosti poopćenih pomaka krajeva elementa usmjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava. „Prevedeno“: f ( i, j) = k ( i, j) ⋅u ( i, j).Za postavljenje jednadžbi ravnoteže pogodno je zapisati izraz kao:gdje su⎡f⎤ ⎡k ( , ) i ( i, j) ki, i ( i, j) ⎤i j⎡ui,j ( i, j)⎤i⎢ ⎥ = ⎢⎥⋅⎢ ⎥ ,⎢f( i, j) ⎥ ⎢k j ( i, j) k ⎥j, i ( i, j)⎢uj,j ( i, j)⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ j ⎦f⎣⎦vektor vrijednosti sila na kraju i ,T( i, j) i= ⎡n i, j ti, j m ⎤i,jf vektor vrijednosti sila na kraju j ,⎣⎦T( i, j) j= ⎡n j, i t j, i m ⎤j,iu vektor vrijednosti poopćenih pomaka kraja i ,⎣⎦T( i, j) i= ⎡u i, j wi , j ϕ ⎤i,ju vektor vrijednosti poopćenih pomaka kraja j .⎣⎦T( i, j) j= ⎡u j, i wj, i ϕ ⎤j,i31

Ovakvim rastavljanjem matrice krutosti na podmatrice dolazi do izražaja utjecaj pomakakrajeva na vrijednost sila na krajevima, pa je takoi⎡u( i, j)i( i, j) = ⎡i ⎣ ⎤( i, j) i, i ( i, j)i,j ⎦ ⋅ ⎢ ⎥⎢ u( i, j)⎥f k k( i, j)i( i, j) = ⎡j ⎣ ⎤( i, j) j, i ( i, j)j,j ⎦ ⋅ ⎢ ⎥⎢ u( i, j)⎥f k k⎣⎡u⎣jj⎤⎦⎤.⎦32

7. SILE UPETOSTIOpterećenja na štapnim elementima ulaze u jednadžbe ravnoteže u oblikupoopćenih sila upetosti. Odreñivanje sila upetosti kod štapova koji imaju neizmjerno krutedijelove (štapni model zida s otvorima) razlikuje se od odreñivanja sila za elastični štapkonstantne krutosti po duljini.I sile stanja spriječenih pomaka (sile upetosti) odredit ćemo metodom sila, koristećielastično težište. Osnovni sistem tako su konzole kao i kod odreñivanja sila stanja prisilnihpomaka. Prema tome, i elementi matrice fleksibilnosti su isti⎡ s⎤⎢0 0EA⎥⎡δ0 0 ⎤ ⎢ ⎥D = = ⋅.*1,12 2⎢ * ⎥ ⎢ s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎥⎢ 0 δ2,20 ⎥ ⎢ 0 s0*12EI⎥⎢ 0 0 δ ⎥ ⎢ ⎥3,3⎣ ⎦ ⎢ s0 0⎥⎢⎣EI ⎥⎦Već poznati izraz za prekobrojne sile dobiven iz jednadžbi neprekinutosti glasiodnosno,−1X = −D ⋅∆ ,⎡ 1⎤⎢ 0 0*⎥⎡ EA⎤0 0⎢δ1,1⎥⎢⎥⎡* *δ1,0 ⎤ s⎡ δ1,0⎤⎢ 1 ⎥⎢⎥⎢ * ⎥ 12EI⎢ * ⎥⎢ 0 0 ⎥ δ⎢⎥* 2,00 0 δ2 22,0δ ⎢ ⎥2,2*s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ *δ ⎥ ⎢3,0δ ⎥⎢ ⎥⎢⎥3,01⎣ ⎦ EI ⎣ ⎦⎢ 0 0 ⎥⎢0 0⎥*⎢⎢δ⎣s ⎥⎣⎦3,3⎥⎦X = − ⋅ = − ⋅ .Isti izraz zapisan u obliku niza jednadžbi daje jednostavne izraze za prekobrojne sile:X 1X 2X 3*δ1,0= − ,δ*1,1*δ2,0= − ,δ*2,2*δ3,0= − .δ*3,3Budući da nam je matrica inverzna matrici fleksibilnosti već poznata, potrebno jeodrediti još samo vektor* * *∆ = ⎡δ1,0 δ2,0 δ ⎤⎣3,0 ⎦,pa je vrijednost prekobrojnih sila jednostavno dobiti iz općeg izraza33T

X iδ= − .δ*i,0*i,iNakon što se odrede izrazi za prekobrojne sile, sile upetosti nalazimo iz uvjetaravnoteže štapa (slika 20.).Slika 20.Opterećenja za koja ćemo odreñivati sile upetosti su: koncentrirana sila u općempoložaju, jednoliko raspodijeljena sila i koncentrirani moment. Pritom ćemo koncentriranusilu u općem položaju rastaviti na dvije komponente – komponentu paralelnu s osi štapa ikomponentu okomitu na os štapa, te za svaku komponentu posebno, preglednosti radi,tražiti sile upetosti. Odreñene sile upetosti zapisat ćemo kao vektor vrijednosti sila upetostiTf ( i, j) = ⎡N i, j T i, j M i, j N j,i T j, i M j,i ⎤ .⎣⎦34

7.1. Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom paralelnom s osi štapaSlika 21.Vektor ∆ u potpunosti ćemo odredit nalaženjem samo „slobodnog“ člana* *su članovi δ2,0i δ3,0jednaki nuli.δ*1,0, jerJednostavnom integracijom u granicama od e 1od e 1+ s (slika 21.) dobivamoLoe + sN ⋅ n N ⋅ n0 1 01 1*δ1,0= ∫ dx = ∫ ds ,EAe1EAδ *= 1⋅ P 1,0 x ( a e 1) 1EA ⎡ ⎣ ⋅ − ⎤ ⎦ ⋅ ,* P ⋅ ( a − e )x1δ1,0= .EA*Uvrštavajući koeficijent δ1,0u izraz za prekobrojnu silu dobivamoX1δ ( )= − = − .δ*1,0 P ⋅ a − ex1*s1,135

Očito je da su prekobrojne sile X2i X3jednake nuli. Sile upetosti N i,j i N j,i nakrajevima odreñujemo uvjeta ravnoteže (slika 22.). Pritom je L = a + b = e1 + s + e2, to jests = a + b − e − e .1 2Slika 22.Dakle,sile na kraju i (iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole):n∑F= 0m,xm=1N i, j + X1 + Px= 0N = −X − PNi, j 1x2i,j = − ,xP ⋅ ( b − e )ssile na kraju j (iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole):n∑F= 0m,xm=1N j, i − X1 = 0NN= Xj, i 1P ⋅ ( a − e )x1j,i = − .sSada je vektor sila upetosti za opterećenje uzdužnom koncentriranom silom⎡ b − e2⎤⎡ N i,j ⎤ ⎢−Px⋅s⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ T i,j ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥M ⎢ 0 ⎥i,jf ( i, j)= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .⎢ ⎥, ⎢ a − e ⎥N−P⋅j i1⎢ ⎥ ⎢ x ⎥⎢ T j,i ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢⎣ M j,i ⎥⎦ ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦s36

7.2. Sile upetosti za opterećenje koncentriranom silom okomitom na os štapaSlika 23.37

Odredimo „slobodne“ članove integracijom (slika 23.):iδδδδδδ*2,0Loe + s0 0 1 0 0⎛ M ⋅ m2 T ⋅t ⎞ ⎛2M ⋅ m2 T ⋅t⎞2⎜ + k ⎟dx⎜ + k ⎟⎝ EI GA ⎠ ⎝ EI GA ⎠∫ ∫= =e11 ⎡1⎤ s a − e kEI⎢ P a e a e P a e2⎥⎡ ⎤2 3 GA ⎣ ⎦⎣⎦22P ⋅ ( a − e )2, 4 (1 1 1)(1 )y s a − e ⋅ ⎡yh( )⎣P ⋅ a − e ⎤⎦ ⋅ + ν ⋅2EI2 3 12EI= ⋅ ⋅ ⋅( − ) ⋅( − ) ⋅( − ) + ⋅ ⋅( − ) ⋅ 1*12,0 y 1 1 y 1*2,0*3,0= ⋅ − +Lo0 e1s 0⋅⋅3 3M m M m= ∫ dx = ∫ ds .EI+e1EI1 ⎡1⎤= ⋅ P ( a e ) ( a e ) 1EI⎢ ⋅ ⋅ − ⋅ −2⎥ ⋅⎣⎦2Py⋅( a − e1)= .2EI*3,0 y 1 1*3,0dsPrekobrojne sile su sada2δ P ⋅( a − e ) ⋅ ⎡( a − e ) ⋅(2a − 2e − 3 s) − 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎤X2= − =⎦,δ( 2,4 (1 ) )Xδ*2,0 y 1 ⎣ 1 1* 2 22,2s ⋅ s + ⋅ + ν ⋅hP ⋅( a − e )*23,0 y 13= − = − .*δ3,32sSile upetosti na krajevima slijede iz uvjeta ravnoteže (slika 24.).Slika 24.Sile na kraju i dobivamo iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole:n∑m=1Fm,y= 0T + X + P =i, j 2 y 0T = −X − PTi, j 2i,jy⎡ ( a − e1 ) ⋅ ⎡( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1− 3 s) − 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h= −Py⋅ ⎢1+⎣2 2⎢s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h)⎣2⎤ ⎤⎦ ⎥⎥⎦38

n∑m=1MF / im= 0sM i, j + X2⋅ ( e1 + ) + X3+ Py⋅ a = 02sM i, j = −( X2⋅ ( e1 + ) + X3+ Py⋅ a)222⎡s( a − e ) ( a − e ) ⋅ ( e + ) ⋅ ⎡( a − e ) ⋅(2a − 2e − 3 s) − 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤ ⎤11 1 21 1M i,j = Py⋅ ⎢ −⎣⎦− a⎥,2 2⎢ 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎣⎥⎦a sile na kraju j iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole:n∑F= 0m,ym=1T j, i − X2= 0TTn∑m=1= Xj, i 2=j,i P yMF / jm2( a − e1 ) ⋅ ⎡( a e1 ) (2a 2e13 s) 2,4 (1 ν ) h⋅⎣ − ⋅ − − − ⋅ + ⋅ ⎤⎦2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )= 0sM j, i + X2⋅ ( e2 + ) − X3= 02sM j, i = X3− X2⋅ ( e2+ )2⎡2s2( a − e1) ( a − e1 ) ⋅ ( e2 +2) ⋅ ⎡( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1− 3 s) − 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤ ⎤M j,i = − Py⎢ +⎣ ⎦ ⎥ .2 2⎢ 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎣⎥⎦Vektor sila upetosti za opterećenje poprečnom koncentriranom silom jef( i, j)⎡0⎤⎢⎥2⎢⎡ ( a − e1 ) ⋅ ⎡( a e1 ) (2a 2e13 s) 2, 4 (1 ν ) h ⎤P 1 ⎣ − ⋅ − − − ⋅ + ⋅ ⎤⎦⎥⎢ − y ⋅ ⎢ +⎥2 2⎥⎡s ( s 2,4 (1 ) h )N i,j ⎤ ⎢⎢⋅ + ⋅ + ν ⋅⎥⎣ ⎦ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥2s2⎢ T i,j ⎥ ⎢ ⎡( a − e (1)a − e1 ) ⋅ ( e1 +2) ⋅ ⎡( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1− 3 s) − 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤ ⎤⎥P⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢y ⋅ ⎢ −− a⎥⎥22⎢Mi,j ⎥ ⎢ ⎢ 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎥⎥= ⎢ ⎥ = ⎢⎣⎦⎥ .⎢ N j,i⎥ ⎢0⎥⎢ T ⎥ ⎢2⎥j,i⎢ ⎥ ⎢ ( a − e1 ) ⋅ ( a e1 ) (2a 2e13 s) 2, 4 (1 ) hP ⎣⎡ − ⋅ − − − ⋅ + ν ⋅ ⎦⎤⎥⎢⎣Mj,i ⎥ ⎢y ⋅2 2⎦s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎥⎢⎥⎢ ⎡ 2s2( a e (1)a − e1 ) ⋅ ( e2 +2) ⋅ ⎡( a − e1 ) ⋅(2a − 2e1− 3 s) − 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎤ ⎤ ⎥⎢ −− P ⎢ ⎣ ⎦ ⎥y +⎥2 2⎢ ⎢ 2 s s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎥ ⎥⎣ ⎣⎦ ⎦39

7.3. Sile upetosti za opterećenje kontinuiranom jednoliko raspodijeljenomsilomOdredimo vektor ∆ integracijom (slika 25.) pomoću teorema Vereščagina:Slika 25.40

δδδ*2,0Loe0 0 1+s0 0⋅2⋅2⋅2⋅2⎛ M m T t ⎞ ⎛ M m T t ⎞= ∫ ⎜ + k ⎟dx= ⎜ + k ⎟ds⎝ EI GA ∫⎠ ⎝ EI GA ⎠e1* 1 ⎡1 1 2 ⎤ ⎡ s1 ⎤1 ⎡12 ⎤ ⎡( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sa−e⎤= ⋅⎢ q b a b a ⎥ ⎢ a e b a ⎥ ⋅ q b a a e12,0 EI 3 2 2 1 4 EI ⎢2 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 2 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎥ ⎦1 1 ⎡1 1 2⎤ ⎡( ) ( )( 2 ) ( ) sa−e⎤+ ⋅ ⋅ a−e ⋅ q b a a e b q b a1EI 2 1 ⎢ − − + − −2 1 2 ⎥⋅ ⎢ −2 3 ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦⋅ − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − +{q⋅( a −b) = 2 ⋅ ( a −e ) (2 a − 2 e − 3 s ) − 6 ⋅ ( a −b ) ⋅ ( a −e ) ⋅ ( a −e − s ) + ( a −b ) ⋅ (3 a + b− 2(2 e + s )) −* 2 22,0 24EI1 1 1 1 1−2,4 ⋅ ( a + b− 2 e 21) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h }iδ*3,0Loe + sM ⋅ m M ⋅ m0 1 03 3∫ ∫= dx =EIe1EIδ * 1 1 1 2 1 1 23,0= ⋅ ⎡ ⋅ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 13 2 q b − a ⋅ b −EIa ⎤ ⋅ + ⋅ ⎡ EI 2q b − a ⋅ a − e 1⎤ ⋅ +⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦+ 1 ⋅⎡1 ⋅( a − e ) ⋅ ⎡1 q( b − a)( a − 2 e + b) − 1 q( b − a) 2 ⎤⎤⋅1EI ⎢⎣2 1 ⎢⎣2 1 2 ⎥⎦⎥⎦δ*3,0ds2( a − b) ⋅ ⎡( a + b) − 3 e1 ( a + b − e1) − ab⎤= −q⋅ ⎣⎦.6EIPrekobrojne sile su sadaXδ*2,0= − = −q⋅( a−b)22 *2 2 { 1 1 1 1δ 2 s ( s 2,4 (1 ν) h )2,2 ⋅ + ⋅ + ⋅+ ( a−b) 2⋅ (3a + b−2 ⋅ (2 e + s)) −2,4 ⋅ ( a+ b−2 e ) ⋅ (1 + ν ) ⋅h2} ,1 1X = − δ= ⋅ ( a −b ) ⋅ ( a + b ) − 3 e ( a + b − e ) − ab ⎤⎦.*3,0 q2⎡3 *1 1δ3,3 6s⎣⋅ 2 ⋅( a −e ) (2a −2e −3 s) −6 ⋅( a−b) ⋅( a −e ) ⋅( a −e − s)+Slika 26.Sile na krajevima dobivamo iz uvjeta ravnoteže (slika 26.).41

Sile na kraju i (iz uvjeta ravnoteže „lijeve“ konzole):n∑m=1Fm,y= 0T i, j + X2+ q ⋅( b − a) = 0y[ ]T i, j = − X2+ q ⋅( b − a)2 2 2⎡ 2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2, 4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎤= ⋅( − ) ⋅ ⎢+ 12 2⎥⎣2 s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h)⎦T i,j q a bn∑m=1MF / im= 0sM i, j + X2⋅ ( e1 + ) + X3+ Py⋅ a = 02⎡ s b − a ⎤M i, j = −⎢X2⋅ ( e1 + ) + X3+ q ⋅( b − a) ⋅ ( a + )⎣ 2 2 ⎥⎦⎡+ − + − − ( e + ) ⋅ ⎡2 ⋅( a − e ) (2a − 2e − 3 s) − 6 ⋅( a −b) ⋅( a − e ) ⋅( a − e − s) + ( a −b) ⋅ (3a + b − 2(2 e + s)) − 2,4 ⋅ ( a + b − 2 e ) ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎤ ⎤⎣ ⎦⎥ν⎥⎦2s2 2 21 ( a b) 3 e1 ( a b e1) ab 1 21 1 1 1 1 1M i,j = q ⋅( a −b) ⋅ ⎢ ( a + b)− +2 22 6s 2 s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ) ⋅h)⎢⎣Sile na kraju j (iz uvjeta ravnoteže „desne“ konzole):n∑m=1TTFm,y= 0j, i − X2= 0= Xj, i 2T j,i q b an∑m=1M= ⋅( − ) ⋅F / jm= 0M + X ⋅ ( e + ) − X = 0sj, i 2 2 2 3M = X − X ⋅ ( e + )M j,i q a b2 2 21 1 1 1 1 1 ν2 22 ⋅( a−e ) (2a−2e −3 s) −6 ⋅( a−b) ⋅( a−e ) ⋅( a−e − s) + ( a−b) ⋅ (3a+ b− 2(2 e + s)) −2,4 ⋅ ( a+ b−2 e ) ⋅ (1 + ) ⋅h2 s⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h)sj, i 3 2 2 222 2 2⎡s( a + b) − 3 e1 ( a + b − e (1)− ab e2 +2) ⋅ ⎡2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2, 4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤ ⎤= ⋅( − ) ⋅ ⎢+⎣ ⎦⎥2 2⎢6s 2 s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎣⎥⎦Vektor sila upetosti za opterećenje jednoliko raspodijeljenom silom jef( i, j)⎡0⎤⎢2 2 2⎥⎢⎡2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2,4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤q ⋅( a − b) ⋅ + 1⎥⎢⎢2 2⎥N2 s ( s 2, 4 (1 ν ) h )i,j⎣⋅ + ⋅ + ⋅⎦⎥⎡ ⎤⎢⎥⎢ ⎥2 2 2T ⎢ ⎡2s⎢ i,j ⎥1 ( a + b) − 3 e1 ( a + b − e1) − ab ( e1 +2) ⋅ ⎡2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2, 4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅h⎤ ⎤⎥⎢⎢ ⎥q ⋅( a − b) ⋅ ⎢ ( a + b)−+⎣ ⎦⎥⎥2 2M26s 2 s ( s 2, 4 (1 ) h )i,j ⎢ ⎢⋅ + ⋅ + ν ⋅= ⎢ ⎥ =⎣⎥⎦⎥⎢⎥⎢ N ⎥j,i ⎢0⎥⎢ ⎥⎢22 2⎥⎢ T j,i ⎥⎢2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1) ⋅(a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2,4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h⎢ ⎥q ⋅( b − a)⋅⎥2 2⎢⎣M⎢j,i ⎥2 s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎥⎦ ⎢⎥2s2 2 2⎢⎡( a + b) − 3 e (1( a + b − e1) − ab e2 +2) ⋅ ⎡2 ⋅( a − e1 ) (2a − 2e1 − 3 s) − 6 ⋅( a − b) ⋅( a − e1 ) ⋅( a − e1 − s) + ( a − b) ⋅ (3a + b − 2(2 e1 + s)) − 2,4 ⋅ ( a + b − 2 e1) ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ⎤q ⋅( a − b)⋅ +⎣⎤⎦ ⎥⎢⎢⎥2 2⎥⎢⎢6s2 s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )⎣⎣⎦⎥ ⎥⎦42

Za poseban slučaj, kada je a = e1i b = e1+ s , tj. kada je opterećenje kontinuiranomjednoliko raspodijeljenom silom zadano po cijeloj duljini elastičnog dijela štapa (slika27.),Slika 27.vektor sila upetosti jef( i, j)⎡ ⎤ ⎡⎤⎢N i,j ⎥ ⎢⎥⎢1T⎥ ⎢ − q⋅s⎥⎢i, j⎥ ⎢ 2 ⎥⎢1M i, j⎥ ⎢− q⋅s⋅ (6 e12 1+s)⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ N j,i⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢1T j, i ⎥ ⎢ − q⋅s⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢M⎢j, i ⎥ 1 q⋅s⋅ (6 e12 2+ s)⎥⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦= =0.43

7.4. Sile upetosti za opterećenje koncentriranim momentomSlika 28.Odredimo „slobodne“ članove integracijom (slika 28.):δδδ*20Loe + s0 0 1 0 0⎛ M ⋅ m2 T ⋅t ⎞ ⎛2M ⋅ m2 T ⋅t⎞2⎜ + k ⎟dx⎜ + k ⎟⎝ EI GA ⎠ ⎝ EI GA ⎠∫ ∫= =1*120= ⋅( M ⋅( a − e1)) ⋅( − ) + 0*20EI2 2M ⋅ ( a − e ) ⋅ ( s + e − a)1 1=2EIse1a − eds44

iδ*30Loe + sM ⋅ m M ⋅ m0 1 03 3∫ ∫= dx =EI* 1δ30= ⋅[ M ⋅( a − e1)]⋅ 1EI* M ⋅( a − e )1δ30= .EIe1EIdsPrekobrojne sile su sadaXX23δ 6 M ( a e ) ( s e a)= − = − ,δ ( 2, 4 (1 ) )*2,0 ⋅ − ⋅ + −1 1* 2 2s ⋅ s + ⋅ + ν ⋅ h2,2*δ3,0 M ⋅ ( a − e )1= − = − .δs*3,3Sile upetosti na krajevima slijede iz uvjeta ravnoteže (slika 29.).Slika 29.Sile na kraju i :n∑F= 0m,ym=1T i, j + X2= 0TT= − Xi, j 2i,jn∑m=1=M6 M ⋅( a − e1 ) ⋅ ( s + e1− a)2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h )F / im= 0sM i, j + X2⋅ ( e1 + ) + X3+ M = 02sM i, j = −( X2⋅ ( e1 + ) + X3+ M )2⎡s6 ⋅( a − e1 ) ⋅ ( e1 +2) ⋅ ( s + e1− a) ( a − e1)M i,j M ⎢2 2⎣ s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s= + − 1⎤⎥⎦45

Sile na kraju j :n∑F= 0m,ym=1T j, i − X2= 0TTn= Xj, i 2j,i∑m=1= −MF / jm6 M ⋅( a − e1 ) ⋅ ( s + e1− a)2 2s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h)= 0sM j, i + X2⋅ ( e2 + ) − X3= 02sM j, i = X3 − X2⋅ ( e2+ )2⎡s6 ⋅( a − e1 ) ⋅ ( e2 +2) ⋅ ( s + e1− a) ( a − e1) ⎤M j,i = M ⎢−2 2⎥⎣ s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s ⎦Sada je vektor sila upetosti za opterećenje koncentriranim momentomf( i, j)⎡⎤⎢⎥⎢ 6 M ⋅( a − e1 ) ⋅ ( s + e1− a)⎥⎡ 2 2N i,j ⎤ ⎢s ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h)⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ T i,j ⎥ s⎢ ⎡6 ⋅( a − e1 ) ⋅ ( e1 +2) ⋅ ( s + e1− a) ( a − e1) ⎤⎥⎢ ⎥ ⎢M⎢ + −12 2⎥M i,js ⋅ ( s + 2,4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h ) s ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎦⎥⎢ ⎥.N j,i⎢0⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ T ⎥6 M ⋅( a − e,1) ⋅ ( s + e1− a)j i ⎢⎢ ⎥ −⎥⎢2 2s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅h) ⎥⎢⎣Mj,i ⎥⎦ ⎢⎥s⎢ ⎡6 ⋅(a − e1) ⋅ ( e2 +2) ⋅ ( s + e1− a) ( a − e1) ⎤ ⎥⎢ M ⎢−2 2⎥s ⋅ ( s + 2, 4 ⋅ (1 + ν ) ⋅ h ) s⎥⎣ ⎣⎦ ⎦= =07.5. Dobivanje sila upetosti pomoću izraza iz priručnikaSile upetosti moguće je dobiti i pomoću gotovih izraza iz priručnika 1 . Takomožemo dobiti sile upetosti za elastični dio štapa, odnosno sile upetosti na spoju s krutimdijelom štapa. Konačne sile na krajevima štapnog elementa dobiti ćemo iz uvjeta daopterećenje krutog dijela i dobivene sile upetosti za elastični dio suprotnog predznaka čineuravnotežen sustav (slika 30.).1 U većini priručnika u izrazima za sile upetosti nije uzet u obzir utjecaj poprečne sile pa je moguća mala razlika urezultatima u odnosu na rezultate dobivene prikazanim izrazima.46

Slika 30.7.6. Sile upetosti za opterećenje zadano samo na neizmjerno krutimdijelovima štapaDjeluje li opterećenje samo na krutim dijelovima štapnog elementa, sile upetosti sustatički odreñene i jednake su reakcijama konzole (slika 31.).Slika 31.47

8. SUSTAV JEDNADŽBI RAVNOTEŽEJednadžbe ravnoteže čvorova formalno se izvode na isti način kao i kod standardnihštapnih sistema u kojima su štapovi konstantne krutosti po cijeloj duljini. Za to je potrebnosile na krajevima elementa izraziti u globalnom koordinatnom sustavu, budući da sejednadžbe ravnoteže postavljaju u smjerovima globalnog koordinatnog sustava, a iglobalni koordinatni sustav služi nam za definiranje geometrije, te se u odnosu na njegamjere apsolutni pomaci točaka sistema.8.1. Prijelaz u globalni koordinatni sustavDakle, vektor sila, vektor pomaka i matricu krutosti potrebno je transformirati izlokalnog u globalni koordinatni sustav (slika 32.).Slika 32.Kut izmeñu globalne osi x i lokalne osixlockut je( i, j)α (slika 33.), atransformacija koordinata iz globalnog u lokalni koordinatni sustav rotacija je oko osiz ≡ z locza kut α( i, j).Slika 33.Matrica transformacije sa poretkom komponenata koji odgovara vektoru⎡⎣N T Mi, j i, j i,j⎤⎦Tglasi⎡ cosα( i, j) sinα( i, j)0⎤⎢⎥r( i, j) = ⎢−sinα( i, j) cosα( i, j)0⎥.⎢0 0 1⎥⎣⎦48

Matrica za transformaciju vektora sila na krajevima štapnog elementa i vektora pomakakrajeva je⎡r( i, j)0 ⎤R( i, j)= ⎢ ⎥ ,⎢⎣0 r( i, j)⎥⎦odnosno,⎡ cosα( i, j) sinα( i, j)0 0 0 0⎤⎢⎥⎢−sinα( i, j) cosα( i, j)0 0 0 0⎥⎢0 0 1 0 0 0⎥R( i, j)= ⎢⎥ .⎢ 0 0 0 cosα( i, j) sinα( i, j)0⎥⎢⎥⎢ 0 0 0 −sinα( i, j) cosα( i, j)0⎥⎢⎥⎣ 0 0 0 0 0 1⎦Izraženi u lokalnom koordinatnom sustavu pomoću matrice za transformaciju sada su:vektor vrijednosti sila na krajevima štapa izazvanog pomacima krajevaf = R ⋅f ,g( i, j) ( i, j) ( i, j)vektor sila upetostig( i, j) =( i, j)⋅ ( i, j)f R f ,i vektor vrijednosti poopćenih pomaka krajevaPri tom su komponente vektorau = R ⋅u .g( i, j) ( i, j) ( i, j)fi j= ⎡⎣f f m f f mg x y x y( , ) i, j i, j i, j j, i j, i j,ivrijednosti sila na krajevima u stanju prisilnih pomaka rastavljenih na komponenteusporedne s osima globalnog koordinatnog sustava. Takoñer, tako su rastavljene i sileupetosti:g x y x yf ( i, j) = ⎡F i, j F i, j M i, j F j, i F j, i M ⎤j,i .⎢⎣⎥⎦gVektor u( i, j)sadrži komponente pomaka krajeva po pravcima usporednima s globalnimosima.Naravno, pomaci krajeva štapnog elementa jednaki su pomacima čvorova, pa ako je= ⎡ ⎣ u w ϕ ⎤ ⎦i i i i(pod)vektor vrijednosti komponenata pomaka čvora i , auT⎤⎦TT49

u= ⎡u w ϕ ⎤⎣⎦j j j j(pod)vektor vrijednosti komponenata pomaka čvora j , vektor vrijednosti pomaka čvorovamožemo napisatite jeui,j = ⎡ ⎤⎣ui u j ⎦,u u .g( i, j )=Transformacija iz lokalnog u globalni koordinatni sustav dana je izrazima:i,jf = R ⋅f ,Tg −1( i, j) ( i, j) ( i, j)g −1( i, j) =( i, j)⋅ ( i, j)f R f ,u = R ⋅u .g −1( i, j) ( i, j) ( i, j)TgUvrstimo li u izraz f( i, j) = k( i, j) ⋅u ( i, j)izraze f( i, j) = R( i, j) ⋅f ( i, j)igu = R ⋅ u = R ⋅u dobivamo( i, j) ( i, j) ( i, j) ( i, j)i,jR ⋅ f = k ⋅R ⋅u ,g( i, j) ( i, j) ( i, j) ( i, j)i,jodnosno, nakon množenja s lijeva saR ,−1( i, j)f = R ⋅k ⋅R ⋅u .g −1( i, j) ( i, j) ( i, j) ( i, j)i,jUmnožakR ⋅k ⋅R predstavlja matricu krutosti elementa izraženu u globalnom−1( i, j) ( i, j) ( i, j)gkoordinatnom sustavu, a označavamo je sa k( i, j).Konačno možemo napisati (prevedeno u globalni koordinatni sustav)ili,f = k ⋅u ,g g( i, j) ( i, j)⎡ki,jgg g⎡f⎤( i, j)i ( i, j) i, i ( i, j)i,j⎡ui⎤⎢ ⎥g= ⎢⎥ ⋅g g ⎢ ⎥⎢f( i, j) ⎥ ⎢k j ( i, j) kj, i ( i, j)⎥ ⎢ j ⎥j,j ⎣u⎦k⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎤.8.2. Jednadžbe ravnoteže čvorovaKada smo sve potrebne vektore preveli u globalni koordinatni sustav, možemoformirati jednadžbe ravnoteže.Promatramo neki čvor i . Na njega djeluju sile od priključenih elemenata, a mogudjelovati i zadane ili reaktivne koncentrirane sile i momenti izraženi vektoromx yp i = ⎡Pi Pi M ⎤⎣i ⎦.T50

Vektor ukupnih vrijednosti sila na i -tome kraju štapnog elementa ( i, j ) jeɵ g⎡ui⎤g ggf ( i, j) i = ⎡k( i, j) k ⎤( , )i, i ( i, j)i ji,j ⎢ ⎥ + f i⎣ ⎦ ⎢ ⎣u.j ⎥ ⎦Formalni zapis uvjeta ravnoteže čvora i glasig− ɵ∑ ( i, e )f ( i, j)i+ p 0ii = .Budući da kraj i elementa ( i, j ) djeluje na čvor i suprotno orijentiranim silama,njihove su vrijednosti komponente vektora −f ɵ ( i, j) i. Sumacija u zapisu uvjeta ravnotežeobavlja se, naravno, po svim elemenatima koji su priključeni u taj čvor.Matrična jednadžba uvjeta ravnoteže čvora sadrži tri jednadžbe koje izražavajuuvjete isčezavanja zbroja sila koje na čvor i djeluju u smjeru osi x , isčezavanje zbroja silau smjeru osi y te isčezavanje zbroja momenata savijanja.Dakle, vrijedi∑⎛g gig( i, e ) ⎡⎤( , ) ( , )i i j i, i ( i, j) i,j ( i, ei) i j i⎜ ⎣ ⎦⎢ ⎥u ⎟j⎝g⎡u⎤ ⎞k k = − ∑ f + pi.⎢⎣⎥⎦⎠Matrične jednadžbe potrebno je napisati redom za sve čvorove sistema. Takodobivamo sustavKu = q ,pri čemu sugK ... matrica krutosti sa dijagonalnim blokovima Ki. i = ∑ ( i, ei )k( i, ei )ii,ivandijagonalnim blokovima (ako su čvorovi i i j povezani elementomgg( i, j ) ) Ki. j = k( i, j) i , ji K j, i = k( i, j) j , i.u ... vektor koji sadrži nepoznate vrijednosti pomaka „slobodnih“ čvorova,ali i vrijednosti poznatih pomaka, a to su pomaci po pravcima ležajnihveza – spriječeni ili zadani pomaci ležajeva.q ...TVektor u = ⎡ ⎣ u1 u2 ... u n ⎤ ⎦ ima 3n komponenti, gdje je n brojčvorova sistema.vektor koji sadrži sve zadane sile, reakcije i sile upetosti priključenihelemenata, odnosno, q = − f ( i, j)+ p .i∑( i, e ) iVektor q = ⎡ ⎣ q1 q2 ... q n ⎤ ⎦ ima 3n komponenti.Tigi51

8.3. Ukupne sile na krajevima elemenataZadatak cijelog proračuna metodom pomaka naći je vrijednosti sila na krajevimaelemenata, odnosno naći vrijednosti unutarnjih sila. Te se vrijednosti izražavaju ulokalnom koordinatnom sustavu. Zbog toga je rješenje sustavaKu = q ,odnosno, vrijednosti komponenata pomaka čvorova u smjerovima osi globalnogkoordinatnog sustava, potrebno izraziti u lokalnom koordinatnom sustavu kaou = R ⋅u .( i, j) ( i, j) i,jVrijednosti konačnih sila na krajevima elementa sadržava vektorɵ f = k ⋅ u + f .( i, j) ( i, j) ( i, j)( i, j)52

9. NUMERIČKI PRIMJERZadatak za numerički primjer preuzet je iz primjera I.10 iz knjige [7].Zadan je zid promjenjive visine sa dva niza otvora. Prvi niz sastoji se od 18, a drugiod 14 otvora jednakih dimenzija. Pretpostavljena je debljina zida 1,0 m. Zid je opterećenjediničnom koncentriranom silom na vrhu. Sve potrebne dimenzije dane su na slici 34.Potrebno je odrediti vrijednosti unutrašnjih sila (M, T, N).Karakteristike materijala:72modul elastičnosti: E = 3⋅10kN / m ,Poissonov koeficijent: ν = 0, 25 .Slika 34.53

Postupak:Za početak je potrebno odrediti proračunski model zida s otvorima. On se dobivakao skup spojnica težišnih linija zidova (slika 35.).Slika 35.Na takav model možemo nanijeti opterećenje (slika 36.).Slika 36.54

Presječnice težišnih linija čvorovi su konstrukcije, a spojnice susjednih čvorovaštapovi. Njihove su oznake i dimenzije prikazane na slici 37. i u tablici 2.Slika 37.55

Tablica 2.b = 1 [ m ]STUP1STUP2STUP3GREDEAGREDEBh[ m ]5460,60,6ŠTAPOVIe1 s e2[ m ] [ m ] [ m ] [ m ](1,2) 0 2,4 0,3 2,7(2,3), (3,4), (4,5), (5,6),(6,7), (7,8), (8,9), (9,10),(10,11), (11,12), (12,13), 0,3 2,4 0,3 3,0(13,14), (14,15), (15,16),(16,17), (17,18), (18,19)(20,21) 0 2,4 0,3 2,7(21,22), (22,23), (23,24),(24,25), (25,26), (26,27),(27,28), (28,29), (29,30),(30,31), (31,32), (32,33),0,3 2,4 0,3 3,0(33,34), (34,35), (35,36),(36,37), (37,38)(39,40) 0 2,4 0,3 2,7(40,41), (41,42), (42,43),(43,44), (44,45), (45,46),(46,47), (47,48), (48,49), 0,3 2,4 0,3 3,0(49,50), (50,51), (51,52),(52,53)(21,40), (22,41), (23,42),(24,43), (25,44), (26,45),(27,46), (28,47), (29,48), 2,5 2,0 2,0 6,5(30,49), (12,31), (13,32),(14,33), (15,34)(2,21), (3,22), (4,23),(5,24), (6,25), (7,26),(8,27), (9,28), (10,29),(11,30), (12,31), (13,32),2,0 2,0 3,0 7,0(14,33), (15,34), (16,35),(17,36), (18,37), (19,38)LSve potrebno za proračun sada je navedeno. Proračun općom metodom pomakaizvršen je upotrebom programskog sustava Mathematica. U odnosu na proračun okvirasastavljenih od štapova konstantne krutosti po duljini, za ovaj je primjer bilo potrebnopromijeniti samo matricu krutosti jer je opterećenje zadano u čvoru.Dobiveni su rezultati prikazani u matričnom obliku na sljedećoj stranici.56

N1,2 T1,2 M1,2 N2,1 T2,1 M 2,1N2,3 T2,3 M 2,3 N3,2 T3,2 M3,2N3,4 T3,4 M3,4 N4,3 T4,3 M 4,3N4,5 T4,5 M 4,5 N5,4 T5,4 M5,4N5,6 T5,6 M5,6 N6,5 T6,5 M6,5N6,7 T6,7 M 6,7 N7,6 T7,6 M7,6N7,8 T7,8 M 7,8 N8,7 T8,7 M8,7N8,9 T8,9 M8,9 N9,8 T9,8 M9,8N9,10 T9,10 M 9,10 N 10,9 T 10,9 M 10,9N10,11 T10,11 M10,11 N11,10 T11,10 M11,10N11,12 T11,12 M11,12 N12,11 T12,11 M12,11N12,13 T12,13 M12,13 N13,12 T13,12 M13,12N13,14 T13,14 M13,14 N14,13 T14,13 M14,13N14,15 T14,15 M14,15 N15,14 T15,14 M15,14N15,16 T15,16 M15,16 N16,15 T16,15 M16,15N16,17 T16,17 M16,17 N17,16 T17,16 M17,16N17,18 T17,18 M17,18 N18,17 T18,17 M18,17N18,19 T18,19 M18,19 N19,18 T19,18 M19,18N20,21 T20,21 M 20,21 N21,20 T21,20 M21,20N21,22 T21,22 M 21,22 N22,21 T22,21 M22,21N22,23 T22,23 M 22,23 N23,22 T23,22 M 23,22N23,24 T23,24 M 23,24 N24,23 T24,23 M 24,23N24,25 T24,25 M 24,25 N25,24 T25,24 M 25,24N25,26 T25,26 M 25,26 N26,25 T26,25 M 26,25N26,27 T26,27 M 26,27 N27,27 T27,27 M 27,27N27,28 T 27,28 M 27,28 N 28,27 T 28,27 M 28,27N28,29 T28,29 M 28,29 N29,28 T29,28 M 29,28N29,30 T29,30 M 29,30 N30,29 T30,29 M30,29N30,31 T30,31 M30,31 N31,30 T31,30 M31,30N31,32 T31,32 M31,32 N32,31 T32,31 M32,31N32,33 T32,33 M32,33 N33,32 T 33,32 M 33,32N33,34 T33,34 M33,34 N34,33 T34,33 M34,33N34,35 T34,35 M34,35 N35,34 T35,34 M35,34N35,36 T35,36 M35,36 N36,35 T36,35 M36,35N36,37 T36,37 M36,37 N37,36 T37,36 M37,36N37,38 T37,38 M37,38 N38,37 T38,37 M38,37N39,40 T39,40 M39,40 N40,39 T 40,39 M 40,39N40,41 T40,41 M40,41 N41,40 T41,40 M41,40N41,42 T41,42 M41,42 N42,41 T42,41 M42,41N42,43 T42,43 M42,43 N43,42 T43,42 M43,42N43,44 T43,44 M43,44 N44,43 T44,43 M44,43N44,45 T44,45 M44,45 N45,44 T45,44 M45,44N45,46 T 45,46 M 45,46 N 46,45 T 46,45 M 46,45N46,47 T46,47 M46,47 N47,46 T47,46 M47,46N47,48 T47,48 M47,48 N48,47 T48,47 M48,47N48,49 T48,49 M48,49 N49,48 T49,48 M49,48N49,50 T49,50 M49,50 N50,49 T50,49 M50,49N50,51 T50,51 M50,51 N51,50T51,50 M51,50N51,52 T51,52 M51,52 N52,51 T52,51 M52,51N52,53 T52,53 M52,53 N53,52 T53,52 M53,52N2,21 T2,21 M2,21 N21,2 T21,2 M21,2N3,22 T3,22 M3,22 N22,3 T22,3 M22,3N4,23 T4,23 M4,23 N23,4 T23,4 M23,4N5,24 T5,24 M5,24 N24,5 T24,5M 24,5N6,25 T6,25 M6,25 N25,6 T25,6 M25,6N7,26 T7,26 M7,26 N26,7 T26,7 M26,7N8,27 T8,27 M8,27 N27,8 T27,8 M27,8N9,28 T9,28 M9,28 N28,9 T28,9 M28,9N10,29 T10,29 M10,29 N29,10 T29,10 M29,10N11,30 T11,30 M11,30 N30,11 T30,11 M30,11N12,31 T 12,31 M 12,31 N 31,12 T 31,12 M 31,12N13,32 T13,32 M13,32 N32,13 T32,13 M32,13N14,33 T14,33 M14,33 N33,14 T33,14 M33,14N15,34 T15,34 M15,34 N34,15 T34,15 M34,15N16,35 T16,35 M16,35 N35,16 T35,16 M35,16N17,36 T17,36 M17,36 N36,17 T36,17 M36,17N18,37 T18,37 M18,37 N37,18 T37,18 M37,18N19,38 T19,38 M19,38 N38,19 T 38,19 M 38,19N21,40 T21,40 M21,40 N40,21 T40,21 M 40,21N22,41 T22,41 M22,41 N41,22 T41,22 M 41,22N23,42 T23,42 M 23,42 N42,23 T42,23 M42,23N24,43 T24,43 M 24,43 N43,24 T43,24 M43,24N25,44 T25,44 M 25,44 N44,25 T44,25 M 44,25N26,45 T 26,45 M 26,45 N 45,26 T 45,26 M 45,26N27,46 T27,46 M 27,46 N46,27 T46,27 M46,27N28,47 T28,47 M 28,47 N47,28 T47,28 M 47,28N29,48 T29,48 M 29,48 N48,29 T48,29 M 48,29N30,49 T30,49 M30,49 N49,30 T49,30 M49,30N31,50 T31,50 M31,50 N50,31T50,31 M50,31N32,51 T32,51 M32,51 N51,32 T51,32 M51,32N33,52 T33,52 M33,52 N52,33 T52,33 M52,33N34,53 T34,53 M34,53 N53,34 T53,34 M53,34=i −3.21374 0.278054 3.41354 3.21374 −0.278054 −2.57937−3.15055 0.30322 2.8018 3.15055 −0.30322 −1.89214y−3.0397 0.297886 2.28071 3.0397 −0.297886 −1.38705−2.90319 0.274804 1.86563 2.90319 −0.274804 −1.04122−2.75251 0.253477 1.56966 2.75251 −0.253477 −0.809227−2.59418 0.238893 1.36466 2.59418 −0.238893 −0.647982−2.43237 0.228321 1.21565 2.43237 −0.228321 −0.530689−2.27012 0.216838 1.09997 2.27012 −0.216838 −0.449452−2.10972 0.198656 1.0123 2.10972 −0.198656 −0.416331−1.95274 0.167409 0.967265 1.95274 −0.167409 −0.465036−1.7996 0.119486 1.00274 1.7996 −0.119486 −0.644279−1.64839 0.0646443 1.17562 1.64839 −0.0646443 −0.98169−1.49277 0.0440182 1.52914 1.49277 −0.0440182 −1.39708−1.31904 0.135322 2.00832 1.31904 −0.135322 −1.60235−1.10614 0.376624 2.34964 1.10614 −0.376624 −1.21976−0.844263 0.505624 2.13599 0.844263 −0.505624 −0.619122−0.559936 0.550788 1.61421 0.559936 −0.550788 0.0381524−0.272878 0.641777 0.967835 0.272878 −0.641777 0.957495−0.0275771 0.539829 3.21897 0.0275771 −0.539829 −1.59948−0.00902462 0.436918 2.03052 0.00902462 −0.436918 −0.7197660.0104256 0.372108 1.44196 −0.0104256 −0.372108 −0.3256390.0359285 0.364187 1.21989 −0.0359285 −0.364187 −0.1273260.0702429 0.377427 1.13253 −0.0702429 −0.377427 −0.0002472290.114786 0.392379 1.08174 −0.114786 −0.392379 0.09539620.170606 0.403946 1.04051 −0.170606 −0.403946 0.1713230.238965 0.412369 1.00473 −0.238965 −0.412369 0.232380.321512 0.418694 0.975021 −0.321512 −0.418694 0.281060.420035 0.422677 0.953598 −0.420035 −0.422677 0.3144330.535711 0.419945 0.948522 −0.535711 −0.419945 0.3113140.667773 0.397765 0.989084 −0.667773 −0.397765 0.2042110.811964 0.34057 1.15947 −0.811964 −0.34057 −0.1377630.960318 0.29518 1.62491 −0.960318 −0.29518 −0.7393651.10614 0.623376 2.46045 −1.10614 −0.623376 −0.5903180.844263 0.494376 1.3763 −0.844263 −0.494376 0.1068340.559936 0.449212 0.746206 −0.559936 −0.449212 0.6014310.272878 0.358223 0.25846 −0.272878 −0.358223 0.8162093.24131 0.182117 3.78902 −3.24131 −0.182117 −3.242673.15957 0.259862 3.57208 −3.15957 −0.259862 −2.792493.02927 0.330006 3.31442 −3.02927 −0.330006 −2.32442.86726 0.36101 2.97295 −2.86726 −0.36101 −1.889922.68227 0.369096 2.63058 −2.68227 −0.369096 −1.523292.47939 0.368728 2.33571 −2.47939 −0.368728 −1.229522.26177 0.367734 2.10107 −2.26177 −0.367734 −0.9978652.03116 0.370793 1.92144 −2.03116 −0.370793 −0.8090651.78821 0.382651 1.78207 −1.78821 −0.382651 −0.6341231.53271 0.409913 1.65738 −1.53271 −0.409913 −0.4276421.26389 0.460568 1.50412 −1.26389 −0.460568 −0.1224190.98062 0.537591 1.25639 −0.98062 −0.537591 0.3563810.680808 0.615412 0.842721 −0.680808 −0.615412 1.003520.358723 0.569498 0.28195 −0.358723 −0.569498 1.426540.0251659 −0.0631858 −0.222429 −0.0251659 0.0631858 −0.188279−0.00533381 −0.110854 −0.388566 0.00533381 0.110854 −0.331988−0.0230827 −0.136508 −0.478577 0.0230827 0.136508 −0.408725−0.0213262 −0.150674 −0.528443 0.0213262 0.150674 −0.450937−0.0145839 −0.158337 −0.555435 0.0145839 0.158337 −0.473753−0.0105728 −0.161806 −0.567669 0.0105728 0.161806 −0.484072−0.0114827 −0.162251 −0.569276 0.0114827 0.162251 −0.485357−0.0181821 −0.160402 −0.562847 0.0181821 0.160402 −0.479767−0.0312463 −0.156977 −0.550934 0.0312463 0.156977 −0.469414−0.0479233 −0.153141 −0.537701 0.0479233 0.153141 −0.457718−0.0548418 −0.151206 −0.531344 0.0548418 0.151206 −0.451494−0.0206261 −0.155622 −0.547448 0.0206261 0.155622 −0.4640960.0913035 −0.173731 −0.611235 −0.0913035 0.173731 −0.5180150.241302 −0.212899 −0.747282 −0.241302 0.212899 −0.6365640.129 −0.261878 −0.91623 −0.129 0.261878 −0.7859780.0451639 −0.284327 −0.995088 −0.0451639 0.284327 −0.8530390.0909891 −0.287058 −1.00599 −0.0909891 0.287058 −0.8598920.358223 −0.272878 −0.957495 −0.358223 0.272878 −0.816209−0.0777455 −0.0817383 −0.242759 0.0777455 0.0817383 −0.32941−0.0701438 −0.130305 −0.390208 0.0701438 0.130305 −0.521925−0.0310035 −0.162011 −0.485523 0.0310035 0.162011 −0.648553−0.00808632 −0.184988 −0.554265 0.00808632 0.184988 −0.7406520.000368353 −0.20288 −0.607741 −0.000368353 0.20288 −0.8124160.000993902 −0.217626 −0.651838 −0.000993902 0.217626 −0.871543−0.0030598 −0.23061 −0.690692 0.0030598 0.23061 −0.92358−0.0118571 −0.242949 −0.727635 0.0118571 0.242949 −0.97301−0.0272629 −0.2555 −0.765243 0.0272629 0.2555 −1.02326−0.0506551 −0.268817 −0.805237 0.0506551 0.268817 −1.07648−0.0770222 −0.283268 −0.848904 0.0770222 0.283268 −1.13397−0.0778217 −0.299813 −0.899588 0.0778217 0.299813 −1.1991j0.0459141 −0.322085 −0.969127 −0.0459141 0.322085 −1.28547zk 0.569498 −0.358723 −1.08452 −0.569498 0.358723 −1.42654 {57

Vrijednosti tako dobivenih poopćenih sila na krajevima elemenata usporeñene su utablicama 3., 4. i 5. s vrijednostima dobivenim primjenom diferencijskih jednadžbi.Relativne pogreške ε računate su prema izrazupri čemu suOMP MSFi , j − Fi , jε = ⋅ 100 [%],OMPFi , jFOMPi,jMSi,j... apsolutne vrijednosti poopćenih sila dobivenih općom metodom pomaka,proračunom u programskom sustavu Mathematica,F ... apsolutne vrijednosti poopćenih sila dobivenih primjenom diferencijskihjednadžbi, odnosno rezultati dobiveni u primjeru I.10 knjige [7].Tablica 3.OMPMSNi,ji,jN εN2,1= 3,21374 3,14583 2,11N40,39= 3,24131 3,36524 3,82N = 2,75251 2,64889 3,766,5N44,43= 2,68227 2,82387 5,28N11,10= 1,95274 1,72802 11,51N49,48= 1,53271 1,73472 13,18N15,14= 1,31904 1,20898 8,34N53,52= 0,358723 0,42996 19,86N = 0,272878 0,25113 7,9719,18Tablica 4.OMPMSTi,ji,jT εT2,21= 0,0631858 0,071 12,37T21,40= 0,0817383 0,076 7,02T6,25= 0,158337 0,176 11,16T25,44= 0,20288 0,196 3,39T11,30= 0,153141 0,182 18,84T30,49= 0,268817 0,259 3,65T15,34= 0,173731 0,142 18,26T34,53= 0,358723 0,386 7,60T19,38= 0,272878 0,251 8,0258

Tablica 5.OMPMS∑ M i , j ∑ M i , jM i , jM1,2= 3,41354M20,21= 3,21897M39,40= 3,78902M2,1= - 2,57937M21,20= - 1,59948M40,39= - 3,24267M5,6= 1,56966M24,25= 1,13253M43,44= 2,63058M6,5= - 0,809227M25,24= - 0,000247229M44,43= - 1,52329M10,11= 0,967265M29,30= 0,953598M48,49= 1,65739M11,10= - 0,465036M30,29= 0,314433M49,48= - 0,427642M14,15= 2,00832M33,34= 1,62491M52,53= 0,28195M15,14= - 1,60235M34,33= - 0,739365M53,52= 1,42654M18,19= 0,967835M37,38= 0,25846M19,18= 0,957495M = 0,81620938,37∑ ε10,42153 9,994 4,107,42152 6,994 5,765,33277 5,015 5,962,332764229 2,015 13,623,578253 3,625 1,310,578245 0,625 8,093,91518 4,080 4,210,915175 1,080 18,011,226295 1,368 11,561,773704 1,632 7,99Razlike u rezultatima mogu se opravdati različitim modelima i različitim osnovnimsustavima. Takoñer, budući da se radi o relativno malim veličinama, posljedicezaokruživanja brojeva, posebice kod ručnog proračuna (knjiga [7]), mogu imati utjecaja.Kvalitativni dijagrami prikazani su na slici 38.59

M T NSlika 38.60

10. ZAKLJUČAKU ovom je radu dana, ponajprije, teorijska osnova za proračun zidova s otvorima,„prevedenih“ u štapni model, općom metodom pomaka. Na način prikazan u radu mogu seriješiti svi štapni modeli zidova s otvorima koji nemaju meñusobno spojene čvoroveapsolutno krutim štapovima, jer u tom slučaju nije moguće formirati regularnu matricukrutosti takvog štapa.Razmjerno laka kompjutorska formalizacija metode pomaka omogućava primjenuove metode i ovakvog modeliranja u praksi, iako se danas za proračun grañevinskihkonstrukcija najčešće upotrebljava metoda konačnih elemenata.61

Literatura[ 1 ] M. Anñelić: Grañevna statika II, Grañevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu,Zagreb, 2005.[ 2 ] K. Fresl: Grañevna statika 1.: bilješke i skice s predavanja,http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj1/indeks.html, pristupljeno: 5. srpnja 2008.[ 3 ] K. Fresl: Grañevna statika 2.: bilješke i skice s predavanja,http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj2/indeks.html, pristupljeno: 5. srpnja 2008.[ 4 ] V. Kazić: Zidovi s otvorima: prezentacija za seminare, “Studio-K” d.o.o.[ 5 ] V. Kazić: Neke pogreške u modeliranju konstrukcija: prezentacija za seminare,“Studio-K” d.o.o.[ 6 ] V. Simović: Leksikon grañevinarstva, Masmedia d.o.o., Zagreb, 2002.[ 7 ] V. Simović: Zidovi s otvorima i okvirne konstrukcije, Tehnička knjiga, Zagreb,1971.[ 8 ] V. Šimić: Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 2002.[ 9 ] V. Šimić: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 2002.[ ] 10 I. Tomičić: Prilog dimenzioniranju i armiranju nosivih i duktilnih zidova, Našegrañevinarstvo br. 1-1986, Beograd62