Mehanika loma - FESB

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T UU N I V E R S I T A S S T U D I O R U M S P A L A T E N S I SFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJER.Boškovića bb, 21000 SPLIT, www.fesb.hrPoslijediplomski doktorski studij strojarstvaAk.god. 2008/09KolegijMehanika lomaNastavnikSrdjan PodrugSplit, 15. srpanj 2009.

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaU okviru mehanike loma određuju se polja lokalnih naprezanja i deformacija oko vrška pukotinepomoću globalnih parametara, kao što su opterećenje i geometrija strojnog dijela. Principiodređivanja polja lokalnih naprezanja i deformacija najčešće se dijele na linearno elastični pristup (en.Linear Elastic Fracture Mechanics – LEFM) i nelinearni pristup, koji se nadalje dijeli na elastoplastični(eng. Elastic-Plastic Fracture Mechanics - EPFM) , viskoelastični i viskoplastični pristupU ovim će se materijalima dalje razmatrati samo princip linearno elastične mehanike loma, kodkoje je nelinearna deformacija materijala ograničena na manje područje oko vrška pukotine.Dat će se teorijske osnove linearno elastične mehanike loma s posebnim osvrtom naizračunavanje faktora intenziteta naprezanja metodom konačnih elemenata. Opisat će se najčešćekorišteni kriteriji za određivanja smjera širenja pukotine. Također će se opisati mogućnostiizračunavanja faktora intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine, odnosno dokontakta površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenja.1. ANALIZA POLJA NAPREZANJA U BLIZINI VRŠKA PUKOTINEAko se postavi polarni koordinatni sustav s ishodištem u vrhu pukotine tada se polje naprezanjalinearno elastičnog tijela s pukotinom može opisati izrazom [1]: m k 2 mij fij Amr gij r m0 , (1)gdje je: ij tenzor naprezanja, r i definiraju točku u polarnim koordinatama u odnosu na vršakpukotine (slika 1.1), k je konstanta, a f ij i g ij su bezdimenzijske funkcije ovisne o .yyrrxrxypukotinaxpukotinarSlika 1.1 Definicija koordinatnih osi2

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaDijelovi izraza višeg reda ovise o geometriji. Rješenje za bilo koju geometriju uvijek sadrži izrazproporcionalan 1 r . Kada r 0 prvi dio izraza (1) teži u beskonačnost, a ostali dijelovi izraza sukonstantni ili teže nuli. Dakle, izraz (1) opisuje singularnost naprezanja, budući je r =0 asimptotanaprezanja.Poznata su tri glavna tipa otvaranja pukotine, prikazana na slici 1.2. To su I tip ili odcjepni tip,II tip ili klizni tip i III tip ili rascjepni tip.yxyxyxzzza) Tip I – odcjepni b) Tip II – klizni c) Tip III – rascjepni(en. opening) (en. in-plane shear) (en. out-of-plane shear)Slika 1.2 Tri osnovna tipa opterećenja s pripadajućim tipovima pukotineSvaki način otvaranja pukotine proizvodifunkcija f ij ovise o načinu otvaranja pukotine1 rsingularitet u vršku pukotine, a konstanta k iKonstanta k se zamjenjuje s faktorom intenziteta naprezanja (FIN) K, gdje je K k2.Faktoruintenziteta naprezanja dodaju se indeksi tako da se naznači način otvaranja pukotine. Sada se poljenaprezanja oko vrška pukotine za izotropni linearno elastični materijal može opisati slijedećimizrazima:K2rIIlim ijf ijr 0K2rI II II IIf lim ijijr 0K2rIII III IIIf lim ijijr 0, (2), (3). (4)U slučaju kad postoji više načina otvaranja pukotine, tada se zbrajanjem dobiva polje naprezanja:ukupno I II IIIij ij ij ij (5)3

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaPomoću Westergaardovih funkcija naprezanja može se doći do analitičkog rješenja raspodjelenaprezanja oko vrška pukotine:1 3 3x KIcos 1 sin sin KIIsin 2 cos cos 2r 2 2 2 2 2 2 , (6)1 3 3y KIcos 1 sin sin KIIsin cos cos 2r 2 2 2 2 2 2 , (7)1 3 3xy KIcos sin cos KIIcos 1 sin sin 2r 2 2 2 2 2 2 . (8)za stanje ravninske deformacije: .U polarnom koordinatnom sustavu stanje naprezanja oko vrška pukotine je: 12z x y 2cos KIcos 3KIIsin r2 2 2 , (9)1 r K cos 1 sin K sin 13sin2r 2 2 I II 2 2 2 2 , (10)1 r cos K sin cos K 13sin2r2 2 2 2 2 III . (11)Prethodni izrazi vrijede u okolini bliskoj vršku pukotine, odnosno u području koje se nazivazonom s dominantnom singularnosti. Izvan te zone naprezanje je dominantno ovisno o geometrijistrojnog dijela, odnosno drugom dijelu izraza na desnoj strani jednadžbe (1).Iz izraza (6) do (11) vidljivo je da faktori intenziteta naprezanja u potpunosti opisuju stanjenaprezanja oko vrška pukotine. Ova mogućnost opisivanja stanja oko vrška pukotine samo s jednimparametrom jedna je od najvažnijih značajki mehanike loma.Pomaci su također u potpunosti opisani faktorom intenziteta naprezanja:1 r u K cos 1 2sin K sin 12cos2G2 2 2 2 2 2 2 I II , (12)1 r v K sin 1 2cos K cos 12sin2G2 2 2 2 2 2 2 I II , (13)gdje je G modul smicanja, a konstanta koja ovisi o stanju naprezanja:3 - za ravninsko stanje naprezanja,1 4

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma 3 4- za ravninsko stanje deformacije.2. FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJAFaktor intenziteta naprezanja je ovisan o duljini i orijentaciji pukotine, geometriji strojnogdijela te raspodjeli opterećenja, i općenito ima oblik:K aY , (14)gdje je Y faktor oblika, kojim se uzima u obzir utjecaj geometrije elementa, duljine pukotine i tipaopterećenja. Faktor oblika je jednak jedan za pukotinu u beskonačnoj ploči okomitoj na jednoličnoopterećenje. Analitički i empirijski izrazi za izračunavanje faktora intenziteta naprezanja za uzorkejednostavne geometrije s različitim oblicima pukotina, te različito opterećenih mogu se pronaći uliteraturi [2]. Kako strojni dijelovi najčešće nisu jednostavne geometrije, te su najčešće podvrgnutisloženom stanju naprezanja, razvijene su metode izračunavanja faktora intenziteta naprezanjametodom konačnih elemenata.U početnim studijama izračunavanja faktora intenziteta naprezanja korištenjem metodekonačnih elemenata, da bi se riješio problem singularnosti polja naprezanja, koristila se veoma gustamreža elemenata. Kako je kod elastičnih materijala nemoguće « 1 r singularnost» postićistandardnim elementima, razvijeni su hibridni elementi, tj. singularni izoparametarski četvrtinskielementi [3]. Singularni izoparametarski četvrtinski element je dobiven iz izoparametarskog 8-čvornog kvadratnog elementa, na način da se čvorovi 1, 4 i 8 grupiraju u vršku pukotine, a čvorovisa sredine stranice premještaju na četvrtinu duljine stranice.4 7 386pukotinay1,4,8LL/4 3 L/47536x1522a) Izoparametarski 8-čvorni kvadratni element b) Singularni izoparametarski četvrtinski elementSlika 2.1 Izoparametarski 8-čvorni kvadratni element i singularni izoparametarski četvrtinski element5

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaPostoji niz metoda za izračunavanje faktora intenziteta naprezanja korištenjem metodekonačnih elemenata, a najčešće su korištene:‣ Metoda korelacija pomaka (en. Displacement Correlation Technique – DCT) [4]‣ Faktor oslobođene potencijalne energije dobiven metodom modificiranog integralazatvaranja pukotine (en. Modified Crack Closure Integral Technique – MCC) [5], [6],‣ Metoda J-integrala dobivenog pomoću ekvivalentnog površinskog integrala (en.Equivalent Domain Integral – EDI) [7]2.1 Metoda korelacija pomakaU metodi korelacije pomaka se pomaci dobiveni metodom konačnih elemenata izjednačavaju sanalitičkim rješenjem izraženim preko faktora intenziteta naprezanja.y, vrCpukotinaEBDAx, uL/4LSlika 2.2 Izoparametarski singularni elementi oko vrška pukotinePolje pomaka u može se definirati pomacima čvorova izoparametarskog singularnog četvrtinskogelementa (slika 2.2):rru r , uA 3u A 4uB uC 2uA 2uC 4uB , (15)LL6

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomarrv r , vA 3v A 4v B vC 2v A 2v C 4vB , (16)LLovdje je u A i v A pomak krutog tijela na x odnosno y pravcusmjeru. Relativni pomak između dvijetočke simetrične u odnosu na x os je:Uvrštavanjem u izraze (15) i (16) dobiva se: , , , *u r u r u r , , , *v r v r v r(17). (18)rr L , (19)L , 4 2 4 *u r uB uD uC uE uC uE uB uDrr L . (20)L , 4 2 4 *v r vBvD vC vE vC vE vBvDS druge se strane analitičko rješenje relativnog pomaka za(12) i (13), uz izraze (17) i (18), a glasi:o180dobiva iz apsolutnih pomakau KII1G1v KIGr2 , (21)r2 . (22)Da bi izrazi (15) i (21), te izrazi (16) i (22) bili jednaki, članovi uzdobivaju faktori intenziteta naprezanja:rmoraju biti jednaki, pa seG 2K 4v v v v1L I B D C EG 2K 4u u u u1L II B D C E, (23). (24)2.2 Metoda modificiranog integrala zatvaranja pukotineMetoda modificiranog zatvaranja pukotine zasnovana je na pretpostavci da ukoliko se pukotinaprodulji za infinitezimalnu vrijednost a, da će na jednakoj udaljenosti od vrška pukotine prije iposlije njena produljenja, pukotine biti jednako otvorene (slika 2.3).7

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomay( r = x, = 0)yv ( r = a- x, = )raspodjela yxa-xxa-xaSlika 2.3 Pukotina prije i poslije produljenja (rasta)Tada je rad potreban za produljenje pukotine za vrijednost a, jednak radu potrebnom za zatvaranjepukotine za a:aFaktor oslobođene energije je onda jednak:Isto tako za tip II opterećenja:1W v r a x r x dr2 , y , 0. (25)0aW 1GI lim lim v r a x, y r x, 0dra0aa02a . (26)a001GII lim u r a x, xyr x, 0dr a 0 2a . (27)Problem se najprije rješavao u dva koraka, odnosno s dvije analize metodom konačnih elemenata,jedna prije produljenja i druga nakon produljenja pukotine. Rybicki i Kanninen [8] su prvi riješiliproblem sa samo jednom analizom metodom konačnih elemenata, koristeći četvrtasti element sčetiri čvora. Raju [5] je proširio metodu za nesingularne i singularne elemente bilo kojeg reda.8

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomay, vv mu mmpukotinau m' m'v m'Iv lu l'v l'll'u liF xi j F xjF yi F yjJkFykFxkx, uaSlika 2.4 Čvorovi, sile i pomaci u izoparametarskim singularnim elementima oko vrška pukotineRad pretpostavljene distribucije naprezanja na pomicanju granica elemenata I i J (25)izjednačava se sa radom sila F yi , F yj i F yk na pomacima v i , v j i v k :a1 1 2 yx v x dx Fyivi Fyjv j Fykvk(28)20Distribucija naprezanja duž apscise se aproksimira s prva tri člana izraza (1):A1y x A2 A3x . (29)xUvrštavanjem u izraz (28) izraza (29) i funkcije oblika izoparametarskog singularnogčetvrtinskog elementa, mogu se izračunati konstante A 1 , A 2 i A 3 . Uvrštavanjem dobivenih konstantiizraženih preko sila u čvorovima u izraz (26) te provođenjem integracije dobiva se izraz zaizračunavanje faktora oslobođene energije [6].Izrazi za izračunavanje faktora oslobođene energije za singularne elemente su dostakomplicirani, a pogotovo se dodatno kompliciraju za slučaj mješovitog tipa opterećenja. Zbog togase izrazi pojednostavljuju uzimanjem samo prvih dvaju članova izraza (29). Tada se dobiva:1GI F yi t11 v m vm ' t12 vl vl ' Fyj t 21 v m vm ' t22 vl vl' 2a , (30)9

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma1GII Fxi t11 um um ' t12 ul ul ' Fxj t 21 um um ' t22 ul ul' 2a , (31)gdje je:31t11 6 , t12 6 20, t21 , t22 1 .2 2U linearno elastičnim uvjetima veza između faktora oslobođene energije i faktora intenzitetanaprezanja je:2 2KIKIIG I, GIIE' E'. (32)gdje je:E EE12- za ravninsko stanje naprezanja,- za ravninsko stanje deformacije.E d2.3 Metoda J-integrala računanog s ekvivalentnim površinskim integralomJ-integral je proizvoljni (ne ovisi o obliku krivulje) krivuljni integral (slika 2.5a): uiJk wnk ij nj x k , k 1, 2(33)gdje je w gustoća energije deformaciranja:ijw ijdij. (34)0Krivuljne integrale (33) je nespretno računati metodom konačnih elemenata, pa se integracija dužkrivulje zamjenjuje integracijom po površini. Taj se alternativni pristup izračunavanja J-integralanaziva metoda ekvivalentnog površinskog integrala [7].10

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomax2 2xn0xBC + -1 10 0xA1a) Koordinatni sustav i krivulja oko vrška pukotine b) Površina A omeđena krivuljama i Slika 2.5 Krivulje oko vrška pukotineIzraz (33) modificira se množenjem s težinskom funkcijom q koja ima vrijednost jednakujedan na unutarnjoj konturi 0 , a nula na vanjskoj konturi 1 (slika 2.5b): uJ wn n qd. (35)ik k ij jx01kGornji se izraz uz pogodne transformacije može pisati: uJ wn n qd J . (36)ik k ij j k linijski x k00 U prethodnom je izrazu prvi izraz na desnoj strani integral duž zatvorene konture , koja ne uključuje vršak pukotine, a drugi izraz s desne strane predstavlja integrale na rubovimapukotine duž linija ( B0 i C0 ).Integral duž zatvorene konture iz izraza (36) primjenom Stokesova teorema može se transformirati uintegral iznad površine A:Jwq u q A w q A J iijk ij d ij d k x A0 B0A kx kx jx A kx k0 1 . (37)Za linearno elastični materijal drugi izraz na desnoj strani prethodnog izraza je jednak nuli.Također J 1 za linearno elastični materijal je ekvivalentan faktoru oslobođene energije izračunatompomoću metode virtualnog produljenja pukotine [9].11

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaintegraliLinijski integraliJ2 B0C0kada nisu opterećeni rubovi pukotine su jednaki nuli. Linijskisu jednaki nuli, u slučaju kada nema opterećenja na rubovima pukotine, samokada je opterećenje tipa I ili tipa II, u slučaju opterećenja mješovitog tipasu različiti odnule, jer u tom slučaju uz singularna naprezanja oko vrška pukotine postoje i ona nesingularna.Postojanje linijskog integrala različitog od nule poništava prednosti transformacije krivuljnog upovršinski integral.Računanje se linijskih integrala može izbjeći provođenjem metode dekompozicije [7]. Ovim sepristupom polja pomaka i naprezanja rastavljaju na simetrični (tip I) i antisimetrični (tip II) dio.Pomoću tako rastavljenih pomaka i naprezanja mogu se dobiti dva simetrična integrala J S1 , i J S2 , tedva antisimetrična integrala J AS1 i J AS2 . Integrali J S2 i J AS2 su jednaki nuli (produkt singularnog inesingularnog naprezanja za rastavljeno simetrično i antisimetrično polje naprezanja je jednak nuli[75]), pa je onda za linearno elastični materijal, te uz uvjet da nema opterećenja na rubovimapukotine:I q I uiqJI JS1 w ui ij ui dAx A1x1x, (38)j II q II uiqJII JAS1 w ui ij ui dAx A1x1x. (39)j Kako je za linearno elastični materijal J integral identičan faktoru oslobođene energije, onda seuz pomoć izraza (32) mogu dobiti faktori intenziteta naprezanja.Metodom konačnih elemenata integrali (38) i (39) se rješavaju tako da se provodi integracija naelementima odabranim da predstavljaju površinu A. Odabrana površina je najčešće rozetatrokutastih izoparametarskih singularnih elemenata (slika 2.2).3. SMJER ŠIRENJA PUKOTINEJ1 B0C0J2 B0C0Smjer širenja pukotine ovisi o stanju naprezanja u blizini vrška pukotine. Razvijeno je niz kriterija zapredviđanje smjera širenja pukotine u polju naprezanja mješovitog tipa (kombinacija tipa I i tipa IIopterećenja) [10], [11]. Većina kriterija za predviđanje smjera širenja pukotine prvotno je razvijena zastatičko opterećenje. Kako ne postoje kriteriji razvijeni posebno za promjenjivo opterećenje, te iakopostoje značajne razlike u smjerovima širenja pukotine kod statičkog i promjenjivog opterećenja[12], to se statički kriteriji koriste za predviđanje širenja pukotine i kod promjenjivog opterećenja.12

2aPoslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaProblem je predstavljen slikom 3.8, odnosno pločom s pukotinom nagnutom pod kutom uodnosu na smjer nominalnog naprezanja .yaxSlika 3.1 Problem pukotine pod kutom u odnosu na smjer nominalnog naprezanjaNajčešće korišteni kriteriji su: kriterij maksimalnog cirkularnog naprezanja, kriterij minimumagustoće energije deformiranja i kriterij maksimuma faktora oslobođene energije.3.1 Kriterij maksimalnog cirkularnog naprezanja (MCN-kriterij)Jedan od prvih pokušaja predviđanja smjera širenja pukotine u slučaju kombiniranog opterećenjatipovima I i II bio je onaj Erdogana i Siha [13]. Oni su istraživali širenje pukotine u ploči iz krhkogmaterijala, te su predložili kriterij po kojem je pravac širenja pukotine okomit na pravacmaksimalnog cirkularnog naprezanja.Matematički se ovaj kriterij može pisati:2 20, 0. (40)13

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaPrimjenom MCN kriterija na izraz (9) dobiva se:2 1 KI 1tan tan 0 , (41)2 2 K 2 2II3 1 K 7 2 2 2 2 2 KI2 2 2 2 3 2 II 3 3cos cos sin sin sin cos 0Rješavanjem izraza izračunava se kut širenja pukotine:gdje jeK KIII1 4 422arctan 8omjer faktora intenziteta naprezanja.. (42)(43)3.2 Kriterij minimuma gustoće energije deformiranja (S-kriterij)Prema kriteriju minimuma gustoće energije deformiranja [82], pravac širenja pukotine prolazi kroztočku na kružnici koja je opisana oko vrška pukotine, a u kojoj je energija deformiranja minimalna.Matematički se ovaj kriterij može pisati:2S S0, 0(44)2 gdje je: S faktor gustoće energije deformiranja, definiran izrazom:gdje je dWdVfunkcija gustoće energije deformiranja po jedinici volumena, a r 0 udaljenost od vrškapukotine. Korištenjem se izraza koji opisuju polje naprezanja (6) do (8) može dobiti funkcija gustoćeenergije deformiranja po jedinici volumena, čijim se uvrštavanjem u prethodni izraz dobiva faktorgustoće energije deformiranja:gdje su faktori a ij funkcije kuta :S r0dWdVS a K 2a K K a K2 211 I 12 I II 22 II(45)14

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaaaa1112131 1 cos cos ,16G1 sin 2cos 1 ,16G1 11 cos 1 cos3cos 1 .16G(46)Primjenom S kriterija na izraz (45) dobiva se: 2 1 tan 2 1 2 10tan 24 tan2 2 22 2 2 1 6 14 tan 23 0,24 2 2 3 2 2 2 2 1 sin 8sin2 1 1 cos 2 3 cos2 0 . (48)(47)3.3 Kriterij maksimuma faktora oslobođene energije (G-kriterij)Analizom utjecaja malog virtualnog produljenja pukotine [15] predložen je kriterij prema kojemu jepravac širenja pukotine u smjeru maksimuma faktora oslobođene energije.Matematički se ovaj kriterij može pisati:2G G0, 0. (49)2 Irwin [16] je definirao faktor oslobođene energije kao mjeru energije dostupne za produljenjepukotine. Za linearno elastične materijale u mješovitom polju naprezanja, ukoliko je produljenjepukotine u ravnini originalne pukotine, ovisnost faktora oslobođene energije i faktora intenzitetanaprezanja se može opisati izrazom:2 2KIKIIG GI GII E E . (50)U stvarnosti se ravnina produljenja pukotine u mješovitom polju naprezanja neće podudarati sravninom originalne pukotine, te je samim tim izraz (50) pogrešan. Međutim, ukoliko se faktoriintenziteta naprezanja u izrazu (50) shvate kao faktori intenziteta naprezanja infinitezimalno, podkutom (slika 3.1) produljene pukotine, tada izraz (50) vrijedi i glasi:G * *KI KIIE2 2E, (51)15

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma* *gdje su i lokalni faktor intenziteta naprezanja u vršku infinitezimalno produljene pukotine,* *koji se razlikuju od nominalnih K I i K II . Prema [85] i se mogu računati iz izraza:* 2 KI lim 2r cos K Icos 3KIIsin r 02 2 2 , (52)* 2 KII lim r2r cos KIsin cos KII1 3sinr 02 2 2 2 . (53)Faktor intenziteta naprezanja za infinitezimalno produljenu pukotinu ima maksimalnu vrijednostkada je:Kako je:K IK IIKKK* ** I *IKII II0*KI3 3 3 KIcos sin cos 1 3sin K 2 2 2 2 2 2 22 2 *II. (54)**dKIProizlazi da će izraz (54) biti zadovoljen kada je KII 0 (odnosno 0 ). Pošto je:dK*I. (55)proizlazi da je kriterij maksimuma faktora oslobođene energije, ukoliko se lokalni faktori računajuprema izrazima (52) i (53) identičan kriteriju maksimalnog cirkularnog naprezanja. Ovakav pristupprihvaćen je i u [1] i u [18].* *Prema [14] i [19] i se računaju iz izraza:2* 4 3I 2IcosII K K K sin 3 cos 2 , (56)2* 4 1II 2IIcosI K K K sin 3 cos 2 . (57)Uvrštavanjem prethodnih izraza u (51) i primjenom G-kriterija (49) može se također izračunatikut pod kojim će doći do produljenja pukotine.K IK IIKao točniji postupak izračunavanja lokalnih faktora intenziteta naprezanja prema [88] može seusvojiti postupak dan u [15], dok prema [21] oba postupka imaju zadovoljavajuću točnost.K IK II16

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaUz ova dva postupka izračunavanja lokalnih faktora intenziteta naprezanja postoje i još neki,prvenstveno numerički postupci prema kojima se lokalni faktori računaju različitim polinomnimaproksimacijama [20].4. BRZINA ŠIRENJA PUKOTINEKako je ranije kazano, ukoliko je plastična zona ispred vrška pukotine relativno mala u odnosu naduljinu pukotine, stanje oko vrška pukotine može se opisati samo s jednim parametrom - faktoromintenziteta naprezanja. Primjena mehanike loma u izračunavanju brzine širenja pukotine zasnovanaje na principu sličnosti. Prema principu sličnosti dvije pukotine opterećene promjenjivimopterećenjem, s ciklusom jednakog konstantnog raspona faktora intenziteta naprezanja, imajujednako polje naprezanja i deformacije oko vrška pukotine, a iz toga proizlazi da će i brzina širenjatih dviju pukotina biti jednaka. Dakle, porast duljine pukotine po ciklusu je funkcija raspona faktoraintenziteta naprezanjadafdN K , Rgdje je K Kmax Kmin, a R KminKmax.Na slici 4.1 dan je shematski log-log dijagram ovisnosti porasta duljine pukotine po ciklusu orasponu faktora intenziteta naprezanja. Dijagram prikazuje tipičnu krivulju rasta pukotine umetalima.(58)da, logdNPodručjeIPodručjeIIPodručjeIIIK thK cK, logSlika 4.1 Tipična krivulja rasta pukotine u metalima17

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaUočljivo je da je širenje pukotine na početku ubrzano (područje I), zatim prelazi u fazu stabilnograsta (područje II), da bi konačno prešlo u fazu kritičnog širenja pukotine (područje III).U području I brzina širenja pukotine teži nuli kako se raspon faktora intenziteta naprezanjapribližava pragu širenja pukotine:K th Kth, max Kth,min athY(59)gdje je a th duljina začete pukotine. Smatralo se da je prag širenja pukotine konstanta materijala, ali suistraživanja pokazala da ovisi i o koeficijentu asimetrije ciklusa, preopterećenju, temperaturi iuvjetima okoline [22]. Broj parametara koji utječu na prag širenja pukotine može se smanjitidefiniranjem efektivnog praga širenja pukotine:K th,eff Kth,max Kcl(60)gdje je K cl faktor intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine (poglavlje 3.5).U području II pukotina raste linearno u log-log dijagramu, pa se može opisati jednadžbom:daC KdN gdje su C i m konstante materijala koje se određuju eksperimentalno. Ova zakonitost poznata je kaoParisov zakon. Usporedbom prethodnih dvaju izraza (58) i (61) uočava se da prema Parisovu zakonubrzina širenja pukotine ne ovisi o koeficijentu asimetrije ciklusa R.U području III pukotina ubrzano raste kako se raspon faktora intenziteta naprezanja približava K c :m(61)K C KIC KC,min aCY(62)gdje je a C kritična duljina pukotine, a K IC lomna žilavost.Kako Parisov zakon vrijedi samo u području II pokušavalo se pronaći jednadžbe koje biopisivale rast pukotine i u drugim područjima rasta. Jedna od takvih je Formanova jednadžba kojaopisuje rast pukotine u područjima II i III:mdaCKdN 1 R K K. (63) ICKlesnil i Lucas modificirali su Parisov zakon uzimajući u obzir prag širenja pukotine, te takodobili jednadžbu rasta pukotine koja vrijedi u područjima I i II:dadC K KMcEvily je razvio izraz koji vrijedi za čitavu krivulju rasta pukotine, i koji je za razliku odprethodnih jednadžbi, koje su dobivene empirijski, zasnovan na jednostavnom fizikalnom modelu.:18m mthN . (64)

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomada 2 K C K Kth 1dN KIC Kmax. (65)Iz svih ovih jednadžbi (61), (63), (64) i (65) integriranjem može se dobiti vrijeme potrebno zarast pukotine od neke proizvoljne do kritične duljine. Također svi navedeni izrazi vrijede u slučajuopterećenja tipa I.Ispitivanjem opterećenjem mješovitog tipa (tip I i tip II) [22] uočeno je da i mali rasponfaktora intenziteta naprezanja tipa II značajno povećava brzinu širenja pukotine. Zbog toga surazvijeni modeli koji uzimaju u obzir i doprinos opterećenja tipa II, najčešće korištenjemekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja u Parisovoj jednadžbi (61):dadmC KeqN . (66)Ideja korištenja ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja je posebno privlačna jer je većinapodataka o materijalima podvrgnutih promjenjivom opterećenju dobivena ispitivanjimaopterećenjima konstantne amplitude tipa I, te bi bilo od velike važnosti kad bi se ti podaci moglikoristiti u konstruiranju s obzirom na zamor i u slučaju opterećenja mješovitog tipa.Za određivanje ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja može se koristiti kriterijmaksimalnog cirkularnog naprezanja, te je u tom slučaju iz izraza (9), odnosno izraza (52) [23]:2 0 0 0Keqcos KIcos 3 KIIsin (67)2 2 2 gdje je 0 smjer širenja pukotine dobiven iz MCN-kriterija (43).Tanaka [24] je razvio model zasnovan na pretpostavci da plastične deformacije zbogpromjenjivog vlačnog naprezanja ne utječu na plastične deformacije zbog promjenjivog smičnognaprezanja i obrnuto, te da je rezultirajuće polje pomaka zbroj pomaka uslijed obaju tipovaopterećenja:K K 8 K . (68)4 4 4eq I IIMješoviti tip opterećenja se osim ekvivalentnim faktorom intenziteta naprezanja može uzeti uobzir i pomoću faktora gustoće energije deformiranja, pa se u tom slučaju modificira Parisovajednadžba i glasi [25]:daCdN Sn(69)19

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomagdje je: S 2 a K K a K K K K a K K11 0 I I 12 0 I II II I 22 0 II IIgdje je 0 smjer širenja pukotine dobiven primjenom S-kriterija (47), faktori a 11 , a 12 , a 22 su dobiveniuvrštenjem kuta 0 u izraze (46), K I i K II su rasponi FIN-a, a K i K su srednje vrijednosti FINa.U [26] je provedena usporedba eksperimentalno dobivenih vjekova trajanja s vjekovima trajanja dopojave kritične pukotine dobivenih ekvivalentnim faktorom intenziteta naprezanja (67) i faktoromgustoće energije deformiranja (70). Ustanovljeno je da izraz (67) daje najbolje podudaranje seksperimentalnim podacima za slučajeve mješovitog tipa opterećenja s dominantnim opterećenjemtipa I.Osim ovih postoji i niz drugih faktora čiji se rezime može pronaći u [10], a u novije vrijemerazvijen je i faktor akumulirane energije elastične deformacije [27].5. ZATVARANJE-OTVARANJE PUKOTINEIII(70)Kontakt između površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenjanaziva se zatvaranje pukotine.Fenomen zatvaranja pukotine opće je prihvaćen mehanizam koji presudno utječe na nizznačajki koje određuju ponašanje pukotina, kao što su, koeficijent asimetrije ciklusa opterećenja,vremenski promjenjivo opterećenje promjenjive amplitude, fenomen kratkih pukotina,mikrostruktura, okoliš i prag širenja pukotine [28].Tri najznačajnija mehanizma zatvaranja pukotine prikazana su na slici 5.1 [29].Zatvaranje pukotine uslijed plastičnosti (en. plasticity induced crack closure) nastaje uslijedzaostalih plastičnih deformacija u materijalu iza propagirajuće pukotine (slika 5.1a). Ovu je činjenicuprvi uočio 1968. godine Elber [30] i od tada je ovaj fenomen predmet mnogobrojnih istraživanja,kojima je predloženo niz analitičkih i numeričkih rješenja. Teoretskim modelom zatvaranja pukotineuslijed plastičnosti Budianskyja i Hutchinsona [31] dobivene su funkcionalne ovisnosti zaostalihplastičnih deformacija i CTOD (en. crack tip opening displacement) o opterećenju. Kako se ovimpristupom nije mogao opisati utjecaj povijesti naprezanja intenzivno su se započeli razvijatinumerički modeli u kojima se područje zaostale plastičnosti prikazuje tankim slojevima idealno20

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaplastičnog materijala (en. strip yield model) [32], [33]. U najnovije se vrijeme do rješenja problemazatvaranja pukotine pokušava doći metodom konačnih elemenata [34].Zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i zatvaranje pukotine uslijed korozije su mehanizmi kojisu dominantni u području uz prag širenja pukotine te im utjecaj slabi s rastom faktora intenzitetanaprezanja, odnosno povećavanjem plastične zone oko vrška pukotine.Zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti uzrokovano je mikrostrukturom materijala. Naime, ikod pukotina koje globalno gledajući rastu djelovanjem opterećenja tipa I, heterogenosti namikrostrukturalnom nivou mogu uzrokovati mješovito stanje naprezanja oko vrška pukotine. Naslici 5.1b prikazan je odmak vrška pukotine od ravnine simetrije, te uslijed toga dolazi do utjecajaopterećenja tipa II i pomicanja površina pukotine koje uzrokuje njeno zatvaranje. Kod materijalakrupno zrnate strukture izraženija je pojava zatvaranja pukotine uslijed hrapavosti.Zatvaranje pukotine uslijed korozije posebno je izraženo u agresivnom okolišu, a nastaje kadčestice oksida ostanu uklinjene između površina pukotine (slika 5.1c).zaostala plastičnadeformacijaa) zatvaranje pukotine b) zatvaranje pukotine c) zatvaranje pukotineuslijed plastičnosti uslijed hrapavosti uslijed korozijaSlika 5.1 Dominantni mehanizmi zatvaranja pukotine [29]Zatvaranje pukotine, ma koji joj bio uzrok, utječe na raspon faktora intenziteta naprezanja okovrška pukotine, te samim tim i na širenje pukotine. Dio ciklusa opterećenja koji uzrokuje oštećenjesmanjuje se sa zatvaranjem pukotine, a to smanjenje se uzima u obzir efektivnim faktoromintenziteta naprezanja21

KKeffPoslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma5.1 Efektivni faktor intenziteta naprezanjaEfektivni je faktor intenziteta naprezanja onaj dio ciklusa opterećenja za koji je pukotina potpunootvorena, a određuje se iz izraza:K K K za K K ,eff max cl min clK K K za K K ,eff max min min clgdje je K cl maksimalni faktor intenziteta naprezanja pri kojem su površine pukotine spojene, i ostajuspojene za vrijeme faze rasterećenja. Ponekad se FIN zatvaranja (K cl ) u izrazu (71) zamjenjuje s FINotvaranja (K op ) definiranim kao minimalni faktor intenziteta naprezanja pri kojem je pukotina upotpunosti otvorena, i ostaje otvorena za vrijeme faze opterećenja. K cl i K op su obično istog redaveličine, ali nisu nužno i jednaki kao što su prikazani na slici 5.2.Uz efektivni faktor intenziteta naprezanja često se zatvaranje pukotine opisuje i parametromkoji se naziva omjer zatvaranja:K K KU K K Keff max clmaxmin(71). (72)Ovaj omjer teži jedinici za pukotine kod kojih nema zatvaranja, odnosno teži nuli ukoliko jepukotina zatvorena duž cjelokupnog ciklusa opterećenja.KmaxKminKclKopvrijemeSlika 5.2 Definicija efektivnog faktora intenziteta naprezanjaKako se pukotina ne može širiti dok je zatvorena, efektivnim faktorom intenziteta naprezanja semodificira Parisova jednadžba (61):22

2t2hPoslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomadadmC KeffN . (73)Upotrebom ovako definiranog efektivnog faktora intenziteta naprezanja eksperimentalnipodaci rasta pukotine za različite koeficijente asimetrije ciklusa opterećenja se stapaju u jednukrivulju.Najnovija istraživanja uvode novi koncept djelomičnog zatvaranja pukotine (en. partial crackclosure) kod kojeg značajan utjecaj na oštećenje uslijed zamora ima i opterećenje za koje je faktorintenziteta naprezanja ispod FIN-a otvaranja. Zatvaranje pukotine, odnosno kontakt njenih površinasamo djelomično zaštićuje vršak pukotine od utjecaja cikličkog opterećenja, jer do zatvaranja nedolazi u vršku pukotine, nego na maloj udaljenosti d iza vrška pukotine. Ova pojava je pogotovoizražena u blizini praga širenja pukotine, odnosno u području gdje dominantnu ulogu imajuzatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i korozije [35]U [36] djelomično zatvaranje pukotine je modelirano krutim klinom debljine 2t umetnutim upukotinu na udaljenosti d od vrška pukotine (slika 5.3a). Djelomično zatvaranje započinje kadapovršine pukotine dotaknu klin (za K cl ), a daljnje smanjenje opterećenja zašiljuje vršak pukotine.Promjena geometrije vrška pukotine uzrokuje porast deformacije ispred vrška pukotine.profil pukotineza = K K wprofil pukotineza K=K opprofil pukotineza K=K mindda) pukotina otvorena krutim klinom b) pukotina pod djelovanjem vanjskog opterećenjabez djelovanja dodatnog opterećenjaSlika 5.3 Shematski prikaz koncepta djelomičnog zatvaranja pukotineFaktor intenziteta naprezanja zbog umetanja klina, a bez djelovanja dodatnog opterećenja je:KklinEt2 d. (74)S druge strane FIN zatvaranja se dobiva iz izraza (22) za v h,r di ravninsko stanje naprezanja:23

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomarasta pukotine (Parisovo područje) tradicionalni pristup (definiran izrazom (71)) daje bolje rezultate[36], [37].Naime, u području blizu praga širenja pukotine dominantnu ulogu imaju zatvaranje pukotineuslijed hrapavosti i korozija. Kod ovih mehanizama zatvaranja pukotine, zbog smicanja površinapukotine određene hrapavosti i s nakupinama oksida, dolazi do kontakta površina pukotine prijenego što dođe do potpunog zatvaranja u vršku pukotine, to znači da dolazi do djelomičnogzatvaranja pukotine. U Parisovom području, međutim, dominantu ulogu ima mehanizam zatvaranjapukotine uslijed plastičnosti, jer su u tom području hrapavost površina pukotine i veličina oksidnihčestica zanemarivi u odnosu na relativni razmak površina pukotine. Zbog toga je u [28] danopoboljšanje modela djelomičnog zatvaranja pukotine:gdje je g funkcija oblika:2KeffKmaxK cl 1 1g (81)Kmax 1 K th g e . (82)U blizini praga širenja pukotine K K funkcija g 1, pa se onda vrijednostmaxefektivnog faktora intenziteta naprezanja približava onome izračunatome prema konceptudjelomičnog zatvaranja pukotine (79). U Parisovom području K K funkcija g 0 , pa seonda vrijednost efektivnog faktora intenziteta naprezanja približava onome izračunatome prematradicionalnom pristupu (71).thmaxth5.2 Faktor intenziteta naprezanja zatvaranja pukotineMetode određivanja FIN-a zatvaranja pukotine dijele se na eksperimentalne, numeričke ianalitičke.Postoji niz eksperimentalnih metoda otkrivanja zatvaranja pukotine, kao što su tehnike padaelektričnog potencijala, metode akustične emisije, ili primjerice uočavanje mjesta i trenutkaprekidanja zraka svijetla [38], no najčešće korištena je metoda mehaničkog mjerenja ovisnostipomaka o opterećenju (en. compliance method). Na slici 5.4a prikazani su mogući načini dobivanjaovisnosti pomaka i opterećenja, mjerenjem deformacije uzorka [31], a na slici 5.4b shematski jeprikazana ovisnost opterećenja o pomaku za uzorak kod kojega dolazi do zatvaranja pukotine.25

optere ć enje ili FINPoslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomamjerna traka spomičnim klipommjerna traka sastražnje straneP 3P 2Kcl, KopP 1mjerna trakau blizini pukotinemjerne trake naotvoru pukotinea) Oprema za četiri najčešća načina mjerenja b) Shematski prikaz ovisnostizatvaranja pukotinenaprezanja o pomakupomakSlika 5.4 Metoda mehaničkog mjerenja krivulje ovisnosti pomaka o opterećenjuGornji i donji dio krivulje imaju konstantne nagibe koji odgovaraju potpuno otvorenoj odnosnopotpuno zatvorenoj pukotini. Međutim postoji niz problema u određivanju raspona opterećenja prikojem dolazi do zatvaranja pukotineNajprije, kao što se može uočiti na slici 5.4b, često postoji značajan raspon opterećenja za koje jepukotina djelomično zatvorena, pa se zatvaranje može definirati kao otklon od linearnosti u točkamaP1 ili P3, ili ekstrapolacijom potpuno otvorene i potpuno zatvorene krivulje ovisnosti opterećenja opomaku do točke presjecišta P2. Nadalje krivulja ovisnosti opterećenja o pomaku može postatihistereza, tj. FIN zatvaranja i FIN otvaranja nisu jednaki, te također pojava šuma pri snimanjukrivulje može onemogućiti ispravno određivanje trenutka zatvaranja pukotine.Uloženo je mnogo napora ne bi li se ustanovila standardizirana eksperimentalna metoda kojom bi senavedeni problemi prevladali i time dala vjerodostojnost eksperimentalnim mjerenjima nivoazatvaranja pukotina. Najčešće korištene metode određivanja nivoa zatvaranja pukotina su [39]:‣ metoda promjene nagiba krivulje‣ metoda aproksimacije krivuljeTočka se zatvaranja pukotine metodom promjene nagiba krivulje određuje promatranjempromjene lokalnog nagiba krivulje ovisnosti pomaka o opterećenju. Korištene definicije točkezatvaranja su:26

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma‣ točka zatvaranja je ona točka u kojoj je lokalni nagib različit od nagiba u gornjem dijelukrivulje za određeni postotak (primjerice 5%) – ova metoda je prihvaćena od standardaASTM E647-99.‣ točka zatvaranja je ona točka za koju je promjena nagiba dva susjedna segmentakrivulje (krivulja je podijeljena na određeni broj segmenata jednake duljine) veća odnekog postotka (primjerice 5%).Metodom aproksimacije krivulje, krivulja ovisnosti pomaka o opterećenju se dijeli na linearnidio (gornji dio) i dio aproksimiran polinomom drugog stupnja (donji dio). Točka zatvaranja pukotineje ona točka za koju je:‣ apsolutna razlika u koordinatama ova dva dijela minimalna‣ razlika u nagibima pravca (gornji dio) i segmenta polinoma (donji dio) minimalna.Usporedbom navedenih metoda određivanja točke zatvaranja pukotine u [39] ustanovljeno jeda metoda aproksimacije krivulje daje bolje rezultate s aspekta osjetljivosti i konzistentnosti uodnosu na metodu promatranja promjene nagiba krivulje.Što se tiče numeričkih modela zatvaranja pukotine, u uvodu u ovo poglavlje spomenute sunajznačajnije numeričke metode određivanja zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti, osim njihrazvijeni su i neki numerički modeli zatvaranja pukotine uslijed hrapavosti kojima se najčešćepovršine pukotine idealiziraju pilastim profilom [40], [41].Newman je u [42], [43] razvio analitički model u koji su uključeni mehanizmi zatvaranjapukotine uslijed plastičnosti, hrapavosti i korozije.U ovim će se materijalima utjecaj hrapavosti i korozije uzeti u obzir modelom djelomičnogzatvaranja pukotine što će uz analitičku metodu određivanja faktora intenziteta naprezanja zatvaranjapukotine uslijed plastičnosti opisanu u [28] omogućiti izračunavanje efektivnog faktora intenzitetanaprezanja.Analitički model određivanja faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine uslijedplastičnosti koji je opisan u [42] predstavlja modifikaciju analitičkog modela Budiansky iHutchinsona [31]. Model Budiansky i Hutchinsona povezuje zaostalu plastičnu deformaciju i pomakpovršina pukotine u njenom vršku okomito na smjer otvaranja pukotine (CTOD). U njihovomistraživanju dan je dijagram ovisnosti omjera veličine plastične brazde zaostale iza pukotine(CTOD brazde ) i vrijednosti CTOD max (CTOD pri maksimalnom opterećenju) (slika 5.5) o koeficijentuasimetrije ciklusa opterećenja.27

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaSlika 5.5 Vršak pukotine pri djelovanju maksimalnog opterećenjaNa slici 5.6 rezultati Budiansky i Hatchinsona su prikazani simbolima, a kroz te točke je Newman[42] aproksimirao polinom četvrtog stupnja:CTODCTODbrazde2 3 4 0,8561 0,0205R 0,1438R 0,2802R 0,3007R. (83)maxKorištenje izraza (83) umjesto kompletne procedure Budiansky i Hutchinsona značajnopojednostavljuje izračunavanje faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine, koji se za slučajzatvaranja pukotine uslijed plastičnosti izračunava iz izraza:Prema Newmanu [42] ovisnost fasimetrije ciklusa. Ovdje će se krivuljaKcl, plast Kmax 1 2 1 . (84)definirana je za pozitivne vrijednosti koeficijenta(84) produžiti i u negativno područjekoeficijenta asimetrije ciklusa, ali će se provesti modifikacija slično kao u programu AFGROW [44],[45] tako da će se izračunati točka infleksije izraza (84) (R inf ) pa će se za R R infomjerKcl, plastKmaxuzeti jednak onome u točki infleksije (slika 5.7).RK K f Rcl, plastmax28

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma1.000.95Tocka infleksije, R inf = -0,1330.900.850.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00RSlika 5.6 Promjena faktora s koeficijentom asimetrije ciklusa R [31]0.90.80.7K cl,plast/K max0.60.50.40.30.2-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9RSlika 5.7 Promjena omjeraKcl, plastKmaxs koeficijentom asimetrije ciklusa R29

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaUvrštavanjem izraza (84) u izraz (81) dobiva se izraz za izračunavanje efektivnog faktora intenzitetanaprezanja, koji uzima u obzir sve navedene mehanizme zatvaranja pukotine, a vrijedi u cijelompodručju rasta pukotine, od praga širenja do konačnog loma.2KeffK max 1 1 2 1 1 1g . (85)Ovdje izveden izraz zasnovan je na najnovijim spoznajama o zatvaranju pukotine [28], a u odnosuna izraze, odnosno proceduru danu u [42], [43] ima značajno jednostavniji oblik.0.91.00.8R=00.9R=0,90.7R=0,250.80.6R=0,50.7R=0,750.6K eff /K max0.50.40.30.2R=0,75K cl /K max0.50.40.30.2R=0,5R=0,25R=00.1R=0,90.10.00.01 2 3 4 5 6 7 8 9 10K max / K th1 2 3 4 5 6 7 8 9 10K max /K thSlika 5.8 Grafički prikaz izraza (85)Na slici 5.8 prikazana je promjena efektivnog faktora intenziteta naprezanja i faktora intenzitetanaprezanja zatvaranja pukotine s promjenom maksimalnog faktora intenziteta naprezanja za različitefaktore asimetrije ciklusa opterećenja.5.3 Ograničenje primjene linearno elastične mehanike lomaPrema ASTM E399 standardu ukoliko je omjer veličine zone u kojoj je materijal plastičnodeformiran r p prema duljini pukotine a manji od 0,4 tada se mogu primijeniti principi linearnoelastične mehanike loma:rp0, 4a . (86)30

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaGranica između plastičnog i elastičnog područja može se odrediti izjednačavanjem von Misesekvivalentnog naprezanja i granice tečenja materijala. Za =0 i ravninsko stanje deformacije dobivase izraz:1r K 1 2 23KR * 2 2p 2 I II2t . (87)Obzirom da je izraz izveden iz naprezanja linearno elastičnog materijala (izrazi (6) do (8)),potrebno je na neki način uzeti u obzir povećanje plastične zone do koje će doći zbog redistribucijenaprezanja prilikom dostizanja granice tečenja. Prema [42] veličina plastične zone s redistribuiranimnaprezanjem je jednaka:rp1,828 r . (88)Ovi izrazi su izvedeni za statičko opterećenje. Kod dinamičkog opterećenja, prilikomrasterećenja dolazi do povratnog plastičnog toka, koji se uzima u obzir uvrštavanjem K I2*pumjesto K I , iK II2umjesto KII u izraz (87). Uvrštavanjem u izraz (86) dobiva se područjeprimjene linearno elastične mehanike loma:1a 0,0914 K 1 2 23 KR 2t2 2III . (89)6. ŠIRENJE PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA6.1 Model zupčanikaZa slučaj simetrične raspodjele opterećenja po dužini boka zuba, dvodimenzionalni modelizupčanika daju rezultate približno jednake onima dobivenih analizom trodimenzionalnih modela, auz znatno manji utrošak vremena za izradu modela i dobivanje rezultata.Za dobivanje geometrije zuba zupčanika izrađen je program u Visual Basic for Applications unutarAutoCAD-a koji za unesene karakteristike zupčanika i alata crta profil (slika 6.1).31

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaSlika 6.1 Prozor u AutoCAD-u za upisivanje podataka potrebnih za crtanje zupčanikaProfil zuba zupčanika učita se u neki programski paket za analizu metodom konačnih elemenata(npr. ADINA) i tu se generira mreža konačnih elemenata.Slika 6.2 Model zupčanika32

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaRubni uvjeti su modelirani prema slici 6.2, dakle onemogućeni su pomaci svih čvorova na lijevoj,desnoj i donjoj strani modela.Udaljenost između kruga preko korijena i donje strane modela zupčanika je uzeta jednaka visinizuba, jer je tada zanemariv utjecaj uklještenja donje strane modela na rotaciju baze zuba.Numerička simulacija rasta pukotine provedena je u programskom paketu FRANC2D [46], [47].FRANC2D je paket u kojem je moguća provedba poluautomatske simulacije širenja pukotine.Korisnik treba prije svakog koraka produljenja pukotine definirati iznos produljenja, a sve ostalo seprovodi automatski u slijedećim koracima:1) Analiza metodom konačnih elemenata.2) Izračunavanje faktora intenziteta naprezanja.3) Određivanje smjera širenja pukotine.4) Lokalno brisanje mreže konačnih elemenata u području u koje će se produljiti pukotina.5) Produljenje pukotine za zadani iznos produljenja u smjeru izračunatom u točki 3.6) Automatsko obnavljanje mreže konačnih elemenata.Tablica 6-1 Podaci o zupčanom paruUlazni podaciz 1 11z 2 39m, mm 4,5 mmx 1 0,526x 2 0,0593b 1 , mm 32,5b 2 , mm 28 n*c*240,350,25 fpromjerpreko glavesa skraćenjem glaveIzračunate veličinea115 mmd 149,5 mmd 2175,5 mmd w150,600 mmd w2179,401 mmd b145,221 mmd b2160,327 mmd a162,968 mmd a2184,767 mmd f142,084 mmd f2163,884 mm a1,256s F210,656 mmh F27,147 mmY F2 (DIN 3990B) 1,66346Y S2 (DIN 3990B) 1,9754333

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaDa bi se moglo započeti sa simulacijom rasta pukotine potrebno je poznavati duljinu, lokaciju iorijentaciju inicirane pukotine. Lokacija i orijentacija inicirane pukotine za konkretnu geometriju(Tablica 6-1) i materijal zupčanika (42 Cr Mo 4 – AISI 4142 – Č4732) prethodno su korištenjemmetode kritične ravnine [48] određeni i definirani su na slici 6.3. = 39,64 okritična ravninasmičnog modelakritična ravninavlačnog modelaSlika 6.3 Kritična lokacija je kritična ravnina vlačnog modelaKritična ravnina vlačnog modela općenito je uvijek okomita na površinu strojnog dijela, pa ondaproizlazi da kod dvodimenzionalnog modela kritična ravnina vlačnog modela predstavlja ravninumaksimalnog glavnog naprezanja. Kritična ravnina smičnog modela za dvodimenzionalni modelpredstavlja ravninu maksimalne smične deformacije koja s ravninom maksimalnog glavnognaprezanja zatvara kut od 45 o .S obzirom da je analizom ciklusa naprezanja u korijenu zuba utvrđeno da je najveće naprezanje naprijelaznoj krivulji uvijek kad je opterećenje u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, onda proizlazi daće u ravnini okomitoj na površinu, u točki najvećeg maksimalnog glavnog naprezanja, biti najvećavrijednost vlačnog parametra oštećenja, a u ravnini nagnutoj pod 45 o u odnosu na tu ravninu najvećavrijednost smičnog parametra oštećenja.Analizom je utvrđeno [48] da za zupčani par iz primjera kritična ravnina je kritična ravnina vlačnogmodela.Podaci o materijalu potrebni za izračunavanje brzine širenja pukotine dani su u tablici 6-2 [49].34

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaTablica 6-2 Podaci o materijalu42 Cr Mo 4 – SAE(AISI) 4142 – Č4732C,K th , MPa mm269mm173,3110 ciklus× MPa mm mK Ic , MPa mm2620 m 4,16Na osnovu analize provedene u [48] Odabire se duljina inicirane pukotine od 200 m.6.1.1.1 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja silom u početnoj točki jednostrukogzahvataU istraživanjima širenja pukotine u korijenu zuba zupčanika opterećenje se najčešće aproksimiraciklusom kod kojeg sila na zub djeluje u početnoj točki jednostrukog zahvata i mijenja iznos od nulado maksimalne vrijednosti (slika 6.4).F /bBtSlika 6.4 Aproksimativni ciklus opterećenja silom u početnoj točki jednostrukog zahvataInicirana pukotina definirane duljine postavlja se u kritičnu lokaciju na kritičnu ravninu pa seprovodi analiza metodom konačnih elemenata (slika 6.5).Iz izračunatih pomaka čvorova oko vrška pukotine izračunavaju se faktori intenzitetanaprezanja.U paket FRANC2D su uključene tri metode određivanja faktora intenziteta naprezanja: metodakorelacije pomaka (poglavlje 3.2.1), metoda modificiranog integrala zatvaranja pukotine (poglavlje3.2.2) i metoda J-integrala (poglavlje 3.2.3). Prema [47] i [50] sve tri metode u slučaju dovoljnousitnjene mreže konačnih elemenata daju iste, točne rezultate. Ipak, prema [47] u slučajevima35

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomapukotina proizvoljne geometrije opterećenih kompleksnim opterećenjima mješovitog tipa, metodemodificiranog integrala zatvaranja pukotine i J-integrala su pouzdanije od metode korelacije pomaka.Slika 6.5 Inicijalna pukotinaNa osnovu navedenog u materijalu će se faktori intenziteta naprezanja izračunavati metodom J-integrala.Iz izračunatih faktora intenziteta naprezanja određuje se smjer širenja pukotine. U paket su uključenatri kriterija: MCN-kriterij, S-kriterij i G-kriterij.Prema [47] sva tri kriterija daju približno iste rezultate, odnosno približno iste staze pukotine.Obzirom da MCN-kriterij ima najjednostavniji oblik, u ovom radu će se smjer širenja pukotineizračunavati iz MCN-kriterija.Nakon toga u izračunatom smjeru treba produljiti pukotinu za iznos produljenja a. Ovoproduljenje definira korisnik, a pri njegovom određivanju treba voditi računa o vremenu potrebnomza izračunavanje i o potrebnoj točnosti rezultata. Premalo produljenje povećava vrijemeizračunavanja staze pukotine i vijeka trajanja, a prevelikim produljenjem dolazi do grešaka koje seakumuliraju sa svakim novim korakom produljenja. Iznos produljenja bi trebalo smanjiti nadionicama gdje su veće vrijednosti omjera KIIK , te na područjima gdje su veće vrijednostigradijenta faktora intenziteta naprezanja.Jedan način određivanja iznosa produljenja opisan je u [51] (slika 6.6).Kružni luk P n P' n+1 prikazan na slici 6.6 predstavlja stvarnu stazu pukotine, ta staza može seaproksimirati ili sa dvije tangente P n P' n i P' n P n+1 ili jednom sekantom P n P n+1 .36I

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaP n+1vP' n+1a' 2aP' na' 1P nP n-1Slika 6.6 Stvarna i aproksimirana staza pukotinev'Procedura dobivanja karakterističnih točaka staze je kako slijedi: ukoliko se vršak pukotinenakon n-tog koraka produljenja nalazi u točki P n , tada se do novog položaja vrška pukotine P n+1može doći tako da se pomoću MCN kriterija izračuna kut 1 i produlji pukotina za iznos a' dotočke P' n . S vrškom pukotine u točki P' n izračunaju se novi faktori intenziteta naprezanja i izračunaMCN kriterijem novi kut 2 pod kojim će doći do produljenja pukotine za iznos a' do točke P n+1 .Na opisani način dobivena je tangencijalna staza pukotine P n P' n P n+1 , a sekantna staza pukotine dobijese spajanjem točaka P n i P n+1 . Sa vrškom pukotine u P n+1 izračunavaju se faktori intenzitetanaprezanja za pukotinu aproksimiranu s dvije tangente pa se iz njih MCN kriterijem dobiva novipravac produljenja v', odnosno pravac produljenja v dobiven MCN kriterijem za faktore intenzitetanaprezanja pukotine aproksimirane sekantom.Uvjet koji pravci produljenja trebaju zadovoljiti opisan je nejednadžbom:v v ' e(90)gdje je e granični kut koji prema [51] iznosi 0,1 o . Iznos produljenja za koji je zadovoljen uvjet (90)definira sekantu P n P n+1 koja se odabire kao staza pukotine.Svakih pet koraka provođena je opisana analiza iznosa produljenja te je odabran iznosproduljenja od 0,2 mm do duljine pukotine od 4 mm, a nakon te duljine pukotine iznos produljenjaod 0,4 mm. Odabrana produljenja zadovoljavaju uvjet (90) duž čitave staze pukotine. Također je37

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomasvakih pet koraka provođena kontrola primjenjivosti principa linearno elastične mehanike lomaprema izrazu (89).Slika 6.7 Predviđena staza pukotine25002000F B/b = 800 N/mmF B/b = 1000 N/mmF B/b = 1200 N/mmF B/b = 1400 N/mmF B/b = 1600 N/mmK Ic = 2620 MPa mm 0,5K eq, MPa mm 0,51500100050000 1 2 3 4 5 6 7 8 9a, mmSlika 6.8 Ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine za pukotinu iniciranu prema vlačnommodelu38

a, mmPoslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaPukotina se produljuje sve dok ekvivalentni faktor intenziteta naprezanja koji se izračunava izizraza (67) ne dostigne kritičnu vrijednost K Ic .Na kraju se kao rezultat dobiva staza pukotine (slika 6.7) i ovisnost faktora intenzitetanaprezanja o duljini pukotine (slika 6.8).Uvrštavanjem ekvivalentnih faktora intenziteta naprezanja u izraz (85) dobivaju se efektivni faktoriintenziteta naprezanja. Korištenjem podataka o materijalu te provođenjem numeričke integracijejednadžbe (73) izračunava se broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljinepukotine:Npa c1 dm0 a 2 eff . (91)adN C K a Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu prikazanaje na slici 6.9, a izračunati vjekovi trajanja i kritične duljine pukotine prikazani su u tablici 6.3.9876F B/b = 800 N/mmF B/b = 1000 N/mmF B/b = 1200 N/mmF B/b = 1400 N/mmF B/b =1600 N/mm5432100.01.0*10 5 2.0*10 5 3.0*10 5 4.0*10 5 5.0*10 5 6.0*10 5 7.0*10 5 8.0*10 5 9.0*10 5 1.0*10 6 1.1*10 6 1.2*10 6 1.3*10 6 1.4*10 6 1.5*10 6N p, ciklusaSlika 6.9 Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu39

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaTablica 6-3 Broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljineF B/b ,N/mmKritična duljina pukotinea c , mmZa pukotinu iniciranuprema vlačnom modeluZa pukotinu iniciranuprema smičnom modeluZa pukotinu iniciranuprema vlačnom modeluBroj ciklusa, N pZa pukotinu iniciranuprema smičnom modelu800 8,6 8,5 1,23310 6 1,56310 61000 8,1 8,0 5,22610 5 6,64610 51200 7,5 7,5 2,55010 5 3,27410 51400 7,0 6,9 1,37810 5 1,78610 51600 6,5 6,4 8,02610 4 1,05010 540

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika lomaLITERATURA[1] Anderson, T.L., Fracture Meshanics: Fundamentals and Applications – Second Edition, CRCPress, 1995.[2] Blake, A., Practical Fracture Mechanics in Design, Marcel Dekker, Inc., 1996.[3] Barsoum, R.S., On the Use of Isoparametric Finite Elements in Linear Fracture Mechanics,Journal Numer. Methods Engrg., 10, pp. 25-37, 1976.[4] Shih, C.F., de Lorenzi, H.G., German, M.D., Crack Extension Modeling with SingularQuadratic Isoparametric Elements, Int. J. Fract, 12, pp. 647-651, 1976.[5] Raju, I.S., Calculation of Strain-Energy Release Rates with Higher Order and Singular FiniteElements, Engineering Fracture Mechanics, 28(3), pp.251-274, 1987.[6] Badari Narayana, K., Dattaguru, B., Certain Aspects Related to Computation by ModifiedCrack Closure Integral (MCCI), Engineering Fracture Mechanics, 55(2), pp. 335-339, 1996.[7] Raju, I.S., Shivakumar, K.N., An Equivalent Domain Integral Method in the Two-Dimensional Analysis of Mixed Mode Crack Problems, Engineering Fracture Mechanics,37(4), pp.707-725, 1990.[8] Rybicki, E.F., Kanninen, M.F., A Finite Element Calculation of Stress Intensity Factors by aModified Crack Closure Integral, Engng Fracture Mech, 9, pp. 931-938, 1977.[9] Hellen, T.K., On the Method of Virtual Crack Extension, Int. J. Numer. Meth. Eng., 9(1),pp. 187-207, 1975.[10] Qian, J., Fatemi, A., Mixed Mode Fatigue Crack Growth, Engineering Fracture Mechanics,55(6), pp. 1277-1284, 1996.[11] Khan, S.M.A., Khraisheh, M.K., Analysis of Mixed Mode Crack Initiation Angles underVarious Loading Conditions, Engineering Fracture Mechanics, 67, pp. 397-419, 2000.[12] Abdel Mageed, A.M., Pandey, R.K., Mixed mode crack growth under static and cyclicloading in A1-alloy sheets, Engineering Fracture Mechanics, 40(2), pp. 371-385, 1991.[13] Erdogan, F., Sih, G.C., On the Crack Extension in Plates under Plane Loading andTransverse Shear, J Basic Eng D, 85, pp. 519-525, 1963.[14] Sih, G.C., Strain Energy Density Factor Applied to Mixed Mode Crack Problems, Int. J.Fract., 10, pp. 305-321, 1974.[15] Hussain, M.A., Pu, S.L., Underwood, J., Strain Energy Release Rate for a Crack underCombined Mode I and Mode II, Fract Anal ASTM STP, 560, pp. 2-28, 1974.41

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma[16] Irwin, G.R., Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel and Aluminum Alloys,Sagamore Research Conference Proceedings, 2, pp. 289-305, 1956[17] Nuismer, R.J., An Energy release Rate Criterion for Mixed Mode Fracture, InternationalJournal of Fatigue, 11, pp. 245-250, 1975.[18] Wang, C.H., Introduction to Fracture Mechanics, DSTO-GD-0103, Department of Defence,1996.[19] Yishu, Z., Griffith’s Criterion for Mixed Mode Crack Propagation, Engineering FractureMechanics, 26(5), pp. 683-689, 1987.[20] Ichikawa, M., A Note on Mixed Mode Energy Release Rate, Engineering FractureMechanics, 26(2), pp. 311-312, 1987.[21] Wang, M.H., A Theory for the Mixed Energy Release Rate, Engineering Fracture Meshanics,22(4), pp. 661-671, 1985.[22] Andersen, M.R., Fatigue Crack Initiation and Growth in Ship Structures, PhD Thesis,Technical University of Denmark, 1998.[23] Yan, X., Du, S., Zhang, Z., Mixed-Mode Fatigue Crack Growth Prediction in BiaxiallyStreched Sheets, Engineering Fracture Mechanics, 43(3), pp. 471-475, 1992.[24] Tanaka, K., Fatigue Crack Propagation from a Crack Inclined to the Cycle Tensile Axis,Engineering Fracture Mechanics, 6, pp. 493-507, 1974.[25] Sih, G.C., Barthelmy, B.M., Mixed Mode Fatigue Crack Growth Prediction, EngineeringFracture Mechanics, 13, pp. 439-451, 1980.[26] Abdel Mageed, A.M, Pandey, R.K., Studies on Cyclic Crack Path and the Mixed-Mode CrackClosure Behaviour in Al Alloy, International Journal of Fatigue, 14(1), pp. 21-29, 1992.[27] Pavlou, D.G., Labeas, G.N., Vlachakis, N.V., Pavlou, F.G., Fatigue Crack PropagationTrajectories under Mixed-Mode Cyclic Loading, Engineering Structures, 25, pp. 869-875,2003[28] Kujawski, D., Enhanced Model of Partial Crack Closure for Correlation of R – Ratio Effectsin Aluminum Alloys, International Journal of Fatigue, 23, pp. 95-102, 2001.[29] Newman, J.C. Jr., The Merging of Fatigue and Fracture Mechanics Concepts: a HistoricalPerspective, Progress in Aerospace Sciences, 34, pp. 347-390, 1998.[30] Elber, W., Fatigue Crack Closure under Cyclic Tension, Engineering Fracture Mechanics, 2,37-45, 1970.42

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma[31] Budiansky, B., Hutchinson, J.W., Analysis of Closure in Fatigue Crack Growth, Journal ofApplied Mechanics, 45, pp. 267-276, 1978.[32] Ibso, J.B., Agerskov, H., An Analytical Model for Fatigue Life Prediction Based on FractureMechanics and Crack Closure, Journal Construct. Steel Res., 37(3), pp. 229-261, 1996.[33] Kim, J.H., Lee, S.B., Prediction of Crack Opening Stress for Part-Through Cracks and itsVerification using a Modified Strip.Yield Model, Engineering Fracture Mechanics, 66, pp. 1-14, 2000.[34] Solanki, K., Daniewicz, S.R., Newman, J.C. Jr., A New Methodology for Computing CrackOpening from Finite Element Analyses, Engineering Fracture Mechanics, ...,2003.[35] Kujawski, D., K eff Parameter under Re-examination, International Journal of Fatigue, 25(9-11), pp. 793-800, 2003.[36] Paris, P.C., Tada, H., Donald, J.K., Service Load Fatigue Damage – a Historical Perspective,International Journal of Fatigue, 21, pp.S35-S46, 1999.[37] Kujawski, D., Utilization of Partial Crack Closure for Fatigue Crack Growth Modeling,Engineering Fracture Mechanics, 69, pp. 1315-1324, 2002.[38] Taylor, D., Fatigue Threshold, Butterworths & Co., 1989.[39] Xu, Y., Gregson, P.J., Sinclair, I., Systematic Assessment and Validation of Compliance-Based Crack Closure Measurements in Fatigue, Materials Science and Engineering, A284, pp.114-125, 2000.[40] Llorca, J., Roughness Induced Fatigue Crack Closure: a Numerical Study, Fatigue FractEngng Mater Struct, 15, pp.665-669, 1992.[41] Zhang, X.P., Li, J.C., Wang, C.H., Ye, L., Mai, Y.W., Prediction of Short Fatigue CrackPropagation Behaviour by Characterization of Both Plasticity and Roughness Induced CrackClosures, International Journal of Fatigue, 24, pp. 529-536, 2002.[42] Newman, J.A., Riddell, W.T., Piascik, R.S., A Threshold Fatigue Crack Closure Model: Part I– Model Development, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 26, pp. 603-614, 2003.[43] Newman, J.A., Riddell, W.T., Piascik, R.S., A Threshold Fatigue Crack Closure Model: PartII – Experimental Verification, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 26, pp. 615-625, 2003.[44] Harter, J.A., AFGROW Users Guide and Technical Manual, Air Force Research LaboratoryReport, 2002.[45] Harter, J.A., Comparison of Contemporary FCG Life Prediction Tools, International Journalof Fatigue, 21, pp.S181-S185, 1999. Literatura – duljina inicirane pukotine43

Poslijediplomski studij strojarstvaMehanika loma[46] FRANC2D, User's Guide, Version 2.7, Cornell University, 1993.[47] Bittencourt, T.N., Wawrzynek, P.A., Ingraffea, A.R., Sousa, J.L., Quasi-AutomaticSimulation of Crack Propagation for 2D LEFM Problems, Engineering Fracture Mechanics,55 (2), pp. 321.334, 1996.[48] Podrug, S., Jelaska, D., Glodež, S., Influence of different load models on gear crack pathshapes and fatigue lives, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 31, 5;pp. 327-339, 2008[49] Glodež, S., Šraml, M., Kramberger, J., A Computational Model for Determination of ServiceLife of Gears, International Journal of Fatigue, 24(10), pp 1013-1020, 2002.[50] Miranda, A.C.O., Meggiolaro, M.A., Castro, J.T.P., Martha, L.F, Fatigue Life Prediction ofComplex 2D Components under Mixed-Mode Variable Amplitude Loading, InternationalJournal of Fatigue, 25(9-11), pp. 1157- 1167, 2003.[51] Denda, M., Dong, Y.F., Analytical Formulas for a 2-D Crack tip Singular Boundary Elementfor Rectilinear Cracks and Crack Growth Analysis, Engineering Analysis with BoundaryElements, 23, pp. 35-49, 1999.44