¨Uldalgebra alused 2011/2012. ˜o. a. 1. kontrolltöö

Üldalgebra alused 2011/2012. õ. a.1. kontrolltöö1. kontrolltöö koosneb teooria küsimustest ja ülesannetest. Teooria osaspeab oskama:• sõnastada kõigi mõistete definitsioone;• selgitada mõisteid näidete varal;• loetleda mõistetega seotud omadusi;• sõnastada teoreeme (tõestusteta).Teoorias läbitud küsimused on esitatud allpool. Ülesannete osas tuleb osatalahendada harjutustundides lahendatud ülesannetega lähedasi ülesandeid,aga ka loengute näidetes esitatud ülesandeid.1. SEOSED1.1. Binaarsed seosed: hulkade otsekorrutis, binaarne seos ja selle näiteid.1.2. Ekvivalentsiseos: definitsioon ja näiteid: =, ‖, a ≡ b(mod n).1.3. Faktorhulk: ekvivalentsiklassid ja nende omadus (on kas ühisosatavõi langevad kokku); faktorhulk ja selle näiteid (jäägiklassihulk).1.4. Kujutus: kujutuse definitsioon ja näiteid, kujutuste võrdsus, kujutuseesitamine lõplikul juhul.1.5. Kujutuste korrutamine: korrutise definitsioon, näiteid, korrutamiseassotsiatiivsus.2. RÜHMAD2.1. Rühmoid: binaarne tehe hulgal, rühmoidi definitsioon, Cayley tabel.2.2. Poolrühm: poolrühma definitsioon ja näiteid.2.3. Rühma mõiste: rühma definitsioon, ühiku ja pöördelemendi ühsesus,aditiivne kirjapilt, kommutatiivsed ehk Abeli rühmad.2.4. Rühmade näiteid: 1) arvude rühmad, 2) maatriksrühmad, 3) jäägiklassirühm,4) substitutsioonirühm S X ja selle erijuht S n .

22.5. Alamrühm: alamrühma definitsioon; tarvilik ja piisav tingimus alamhulgale,et ta oleks alamrühm; alamrühmade näiteid.2.6. Kõrvalklassid: vasak- ja parempoolse kõrvalklassi definitsioon, omadus:aA = cA ⇐⇒ c ∈ aA ⇐⇒ c −1 a ∈ A, üksühene vastavus kahe erinevakõrvalklassi vahel, Lagrange teoreem.2.7. Faktorrühm: tehe faktorhulgal, mis koosneb vasakpoolsetest kõrvalklassidestja selle korrektsus; tarvilik ja piisav tingimus alamrühmale selleks,et tehe vasakpoolsete kõrvalklasside hulgal oleks korrektselt defineeritud; normaaljagajadefinitsioon; faktorrühm ja selle näiteid.2.8. Tsükliline rühm: rühma elemendi astmed ja astmete omadused,alamrühm 〈a〉, tsükliline rühm ja selle näiteid, lõpmatu ja lõplik tsüklilinerühm, elemendi järk, rühma järgu jaguvus elemendi järguga.2.9. Rühmade homomorfism: rühmade isomorfism ja selle näiteid, rühmadehomomorfism ja selle näiteid; omadusi: 1) Ker ϕ (on normaaljagaja),2) Im ϕ (on alamrühm), 3) ϕ(e) = e ′ , 4) ϕ(a −1 ) = ϕ(a) −1 , 5) rühmadehomomorfismiteoreem.2. kontrolltöö2. kontrolltöö koosneb teooria küsimustest ja ülesannetest. Teooria osaspeab oskama:• sõnastada kõigi mõistete definitsioone;• selgitada mõisteid näidete varal;• loetleda mõistetega seotud omadusi;• sõnastada teoreeme (tõestusteta).Teoorias läbitud küsimused on esitatud allpool. Ülesannete osas tuleb osatalahendada harjutustundides lahendatud ülesannetega lähedasi ülesandeid,aga ka loengute näidetes esitatud ülesandeid. Ülesannete lahendamine eeldabmõistete head tundmist. Ülesanded tulevad kontrolltöösse kuni polünoomideni(polünoomide ülesanded tulevad 3. kontrolltöösse).2.9. Rühmade homomorfism: rühmade isomorfism ja selle näiteid, rühmadehomomorfism ja selle näiteid; omadusi: 1) Ker ϕ (on normaaljagaja),

2) Im ϕ (on alamrühm), 3) ϕ(e) = e ′ , 4) ϕ(a −1 ) = ϕ(a) −1 , 5) rühmadehomomorfismiteoreem.3. RINGID3.1. Ringi definitsioon: ringi definitsioon, ringide näiteid (arvude ringid,maatriksite ringid, funktsioonide ring C[a, b], jäägiklassiring), kommutatiivnering, ühikuga ring, lahutamine, omadused.3.2. Täisarvude ringi omadusi: jagumine kommutatiivses ühikuga ringis,suurima ühisteguri definitsioon, teoreem jäägiga jagamisest, Eukleidese algoritm,täisarvude a ja b suurima ühisteguri d avaldumine kujul sa + tb = d.3.3. Alamring, ideaal: tarvilik ja piisav tingimus selleks, et alamhulk oleksalamring, faktorrühm liitmise suhtes; tingimus, et faktorrühm liitmise järgioleks ka korrutamise suhtes korrektne; ideaali definitsioon, ideaalide näiteid,täisarvude ringis kõik ideaalid on peaideaalid.4. KORPUSED4.1. Korpuse definitsioon ja näiteid: korpuse definitsioon; näiteid: arvuvallad,jäägiklassikorpused; korpuse tüüpilised omadused: 1) nulli teguritepuudumine; 2) jagamine; 3) vektorruum üle korpuse, lineaaralgebra.4.2. Korpuse karakteristik: karakteristiku definitsioon, positiivne karakteristikon algarv.4.3. Alamkorpus ja korpuste isomorfism: alamkorpuse mõiste, korpusteisomorfism, sisestusteoreem (iga korpus sisaldab alamkorpusena kasjäägiklassikorpust või ratsionaalarvude korpust).3. kontrolltöö3. kontrolltöö koosneb teooria küsimustest ja ülesannetest. Teooria osas peaboskama sõnastada kõiki definitsioone ja teoreeme ning loetlema omadusi.Teoorias läbitud küsimused on esitatud allpool. Ülesannete osas tuleb osatalahendada harjutustundides lahendatud ülesannetega lähedasi ülesandeid.Ülesanded 3. kontrolltöösse tulevad alates polünoomidest.3

45. POLÜNOOMID5.1. Polünoomide ring: polünoomi definitsioon, tehted polünoomidega,mõisteid.5.2. Jäägiga jagamine: jäägiga jagamine, Eukleidese algoritm, kahe polünoomisuurimate ühistegurite arv.5.3. Polünoomi lahutus taandumatuteks teguriteks: taandumatupolünoomi definitsioon; teoreem: p | fg =⇒ p | f või p | g; teguriteks lahutus.5.4. Polünoomide ringi faktorringid: teoreem: ringis K[x] iga ideaal onpeaideaal; ringi K[x]/(f) kirjeldus; teoreem: faktorring K[x]/(f) on korpusparajasti siis, kui f on taandumatu.5.5. Polünoomide juured: polünoomi väärtus mingil kohal, juure definitsioon,Bezout teoreem, kordsed juured, tuletis, tunnus lihtjuureks oleku kohta.6. GALOIS KORPUSEDOmadus 1. Kaks ühe ja sama elementide arvuga lõplikku korpust on omavahelisomorfsed.Omadus 2. Lõpliku korpuse elementide arv on algarvu aste.Omadus 3 lõpliku korpuse olemasolu ja ehituse kohta.Omadus 4 primitiivse elemendi olemasolu kohta.Lõpliku korpuse esitamine maatriksina.