Osnovni podaci Ime: Vedad Pašic Kabinet: PMF 313 Email: vedad ...

Osnovni podaciIme: Vedad PašićKabinet: PMF 313Email: vedad.pasic@untz.ba (preferirani vid komunikacije)Web: http://www.frontslobode.org/vedad/DifRacun/FaceBook: Grupa “Matematika”Kabinetski sati: Ponedjeljak 10-11 i srijeda 11-12OrganizacijaPredmet ima 2h predavanja i 2h vježbi.Broj kreditnih bodova: 6 ECTSImat ćemo kasnije i sedmične problemske zadaće.Prisutnošću na nastavi, angažmanom na nastavi i radom na zadaći može ostvariti 10%ukupne ocjene.Dva testa tokom kursa čine 60% ukupne ocjene, a finalni ispit 30%.Literatura• Robert A. Adams: Calculus: a complete course; Addison-Wesley-Longman, Toronto(2003)• Howard Anton: Calculus: A new horizon; John Wiley & sons, inc. New York(1999)• Finney, Weir, Giordano: Thomas’ Calculus, 10th ed Addison-Wesley (2001)ManifestNaša misija: Proučavati funkcije jedne promjenljive, njihovu neprekidnost i diferencijabilnost.U našem izučavanju funkcija, bit ćemo zainteresovani samo za ekplicitni račun, bezpreviše ulaska u detalje teorije, što ostavljamo za kasnije predmete (Analiza 1 i 2).Dakle, u predmetu ćemo se pretežno baviti računom (kao što i samo ime kaže), dokćemo dokaze najčešće izostavljati!Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekatsvih njenih razmatranja.Definicija1

Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x ∈ D po nekom zakonu (pravilu) pridruženjedan i samo jedan y ∈ R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcijafrealne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje označavamo sa f,odnosnoy = f(x), x ∈ D.Ovdje jexargument ili nezavisno promjenljiva, a skupD(često se obilježava i saD f )je definiciono područje ili domen funkcije f.Broj y 0 , pridružen vrijednostix 0 argumentax, zove se vrijednost funkcije u tački x =x 0 i označava se f(x 0 ). Skup svih vrijednosti funkcije f označava se R f i zove sekodomen funkcijef.Ako nije unaprijed dato definiciono područje funkcije f, onda se podrazumijeva da jeto maksimalan (po inkluziji) skup za čije elementexfunkcijaf(x) ima smisla.1 Trigonometrijske funkcije1.1 Definicija i identitetiSinus i kosinusU ovom početnom dijelu bavit ćemo se pregledom trigonometrijskih funkcija, njihovihinversa, te hiperboličnim trigonometrijskim funcijama i njihovim inversima.Većina se prvi puta susretne sa veličinama kosinusa (cos) i sinusa (sin) kao odnosomveličina kateta i hipotenuze u pravouglom trouglu, tj.cosα = nalegla suprotna, sinα =hipotenuza hipotenuzaOvi odnosi samo zavise od ugla α, ne od konkretnog trougla, jer su svi pravouglitrougli sa oštrim uglom α medusobno slični. Medutim u matematici trebamo općijedefinicije cost i sint kao funkcija koje su definisane za sve realne brojeve t ∈ R, nesamo za oštre uglove! Stoga su te definicije date u smislu kružnice, a ne trougla.Neka je C kružnica sa centrom u koordinatnom početkuO poluprečnika1. Jednačinate kružnice jex 2 +y 2 = 1.Neka jeAtačka(1,0) naC. Za bilo koji realan brojt, neka jeP t tačka naC udaljenosti|t| od tačkeA, mjereno u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ako jet > 0, a u smjerukazaljke na satu ako jet < 0.Koristit ćemo dužinu lukatkao mjeru veličine ugla∠AOP .Definicija 1.1. Radijanska mjera ugla∠AOP je t radijana:∠AOP = t radijana2

Slika 1: cosα = b c sinα = a cIako smo više navikli na mjerenje uglova u stepenima, korelacija je jasna : Kako jetačka obim kružnice C 2Pi, tačka P π/2 je jednu četvrtinu puta oko kružnice od tačkeA i to je tačka(0,1). Stoga jeπ2 radijana = 90◦ ,π radijana = 180 ◦ ,3π2 radijana = 270◦ ,2πradijana = 360 ◦ ,...Veoma je jednostavno preći iz radijana u stepene, te iz stepena u radijane:radijan = π 180◦stepen,stepen =180◦ π radijanKoristeći se postupkom opisanim iznad, možemo da nademo tačku P t koja odgovarabilo kojem realnom brojut ∈ R, pozitivnom ili negativnom.Sinus i kosinus definišemo kao koordinate tačkeP t .Definicija sinusa i kosinusaZa bilo koji realan broj t ∈ R, kosinus od t ili skraćeno cost i sinus od t ili skraćenosint definišemo kaoxiy koordinate tačkeP t .cost = x koordinata tačkeP t .sint = y koordinata tačkeP t .Neki korisni identitetiVeliki broj korisnih osobina sinusa i kosinusa prate iz činjenice da su koordinate tačkeP t koja se nalazi na jediničnoj kružnici, jednačinex 2 +y 2 = 1.3

Slika 2: Jedinična kružnica sa tačkomP t , čije su koordinate(cost,sint)Kodomen ili skup vrijednosti sinusa i kosinusa prati iz ove činjenice, naime po definiciji,za bilo kojet ∈ R, imamo−1 ≤ cost ≤ 1, −1 ≤ sint ≤ 1.Pitagorina jednakost. Kao koordinate tačke na kružnici, x = cost,y = sint, onemoraju zadovoljavati jednačinu kružnice, tj.(cost) 2 +(sint) 2 = 1.PeriodičnostBudući da kružnica ima obim2π, dodavanje vrijednosti2π argumentutdovodi do togada jednom u potpunosti obidemo kružnicu i vratimo se na isto mjesto!Stoga je P t+2π = P t , tako da za svakot ∈ R, imamocos(t+2π) = cost, sin(t+2π) = sint.Ovo kaže da su funkcije sinus i kosinus periodične sa periodom2π.Parnost i neparnost4

Budući da je kružnica simetrična u odnosu nax-osu, tačkeP t i P −t imaju iste x koordinatei suprotney koordinate, tj.cos(−t) = cost, sin(−t) = −sint.Identiteti uglovaDva ugla su komplementarni ukoliko im je zbir π/2 ili 90 ◦ . Tačke P (π/2−t) i P t surefleksije jedne druge u odnosu na liniju y = x, tako da je x-koordinata jedne y-koordinata druge i obratno! Stoga( π) ( π)cos2 −t = sint, sin2 −t = cost.Dva ugla su suplementarni ukoliko im je zbirπ ili180 ◦ . Budući da je kružnica takoderSlika 3: Komplementarni uglovisimetrična u odnosu na y-osu, tačke P π−t i P t će imati iste y-koordinate i suprotnexkoordinate,tj.cos(π −t) = −cost, sin(π −t) = sint.Primjer. Naći kosinuse i sinuse uglova π 4 , π 3 i π 6 .Primjer. Naći kosinuse i sinuse uglova 3π 4 i 4π 3 .5

Slika 4: suplementarni ugloviSinus i kosinus kao funkcijeSada kada smo definirali kosinus i sinus za bilo koje realno t ∈ R, u smislu radijana,onda oba koncepta možemo da tretiramo kao funkcije jedane realne promjenljive!Kada tretiramo sinus i kosinus kao funkcije, promjenljivu od koje zavise obično označavamosa x. Obje se izražavaju na sličan način i obje imaju isti domen i kodomen,kao što smo maloprije napomenuli.sin : R− > [−1,1], cos : R− > [−1,1].Kada nacrtamo grafike obje funkcije, primjetite da je graf funkcije sinus identičan grafufunkcije kosinus, samo pomjeren udesno udaljenostπ/2.Slijedeće formule nam omogućuju da izračunamo kosinus i sinus zbira ili razlike dvaugla (tj. dva realna broja).Adicione formulecos(s±t) = cosscost∓sintsins,sin(s±t) = sinscost±cosssint.Dokaz. Srednjoškolski materijal - vidjeti literaturu!6

12Π 3Π2Π Π 2Π2Π3Π22Π112Π 3Π2Π Π 2Π2Π3Π22Π112Π 3Π2Π Π 2Π2Π3Π22Π1Slika 5: Grafici funkcijacosx i sinxPrimjer. Naći vrijednostcos π 12 .Iz adicionih formula dobijamo posebni slučaj kada je s = t, tj. dobijamo formule zakosinus i sinus dvostrukog ugla:Dvostruki ugaosin(2t) = 2sintcost.cos(2t) = cos 2 t−sin 2 t = 2cos 2 t−1 = 1−2sin 2 t,Riješivši ove zadnje dvije jednakosti zacos 2 t i sin 2 t, dobivamocos 2 t = 1+cos2t2isin 2 t = 1−cos2t .2Druge trigonometrijske funkcijePostoje još četiri druge trigonometrijske funkcije (mada dvije od njih rijetko koristimo!),a to su tangens, kotangens, sekans i kosekans.Definicija 1.2. Tangens, kotangens, sekans i kosekans se definišu pomoću sinusa ikosinusa na slijedeći načintgt = sintcost , sect = 1cost ,ctgt = costsint , csct = 1sint .7

Grafik tangensa tgx5Grafik sekansa secx53311 3Π2Π Π 21Π2Π3Π2 3Π2Π Π 21Π2Π3Π23355Grafik kotangensa ctgx5Grafik kosekansa cscx53311 3Π2Π Π 21Π2Π3Π2 3Π2Π Π 21Π2Π3Π23355Slika 6: Ostale trigonometrijske funckijeOčito ove funkcije nisu definisane za sve t ∈ R! Nikada ne smijemo dijeliti s nulom,dakle, tangens i sekans nisu definisani kada jecost = 0, tj. kada jet = π 2+kπ,k ∈ Z,dok kotangens i kosekans nisu definisati kada jesint = 0, tj. kadat = kπ,k ∈ Z.Medjutim, kodomen tangensa i kotagensa funkcija je sada cijeli skup realnih brojevaR! Koji je kodomen funkcija sekans i kosekans? (Vježba!).Funkcije sinus, kosinus i tangens nazivaju se primarnim trigonometrijskim funkcijama,dok se ostale nazivaju sekundarnim trigonometrijskim funkcijama. Da biste se sjetiligdje su primarne funkcije pozitivne ili negativne, koristi se tzv. CAST pravilo.Primjer. Naći sinus i tangens uglaθ ∈ [ ]π, 3π 2 za koji je cosθ = −13 .Kao i sinus i kosinus, sekans i kosekans su 2π periodične funkcije, medutim tangens ikotangens su π periodične funkcije.TrigonometrijaTrigonometrijske funkcije se tako nazivaju jer se koriste kako bi se izrazio odnosizmedu stranica i uglova unutar trougla.Primjer. U pravouglom trouglu ABC, dužina hipotenuze je 5, dok je ugao kod tjemenaA30◦ . Odrediti katete.U bilo kojem trougluABC, vrijede8

Sinusna teoremasinAa= sinBb= sinCcKosinusna teoremaa 2 = b 2 +c 2 −2bccosA,b 2 = a 2 +c 2 −2accosB,c 2 = a 2 +b 2 −2abcosC.Primjer. TrougaoABC ima stranice a = 2,b = 3 i ugaoC = 40 ◦ . Naći stranicu c isinus uglaB.Primjer. U trougluABC, ugaoB = 30 ◦ , b = 2 i c = 3. Naćia.1.2 Inverzne trigonometrijske funkcijeMi se u ovom kursu nećemo baviti konceptom inverznih funkcija u uopćenom smislu,no već otprije znamo slijedeće:Definicija 1.3. Funkcijaf : D ↦→ K naziva se injektivnom ili jedan-na-jedan ukolikoje zadovoljen uslov∀x,y ∈ D, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y).Definicija 1.4. Ukoliko je funkcija f : D ↦→ K injektivna, onda ona ima inverznufunkcijuf −1 : K ↦→ D, takvu da jey = f −1 (x) ⇐⇒ x = f(y).Primjer takve funkcije je inverzna funkcija funkcije f : R + ↦→ R + , definisane saf(x) = x 2 . Njena inverzna funkcija je naravno kvadratni korjen f −1 (x) = √ x, kojatakoder ide iz R + u R + Primjetite restrikciju na domenu, tj. kodomenu.Inverzna funkcija je, bez velikog iznenadenja, takoder injektivna i sama ima invers.Koji? Pa naravno samu funkcijuf, tjTakoder, jasno je day = (f −1 ) −1 (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f(x).f(f −1 )(x) = x, f −1 (f(y)) = y.Grafovi inverznih funkcija su refleksije u odnosu na pravuy = x!Primjer. Pokazati da je funkcijaf(x) = 2x−1 jedan-na-jedan i naći njenu inverznufunkcijuf −1 (x).9

3210.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.51Slika 7: Refleksija inverzne funkcijeOsobine inverznih funkcija• y = f −1 (x) ⇒ x = f(y);• Domenf −1 je kodomen odf i obratno;• f −1 (f(x)) = x,∀x ∈ D f ;• f(f −1 (x)) = x,∀x ∈ D f −1;• (f −1 ) −1 (x) = f(x),∀x ∈ D f ;• Grafik funkcijef −1 je refleksija grafaf u odnosu nay = x.Invertovanje funkcija koje nisu jedan-na-jedan (što je posebno značajno kod trigonometrijskihfunkcija) se radi na način da se ograniči domen funkcije na onaj dio domenana kojem funkcija moža jeste jedan-na jedan!Kao primjer, posmatrajmo funkciju f(x) = x 2 . Domen ove funkcije su svi realnibrojevi, i ona očito nije jedan-na-jedan, jer je f(−a) = f(a),∀a ∈ R.Medutim, ukoliko definišemo funkcijuF(x) = x 2 , 0 ≤ x < ∞,ona već jeste jedan-na-jedan i može se invertovati, i njen invers je očitoF −1 (x) = √ x.10

2.01.51.00.50.0 0.5 1.0 1.5 2.0Slika 8: Inverzna funkcijaf(x) = x 2Inverzna sinusna funkcija - arkus sinusDefinišimo novu funkciju Sinx (primjetite veliko slovo) da bude identično jednakafunkcijisinx, ali restrikovana tako da joj domen bude interval[− π 2 , π 2], tj.Sinx = sinx, ako − π 2 ≤ x ≤ π 2 .Ova funkcija je sada jedan-na-jedan, jer je strogo rastuća na svojoj domeni[π/2,π/2],1 3Π2Π Π 2Π2Π3Π21Slika 9: Ograničena funkcijaSinxtj. uzima sve vrijednosti izmedu[−1,1] i to tako da[∀x,y ∈ − π 2 , π ], x ≠ y ⇒ Sinx ≠ Siny.2Pošto je Sin jedan-na-jedan, to znači da postoji njena inverzna funkcija, koju označa-11

vamo sasin −1 xili arcsinx,koja se naziva inverzna sinusna ili arkus sinus funkcija.Arkus sinus ili arcsin funkcijay = arcsinx ⇐⇒ x = Siny⇐⇒ x = siny i − π 2 ≤ y ≤ π 2 .Graf ove funckije je refleksija funkcije sinus oko linijey = x, a domen ove funkcije je[−1,1], dok je kodomen[− π 2 , π 2 ].arcsin(Sinx) = x za − π 2 ≤ x ≤ π 2Sin(arcsinx) = x za −1 ≤ x ≤ 1.Π21 1 Π 2Slika 10: FunkcijaarcsinxPrimjer. 1. arcsin(1/2) = π 6 .(2. arcsin − √ )22= − π 4 . 12

3. arcsin(−1) = − π 24. arcsin2 nije definisano, jer 2 nije u kodomenu funkcijesin.5. sin(arcsin0.7) = 0.7.6. arcsin(sin 4π 5 ) = arcsin(sin π 5 ) = π 5 .7. Pojednostaviti izraztg(arcsinx).8. Kako izgleda funkcijaarcsin(sinx) za sve realnex?Π22Π 3Π2Π Π 2Π2Π3Π22Π Π 2Slika 11: Funkcijaarcsin(sinx)Inverzni tangens ili arctgInverzna funkcija tangensa se definiše na sličan način kao i inverzni sinus, tj. ograničavanjemdomena funkcijatgx na(− π 2 , π 2), tj. inverzijom nove jedan-na-jedan funkcijeTgx = tgx, ako − π 2 < x < π 2 .Π2 Π 2Slika 12: Funkcijaarctgx13

Inverznu tangens funkcijutg −1 ili arctgx definišemo kaoy = arctgx ⇐⇒ x = Tgy⇐⇒ x = tgy i − π 2 < y < π 2 .Kao što smo vidjeli, graf funkcije je refleksija grafa funkcije tangens oko osey = x, teje domen funkcije(−∞,∞), dok je kodomen[− π 2 , π 2 ].Primjer. 1. tg(arctg3) = 32. arctg(tg 3π 4 ) = arctg(−1) = −π 4 .3. Naći cos(arctg2).Ostale inverzne trigonometrijske funkcijeFunkcija cosx je jedan-na-jedan na intervalu [0,π], tako da bismo inverznu kosinusfunkciju ili cos −1 x ili arccosx mogli da definišemo kaoy = arccosx ⇐⇒ x = cosy i 0 ≤ yπ.Medutim, znamo da je cosy = sin( π 2 − y), a π 2 − y je u intervalu [−π 2 , π 2] kada jey ∈ [0,π], pa stoga nas gornja definicija vodi do( π)y = arccosx ⇐⇒ x = sin2 −y ⇐⇒ arcsinx = π 2 −y = π 2 −arccosx.Stoga je jednostavnije definisati inverznu kosinus funkciju kaoarccosx = π 2−arcsinx, za −1 ≤ x ≤ 1.Identiteti vezani za arkus kosinus suarccos(cosx) = x, za0 ≤ xπ,cos(arccosx) = x, za −1 ≤ x ≤ 1.Inversi kosekansa, sekansa i kotangensa se se mogu izračunati pomoću kalkulatora. Noveoma ih je jednostavno izračunati koristeći se reciprocitetom - npr. za sekans:( 1arcsecx = arccos , za|x| ≥ 1.x)Slično djelujemo za inverse kosekansa i kotangensa:( ( 1 1arccscx = arcsin ,|x| ≥ 1 arcctgx = arctg ,x ≠ 0.x)x)14

ΠΠ21 1Slika 13: FunkcijaarccosxΠ21 1Slika 14: Funkcijaarcsecx2 Hiperbolične funkcijePrije nego uvedemo pojam hipeboličnih funkcija, podsjetimo se kako se definiše eksponencijalnafunkcija:Trebamo dakle da definiramo šta podrazumijevamo pod izrazoma x , ako je x bilo koji15

ealan broj.U tome cilju, pretpostavimo da je data realna funkcijaϕsa osobinama• (∀x,y ∈ Q)(ϕ(x+y) = ϕ(x)ϕ(y));• (∀b ∈ R)( lim ϕ(x) = ϕ(b)).Qx→bStavAko realna funkcijaϕzadovoljava gornje uslove , tada jeϕ(x) ≡ 0 ili ima reprezentacijuna skupu realnih brojevaϕ(x) = a x ,ϕ(1) = a > 0.Prirodno je funkciju ϕ, koja zadovoljava prethodnu tvrdnju, a nije identički konstanta,nazvati eksponencijalnom funkcijom i, kao što smo definirali, ϕ(x) = a x ,a ∈R + \{1} je jedna od elementarnih matematičkih funkcija.Naravno, posebni i dobro poznati slučaj imamo kada je a = e, tj. bazi prirodnoglogaritma!yxy = a , 0 < a < 1xy = a , a > 1101xSjetimo se da se svaka realna funkcija definisana za sve realne brojeve može predstaviti(jedinstveno!) kao suma jedne parne i jedne neparne funkcije. Kako?f(x) = f(x)+f(−x)2+ f(x)−f(−x)2= P(x)+N(x).Hiperbolične funkcije cosh i sinh su u osnovi (respektivno) parna i neparna funkcijačiji je zbir eksponencijalna funkcijae x !16

Historija hiperboličnih funkcijaHiperbolične funkcije su analogoni uobičajenih tigonometrijskih (ili kružnih) funkcija.Osnovne hiperbolične funkcije su sinh i cosh, tj. hiperbolni sinus i kosinus.Na isti način na koji su tačke (cost,sint) odredivale jediničnu kružnicu centriranu u(0,0), tj. x 2 + y 2 = 1, tačke (cosht,sinht) formiraju desnu polovicu ekvilateralnehiperbole, tj. x 2 −y 2 = 1,x > 0!Slika 15: Definicija sinh i coshHiperbolične se funkcije pojavljuju kao rješenja nekih veoma važnih linearnih diferencijalnihjednačina, važnim u mnogim granama fizike, kao što su teorija elektromagnetizma,prenosa toplote, fluidne dinamike te specijalne relativnosti.Hiperbolične funckije vraćaju realne vrijednosti za realan argument koji se naziva hipebolniugao. U kompleksnoj analizi, one su samo racionalne funkcije eksponencijalnihfunkcija.Ove funkcije su se pojavile 1760tih godina i uveli su ih nezavisno jedan od drugogVincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert. Riccati je koristio Sc. i Cc. kao oznake([co]sinus circulare) kako bi označio kružne funkcije, a Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico)kako bi označio hiperbolične funkcije. Lambert je usvojio imena sinh i coshi oba se imena koriste, zavisno od autora i dan danas. No mnogo je uobičajenije dase sinhx i coshx, ovaj puta kao funkcije realnog argumenta i realne vrijednosti, a ne17

pomoću hiperboličnog ugla, definišu kao parni i neparni dio eksponencijane funkcije,kao što je slučaj u kompleksnoj analizi.Definicija 2.1 (Hipebolični kosinus i hiperbolični sinus). Za bilo koji realan broj x,hipebolični kosinus,coshx i hiperbolični sinus,sinhx, su definisani pomoćucoshx = ex +e −x, sinhx = ex −e −x2 2coshx, sinhx11 11Slika 16: Hiperbolične funkcijesinhx i coshxOsobine hiperboličnih funkcijaBudući da se svaka tačka (cosht,sinht) nalazi na jediničnoj hiperboli x 2 − y 2 = 1,imamo identitet:cosh 2 t−sinh 2 t = 1,∀t ∈ R.Identitet je lako dokazati i formulama za hiperbolične funkcije. Primjetite da je, sličnokao i kod trigonometrijskih funkcija,cosh0 = 1, sinh0 = 0,te je kao i kosinus, hiperbolični kosinus je parna, a kao i sinus, hiperbolični sinus jeneparna funkcija.18

Adicione formulecosh(x+y) = coshxcoshy +sinhxsinhysinh(x+y) = sinhxcoshy +sinhycoshxcosh(2x) = cosh 2 x+sinh 2 x = 1+2sinh 2 x = 2cosh 2 x−1sinh(2x) = 2sinhxcoshxAnalogno trigonometrijskim funkcijama, četiri druge hiperbolične funkcije se mogudefinisati:tanhx = sinhxcoshx = ex −e −xe x +e x , sechx = 1coshx = 2e x +e −xcothx = coshxsinhx = ex +e xe x −e −x , cschx = 1sinhx = 2e x −e −x11Slika 17: Hiperbolična funkcijatanhxInverzne hiperbolične funkcijeFunkcijesinhx itanhx su rastuće i stoga jedan-na-jedan za svaki argumentx ∈ R, pastoga imaju inverzne funkcije, koje označavamo sa arcsinhxiarctanhx.y = arcsinhx ⇐⇒ x = sinhyy = arctanhx ⇐⇒ x = tanhy.Budući da su hipebolične funkcije izražene pomoću ekponencijalnih, ne iznenaduje dase inverzne hiperbolične mogu izraziti pomoću logaritama!(arcsinhx = ln x+ √ )x 2 +1arctanhx = 1 ( ) 1+x2 ln 1−x19

Budući da cosh nije jedan-na-jedan, onda je na sličan način kao cosx moramo ograničiti,stoga definišimo principalnu vrijednostCosh x = coshx, (x ≥ 0).Inverzna funkcija, arccoshxje definisana pomoću:y = arccoshx ⇐⇒ x = Coshy ⇐⇒ x = coshy,(y ≥ 0).Kao i kod sinusa dobivamo formuluarccoshx = ln(x+ √ )x 2 −120