predavanje-7 2011 programi strukturnih analiza

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 3 dugmad za rad sa windows prozorom (meni prozora: min, max, zatvoren prozor), paletu poslova (taskbar), ispod donje ivice prozora, traka naslova, u zaglavlju gore - ime datoteke apikacije, alate za editovanje FEM elemenata (Modify, Delite, List, Group), paletu raspoloţivih boja (vertikalno, desno), hijerarhijske menije (na slici 1.09 je padajući i kaskadni meni).OSNOVNI GRAFIĈKI ELEMENT: koji ilustruje namenu korisniĉkog interfejsa je sliĉica – ikona.Ona slikovito i asocijativno deluje na korisnika: Jasno oznaĉava funkciju, lako se pamti i dobro serazlikuje od ostalih ikona. Ikona oznaĉava datoteku. Selektovanjem ikone pokreće se program iliotvara datoteka preko putanje do sadrţaja na memorijskom medijumu gde je datoteka smeštena.Slika 2.0 pokazuje radni prostor na kome su rasporedjene ikone datoteka razliĉitih aplikativnihprograma. Korisniĉki interfejs nudi mogućnost direktnog postavljanja, uklanjanja i premeštanja ikonana radnoj površini grafiĉkog uredjaja. Preko ovih operacija vrši se direktna manipulacija programima.Slika 2.0 Primer Windows radnog prostora sa ikonama datoteka aplikativnih programaNa slici 3.0-5.0 pokazane su tri interaktivne tehnike funkcionisanja korisniĉkog interfejsa. Padajućimeniji su na mestu izbora traţene opcije, zatamnjeni. Ta opcija je odredjena jednom od tri raspoloţivetehnike: pozicioniranjem (preko tastature, recimo upotrebom tastera ALT), selektovanjemposredstvom izbornog skupa (neki atribut, zadebljano ili podvuĉeno slovo komande) i pokazivanjemopcije (dvostrukim klikom preko miša).MENIJI: su osnovni naĉin otvaranja sadrţaja korisniku. Postoje tri osnovne kategorija menija:Hijerarhijski, hodajući i skrolovani meni.Hijerarhijski meniji pokazuju putanju otvaranja shodno hijerarhijskom nivou opcije. Na grafiĉkomdispleju se otvara kaskada opcija. Preglednost putanje je maksimalna. Sl. 3.0 – pokazana je kaskada.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆSlika 3.0 Primer menija sa hijerarhijskom kaskadomSlika 4.0 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju) X-Y prikaz, Model style (menu bar), Stil postprocesorskog prikaza, Contour stil sadrţaja prikaza, Podešavanje podataka prikaza, Animacija modela, Kriterijumi selekcije, Grafiĉka forma prikaza (render),Ekranska forma korisniĉkog interfejsa (Screen Layout):Slika 5.0 Ekranski izgled selekcije pre/post sadrţaja programa MSC Nastran 2004.Podešavanje pogleda (Windows View):Slika 6.0 Postavljanje geometrijskih objekata u 3D prostoru:Tipiĉni poloţaji. Izbor uglova windows pogleda.Druge tehnike korisniĉkih interfejsa:To su tehnike rada sa dijalog boksovima, meniji definisanja svojstava materijala. Tehnikamodifikacije elementa koristi koncept držaĉa (handles) za uvećanje, umanjenje ili razvlaĉenjeobjekta u ravni.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 5Slika 7.0 Modeliranje preseka objekta alatom SECTIONDOPUNSKI ELEMENTI EDITOVANJA: Stablo procedure modeliranjaHCI u FEM: Postprocesiranje:Slika 8.0 IZO stil prikaza (Linije jednakih napona )Slika 9.0 Prikaz stilom kontura: (Contour style)Predprocesiranje:FORMIRANJE MODELA U FEMFormiranje diskretnog modela je pripremna faza - procedura pre analize metodom konaĉnihelemenata. Formiranjem diskretnog modela stvara se osmišljena, uskladjena i povezana grupakonaĉnih elemenata kojom je opisan kontinuum, koji je predmet analize. Formiranje modela zaanalizu ima ĉetiri faze: Formiranje geometrijskog modela, formiranje idealizovanog modela, formiranje modela zona i formiranje diskretnog modela, 91.Geometrijski model kreira projektant, CAD softverom za projektovanje. Time nastaje datotekapodataka koji realno opisuju geometriju objekta sa svim potrebnim detaljima za izradu. Geometrijskimodel moţe da sadrţi geometrijske elemente koji nemaju znaĉaja za analizu jer ne utiĉu na naponskodeformacionusliku objekta. Radi toga se formira idealizovan model u kome su odbaĉeni nevaţnidetalji.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆIdealizovan model je uprošćen model koji ne mora da predstavlja celinu objekta ukoliko moţe da senjegovim simetriĉnim formama predstavi funkcija i naĉin opterećenja celine. Idealizovan model se uvekformira sa zahtevom manjeg obima kontinuuma za analizu. Osnova razvoja racionalnih idealizovanihmodela je apstrakcija. Apstrakcija je sagledavanje modela od strane analitiĉara kojom se:Postavlja koncept modela,uklanjaju detalji,prepoznaje simetrija,redukuje model,prilagodjavaju modaliteti unosa opterećenja.Slika 10-a. Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri modela:Geometrijski model, idealizovan model i model zona.Slika 10-b. Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri modela:Geometrijski model, idealizovan model i model zona.Četvrti model - diskretni model je prikazan kao zapreminski – solid model objektaModel zona predstavlja idealizovan model rasĉlanjen na pravilnije celine – zone koje dozvoljavajupodelu kontinuuma na konaĉne elemente prema standardnom - poznatom algoritmu generisanja ilipreslikavanja. Na slici 10-b pokazan je model sa 4 zone. Uskladjivanje medjusobnog poklapanjaĉvorova i odsustvo koincidencije elemenata i ĉvorova obezbedjuje se mapiranjem mreže –procedurom uskladjenog broja elemenata na kontaktnim površinama zona.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 7Diskretni model se razvija na bazi modela zona i uskladjenog broja elemenata kontaktnih površinazona. Diskretni model podrazumeva odredjivanje ĉvorova, konaĉnih elemenata, podataka omaterijalu, diskretnom opterećenju i diskretnim graniĉnim uslovima. Diskretni modelpodrazumeva sva potrebna prilagodjavanja mreže konaĉnih elemenata graniĉnim uslovimaoslanjanja i taĉkama i površinama dejstva spoljašnjih sila. Razvijena mreţa konaĉnih elemenata seocenjuje parametrima oblika mreže. To su geometrijski okviri u kojima je primenjen konaĉanelement (deformisanost oblika), pravilnost razvoja mreţe (kontinualnost promene pravca i oblikaelementa), pravilnost promene veliĉine elementa (kontinualnost promene geometrije). Na bazi ovihparametara vrši se poboljšanje mreže pre nego što se formira konaĉan diskretan model prema komese vrši analiza.Razvoj mreže konaĉnih elemenata moţe se realizovati:Ruĉnim putem (pojedinaĉnim definisanjem ĉvorova i elemenata),Poluautomatskim putem kada se na bazi postavljenog koncepta modela zadaju pojedinaĉnekomande automatskog generisanja konaĉnih elemenata u zonama. Poluautomatski generatori suinteraktivnog tipa – zasnivaju se na instrukcijama definisanim kroz dijalog.Automatska procedura podrazumeva generisanje mreţe kao celine jednom komandom kojomnastaje ceo diskretni model iz zadatog geometrijskog modela i negeometrijskih instrukcija oosloncima, opterećenju, materijalu i fiziĉkim osobinama. Automatsko generisanje je karakteristiĉno zanajsavremenije modelere. Zato je osnovni programski alat za odredjivanje zona u kojima se generišemreţa – generator granica. Automatski generatori koriste tri metode za formiranje mreţa: Metoduspajanja ĉvorova, metodu prilagodjavanja uzorka mreţe i metodu dekompozicije, 91.Softver za analizu, shodno naĉinu modeliranja, moţe da se razvija kao integralni i modularni.Integralni podrazumeva softverski potpuno integrisane sve faze razvoja modela, analize ipostprocesiranja. Modularni pristup podrazumeva razvoj, korišćenje i distribuciju softverskih modulaza pojedinaĉne etape analize (geometrijsko modeliranje, preprocesiranje, postprocesiranje, analiza).Modularni programi podrazumevaju bogatiji interfejs za rad sa razliĉitim formatimai programima. Primer takvih programa je FEMAP (Finite Element Modeling And Postprocessing),MicroStation-SE. Softverski paketi kao I-DEAS, ANSYS, ALGOR, NASTRAN, COSMOS integrišusve proceduralne faze strukturne analize: Geometrijsko modeliranje, idealizaciju, kreiranjediskretnog modela, rešavanje zadatka i postprocesiranje. Ĉesto su tu pridodate opcije za optimizaciju,redizajn, analizu osetljivosti modela, konkurentni inţinjering, izradu tehniĉke dokumentacije,poredjenje sa eksperimentom.Pre/post procesori su programi predvidjeni za rad sa geometrijskim podacima,opterećenjima, graniĉnim uslovima, naponima, deformacijama, vektorima, poljima, grafiĉkimtipovima geometrijskih modela, animacijom, greškama analize. Pre/post procesori su uvek zasnovanina grafiĉkom interfejsu i na taj naĉin omogućuju analizu po razliĉitim osnovama, istraţivaĉkimciljevima. Pre/post procesori daju brzinu radu jer direktno vrše obradu rezultata analize.Centralni programi u metodi konaĉnih elemenata su generatori mreža – modeleri mreža.Mogu generisati 2D ili 3D mreţe konaĉnih elemenata. Dvodimenzione mreţe se koriste za rešavanjeravanskih i osnosimetriĉnih zadataka 2 . Trodimenzione mreţe su najopštija kategorija mreţa i udomenu mašinstva njima se pokriva kontinuum objekata koji su uvek 3D. Drugi znaĉajan parametargeneracije je gustina elemenata u pojedinim zonama. Generatori mreža koriste dva pristupa uzadavanju gustine mreţe:2 Osnosimetriĉan konaĉan element je ravanski element za osu u istoj ravni.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆPrvi pristup kod koga se gustina elemenata unapred (a priori) pretpostavlja analizomidealizovanog modela iz koje se odredjuju parametri generatora mreţa. Ovaj model se zasniva naopštim osobinama mehanike kontinuuma i u pojedinim sluĉajevima moţe da da veću greškuproraĉuna kao posledicu neadekvatnog ili neraspoloţivog predpostavljenog parametra programskoggeneratora mreţe. Pretpostavke je potrebno proveriti nakon analize.Drugi pristup zasniva se na korišćenju rezultata izvršene analize (a posteriori), zaredefinisanje gustine mreže. Ovaj pristup postavlja inicijalnu mreţu sa poĉetnom veliĉinomkonaĉnog elementa odredjenog na bazi zoniranog modela. Sa tom gustinom izvrši se proraĉun pa sena bazi izvršene analize ocenjuje lokalna adekvatnost veliĉine i rasporeda elemenata. Na bazigradijenta dobijenog napona, lokalne energije (funkcionala ) i greške modela, vrši se redefinisanjemreže. Mreţa je sada uslovljena realnim zahtevima kontinuuma i negeometrijskim parametrimaobjekta. Pošto takva mreţa odgovara gustinom elemenata postavljenom zahtevu taĉnosti i imaujednaĉen kvaltet dobijenih rezultata, takva mreţa se definiše kao adaptivna mreža 50. Doadaptivne mreže se ne dolazi direktno, već iterativno u više prolaza.MODELIRANJE MREŽA - OPŠTE FUNKCIJERazvoj diskretnih mreţa konaĉnih elemenata na objektima podrazumeva definisanje osnovnihelemenata: taĉaka, linija, površina, zapremina, ĉvorova i konaĉnih elemenata. Nad geometrijskimelementima modela obavljaju se operacije generisanja sastavnih elemenata diskretnih modela,primenom odgovarajućih softverskih alata. Postavljanje (konstruisanje) ĉvora u proizvoljnoj taĉciprostora (x,y,z), u opštem sluĉaju dato je specificiranom naredbom IK3-01. Slika 11. pokazuje trivrste alata za izvodjenje transformacija nad grupom ĉvorova. Programske naredbe za izvršenje ovihfunkcija su date:IK3-01: Kreirati ĉvorove (konaĉnog elementa) (Create Nodes)IK3-02: Kopirati ĉvorove translacijom (Copy Nodes)IK3-03: Kopirati ĉvorove rotacijom (Rotate Nodes) (3.29)IK3-04: Kopirati ĉvorove refleksijom (Reflect Nodes)V1Y53142109876V2Y15141312116053 41 2V3Y53 41 219 2017 1816ZXZXZXSlika 11. Tri operacije nad čvorovima konačnih elemenata:IK3-05: Kreirati konaĉan element (Create Element) (3.30)Pri navodjenju zahteva za kreiranje linijskih elemenata, programi obiĉno nude izbor:A. Element za aksijalna i torziona opterećenja (bez smicajna i savijanja–rod element), sl.3.14-a,B. Cevni element sliĉnih osobina kao i prethodni (tube element), slika 3.14-b,C. Štapni element za aksijalna opterećenja i savijanje (bar element), slika 3.14-c,D. Linijski element krutosti (spring element), slika 3.15-a,E. Linijski element prigušenja (damper element), slika 3.15-b,F. Kombinovani element zadate krutosti i prigušenja,G. Linijski element nelinearnosti (gap element),H. Krivolinijski gredni element (curved beam element), slika 3.15-c

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 9Generatori mreža: Znaĉajno ubrzanje rada na diskretnom modelu moţe da se postignezadavanjem instrukcija za izvodjenje generatorskih operacija nad grupom konaĉnih elemenata.Primeri kopiranja u zadatom pravcu (A-B) i kopiranja refleksijom (za zadatu ravan). Ove operacijeomogućuju generisanje grupe konaĉnih elemenata identiĉnog rasporeda i forme. Navedene operacijese primenjuju kod modeliranja nad objektima koji imaju izrazitu ponovljivost detalja. Ovo takodjepokazuje da prethodno geometrijsko modeliranje ne mora da bude izvedeno nad celim objektom jer seobjekat moţe kompletirati efikasnije u fazi diskretizacije. Raspored nije bitna kategorija za realizacijuoperacija i moţe biti primenjena slobodna ili automatski kreirana mreţa.Slika 12. Dve operacije nad grupom konačnih elemenata:Kopiranje u zadatom pravcu i kopiranje refleksijomIK3-06: Kopirati elemente (Copy Elements)IK3-07: Kopirati refleksijom elemente (Reflect Elements) (3.31)GENERISANJE UNIFORMNIH MREŢAKada se na objektu razvija mreţa sa topologijom koja je taĉno unapred odredjena, definiše sepovršina na kojoj se izvodi operacija. Naredni korak je izbor alata za generisanje mreţe. Naĉin imetodologiju generisanja mreţe odredjuje analitiĉarkonstruktor, izborom tipa i parametara alata.Objekti na kojima se realizuje mreţa, mogu imati razliĉite stepene sloţenosti iz ĉega i proistiĉurazliĉiti alati za generisanje mreţe. Polazni zadatak za razumevanje procedura, moţe biti generisanjemreţe na proizvoljnoj ĉetvorougaonoj ploĉi, što je navedeno funkcijom 3.32:IK3-08: Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners) (3.32)YZ X2416231522142019 122 131118101517149813 712 65109871 2 3 43 4 5 6252116111242312222041 1124102325 26 27 28 39 19213840 37 182 363422 20 9151721 19 3235 33 31141816 30 1617 29 15 1314 2782813 2625712 6115109871 2 3 43 4 5 6 1Slika 13. -a,b Primeri generisanja uniformnih mreţa

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆOva funkcija zahteva unošenje oznake ĉvorova i broj elemenata u pravcima lokalnih osa (s) i (r)koji se generišu mreţom. Kada se generisanjem dobijaju proporcionalni ili identiĉni konaĉni elementi,takva mreţa se naziva uniformna. Za ploĉu na slici 13.-a, zadata su temena N25, N2, N3, N1 i podela4 x 4 elemenata. Ukoliko se funkcija ponovi na elementima E9, E10, E13, E14, sa istim parametrima,(posle odklanjanja koincidentnih ĉvorova i elemenata i renumeracije mreţe), nastaje model mreţeprikazan na slici 13.-b. Ovaj model sa 28 elemenata ploĉe odlikuje se gušćom mreţom kojaomogućuje precizan unos spoljašnjeg uticaja, manji stepen aproksimacije u analizi uticaja, bolji(detaljniji) prikaz polja napona i deformacija. Prelaz iz krupnijih u sitnije elemente mora naknadno dase dotera.Nekad je procedura generisanja mreţe sloţenija. Tako, recimo, kada se generiše mreţa naprstenastoj ploĉi, bira se pomoćna funkcija za konstruisanje, kojom se generišu kontrolne taĉkemreže:IK3-09: Kreirati dimenziju mreže uzduž kriva na površini(Create Mesh Size along Curves on Surface) (3.33)Tek sada moţe se postaviti zahtev za kreiranje mreţe na površini:IK3-10: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) (3.34)Ovom funkcijom se formira mreţa koja ima poloţaje ĉvorova i elemenata prema postavljenommodelu sa kontrolnim taĉkama. Slika 14.0 pokazuje primer kreiranja mreţe na prstenastoj ploĉi sa 12elemenata u cirkularnom i 3 u radijalnom pravcu. Generisano je 36 konaĉnih elemenata sa 48 ĉvorovai 48 x 6 stepeni slobode kretanja (SSK). Mreţa ima pravilan oblik i proporcionalnu geometrijukonaĉnih elemenata. Pri tome su prikazani ĉetvorougaoni ravanski konaĉni elementi.Slika 14.Generisanje ravanskih četvorougaonih konačnih elemenata u polarno-cilindričnom koord. sistemuKada je potrebno izvršiti generisanje mreže na nepravilnim površinama (razliĉitih dimenzijastrana i uglova u 2D i 3D prostoru), tada je potrebno zadavanje dodatnih instrukcija automatskimgeneratorima mreţa, kojima se daje fleksibilnost u generisanju prelaznih oblika konaĉnih elemenata.To se najpre odnosi na podešavanje duţina ivica elemenata duţ istih izvodnica objekta. Komanda zapoziv generatora mreţe, ima opšti oblik:IK3-11: Generisati parametre veliĉine mreže (Generate Mesh Size) (3.35)

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 11V4817123645159101411121323171825571926 334941 5820 27 34 5042593528 435121366044 5229372245 53 613038 46 54 62313947 5563YZX16243240485664Slika 15.0 Uniformna mreža sa nejednakom veličinom konačnih elemenataSLOBODNE FORME MREŢA Kod neautomatskih procedura kada se generišu (free mesh), mora sepoznavati taĉnost modeliranja iz iskustva grupe predhodno izvedenih modela i proraĉuna. Slobodnoformirana mreţa mora poštovati opšte principe formiranja mreţa:Specificirati veliĉine mreţa sa prelaznim vrednostima parametara (dimenzija) uzduţ ivica,Ne zadavati parametre generacije mreţa u širokim granicama,Koristiti standardne parametre za generisanje mreţa (programski podešene),Razviti više realizacija mreţa i izabrati najpovoljniju,Mapirati granice na površinama gde je god to moguće (manja logiĉka sloţenost modela),Kod jako zakrivljenih oblika konaĉnih elemenata vršiti rekonstrukciju mreţaGenerisanje mreţe na zapreminskim (3D) objektima koristi opštu komandu za konstruisanje:IK3-16: Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume)Korišćenjem komande na objektu (posteljica kliznog leţaja) prikazanom na slici 16, dobijena je mreţasa 125 - 3D konaĉnih elemenata (solid brick), 312 ĉvora i 936 stepeni slobode kretanja. Podešavanjekvaliteta rešenja preko veliĉine konaĉnih elemenata poznato je još kao h-size parametar. Kodpoluautomatskog generisanja mreţa, moguće je veliĉinom osnovnog elementa, definisati gustinumreţe.Slika 16. 0 Primer generisanja uniformne mreže na 3D objektu

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆDo iste mreţe moţe se doći i drugim procedurama kao recimo generisanjem mreţe napovršini 2D objekta i rotacijom površine uz prevodjenje površinskih elemenata u zapreminske:IK3-17: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface)IK3-18: Rotirati elemente (Revolve Elements) (3.38)Za ovu realizaciju zadaju se parametri: tip konaĉnog elementa, osobine, materijal, osa rotacije i broj elemenata duţlinije rotacije. Proces generisanja mreţe ilustruje naredna slika:Slika 17.0 Primer generisanja 3D uniformne mreže rotacijom prethodno formirane 2D mrežeTreći naĉin za istu realizaciju je generisanje mreţe na površini poluprstena posteljice iizvlaĉenje (ekstrudiranje) duţ visine posteljice:IK3-19: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface)IK3-20: Izvući elemente (Extrude Elements) (3.39)Kontrolni argumenti za ovu proceduru generisanja mreţe su: broj elemenata na ĉeonoj površinii po visini posteljice, vektor pravca izvlaĉenja, tip konaĉnog elementa na površini, tip konaĉnogelementa na zapremini, prateća svojstva konaĉnih elemenata. Proces generisanja mreţe ilustruje slika18.0:Slika 18.0Primer generisanja uniformne mreže izvlačenjemAUTOMATSKO GENERISANJE MREŢAAutomatsko generisanje mreţa konaĉnih elemenata koristi se za realizaciju obimnih zadataka kakvi suindustrijski problemi sa više desetina hiljada konaĉnih elemenata. Te instrukcije se u softveru nalazepod opštim navodima:IK3-21: Automatski generisati granice mreže (Automatically mesh generation boundaries)Automatski kreirati mrežu (Auto_Create)

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 13Specifikacija argumenata mreţe IK3-21:Naĉin generisanja mreţe (pravilna, adaptivna),Veliĉina elementa u mreţi (h-size),Broj elemenata u pravcima mreţe,Nagib elemenata u mreţi (biasing),Veliĉina globalnog i lokalnog elementa slobodne mreţe,Multiplikatori duţine za slobodne mreţe,Duţina elementa na bazi zakrivljenosti forme (Curvature-Based Element Length)Ova realizacija podrazumeva postavljanje granica konaĉnih elemenata po površini ilizapremini objekta nezavisno od njegove topološke sloţenosti. Složenost oblika je sadrţana u promeniforme na objektu po njegovoj duţini usled otvora, ţljebova, ispupĉenja, zaobljenja, nagiba, suţenja iproširenja. Shodno tome, softver za automatsku generaciju definiše tako diskretnu mreţu da ona pratisloţenost oblika i brzinu geometrijskih promena sa aspekta naponskih tokova.Dakle, mreţa mora da ima dovoljnu gustinu da bi konaĉnim elementima bila uneta minimalna(prihvatljiva) aproksimacija forme. Kao posledica ovog zahteva, razvijeni su matematiĉki modeli zaocenu odstupanja potencijala kontinualne od diskretne strukture konaĉnih elemenata.Automatska generacija mreže konaĉnih elemenata zasnovani su na sledećim postupcima:Upravljanju razvojem mreţe,Tehnikama ravnanja mreţe na objektu,Metodama za izbor oblika i vrste elementaA. UPRAVLJANJE RAZVOJEM MREŽE definiše poĉetak i pravac generisanja mreţe.Osnova razvoja takve mreţe je plan mreže (mapa) koji je odredjen definisanjem podele napovršinama i ivicama objekta. Postoje u osnovi dva modela razvoja mreţe: pravilna (uniformna) islobodna.Pravilna mreža ima strategiju simetriĉnog ravnomernog razvoja u pravcu promene toka konture.Pravilne mreţe su proporcionalnih konaĉnih elemenata, estetske ali daju veliki broj elemenata.YZXSlika 19.0 Uniformna - kontinualna mreža iste forme konačnih elemenataSlobodne mreže imaju veću slobodu u smislu rasporedjivanja granica elemenata. Slobodne mreţe sespecificiraju parametrom globalne veliĉine elementa, lokalne veliĉine elementa, brojem elemenatau krivini i multiplikatorom veliĉine elemenata u mreţi.Kako veliĉina ivice konaĉnog elementa, predstavlja deo cele duţine ivice modela, to se ovaspecifikacija definiše veliĉinom elementa u odnosu na celu konturu i poznata je kao h-specifikacija.Parametar za ovu specifikaciju je broj taĉaka na konturi. Uobiĉajeno se definiše od 20 do 30elemenata:

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆYZXSlika 20.Definisanje tačaka na konturi - predgenerisanje elemenata za ocenu forme i gustine mrežeDrugi parametar razvoja mreţe podrazumeva definisanje maksimalnih geometrijskih odnosa medjusamim elementima u mreţi. Idealno je da su konaĉni elementi iste veliĉine, ali se od ovog zahtevaodstupa da bi se dobila mreţa potrebne gustine na kritiĉnim lokacijama. Zato je uveden parametarnagiba (biasing 3 ) elementa prema centru ili krajevima konture (3.0 i više). Ovaj parametar odredjujezgušćenje trajektorija ivica konaĉnih elemenata u pravcu razvoja mreţe. Njime je odredjena brzinaprelaska diskretne strukture iz krupnog konaĉnog elementa na kraju površine u sitan element uprelaznoj zoni.B. RAVNANJE MREŽE ima za cilj da obezbedi proporcionalnost oblika i kontinuitet granicaelemenata u odnosu na konturu objekta. Na ovaj naĉin smanjuje se izobliĉenje forme konaĉnihelemenata. Za ravnanje granica elemenata koriste se razliĉite metode geometrijske ispuneprostora pri ĉemu se dobar uspeh rasporedjivanja postiţe primenom Laplace-ove i teţišneiteracije. Laplace-ova metoda pomera zajedniĉki ĉvor ĉetiri susedna elementa, prema presekuobrazovanom direktnim poravnanjem ivica susednih elemenata, slika 21-a. Teţišna metodapomera zajedniĉku taĉku ka teţištu sva ĉetiri konaĉna elementa, slika 21-b. Laplace-ova metodastvara mreţu sa najmanjim izobliĉenjem elemenata.K 1K 2T 2T 3T 4T 1Slika 21.0Dva modela za ravnanje mreža: Laplace-ov i težišni metodC. TREĆA GRUPA METODA stara se za izbor vrste i tipa konaĉnog elementa. To je, recimo,izbor 2D i 3D elemenata pripadajućeg oblika. Kod ravanskih i površinskih struktura to sutrougaoni i ĉetvorougaoni oblici ploĉa, ljuski, membrana. Kod 3D objekata: prizme (brick) ilipiramide.PRIMER: Geometrija samog konaĉnog elementa zadaje se parametrom oblika. Kod ĉetvorougaonih konaĉnihelemenata to je minimalan dozvoljeni ugao zakošenja. Recimo, on se bira u granicama 7560 ĉime se dobijaju dobrediskretne forme mreţa. Naredna dva primera pokazuju automatsku generaciju mreţe na ĉetvrtastoj 3D ploĉici sakruţnim otvorom. Prva mreţa, na slici 22. izvedena je ĉetvorougaonim elementima sa maksimalno zadatim odnosom3Termin softverskog paketa I-DEAS koji predstavlja odnos dužine vektora centra kosine i upravne ivice elementa.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 15zakošenja elemenata 5:1 i minimalnim uglom izmedju dve ivice od 60 i grubom h-specifikacijom veliĉine 10.Automatska generacija je dala ravnomerne veliĉine elemenata. Dobijena mreţa se karakteriše sa 92 konaĉna elementa i113 ĉvora. Ravnanjem je dobijeno odstupanje =9.810 -4 , posle 35 iteracija, teţišnom metodom.29 28 27 26 25 24 23 22 21 203031323334353643218990915892 888 14 15557 1357 5456651139626311020 28 3012 19 27 29 3760 52 69 67 78369 18 26 21 3564171625 2224 23 328573 65 66 55 5674 64 67867957 5878110 105 83 100 87 96103 80 75 63 68 591096087106 84 99 88 9881 82 76 71 69 6184 833877 72 7031 391 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 113438 42 433341 4440 4543 4037 44 45 46 47 48 4911111211310441 421086153 7259 51 70506671 6582 101 86107 85 1026889767577 7397928174809091794651 4793 1452 489453 499562 54 5019181716151312141 140 139 138 137 136 135 134 133 132142143144145146147148188 183 185169 168 172 171170161167163164 165 166187 184162177151 1179 173150 182181186189180176159175160174152 149205208 153 154158178201157156206202 190192155200197198207 203 204 191199193196194195131130129128127126125124113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 1231Slika 22. Automatsko generisanje mreže četvorougaonih konačnih elemenata na objektu sa otvorom(H-specifikacija 10, Biasing = 5, minimalan ugao nagiba stranica = 60, metoda ravnanja – težišna)Slika 23. Automatsko generisanje mreža na objektu primenom trougaonih konačnih elemenataH-specifikacija 10, Biasing =2, Laplace-ova metoda sa 10 iteracija i 0.001.Realizacija: 54 čvora i 150 elemenataPOJAM ADAPTIVNIH MREŢASITUACIJA: Analiza taĉnosti po delovima kontinuuma, pokazuje nejednaku grešku lokalnih zona.RAZLOG: Promena taĉnosti objašnjava se kao neadekvatnost postavljene mreţe da prati naglepromene (gradijente) napona i defrmacija.KOREKCIJA:Radi toga se modeliraju uniformne mreţa veće gustine, kako bi se umanjila greškaanalize, što direktno dovodi do skupih diskretnih modela sa velikim brojem stepenislobode kretanja.PROBLEM DOVOLJNE TAĈNOSTI modela, neizvesne je prirode, sve dok je topologija mreţeindividualno formirana i dok se ne utvrdi taĉnost proraĉunom (estimovanjem)vrednosti.ADAPTIVNI POSTUPCI: Radi toga su razvijeni adaptivni postupci modeliranja mreža kojieliminišu individualan pristup i formiraju adaptivnu mrežu na bazi zadate taĉnostimodela.MEHANIZAM: Adaptivna mreţa konaĉnih elemenata formira se na bazi mehanizma procene greškepolaznog modela mreţe. Regenerisanjem polaznog modela mreţe, shodno procenjenojgrešci, dobija se adaptivna mreţa koja se karakteriše nejednakom gustinom konaĉnihelemenata sa greškom manjom od zadate po celom kontinuumu. Danas su razvijene trigrupe adaptivnih postupaka automatskog generisanja mreţa:h - adaptivni postupak,p - adaptivni postupak,h-p adaptivni postupakH-adaptivni postupak rekurzivnim algoritmom menja topologiju mreţe, premagradijentu deformacija ili napona. Posledica je direktna promena veliĉine konaĉnih elemenata, poĉemu je i postupak dobio ime. Adaptivna mreţa pri tome ima guste konaĉne elemente, malihdimenzija u zoni velikih deformacija, pa se u suštini, broj konaĉnih elemenata u odnosu na polaznumreţu povećava. Enormno uvećanje broja elemenata je loša osobina modela ĉak i kada se raspolaţemoćnim raĉunarskim resursima. H-adaptivni postupak odredjuje grešku polazne mreţe na bazi kojeizraĉunava novu veliĉinu konaĉnog elementa u posmatranoj zoni, sa ciljem dostizanja pot. taĉnosti.

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆRazlika egzaktnih rešenja pomeranja i napona u, i odgovarajućih aproksimativnih rešenja pomeranjai napona û , ˆ , predstavlja grešku pomeranja e i grešku napona e , koje se definišu relc. 3.46-a,b:e u u û, e ˆ,(3.46-a,b)Norma greške je najĉešće korišćena veliĉina za izraţavanje greške je koja se u sluĉaju elastiĉnogsistema, oznaĉene indeksom L2. U ovim izrazima, L je matrica diferencijalnih operatora, V-zapremina kontinuuma a D matrica elastiĉnih osobina materijala. Norma greške za deformacije inapone, definisana je jednaĉinama 3.49-a,b, 51.eL2 e VT e dV1/ 2,e1/ 2T e e dV L2 , (3.49-a,b)VKvadrat norme celog kontinuma,je suma pojedinaĉnih kvadrata normi konaĉnih elemenata, prema 3.50:e2m i1e2i,(3.50)Kod optimalnih adaptivnih mreţa, ravnomerno je rasporedjena energetska norma po konaĉnimelementima celog diskretnog sistema. Energetska norma nema prostu fiziĉku interpretaciju u mehanicikontinuma pa se zato koriste i drugi oblici izraţavanja greške modela.Relativna procentualna greška je mnogo oĉiglednija za interpretaciju, (3.51-a):Apsolutna greška napona (3.51-b): eu100%,1/ 2 2e L2 , V (3.51-a,b)STRATEGIJA GENERISANJA H-ADAPTIVNE MREŢE: Definiše algoritam za pojedinaĉnoodredjivanje veliĉina konaĉnih elemenata pri ĉemu je ispunjen uslov da je greška ravnomernorasporedjena po kontinuumu i da je manja od zadate greške dop . Ovaj uslov se definiše relacijom3.52 iz koje direktno za svaki konaĉan element moţe da se proveri taĉnost proraĉuna, na bazi 3.53.KONCEPT: Ukoliko se jednaĉinom 3.54-a, izrazi koliĉnik greške u i-tom elementu i proseĉnegreške cele strukture e m sa m elemenata, moţe se odrediti korekcija h-veliĉine elemenata:Kada je i 1.0, potrebno je povećanje gustine elemenata u posmatranoj zoni kontinuuma.Kada je 1.0, potrebno je razrediti mreţu konaĉnih elemenata. dop(3.52)eiû221/ 2 i dop em(3.53)eeim,mei, (3.54-a,b)dop prirastaj

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 17KOREKCIJA: Ukoliko je polazna veliĉina konaĉnog elementa h i , za koji je odredjen koeliĉnikgreške i , primenom interpolacione funkcije stepena p, moţe se odrediti korigovana dimenzijakonaĉnog elementa sa aspekta zadate taĉnosti h i NOVO , prema relaciji 3.55. Efikasnost nalaţenjarešenja ocenjuje se indeksom efikasnosti nalaženja rešenja , koji je definisan relacijom 3.56.hi NOVOehTACNOi1pi,(3.55)PROCENJENO , (3.56)eP-adaptivni postupak ne menja topologiju postavljene mreţe u zonama visokih gradijenatadeformacija i napona već podešava stepen interpolacionih polinoma konaĉnih elemenata. Tako seformira adaptivna mreţa od konaĉnih elemenata promenljivog stepena interpolacionih funkcija.PRIMER: .FINAJEDNOLIKAMREŢAADAPTIVNAMREŢATROUGAONI EL.P-METODTROUGAONI EL.(P=5)P-METODĈETVOROUG. EL.(P=5)Broj elemenata mreţe 2890 176 46 8Ĉvorova pokonaĉnom elementu 3 6 6 6 8NAPON u taĉki D 4936 5773 6008 62115819Greška u odnosuna taĉno rešenje % 16.9 2.1 2.8 1.1 4.5VREME rešavanjasec CP 386/20 MHz 297 2417 90 99 38Fina uniformna mrezaAdaptivna mrezaP-postupakP-postupaksa trougaonim elementima sa cetvorougaonim elementimaSlika 24 Uporedan pregled načina rada modelera firmeSTRUCTURAL RESEARCH AND ANALYSIS CORPORATION - S. MONICA, USAO adaptivnim mreţama u knjizi: dr Miomir Jovanović,TEORIJA PROJEKTOVANJA KONSTRUKCIJA RAĈUNAROM, Mašinski fakultet Niš, 1994.dr Miomir Jovanović, mr Janko Jovanović: CAD-FEA Praktikum, Mašinski fakultet Niš, 2000.