Soojusmasinad, adiabaatilised protsessid ja adiabaatiline invariant

Soojusmasinad, adiabaatilised protsessid jaadiabaatiline invariantSISSEJUHATUS............................................................................................................... 2TERMODÜNAAMIKA I SEADUS.......................................................................................... 2TERMODÜNAAMIKA II SEADUS ........................................................................................ 2GAASI TÖÖ....................................................................................................................... 2PÖÖRATAVA PROTSESSI DEFINITSIOON JA OMADUSED...................................................... 3RINGPROTSESSI (EHK TSÜKLI) DEFINITSIOON JA OMADUSED............................................ 3ERINEVATE SOOJUSMAHTUVUSTE SELGITUSED NING OMAVAHELINE SEOS....................... 3GAMMA TÄHENDUS.......................................................................................................... 5SOOJUSMASINAD.......................................................................................................... 5SOOJUSMASINA DEFINITSIOON ......................................................................................... 5SOOJUSMASINA KASUTEGUR ............................................................................................ 6SOOJUSMASINA PÖÖRATUD TSÜKKEL NING SELLE KASUTEGUR........................................ 6ADIABAATILISED PROTSESSID................................................................................ 7ADIABAATILISE PROTSESSI DEFINITSIOON........................................................................ 7ADIABAATILINE INVARIANT............................................................................................. 7CARNOT` TSÜKKEL .......................................................................................................... 8

SissejuhatusTermodünaamika I seadusSüsteemile antud soojushulga ning süsteemi poolt tehtav töö on võrdne antud süsteemisiseenergia muuduga.∆U= ∆Q+ ∆Adiferentsiaalide kujul dU=dQ+dA∆ U – süsteemi siseenergia muut∆ Q – süsteemile antud soojushulk∆ A – süsteemi poolt tehtav tööTermodünaamika II seadusFormuleeritakse mitmel erineval viisil:1) Pole võimalik niisugune protsess, mille ainus lõpptulemus oleks soojuse üleminekkülmemalt kehalt soojemale.2) On võimatu niisugune protsess, mille ainus lõpptulemus oleks soojuse võtmine mingiltkehalt ning selle täielik muundamine tööks.Esmapilgul võib näida, et ideaalse gaasi isotermiline paisumine on antudsõnastusega vastuolus. Tõepoolest, kogu soojus, mis ideaalsele gaasile antakse,muundub selles protsessis tööks. Kuid soojuse saamine ja selle tööksmuundamine ei ole protsessi ainus tulemus, sest protsessi vältel muutub ka gaasiruumala. Ehk siis osa võetud soojusest läheb gaasi ruumala muutmiseks, kogusaadud soojus ei muundu kasulikuks tööks.3) on võimatu ehitada teist liiki perpetuum mobilet s.o. niisugust perioodiliselt töötavatmootorit, mis muundaks mingist reservuaarist võetava soojuse täielikult tööks.Gaasi tööLeiame gaasi poolt paisumisel tehtava töö suuruse lihtsa juhu jaoks, kui ideaalse gaasipoolt hõivatava ruumiosa muutumine toimub vaid ühes suunas(antud juhul võetud sellekssuunaks x, ülejäänud kaks suunda on antud juhul muutmatud):dA = Fx⋅ dx = p ⋅ S ⋅ dx = p ⋅ dV ⇒ A = ∫ p ⋅ dVSarnase valemi saab koostada ka ülejäänud kahe suuna jaoks, mis kõik kokku annavadüldise valemi ideaalse gaasi poolt paisumisel tehtava töö jaoks.A = ∫ p ⋅ dV2

Pööratava protsessi definitsioon ja omadusedPööratavaks protsessiks nimetatakse niisugust protsessi, mida saab teostada vastupidisessuunas, nii et süsteem läbib kõik samad olekud mis pärisuunas, ainult vastupidisesjärjekorras. Pööratav saab olla ainult tasakaaluline protsess.Pöörataval protsessil on ilmne järgmine omadus: kui pärispidise protsessi korral saabsüsteem mingil elementaarlõigul dQ soojust ja sooritab töö dA , siis vastupidise protsessikäigus peab süsteem ära andma soojust d Q′ = dQ ning teda mõjutavad välisjõud peavadtegema tööd d A′ = dA . Nii ei tohi pööratava protsessi järel jääda mingeid jälgi süsteemiümbritsevatesse kehadesse.Ringprotsessi (ehk tsükli) definitsioon ja omadusedRingprotsessiks ehk tsükliks nimetatakse protsessi, mille puhul süsteem pöördub pärastmuutusi tagasi oma lähteolekusse.Graafikul kujutab tsüklit kinnine kõver.Ringprotsessis sooritatud töö on arvuliselt võrdne kinnise kõvera poolt piiratudpindalaga. Lõigul 1 – 2 tehtud töö on positiivne ning arvuliselt võrdne paremalekallutatud viirutusega märgitud pindalaga(vaadeldakse kellaosuti suunas toimuvattsüklit). Lõigul 2 – 1 tehtud töö on negatiivne ning arvuliselt võrdne pindalaga, midamärgib vasakule kallutatud viirutus. Järelikult on tsükli töö arvuliselt võrdne kõveragapiiratud pindalaga ning positiivne pärispidise, s.o. kellaosuti suunas toimuva tsükli puhulja negatiivne vastupidise tsükli korral.Pärast tsüklit pöördub süsteem tagasi algolekusse, seepärast on iga olekufunktsiooni,sealhulgas ka siseenergia väärtused tsükli alguses ja lõpus ühesugused.Erinevate soojusmahtuvuste selgitused ning omavaheline seosSoojusmahtuvus näitab, palju energiat tuleb gaasile anda, et tema temperatuuri ühe kraadivõrra tõsta. Mitte ajada segi erisoojusega c, mis näitab, palju energiat on vaja, et 1mooliantud aine/materjali/keha temperatuuri tõsta ühe kraadi võrra. Soojusmahtuvus sõltubvaadeldava aine kogusest.3

Cp- aine soojusmahtuvus konstantsel rõhulCV- aine soojusmahtuvus konstantsel ruumalalVedelike ja tahkiste puhul on soojenemisel ruumala muutumine väga väike, mistõttunende jaoks C ≈ CpVKuid gaasi soojenemisel konstantsel ruumala muutub ruumala tuntavalt, mistõttu tehaksegaasi paisumisel märgatav hulk tööd.Tuletame seoseCpjaCVvahel.Qv- süsteemile antud soojushulk, kui gaas on konstantsel ruumalalQ - süsteemile antud soojushulk, kui gaas on konstantsel rõhulp∆ U – süsteemi siseenergia muut∆ T – gaasi temperatuuri muutKui soojus lisatakse gaasile konstantsel ruumalal, siis paisumistööd ei teha.Seetõttu võrdub lisatava soojuse hulk gaasi siseenergia muuduga(termodünaamika esimesest seadusest). Seega∆U = Q vSoojusmahtuvuse definitsioonist.Qv= Cv⋅ ∆TJärelikult∆U = Cv ⋅ ∆TKui ∆ T läheneb nullile, siisdUdU = C ⋅ dT ⇒ C(1)v v=dTmis tähendab, et soojusmahtuvus konstantsel ruumalal on võrdnesiseenergia muutumiskiirusega temperatuuri muutmisel (tuletistemperatuuri järgi).Nüüd leiame Cp− Cvideaalse gaasi jaoksSoojusmahtuvuse definitsioonistQ = C ⋅ ∆TppTermodünaamika esimesest seadusest∆U= Q + ∆A= Q − p ⋅ ∆VSeegapp( A = ∫ p ⋅ dV = p ⋅V, sest p ei sõltu V-st, p on konstantne)∆U = Cp⋅ ∆T− p ⋅ ∆VKasutades seost (1) ning viies ∆ T lõpmata väikseks, saameCv⋅ dT = Cp⋅ dT − p ⋅ dV (2)Rõhk, ruumala ning temperatuur on ideaalse gaasi puhul seotud valemiga4

p ⋅ V = n ⋅ R ⋅T, kus n on moolide arv ning R on universaalneJgaasikonstant. R = 8, 31K ⋅ molDiferentseerides antud võrrandit, saamep ⋅ dV + V ⋅ dp = n ⋅ R ⋅ dTKuna antud juhul on rõhk konstantne, siis on dp võrdne nulliga, järelikultp ⋅ dV = n ⋅ R ⋅ dTKasutades antud seost, saame valmist (2)Cv⋅ dT = Cp⋅ dT − n ⋅ R ⋅ dT = ( Cp− n ⋅ R) ⋅ dT ⇒ Cv= Cp− n ⋅ RJärelikult on Cpja CVomavahel seotud valemigaCp= Cv+ n ⋅ R(3)antud valemist on ka näha, et soojusmahtuvus on alati konstantsel rõhulsuurem, kui konstantsel ruumalal.Gamma tähendusCpTermodünaamika valemites esineb tihtipeale suhe , mistõttu on seda hakatudCvtähistama lühidalt γ (gamma) tähega.Cp= γCvAntud suhe avaldub ka süsteemi vabadusastmete kauduVabadusaste on muutuja, mis kirjeldab vaadeldava keha liikumist(kineetilistenergiat) või sõltumatu muutuja, nagu rõhk, temperatuur või koostis, miskirjeldab antud süsteemi.Näide: süsteemil, mis koosneb ruumis liikuvast punktist, on kolm vabadusastet,sest on vaja kolme koordinaati, et määrata punkti asukoht.Cp i + 2γ = =(4)Cvikus i on süsteemi vabadusastmete arvSoojusmasinadSoojusmasina definitsioonPerioodiliselt tegutsevat mootorit, mis teeb tööd väljastpoolt saadava soojuse arvelt,nimetatakse soojusmasinaks.Soojusmasinas olev aine(vesi, õhk jne) saab soojust kõrgema temperatuurigareservuaarist, teeb kasulikku tööd ning annab tagasi algolekusse minnes soojust välja.5

Näide:Aurumasin:Tänapäeval elektrijaamades kasutatavates aurumasinates soojendatakse vedelas olekusvesi mitmesaja atmosfääri suuruse rõhu all, kuni see umbes 500 o C juures aurustub.Paisumisel surub veeaur vastu turbiini labasid, tehes tööd ning väljub siis paljumadalamal temperatuuril. Seejärel jahutatakse veeauru veelgi(võetakse soojust ära),millega viiakse ta tagasi algolekusse. Kondenseerunud vesi pumbatakse tagasi boilerissening tsükkel algab jälle otsast peale.Soojusmasina kasutegurSoojusmasina kasutegur η on defineeritud kui tsüklis tehtud töö A ja tsüklis saadudsoojushulga Q1suheAη =Q 1Kasuteguri definitsioonist on selge, et tema väärtus ei saa olla üle ühe.Analoogne graafik ringprotsessi graafikuga:Graafikult:Kuna tegu ringprotsessiga, siis: sooritatud töö on arvuliselt võrdne kinnise kõverapoolt piiratud pindalaga.A = Q 1− Q 2, kus Q1on saadud soojushulk ning Q2on ruumala vähenemiselgaasilt võetud soojus.Seega või kasuteguri avaldise kirjutada kujulη =Q1− QQ12Soojusmasina pööratud tsükkel ning selle kasutegurKui pöörata antud graafikul kujutatud tsükkel ümber, saame külmutusmasina tsükli.Niisugune masin võtab tsükli kestel kehalt temperatuuriga T2soojushulga Q2ning annabkehale temperatuuriga T1 f T2soojushulga Q1. Ehk siis soojushulk võetakse külmemalt6

kehalt ning antakse soojemale kehale ning külmemalt kehalt võetav soojushulk onväiksem, kui soojemale kehale antav soojushulk. Soojushulkade vahe on võrdne masinapoolt tehtud tööga, mis antud juhul seega negatiivne. Seetõttu on tsükli kestel vaja tehatööd A (väljastpoolt, sest masina enda töö negatiivne, kompenseerimaks sedanegatiivsust), et masin töötaks. Külmutusmasina efektiivsust iseloomustataksekasuteguriga, mis on defineeritud kui jahutavalt kehalt võetud soojushulga Q2ja masinakäivitamiseks tehtava töö A suhe (ehk siis kasuliku osa suhe töösse, mis vaja väljastpooltteha, et masin tööle saada):Q2Q2kasutegur = =A Q − QAdiabaatilised protsessidAdiabaatilise protsessi definitsioon12Adiabaatiliseks nimetatakse protsessi, mille puhul ei toimu soojusvahetust ümbritsevakeskkonnaga.Adiabaatiline invariantLeiame võrrandi, mis seob ideaalse gaasi parameetreid adiabaatilises protsessis.Asendame termodünaamika esimese printsiibi võrrandis ( dU = dQ + dA) dQ avaldisegaideaalse gaasi jaoks.dQ = n ⋅Cv ⋅ dT⇒ dU = n ⋅CV ⋅ dT + p ⋅ dVKuna adiabaatilise protsessi puhul energiavahetust väliskeskkonnaga ei ole, siis onsiseenergia muut võrdne nulliga (kogu temperatuuri muutusest tulenev energia võrdubkogu tööga tehtud ruumala muutumisel) ehk siis dU = 0Järelikultn ⋅CV⋅ dT + p ⋅ dV = 0Nüüd avaldame rõhu p ideaalse gaasi olekuvõrrandist ruumala V ja temperatuuri Tkaudu:n ⋅ R ⋅Tp ⋅V= n ⋅ R ⋅T⇒ p =Vning teeme asenduse eelmisesse valemissen ⋅ R ⋅TC V⋅ dT + ⋅ dV = 0Vteisendame avaldise kujule:dT n ⋅ R dV+ ⋅ = 0T CVVdxkuna kehtib seos d ( ln x)= (tuletis naturaallogaritmist, tuletis liitfunktsioonist), võibxantud võrrandi kirjutada nii:7

d⎛ n ⋅ R⎜⎝ CV⎞⎟⎠( ln T ) + d⎜⋅ lnV⎟ = 0 ⇒ d⎜lnT+ ⋅ lnV⎟ = 0⎛⎜⎝n ⋅ RCKuna tuletis on null vaid siis, kui tuletist võetav on konstant, siisn ⋅ RlnT+ ⋅ lnV= const.(5)CVCpIdeaalse gaasi puhul Cp= Cv+ n ⋅ R ning = γCvn ⋅ R n ⋅ RMillest avaldades suhte , saame = γ −1C VC VTeinud võrrandisse (5) asenduse ning võtnud antilogaritmi, saame võrrandi:1T ⋅Vγ −= const.Saadud avaldis kujutab endast ideaalse gaasi adiabaadi võrrandit parameetrite T ja Vkaudu. Antud võrrandilt on võimalik üle minna parameetritele p ja V, asendadestemperatuuri T ideaalse gaasi olekuvõrrandist rõhu p ja ruumala V kaudu:p ⋅Vp ⋅V= n ⋅ R ⋅T⇒ T =n ⋅ Rtehes asenduse ning arvestades, et n ja R on konstandid, saameγp ⋅V= const.Kõikide arutluste puhul eeldasime, et gaasi olekut igal ajahetkel iseloomustavadparameetrite p ja T kindlad väärtused, teiste sõnadega, vaadeldav adiabaatiline protsesson tasakaaluline. Nagu teame, saab tasakaaluline olla ainult niisugune protsess, miskulgeb lõpmata aeglaselt. Kuna soojust absoluutselt mittejuhtivaid aineid looduses eileidu, siis on soojushulk, mida süsteem vahetab ümbruskonnaga, seda väiksem, midakiiremini kulgeb protsess. Seega saavad adiabaatilistele lähedased olla ainult kiirestikulgevad protsessid. Niisuguse protsessi näiteks võiks tuua kokkusurumise ja paisumise,mis toimub gaasi igas punktis helilaine levimisel. Vaatamata sellele, et suure ruumalaulatuses pole gaasi olek sel juhul üldsegi tasakaaluline (p ja T on eri punktides erinevad),kirjeldab adiabaadi võrrand gaasi käitumist küllalt väikeses ruumiosas täiesti rahuldavalt.Carnot` tsükkelCarnot` tsükkel on üks olulisemaid adiabaatiliste protsesside rakendusi.Termodünaamika teise seaduse järgi on võimatu, et soojusmasin, mis töötab kahesoojusreservuaari vahel, oleks 100% efektiivne. Kuid mis on siis maksimaalsekssoojusmasina efektiivsuseks? Vastuse sellele küsimusele leidis Prantsuse insener SadiCarnot (veel enne, kui termodünaamika I ja II seadus formuleeriti): kõige efektiivsemsoojusmasin, mis töötab kahe reservuaari vahel, on pööratav soojusmasin(soojusmasinpööratava tsükliga). Antud soojusmasin töötsüklit hakati nimetama Carnot` tsükliks(tsükkel, mille sooritab pööratava tsükliga soojusmasin, mis töötab kahe reservuaarivahel).Protsess on pööratav, kui:V⎞⎟⎠8

1) mehaaniline energia ei muundu soojusenergiaks (hõõrdumise,viskoossuse vms tõttu )2) soojusvahetus saab toimuda vaid sama temperatuuriga kehade vahel(rangemalt võttes peab soojust saava keha temperatuur olema lõpmataväikese suuruse võrra madalam reservuaari temperatuurist, vastaseljuhul ei läheks soojus üle reservuaarilt kehale. Soojuse reservuaarileandmisel peab aga keha temperatuur olema lõpmata väikese suurusevõrra kõrgem reservuaari temperatuurist)kui temperatuurid oleksid erinevad, oleks soojuse ülekanne võimalikvaid ühte pidi(soojemalt külmemale) ning protsess poleks pööratav.Järelikult on soojusvahetus keha ja reservuaari vahel isotermilineprotsess.3) Protsess on tasakaaluline. Kui protsess poleks tasakaaluline, liigukssee alati vaid stabiilsema seisu poole ning mitte kunagi ebastabiilsemapoole ehk protsess oleks pööramatu.Kuna hõõrdejõudu ning muid sarnaseid jõude ei saa kunagi täielikult vältida, siison pööratav saavutatav vaid teoreetiliselt. Kuid praktika näitab, et pööratavatprotsessi on siiski võimalik ligilähedaselt saavutada (kaod väga väikesed).Uurime kahe reservuaari vahel toimuvat Carnot` tsüklitKuna kogu soojusülekanne peab olema isotermiline, et protsess oleks pöörduv,siis soojuse ülekanne soojemast reservuaarist peab toimuma isotermiliselt.Järgmine samm on adiabaatiline paisumine madalama temperatuuriga reservuaaritemperatuurini (kogu temperatuuri vähenemisest tulenev energia lähebpaisumistööks ehk väliskeskkonnaga soojusvahetust pole – adiabaatilineprotsess). Järgmiseks on isotermiline soojusülekanne külmemale reservuaarile.Viimase sammuna on adiabaatiline kokkusurumine kõrgema temperatuurigareservuaari temperatuurini.Seega koosneb Carnot` tsükkel järgnevatest tasakaalulistest sammudest:1) isotermiline soojusülekanne soojemast reservuaarist2) adiabaatiline paisumine madalama temperatuuriga reservuaari temperatuurini3) isotermiline soojusülekanne külmemale reservuaarile4) adiabaatiline kokkusurumine madalama temperatuuriga reservuaaritemperatuuriniKuna Carnot` tsükliga soojusmasin on kõige kõrgema efektiisusega antud kahereservuaari vahel töötavatest soojusmasinatest, siis järelikult on kõik Carnot` tsükligasoojusmasinad, mis antud kahe reservuaari vahel töötavad, täpselt sama efektiisusega(sama maksimaalne efektiivsus).Carnot` tsükli kasutegur leitakse samamoodi, kui teistegi soojusmasinate kasutegur:Q1− Q2η =kus Q1on soojemalt reservuaarilt võetud soojus ning Q2onQ1külmemale reservuaarile antud soojus.Carnot` tsükli kasutegurit on võimalik ideaalse gaasi puhul avaldada ka reservuaaridetemperatuuride kaudu9

Kujutame Carnot` tsüklit T-S teljestikus, kus T on gaasi temperatuur ning S temaentroopia.Entroopia on suurus, mis näitab süsteemi korrapäratust.Süsteemi entroopia muutus dS, minnes ühest seisundist teise, ondefineeritud järgnevalt:dQdS =TjärelikultdQ = T ⋅ dS ⇒ Q = ∫T⋅ dSehk siis T-S teljestikus on Q graafiku alla jääva pindalaga võrdnedefinitsioonist järeldub ka seos, et kui dQ=0, siis ka dS=0Olgu soojema reservuaari temperatuur T1ning jahedama reservuaari temperatuurT2ning S1ja S2entroopiad vastavalt enne ja peale gaasi ruumala suurenemist.Graafikult:Q1 = ( S2− S1) ⋅T1Q2 = ( S2− S1) ⋅T2Järelikult:Q1− Q2( S2− S1) ⋅T1− ( S2− S1) ⋅T2T1− T2η = ==Q1( S2− S1) ⋅T1T1Seega Carnot` tsükli kasutegur avaldubT1− T2η =T1Järelikult sõltub Carnot` tsükli kasutegur ideaalse gaasi puhul ainult reservuaaridetemperatuuridest. Kuna samade reservuaaride puhul kõik Carnot` tsükligasoojusmasinad sama efektiivsusega, määrab antud avaldis nende kahe reservuaarijaoks iga pööratava masina kasuteguri (kõigil sama maksimaalne kasutegur).10