Lyapunovljeva analiza stabilnosti

UvodDefinicije stabilnostiDefinicije stabilnostiAutonomni nelinearni dinamički sustav reprezentiran je sustavom nelinearnihdiferencijalnih jednadžbi: ẋ = f(x)gdje je f : R n → R n nelinearna vektorska funkcija a x ∈ R n vektor stanja sustava.Definicija 1. (Stabilnost) Za ravnotežno stanje x = 0 kažemo da je stabilno akoza neki ε > 0 postoji δ > 0 tako da iz ‖x(t 0 )‖ < δ, slijedi ‖x(t)‖ < ε za svet ≥ t 0 . Inače ravnotežno stanje je nestabilno.Prethodnu definiciju možemo prikazati kompaktnije na slijedeći način∀ε > 0, ∃δ > 0, ‖x(t 0 )‖ < δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε, t ≥ 0.Definicija 2. (Asimptotska stabilnost) Za ravnotežno stanje kažemo da jeasimptotski stabilno ako je zadovoljen dodatni uvjet da za neki δ > 0 iz‖x(t 0 )‖ < δ slijedi da x(t) → 0 kada t → ∞.∀δ > 0, ‖x(t 0 )‖ < δ ⇒ ‖x(t)‖ → 0, t → ∞.Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 4 / 33

UvodLinear vs. nonlinearLinearni vs. nelinearni sustaviNelinearnost kao ”problem” → linearizacijaPrimjer: ẋ = − sin x , sin x ∼ x, za male vrijednosti xLinearizirana verzija: ẋ = −x → x(t) = e −t x(0)−x−sin(x)31210.5NSS00−1−2−0.5SLinearizacijaN−3−1−3 −2 −1 0 1 2 3x−5 0 5x1. karakteristika nelinearnih sustava: lokalna stabilnost!Mogućnost većeg broja stacionarnih stanja (stabilnih i nestabilnih)Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 5 / 33

3210−1−2−3sin(x)−x−3 −2 −1 0 1 2 3xUvodLinear vs. nonlinearPostoje nelinearni sustavi koji se ne mogu linearizirati (inherentna nelinearnost)Primjer 1: ẋ = sin x − x , sin x = x − 1 3! x3 + 1 5! x5 − ... ≃ xLinearizirana verzija: ẋ = 0Aproksimacija najnižeg mogućeg reda:ẋ = − 1 3! x3Primjer 2:Kinematički model mobilnog robotaẋ = u 1 sin θẏ = u 1 cos θ˙θ = u 2Linearizirana verzija:ẋ = u 1 θẏ = u 1˙θ = u 22. karakteristika nelinearnih sustava: linearizacija nije uvijek moguća!Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 6 / 33

UvodLinear vs. nonlinearLinearni vs. nelinearni regulatoriNeke upravljačke probleme je apsolutne nemoguće riješiti primjenom linearnihregulatora (čak i kad je objekt upravljanja linearan)Adaptivno upravljanje (adaptive control)Robusno upravljanje (robust control)Terminalno upravljanje (finite time control)Terminalno upravljanje:ẋ = − √ |x| · sign(x) ili ẋ = −√ x|x|10.50−x/abs(x) 1/2Rješenje: |x| = 1 4(2 √ ) 2|x 0 | − tt = 2 √ |x 0 | → x = 0−0.5−1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1xUsporedba: ẋ = −x → x(t) = e −t x 0t → ∞ → x = 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 7 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaPojam stabilnostiProblem stabilnosti dinamičkih sustava → problem traženja asimptotskih rješanjadiferencijalnih jednadžbi (kvalitativna rješenja diferencijalnih jednadžbi)ẋ = f(x)1. Stacionarno stanje: ẋ = 0, → f(x) = 0, → moguća rješenja: x ∗ 1 , x∗ 2 , ...2. Stabilnost pojedinih x ∗ 1 , x∗ 2 , ...3. Odredivanje domene atrakcije oko pojedinih x ∗ 1 , x∗ 2 , ...−1−2−3−4Primjer: ẋ = −x + 120 x3543210Nestabilnostacionarnostanje−x+1/20 x 3StabilnostacionarnostanjeNestabilnostacionarnostanjeKako utvrditi stabilnost stacionarnih stanja?Za sustave 1. reda (x ∗ = 0) ako f(x) zadovoljava:1. x > 0, f(x) < 0 → ẋ < 02. x < 0, f(x) > 0 → ẋ > 03. x = 0, f(x) = 0 → ẋ = 0ili skračeno: x · f(x) ≤ 0−5−6 −4 −2 0 2 4 6xJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 8 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaStabilnost nelinearnih sustava prvog redaDinamički sustav (x ∈ R)ẋ = f(x)Uvjet stabilnostix · f(x) ≤ 0od diferencijalne forme ...x · ẋ = x · f(x)... do ”uvjeta disipativnosti”( )d 1dt 2 x2 = x · f(x) ≤ 0( )d 1dt 2 x2 = d ( ) 1 dxdx 2 x2 dt = x · ẋAko označimo: V (x) = 1 2 x2 imamo ˙V (x) ≤ 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 9 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaSvojstva funkcije V (x)1. V (x) > 0 za x ≠ 02. V (x) = 0 ⇔ x = 03. minxV (x) = 0Posljedica V (x) ≥ 0 i ˙V (x) ≤ 0x → 0 za t → ∞Sustav je asimptotski stabilan!1 Za bilo koji početni x(0) = x 0 ≠ 0 imamo V (x 0 ) > 0 u t = 0.2 Zbog ˙V (x) ≤ 0 slijedi da će V (x) kontinuirano opadati tijekom vremenaprema minimalnoj mogućoj vrijednosti: V (x) = 0.3 Posljedica V (x) → 0 je x → 01/2 x 2 −2 −1 0 1 2−x 2201.5−11−20.5−30−4−2 −1 0 1 2xxJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 10 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaKarakterizacija stabilnosti primjenom Lyapunovljeve funkcijeGlobalna stabilnost (ẋ = f(x); x, f(x) ∈ R n )Ako imamo skalarnu funkciju V (x) sa kontinuiranim parcijalnim derivacijamaprvog reda tako da vrijediV (x) je pozitivno definitna (V (x) > 0 za x > 0; V (x) = 0 za x = 0)˙V (x) je negativno (semi)definitna ( ˙V (x) ≤ 0 za x > 0; ˙V (x) = 0 za x = 0)V (x) → ∞ kada ‖x‖ → ∞ (V (x) je radijalno neograničena)tada je ravnotežno stanje x = 0 globalno stabilno. Ako je ˙V (x) negativnodefinitna tada je ravnotežno stanje globalno asimptotski stabilno.LaSalleov princip invarijantnosti ( ˙V (x) ≤ 0){}Ako skup R = x ∈ R n | ˙V (x) = 0 ne sadrži druga rješenja osim ravnotežnogstanja x = 0, tada je ravnotežno stanje x = 0 globalno asimptotski stabilno.Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 11 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 12 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 12 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 12 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaMetodologija Lyapunovljeve analize stabilnostiOdredivanje jednadžbi pogreške oko stacionarnog stanja x = 0Konstrukcija Lyapunovljeve funkcije V (x)Odredivanje vremenske derivacije Lyapunovljeve funkcije ˙V (x)Odredivanje kriterija stabilnosti◮ odredivanje uvjeta pozitivne definitnosti Lyapunovljeve funkcije,V (x) ≥ 0◮ odredivanje uvjeta negativne (semi)definitnosti derivacije Lyapunovljevefunkcije, ˙V ≤ 0Primjena LaSalleovog principa invarijantnosti za utvrdivanjeasimptotske stabilnosti ako je ˙V (x) samo negativno semidefinitnaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 12 / 33

UvodStabilnost sustava 1. redaPrimjer: ẋ = −x + 120 x3 , LF: V (x) = 1 2 x2f(x) = −x + 120 x3˙V (x) = xẋ = xf(x) = −x 2 + 120 x4 = x 2 ( 120 x2 − 1) ≤ 0( 120 x2 − 1) ≤ 0− √ 20 < x < √ 20 - domena atrakcijeAnaliza stabilnosti za nelinearne sustave prvog reda je jednostavnaS povećanjem reda sustava analiza stabilnosti postaje sve složenijaNe postoji univerzalna ”receptura” kao u slučaju linearnih sustavaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 13 / 33

UvodStabilnost sustava 2. redaPrimjer 2:ẋ 1 = x 2 ,ẋ 2 = −2x 1 − x 2 ,LF: V (x) = 7x 2 1 + 2x 1 x 2 + 3x 2 2 , V (x) ≥ 0 ???2x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 − x 2 1 − x2 2V (x) = 7x 2 1 + 3x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 − x 2 1 − x2 2V (x) = 6x 2 1 + 2x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 ≥ 0˙V (x) = 14x 1 ẋ 1 + 6x 2 ẋ 2 + 2x 1 ẋ 2 + 2ẋ 1 x 2˙V (x) = 14x 1 (x 2 ) + 6x 2 (−2x 1 − x 2 ) + 2x 1 (−2x 1 − x 2 ) + 2(x 2 )x 2˙V (x) = −4x 2 1 − 4x2 2 ≤ 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 14 / 33

UvodStabilnost sustava 2. redaPrimjer 2 (nastavak): x =(x1x 2)V (x) = 6x 2 1 + 2x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 ≥ 0˙V (x) = −4x 2 1 − 4x2 2 ≤ 0V (x) = 6x 2 1 + 2x2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 ≥ 6x 2 1 + 2x2 2 ≥ 2(x2 1 + x2 2 ) = 2‖x‖2V (x) ≥ 2‖x‖ 2˙V (x) = −4x 2 1 − 4x2 2 = −4(x2 1 − x2 2 ) = −4‖x‖2 ≤ 0˙V (x) = −4‖x‖ 2˙V (x) ≤ −2V (x) ⇒ V (x) ≤ e −2t V (x 0 ) ⇒ V (x) → 0 kada t → ∞ako V (x) → 0 tada ‖x‖ 2 = x 2 1 + x2 2 → 0 što znači da x 1, x 2 → 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 15 / 33

UvodStabilnost sustava 2. redaLinearni prigušeni oscilatorDinamički model linearnog prigušenog oscilatoramẍ + γẋ + kx = 0Energija linearnog prigušenog oscilatoraE(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 ≥ 0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + kxẋ = (mẍ + kx) ẋ = −γẋ 2 ≤ 0} {{ }−γẋHurwitzov kriterij stabilnostim > 0, γ > 0, k > 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 16 / 33

UvodStabilnost sustava 2. redaNelinearni prigušeni oscilator (1)Dinamički model nelinearnog prigušenog oscilatora (1)mẍ + γẋ 3 + kx 3 = 0nije mogućalinearizacija!!!Energija nelinearnog prigušenog oscilatora (1)E(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 4 kx4Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + kx 3 ẋ = (mẍ + kx 3 ) ẋ = −γẋ 4} {{ }−γẋ 3Kriterij stabilnostim > 0, γ > 0, k > 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 17 / 33

UvodStabilnost sustava 2. redaNelinearni prigušeni oscilator (2)Dinamički model nelinearnog prigušenog oscilatora (2)mẍ + f(x, ẋ) + g(x) = 0Energija nelinearnog prigušenog oscilatora (2)E(x, ẋ) = 1 ∫ x2 mẋ2 + g(ξ)dξ0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatoradE(x, ẋ)dt= mẋẍ + g(x)ẋ = (mẍ + g(x)) ẋ = −ẋf(x, ẋ)} {{ }−f(x,ẋ)Kriterij stabilnostim > 0, ẋf(x, ẋ) > 0, xg(x) > 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 18 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PD regulatorLinearni prigušeni oscilator + PD regulatorLinearni prigušeni oscilator + PD regulatormẍ + γẋ + kx = u = −k P ˜x − k D ẋ˜x = x − x d , x d - željeno konstantno referentno stanje ⇒ ˙˜x = ẋJednadžbe pogreške (x = ˜x + x d )Stacionarno stanje ẍ = ẋ = 0mẍ + (γ + k D )ẋ + (k + k P )˜x = −kx d˜x ∗ = −kx dk + k PPrednostmodel-free controllerNedostacitrajno regulacijsko odstupanjePretpostavka 1Ne želimo regulacijsko odstupanjeŽelimo asimptotsku stabilnost: ˜x → 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 19 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PD regulator + kompenzacijaLinearni prigušeni oscilator + PD regulator + kompenzacija elastične sileLinearni prigušeni oscilator + PD regulator s kompenzacijommẍ + γẋ + kx = u = kx − k P ˜x − k D ẋJednadžbe pogreškemẍ + (γ + k D )ẋ + k P ˜x = 0Stacionarno stanje: ẍ = ẋ = ˜x = 0PrednostAsimptotska stabilnost: ˜x → 0Nedostaciu = kx − k P ˜x − k D ẋPretpostavka 2Ne želimo kompenzaciju dinamike objekta upravljanjaŽelimo model-free controllerJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 20 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PD regulator + kompenzacijaEnergija linearnog prigušenog oscilatora + PD + komp.E(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 2 k P ˜x 2Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatora + PD + komp.dE(x, ẋ)dt= −(γ + k D )ẋ 2... u slučaju neprigušenog oscilatora (γ = 0) ...dE(x, ẋ)dtKriterij stabilnosti= −k D ẋ 2k P > 0, k D > 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 21 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PID regulatorLinearni prigušeni oscilator + PID regulatorLinearni prigušeni oscilator + PID regulatormẍ + γẋ + kx = −k P ˜x − k D ẋ − k I ν˙ν = ˜xJednadžbe pogreške: ẋ = 0, ν ∗ = − k k Ix d , z = ν − ν ∗mẍ + (γ + k D )ẋ + (k + k P )˜x + k I z = 0ż = ˜xHurwitzov kriterij stabilnosti(k P + k)(k D + γ) > mk I ⇒ k P k D > m max k IPrednostAsimptotska stabilnost: ˜x → 0model-free controllerNedostaciPovečava se red sustavaSloženija analiza stabilnostiJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 22 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PID regulator... energija više nije dovoljna ... (1)Energija linearnog prigušenog oscilatora + PID (1)E(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 2 (k + k P )˜x 2Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatora + PID (1)dE(x, ẋ)dt−k I zẋ je NEDEFINITNI član= mẋẍ + (k + k P )xẋ = (mẍ + kx) ẋ =} {{ }−(γ+k D )ẋ−k I z= −(γ + k D )ẋ 2 −k I zẋ ≤ 0} {{ }???}{{}?Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 23 / 33

UvodLinearni prigušeni oscilator + PID regulator... energija više nije dovoljna ... (2)red dinamičkog sustava = broj spremnika energijeEnergija linearnog prigušenog oscilatora + PID (2)E(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 + 1 2 (k + k P )˜x 2 + 1 2 k Iz 2Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatora + PID (2)dE(x, ẋ)dt=−k I zẋ + k I z˜x - NEDEFINITNI članovi= mẋẍ + (k + k P )xẋ + k I zż}{{}−(γ+k D )ẋ−k I z{ }} {(mẍ + kx) ẋ + k I z˜x =k I z˜x{}}{= −(γ + k D )ẋ 2 −k I zẋ + k I z˜x ≤ 0} {{ }????=Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 24 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijeSadržaj1 Uvod2 Primjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcije3 Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 25 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijeKoncept ”pasivnosti”PassivityZa neki sustav sa ulazom u(t) i izlazom y(t) kažemo da je izlazno striktnopasivan ako za neki T > 0 postoji neki δ 0 > 0 takav da vrijedioutput strict passivity∫ T0∫ Tu(t) T y(t)dt ≥ δ 0 ‖y(t)‖ 2 dt + βPasivnost je povezana s pojmom ulazno-izlazne stabilnosti sustavaKažemo da je sustav stabilan ako ograničena ulazna energija sustava ima zaposljedicu ograničenu izlaznu energijuS energijske točke gledišta možemo definirati pasivni sustav kao sustav kojine može akumulirati više energije nego što ju je primio od nekog izvora, gdjerazlika izmedu primljene i akumulirane energije predstavlja energiju disipacije0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 26 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijePassivityulazno-izlazne varijable u(t) i y(t) moraju biti medusobno konjugirane⇒ njihov umnožak mora ima dimenziju snage (npr. struja i napon uelektričnim krugovima ili sila i brzina u mehaničkim sustavima)Pojednostavljeno rečeno, izlazna striktna pasivnost podrazumjeva dase radi o disipativnom dinamičkom sustavuBilanca energijeE(q(t), ˙q(t)) − E(q(0), ˙q(0))} {{ }akumulirana energija∫ t+T ∂R( ˙q)˙q dτ =0 ∂ ˙q} {{ }disipacija∫ t˙q T udτ0} {{ }predana energijaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 27 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijeLinearni prigušeni oscilator (još jednom)Linearni prigušeni oscilator - primjena pasivnosti u konstrukciji LFDinamički model linearnog prigušenog oscilatoramẍ + γẋ + kx = 0izlazna varijabla y = ẋKvadratna diferencijalna formaẋ(mẍ + γẋ + kx) = mẍẋ + γẋ 2 + kxẋ == m d ( ) 1 2ẋ2 + γẋ 2 + k d ( ) 1dtdt 2 x2 == d ( 1dt 2 mẋ2 + 1 )2 kx2 + γẋ 2 = 0Disipacija energije linearnog prigušenog oscilatora(d 1dt 2 mẋ2 + 1 )2 kx2 = −γẋ 2} {{ }E(x,ẋ)Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 28 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijeLinearni prigušeni oscilator + PID regulator (ponovo)Linearni prigušeni oscilator + PID regulator - konstrukcija LFJednadžbe pogreškemẍ + K D ẋ + K P ˜x + K I z = 0ż = ˜xizlazna varijabla y = ẋ + α˜xKvadratna diferencijalna forma(ẋ + α˜x)(mẍ + K D ẋ + K P ˜x + K I z) =K D = γ + k DK P = k + k PK I = k Imẍẋ + K D ẋ 2 + K P ˜xẋ + K I zẋ + α(mẍ˜x + K D ẋ˜x + K P ˜x 2 + K I z˜x) = 0ẍẋ = d ( 1dt 2ẋ2)ẍ˜x = d dt(ẋ˜x) − ẋ2˜xẋ = d ( 1dt 2 ˜x2)zẋ = d dt(z˜x) − ˜x2z˜x = zż = d ( 1dt 2 z2)Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 29 / 33

imjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcijeLF za linearni prigušeni oscilator + PID regulatorLF za linearni prigušeni oscilator + PID regulatorLyapunovljeva funkcija + derivacija LF ( ˙V (˜x, ẋ, z) = −W (˜x, ẋ))(d 1dt 2 mẋ2 + αmẋ˜x + 1 2 αK D ˜x 2 + 1 2 K P ˜x 2 + K I z˜x + 1 )2 K Iαz 2 == −(K D − αm)ẋ 2 − (αK P − K I )˜x 2Uvjet pozitivne definitnosti kvadratneforme V (x, y)...V (x, y) = 1 2 ax2 + bxy + 1 2 cy2 ≥ 0... je slijedeći uvjet naparametre a, b, c :ac > b 2Uvjet pozitivne definitnosti V (˜x, ẋ, z)K Dm > αα > K IK PK P K D > mK IUvjet negativne semidefinitnosti ˙VK Dm > αα > K IK PK P K D > mK IJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 30 / 33

SadržajLyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustava1 Uvod2 Primjena koncepta pasivnosti u konstrukciji Lyapunovljeve funkcije3 Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustavaJosip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 31 / 33

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustava... bez upravljanjaLyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih multivarijabilnih sustavaDinamički model linearnih sustava Lyapunovljeva funkcijaẋ = Ax, ẋ, x ∈ R n , A ∈ R n×nV (x) = 1 2 xT P x, P = P T ≥ 0Derivacija Lyapunovljeve funkcijedV (x)dt= 1 2ẋT P x + 1 2 xT P ẋ = 1 2 (Ax)T } {{ }x T A T P x + 1 2 xT P (Ax) == 1 2 xT ( A T P + P A ) x = −x T Qx ≤ 0, Q = Q T ≥ 0Kriterij stabilnosti: Linearna matrična nejednakost (LMI)A T P + P A = −Q ≤ 0Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 32 / 33

Lyapunovljeva analiza stabilnosti linearnih sustava... sa upravljanjemStabilnost regulacije linearnih multivarijabilnih sustavaLinearni sustav + upravljanjeLyapunovljeva funkcijaẋ = Ax + Bu, u ∈ R m , B ∈ R n×m V (x) = 1 2 xT P x, P = P T ≥ 0u = −Kx,K ∈ R m×nẋ = (A − BK)xKriterij stabilnosti: (ne)Linearna matrična nejednakost (nLMI)(A − BK) T P + P (A − BK) = −Q ≤ 0Ako je sustav ẋ = Ax nestabilan, kako odrediti matricu pojačanja K,rješavanjem LMI, tako da sustav ẋ = (A − BK)x bude stabilan ???Josip Kasać ( ) Stabilnost nelinearnih sustava 33 / 33