Aplikácia poznatkov základného kurzu matematiky pri riešenà úloh v ...
Aplikácia poznatkov základného kurzu matematiky pri riešenà úloh v ... Aplikácia poznatkov základného kurzu matematiky pri riešenà úloh v ...
iešenie úlohy vyžaduje od študentov veľmi dobre osvojené matematické poznatkya schopnosti ich aplikácie v riešení konkrétneho technického problému.V tejto kapitole je ukázaný princíp riešenia jedného zo zadaní (tab.1), ktoré študentidostávajú k riešeniu v rámci samostatnej práce. Pri riešení danej úlohy si študenti majúosvojiť najmä spôsob a pravidlá riešenia konkrétnej úlohy a uvedomiť si nutnosťmatematických poznatkov nadobudnutých predchádzajúcim štúdiom.Tabuľka 1Pre zadané rovnice pohybu bodu M v súradnicovomsystéme (0, i, j) určte: • kinematické veličiny v, v , a,a,a t, a nako funkcie času t,• polomer krivosti trajektórie R 0bodu M,• jednotkový tangenciálny vektor τ x ( t)= k cos ty ( t)= b cos tk, b sú kladné konštantyt je časDoporučujeme študentom riešiť tieto zadania bez použitia PC. Samozrejme každý siriešenie môže skontrolovať prostredníctvom rôznych matematických programov.Software Mathematica [5] je jedným z nich a je určený na uľahčenie aplikáciímatematiky.Nasledujúca tabuľka (tab. 2) obsahuje základné vzťahy a tým aj nevyhnutnématematické operácie pre riešenie danej úlohy.Tabuľka 2• polohový vektor: r = x ( t)i+ y(t)j• vektor rýchlosti a jeho zložky:d r v = = r= xi + yj = vxi + vyjdt• vektor zrýchlenia a jeho zložkydv a = = v i vyj ix+ = x + yj= axi + ayjdt• veľkosť tangenciálneho zrýchlenia= s= va t• veľkosť polomeru krivosti dráhy22v van= ⇒ R0=R a0n• veľkosť vektora rýchlosti:v =v2x+ v2y= s• veľkosť vektora zrýchleniaa = +2 2a xa y• veľkosť normálového zrýchlenia2 22 2an= a − at; a = ax+ ay• jednotkový tangenciálny vektordr drvτ = =dt=dsdsvdtTabuľka 3 obsahuje zápis príkazov a výpis výsledkov (vpravo) získaných programomMathematica.
Tabuľka 3rovnice pohybu - zadaniex[t_]:= k*Cos[t]y[t_]:= b*Sin[t]zápis polohového vektorapv ={x[t],y[t]}{k Cos [t],bSin [t]}veľkosti zložiek vektora rýchlosti vx[t], vy[t] a veľkosť vektora rýchlosti v[t]vx[t_]=D[x[t],t]− k Sin [t]vy[t_]=D[y[t],t]b Cos [t]2 2 2 2v[t_]=Sqrt[vx[t]^2+vy[t]^2]b Cos [t] + k Sin [t]zápis vektora rýchlostivv={vx[t],vy[t]}{−k Sin [t],bCos [t]}veľkosti zložiek vektora zrýchlenia ax[t],ay[t] a veľ kosť vektora zrýchlenia a[t]ax[t_]=D[vx[t],t]− k Cos[t]ay[t_]=D[vy[t],t]− b Sin [t]2 2 2 2a[t_]=Sqrt[ax[t]^2+ay[t]^2]k Cos [t] + b Sin [t]zápis vektora zrýchleniava={ax[t],ay[t]}{ − k Cos [t], − bSin [t]}veľkosť tangenciálneho a normálového zrýchlenia221 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t]at[t_]=D[v[t],t]22 2 2 2b Cos [t] + k Sin [t]an[t_]=Sqrt[(a[t])^2-(at[t])^2]2222 2 2 2 1 ( 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t] )k Cos [t] + b Sin [t] −2 2 2 24 b Cos [t] + k Sin [t]veľkosť polomeru krivosti dráhy v závislosti na časeR0[t_]=v[t]^2/an[t]2 2 2 2b Cos [t] + k Sin [t]2222 2 2 2 ( 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t] )k Cos [t] + b Sin [t] −2 2 2 24( b Cos [t] + k Sin [t] )zápis jednotkového tangenciálneho vektorajtv{vx[t_]/v[t],vy[t_]/v[t]}⎪⎧k Sin[t]b Cos[t] ⎪⎫⎨−,⎬2 2 2 2 2 2 2 2⎪⎩ b Cos [t] + k Sin [t] b Cos [t] + k Sin [t] ⎪⎭Zmenou rovníc pohybu v základnom súbore (x[t], y[t]), prípadne zmenou konštánt k,b možno podľa daného súboru príkazov určiť všetky kinematické veličiny. Ďalejz hľadiska názornosti je možné zostrojiť grafické závislosti kinematických veličín(veľkosti rýchlosti a veľkosti zrýchlenia) od času. V tom prípade je však potrebné zadaťkonkrétne číselné hodnoty všetkých konštánt.
- Page 1: APLIKÁCIA POZNATKOV ZÁKLADNÉHO K
- Page 5 and 6: Po zostrojení grafov časových z
Tabuľka 3rovnice pohybu - zadaniex[t_]:= k*Cos[t]y[t_]:= b*Sin[t]zápis polohového vektorapv ={x[t],y[t]}{k Cos [t],bSin [t]}veľkosti zložiek vektora rýchlosti vx[t], vy[t] a veľkosť vektora rýchlosti v[t]vx[t_]=D[x[t],t]− k Sin [t]vy[t_]=D[y[t],t]b Cos [t]2 2 2 2v[t_]=Sqrt[vx[t]^2+vy[t]^2]b Cos [t] + k Sin [t]zápis vektora rýchlostivv={vx[t],vy[t]}{−k Sin [t],bCos [t]}veľkosti zložiek vektora zrýchlenia ax[t],ay[t] a veľ kosť vektora zrýchlenia a[t]ax[t_]=D[vx[t],t]− k Cos[t]ay[t_]=D[vy[t],t]− b Sin [t]2 2 2 2a[t_]=Sqrt[ax[t]^2+ay[t]^2]k Cos [t] + b Sin [t]zápis vektora zrýchleniava={ax[t],ay[t]}{ − k Cos [t], − bSin [t]}veľkosť tangenciálneho a normálového zrýchlenia221 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t]at[t_]=D[v[t],t]22 2 2 2b Cos [t] + k Sin [t]an[t_]=Sqrt[(a[t])^2-(at[t])^2]2222 2 2 2 1 ( 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t] )k Cos [t] + b Sin [t] −2 2 2 24 b Cos [t] + k Sin [t]veľkosť polomeru krivosti dráhy v závislosti na časeR0[t_]=v[t]^2/an[t]2 2 2 2b Cos [t] + k Sin [t]2222 2 2 2 ( 2k Cos[t] Sin[t] − 2b Cos[t] Sin[t] )k Cos [t] + b Sin [t] −2 2 2 24( b Cos [t] + k Sin [t] )zápis jednotkového tangenciálneho vektorajtv{vx[t_]/v[t],vy[t_]/v[t]}⎪⎧k Sin[t]b Cos[t] ⎪⎫⎨−,⎬2 2 2 2 2 2 2 2⎪⎩ b Cos [t] + k Sin [t] b Cos [t] + k Sin [t] ⎪⎭Zmenou rovníc pohybu v základnom súbore (x[t], y[t]), prípadne zmenou konštánt k,b možno podľa daného súboru príkazov určiť všetky kinematické veličiny. Ďalejz hľadiska názornosti je možné zostrojiť grafické závislosti kinematických veličín(veľkosti rýchlosti a veľkosti zrýchlenia) od času. V tom prípade je však potrebné zadaťkonkrétne číselné hodnoty všetkých konštánt.
Change language