Microsoft Word Viewer 97 - 000_kapitola - Geomatika na ZČU v Plzni

pro výpočet délky l loxodromy mezi koncovými body o zeměpisných šířkách U´ a U. Bude-liležet bod P na rovníku a P´ na severním pólu, pak U = 0 o , U´ = 90 o a l = π R / 2cos A ,vyjádřeno již v míře obloukové. Je to tedy délka loxodromy od rovníku k severnímu pólu S p .Délka loxodromy od jižního k severnímu pólu je tedy l = π R / cos A . Je-li azimut A = 60 o , jedélka loxodromy mezi póly l = 2πR , což je 2x více, než délka poledníku mezi oběma póly.Ve zvláštních případech je A = 0 o (poledník) a A = 90 o (rovnoběžka). Pro A = 0 o je délkamezi póly l = 2πR a pro A = 90 o , viz první rov. (3.1.2), v níž U = konst., je l = 2πR cosU.Integrujme nyní třetí rov. (3.1.2). Postupně dostáváme, viz též obr. 3.1.4,V ′ U ′ U ′∫Vtakže výrazdUdV= V ′ −V= tan A∫ = tan AcosU∫= tan A∫UU ′ −1U⎡ ⎛U⎢2sin⎜⎣ ⎝ 2⎞ ⎛U+ 45°⎟cos⎜⎠ ⎝ 2U⎞⎤+ 45°⎟⎥⎠⎦−1[ sin ( 90° + U )] dU=⎛U′ ⎞tan ⎜ + 45°⎟2V ′ = V − tan A⋅ln⎝ ⎠⎛U⎞tan ⎜ + 45°⎟⎝ 2 ⎠⎛U′ ⎞tan⎜+ 45°⎟⎝ 2dU= tan Aln⎠,⎛U⎞tan⎜+ 45°⎟⎝ 2 ⎠(3.1.4)je použitelný pro výpočet V´, je-li dáno U´ obecného bodu P´ na loxodromě. Pro opačnýpřípad platí⎛ U′⎞ ⎛ U ⎞ln tan ⎜ + 45° ⎟ = ( V − V ′)cot A + ln tan ⎜ + 45°⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ,⎛U′ ⎞ ⎛U⎞ln tan ⎜ + 45° ⎟ = V ′ cot A− V cot A + ln tan ⎜ + 45° ⎟ = V ′ cot A + ψ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎛U⎞kde ψ = − V cot A + ln tan ⎜ + 45°⎟ je konstanta pro danou loxodromu. Z předešlého vyplývá⎝ 2 ⎠výrazo( ) ⎤U′ = 2arctan ⎡⎣ exp V ′ cot A + ψ ⎦ − 90(3.1.5)použitelný pro případ výpočtu U´, je-li dáno V´ bodu P´ na loxodromě. Tím jsou v oboupřípadech známy souřadnice U´, V´, viz rov. (3.1.4) a (3.1.5), je-li loxodroma určenavstupními veličinami U, V, A. Její délku l v obecném případě, tj. od bodu P k bodu P´, vizobr. 3.1.4, určuje rov. (3.1.3).Rov. (3.1.4) a (3.1.5) se zjednoduší pro případy zvláštní. Tak pro azimut A = 0 o , tj.pro loxodromu jako poledník, nabývají souřadnice hodnot U′ ∈ − 90 ° ,90 ° , V ′ = V a pro A =90 o , tj. pro loxodromu jako rovnoběžku, nabývají souřadnice hodnot U′ = U, V ′ ∈ 0 ° ,360° .25