Artikli fail - Matemaatika didaktika

Probleemülesannete lahendamisest II kooliastmematemaatikasDiana Smith, Kadrioru Saksa GümnaasiumViimaste aastate jooksul on Eesti koolimatemaatika valdkonnas rõhutatudprobleemülesannete lahendamise vajalikkust. Nüüdseks kajastub see kasuuremal määral uues põhikooli riiklikus õppekavas 2010. Viimases hinnataksematemaatikapädevust mitte ainult matemaatiliste faktide teadmisepõhjal, vaid ka oskuslikul probleemide lahendamisel, mis sisaldab oskustpüstitada probleeme, leida ning rakendada sobivaid lahendusstrateegiaid,lahendusidee analüüsi ning tulemuse tõesuse kontrolli. Matemaatika ainekavasväljendatud muudatused õpitulemustes eeldavad, et II kooliastmematemaatika õpetamine hõlmab probleemülesannete lahendamist, milleraames selgitatakse õpilastele nende lahendamise etappe ehk probleemülesandelahendamise üldist skeemi ning tutvustatakse erinevaid lahendamisestrateegiaid, mis võimaldavad õpilastel leida ülesannetele erinevaid lahendusteid.(RÕK, 2010)Probleemülesannete lahendamineIgasugune probleemilahendus hõlmab teatud laadi informatsiooni hulka jaselle info töötlemist probleemi lahendamisel. Individuaalsetest erinevustestning probleemsituatsioonide sisust ja keerukusest lähtuvalt ei ole võimalikleida ega rakendada lihtsat ja ainuõiget lähenemist probleemi lahendusele.George Polya (2001) esitab heuristilise probleemülesannete lahendamiseskeemi, mis on hästi rakendatav matemaatiliste probleemide lahendamisel:1. Saa ülesandest aru!2. Kavanda lahendusplaan!3. Teosta oma lahendusplaan!4. Vaata tagasi!Probleemülesannete lahendamise strateegiadPeale probleemi detailset määratlemist saab hakata otsima strateegiat ehktegevusplaani ülesande lahendamiseks. Teisisõnu kujutab plaani koostamineendast vastava probleemi lahendamiseks sobiva meetodi leidmist, milleedukus sõltub erinevate lahendusstrateegiate tundmisest.Inimesed tegutsevad eelnevalt omandatud kogemuste baasil. Seega lähenemeelus ettetulevate probleemide lahendamisele ja olukordadele algoritmiliseltning võime end emotsionaalselt häirituna tunda, kui selline lähenemineootamatult enam ei sobi. Samuti tunnevad õpilased paljudel juhtudel, etülesannet saab lahendada vaid ühele konkreetsele probleemile omasel ja100

kindlal viisil. Eriti puudutab see näiteks liikumiskiirusega seotud ülesandeid,vanuse arvutamise ülesandeid, protsentülesandeid. Õpilased arvavadtihtipeale, et algebraline lähenemine on ainuke „toimiv” ehk lahendust tagavmeetod. Taolisel probleemülesannete lahendamisel ei tegele õpilaneprobleemi lahendamisega, vaid imiteerib (harjutab) ülesannete lahendamiselvaremrakendatud meetodeid. (Posamentier, 2009)Õpetajad peaksid olema teadlikud arvukatest probleemilahenduse strateegiatest,mille abil saab elegantselt ja tõhusalt lahendada paljusid erinevaidprobleeme, ning teadvustama, et algebraline lähenemine on vaid üks paljudestvõimalikest lähenemisviisidest, mida õpilased kasutada saavad. Erinevatelestrateegiatele on antud strateegiat iseloomustav nimetus, mis aitabprobleemilahendajal seda hiljem meenutada. Kõiki omandatud strateegiaidpeaks regulaarselt rakendama ka eluliste küsimuste lahendamisel. Sellinetegevus peaks kinnistama strateegiast arusaamist ja selle rakendamise oskustning muutma nende kasutamise matemaatilises kontekstis loomulikumaks.(Posamentier, 2009)Järgnevalt on nimetatud Posamentier’ ja Kruliki (1998) poolt kirjeldatudenim kasutatavaid strateegiaid matemaatiliste probleemülesannete lahendamisel,mida kasutatakse tihti ka oma eluliste otsuste tegemisel seda eneseleteadvustamata.1. Tagantpoolt ettepoole liikumine.2. Seaduspärasuse leidmine.3. Erinevate lähenemisviiside rakendamine.4. Lihtsama (sarnase) probleemi lahendamine.5. Erijuhtude vaatlemine.6. Joonise tegemine.7. Oletamine ja katsetamine.8. Kõikide üksikjuhtude vaatlemine.9. Andmete korrastamine.10. Loogiline arutlemine.Seda juhtub harva, kui mõne probleemi lahendamisel saab kasutada kõikikümmet või ainult ühte strateegiat. Pigem on probleemilahenduse juures tavalinemitme erineva strateegia kasutamine. Seega on kasulik tunda ja õppidakasutama kõiki nimetatud strateegiaid.Õppekirjanduse roll õppekavas püstitatud eesmärkide saavutamiselÕppeprotsessis on määrav roll õppekirjandusel, kuna see avaldab mõjuõpetajale, kes tugineb oma töös suurel määral õpikule (Mikk, 1991). Paljuduurimused on näidanud, et enamik õpetajaist võtab paratamatult üle justselle, mida õpik oma sisu ja metoodikaga pakub, kujundades vastavalt selleleoma õppesisu ning metoodilist käsitlust (Unt, 2000).101

Eelkirjeldatust lähtuvalt on käesoleva artikli autor Diana Smith oma magistritööraames analüüsinud Avita kirjastuse poolt väljaantud 4.–6. klassimatemaatikaalast õppekirjandust, uurides, kuivõrd toetab see uues õppekavaskirjeldatud eesmärkide saavutamist.Avita II kooliastme õpikute ja töövihikute analüüsUuringu käigus selgitati probleemülesannete osakaalu uuritavas õppekirjandusesning seda, kas ja millisel määral on õpikutes tutvustatud probleemülesanneteüldist lahendusskeemi ja lahendusstrateegiaid. Samuti püütivälja selgitada, milliseid ülesannete lahendusstrateegiaid on võimalik rakendadavaadeldavas õppekirjanduses sisalduvate probleemülesannete lahendamisel.Uuritava õppekirjanduse ülesannete jaotuvust probleem- ja harjutusülesanneteksiseloomustab tabel 1. Selle põhjal võib öelda, et valdava osa ülesannetestmoodustavad harjutusülesanded, mis on kindla algoritmi järgi lahendatavadrutiinsed ülesanded ja mille lahendamise kaudu saavutatakse põhilisteteadmiste ning oskuste omandamine ja kinnistamine. Kindlasti on IIkooliastmes oluline koht harjutusülesannetel, kuna nende lahendamise käigusomandatud baasteadmised on probleemülesannete lahendamise aluseks.Uuringu tulemustest selgus, et 4. ja 6. klassi õpikus olevate probleemülesanneteosakaal on väga ühtlane, vastavalt 27% ja 26%. Tunduvalt madalamon aga probleemülesannete osakaal 5. klassi õpikus, kõigest 18%. Arvestadesõppekavas kirjeldatud matemaatikapädevust, ei ole taoline ülesannetejaotus sugugi rahuldav, vaid eeldaks suuremat probleemülesannete sisalduvustõppekirjanduses.Tabel 1. Õppekirjanduse ülesannete protsentuaalne jaotus probleem- jaharjutusülesanneteks protsentidesNeljanda klassi Viienda klassi Kuuenda klassiõpik/töövihik õpik/töövihik õpik/töövihikProbleemülesanded 27/22 18/21 26/26Harjutusülesanded 73/78 82/79 74/74Selgus, et probleemülesannete üldise lahendusskeemi tutvustamist ei esineneljanda klassi õpikus. Meeldiv oli märgata, et 5. ja 6. klassi õpikutes ontekstülesannete lahendamise etappide väljatoomisel järgitud probleemülesanneteüldist lahendusskeemi. Seega võib väita, et üldist lahendusskeemion nendes uuritavates õpikutes tutvustatud, kuid seejuures tuleb arvestada,et õpikutes toodud skeemid on mõnevõrra pealiskaudsed ning vajavadkindlasti õpetajapoolset selgitamist ning üldistamist.102

Õpikute uurimisel selgus, et erinevatest strateegiatest on 4. ja 6. klassi õpikustutvustatud joonise tegemise strateegiat, 5. klassi õpikus strateegiatetutvustust ei esine.Probleemülesannete analüüsimisel selgus, et 4. ja 5. klassi õpikus olevadprobleemülesanded võimaldavad tutvustada õpilastele peaaegu kõiki eespoolnimetatud lahendusstrateegiaid, mida ei saa öelda aga 6. klassi õpikuprobleemülesannete kohta. 6. klassi ülesanded võimaldavad peamiselt loogilisearutelu, joonise tegemise ja lihtsama (sarnase) probleemi lahendamisestrateegia rakendamist.Toetudes läbiviidud probleemülesannete analüüsile, leidis autor, et II kooliastmeprobleemülesannete lahendamisel on enim rakendatavateks lahendusstrateegiateks: loogiline arutlemine; lihtsama (sarnase) probleemi lahendamine; erinevate lähenemisviiside leidmine; joonise tegemine.Lisaks leidis artikli autor, et II kooliastme õppekirjandus võiks sisaldadatunduvalt rohkem ülesandeid, mille lahendamisel saaks kasutada järgnevaidlahendusstrateegiaid: tagantpoolt ettepoole liikumine; seaduspärasuse leidmine; kõikide erijuhtude vaatamine; andmete korrastamine; oletamine ja katsetamine.Toetudes õppekavas püstitatud eesmärkidele ning oodatud õpitulemustele,võib kokkuvõtvalt öelda, et tähtsa osa II kooliastme matemaatika õpetamisespeab moodustama probleemülesannete lahendamine. Õppeprotsessispeab õpilastele tutvustama üldist probleemülesannete lahendamise skeemija strateegiaid ning õpetama neid kasutama. Sellega tagatakse õppekavasnõutavate matemaatikapädevustele vastav probleemide lahendamise oskus.Toetudes läbiviidud uuringule, võib kokkuvõtteks öelda, et põhikooli riiklikusõppekavas (2010) kirjeldatud õpitulemuste saavutamiseks ei piisaainult hetkel käibelolevast õppekirjandusest.Kirjandus1. Mikk, J. (1991). Didaktika küsimusi. Loengukonspekt üliõpilasele.Tartu: Tartu Ülikool.2. Polya, G. (2001). Kuidas seda lahendada. Tallinn: Valgus.103

3. Posamentier, A. S., Krulik, S. (1998). Problem-solving strategies forefficient and elegant solutions. A Resource for the Mathematics Teacher.California: Corwin Press, INC. A Sage Publications Company ThousandOaks.4. Posamentier, A. S. (2009). Teaching Secondary Mathematics Techniquesand Enrichment Units, Allyn and Bacom.5. Põhikooli riiklik õppekava. (2010). Riigi Teataja I, 2010, 6, 22. URLhttps://www.riigiteataja.ee/akt/13273133 (6.04.2010).6. Smith, D. (2011). Probleemülesanded ja nende lahendamine II kooliastmematemaatikas. Tallinna Ülikool. Magistritöö.7. Unt, I. (2000). Õppekirjanduse didaktilisi probleeme. Haridus, 3, 13–17, Tallinn: AS Perioodika.Mathematical Problem Solving in Grades 4–6Diana Smith, Kadrioru German-Biased Upper Secondary SchoolThe objective of the article is to elucidate the necessity of problem solvingand of comprehending the different strategies thereof in school mathematics.The article gives an overview of a research in which the studyliterature for grades 4–6 published by AVITA was analyzed in order toestablish how mathematical study literature for the aforementioned gradessupports the achievement of the objectives specified in the Primary SchoolCurriculum.The research results show that the proportion of problem solving in thestudy literature for grades 4 and 6 is about 25% and for grade 5 about 20%of all the exercises. General problem solving schemes are not introduced inthe 4th grade textbook but are introduced in the 5th and 6th grade ones. Ananalysis of the textbooks revealed that of all the possible strategies only thedrawing-making ones were introduced in the 4th and 6th grade textbookswhile none were introduced in the 5th grade one.After analyzing the research results, the author concludes that the currentcompendium of study literature is insufficient for accomplishing theobjectives of Estonia’s Primary School Curriculum.104