Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti£ki testovi (1)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaVjeºbe - StatistikaPraktikumStatisti£ki testovi (1)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaUsporedba o£ekivanja dviju normalno distribuiranihpopulacija (t-test)Nevezani uzorciMjerimo neko statisti£ko obiljeºje u dvije razli£ite populacije inezavisno sakupimo dva slu£ajna uzorka(X 11 , . . . , X 1,n1 ) i (X 21 , . . . , X 2,n2 ).(mjerene vrijednosti iz jedne populacije nisu u nikakvoj vezi smjerenim vrijednostima iz druge populacije)Pretpostavke - normalna distribuiranost i jednake varijance:X 1i ∼ N (µ 1 , σ 2 )X 2i ∼ N (µ 2 , σ 2 )Ozna£imo uzora£ke sredine i varijance dva uzorka s ¯X1 , ¯X2 , ˜S21, ˜S22.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZa testiranje hipotezaH 0 : µ 1 = µ 2H 1 : µ 1 ≠ µ 2 \ µ 1 < µ 2 \ µ 1 > µ 2test statistika jeT = ¯X 1 − ¯X2 1√ ∼ H0 t n1+nS d 12−2,n 1+ 1 n 2pri £emu je S d procjenitelj standardne devijacije na osnovu dvauzorka√2 2(n 1 − 1)˜SS d =1+ (n 2 − 1)˜S 2.n 1 + n 2 − 2R sintaksa:t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less","greater"), var.equal = TRUE)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaUkoliko ne znamo da li su varijance jednake, tj.X 1i ∼ N (µ 1 , σ 2 1)X 2i ∼ N (µ 2 , σ 2 2)Tada se moºe pokazati da test statistika pribliºno ima t distribuciju,ali s druk£ijim brojem stupnjeva slobodeOvo je tzv. Welchov t-test, a u R-u se dobiva analogno, ispu²taju¢ipretpostavku var.equal=TRUEt.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less","greater"))

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 1.Studentska sluºba ºeli vidjeti postoji li razlika u prosje£noj dobi izmežustudenata koji studiraju na klasi£an na£in i onih koji studiraju putemInterneta. Prikupljeni podaci o dobi nalaze se u datoteci student.txt.Na nivou zna£ajnosti α = 0.05, postoji li razlika izmežu dobi ove dvijeskupine studenata?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaVezani uzorci (spareni podaci)ƒesto imamo potrebu usporeživati neku karakteristiku u zavisnimuzorcima (npr. usporediti u£inkovitost nekog lijeka na istimpacijentima, prije i poslije tretmana).U takvim slu£ajevima uzorci nisu nezavisni pa prethodni testovi nisuprikladni.Dakle, imamo dva uzorka(X 11 , . . . , X 1,n ) i (X 21 , . . . , X 2,n ).i pretpostavljamo normalnu distribuiranost:X 1i ∼ N (µ 1 , σ 2 1)X 2i ∼ N (µ 2 , σ 2 2)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZnamo dai ºelimo testiratiD := X 1i − X 2i ∼ N (µ 1 − µ 2 , σ 2 ),H 0 : µ 1 − µ 2 = 0H 1 : µ 1 − µ 2 ≠ 0 \ µ 1 − µ 2 < 0 \ µ 1 − µ 2 > 0²to se svodi na t-test na jednom uzorku.R sintaksa:t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less","greater"), paired = TRUE)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 2.U datoteci ocjene.txt nalaze se podaci o ocjenama koje daju dva sucana nekom natjecanju. Testirajte jesu li njihove prosje£ne ocjene zna£ajnorazli£ite uz razinu zna£ajnosti 0.05, uz pretpostavku normalnedistribuiranosti ocjena.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaUsporedba varijanci dviju normalno distribuiranih populacija(F -test)PretpostavkeX 1i ∼ N (µ 1 , σ 2 1)X 2i ∼ N (µ 2 , σ 2 2)Za testiranje hipotezatest statistika jeH 0 : σ 2 1 = σ 2 2H 1 : σ 2 1 ≠ σ 2 2 \ σ 2 1 < σ 2 2 \ σ 2 1 > σ 2 2T = ˜S 12 ∼˜S H0 F22 (n1−1,n 2−1).R sintaksavar.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less","greater"))

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 3.Za podatke iz student.txt testirajte jesu li varijance jednake ili ne nanivou zna£ajnosti 0.05.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaUsporedba o£ekivanja dviju populacija na osnovu velikihuzorakaMjerimo neko statisti£ko obiljeºje u dvije razli£ite populacije inezavisno sakupimo dva slu£ajna uzorkaNeka je(X 11 , . . . , X 1,n1 ) i (X 21 , . . . , X 2,n2 ).E[X 1i ] = µ 1 , Var(X 1i ) = σ 2 1 < ∞E[X 2i ] = µ 1 , Var(X 2i ) = σ 2 2 < ∞∀i∀iOzna£imo uzora£ke sredine i konzistentne procjene varijanci dvauzorka s ¯X1 , ¯X2 , ˆσ 2 1 , ˆσ2 2.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZa testiranje hipotezaH 0 : µ 1 = µ 2H 1 : µ 1 ≠ µ 2 \ µ 1 < µ 2 \ µ 1 > µ 2test statistika jeT =¯X 1 − ¯X2√ ∼ H0 ∼ A N (0, 1),ˆσ 12n 1+ ˆσ2 2n 2i kriti£no podru£je se odrežuje kao kod z-testa na jednom uzorku.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaUsporedba proporcijaSpecijalan slu£ajan prethodnog testa za obiljeºje iz Bernoullijevedistribucije, tj. nezavisno sakupimo dva slu£ajna uzorka(X 11 , . . . , X 1,n1 ) i (X 21 , . . . , X 2,n2 ).Neka jeX 1i ∼( ) ( )0 10 1, X1 − p 1 p 2i ∼1 1 − p 2 p 2Ozna£imo procjenitelje za p 1 i p 2 (uzora£ke sredine)ˆp 1 = ¯X1 , ˆp 2 = ¯X2 .Neka je ˆp procjenitelj vjerojatnosti uspjeha za oba uzorka zajednoˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2n 1 + n 2.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZa testiranje hipotezaH 0 : p 1 = p 2H 1 : p 1 ≠ p 2 \ p 1 < p 2 \ p 1 > p 2test statistika jeT = ˆp 1 − ˆp 2 1√ ∼ √ˆp(1 H0 ∼ A N (0, 1),− ˆp) 1n 1+ 1 n 2i kriti£no podru£je se odrežuje kao kod z-testa na jednom uzorku.R funkcija: (ova funkcija temelji se na druga£ijoj test statistici kojaima χ 2 distribuciju)prop.test(x, n, alternative = c("two.sided", "less","greater"))

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 4.U nekom gradu su se dvije osobe kandidirale za gradona£elnika. Grad jepodijeljen na dva dijela: A i B. U dijelu A je uzet uzorak od 300 glasa£a imedu njima je 168 glasovalo za prvog kandidata, dok je u dijelu B izuzorka od 200 glasa£a njih 96 glasovalo za prvog kandidata. Je li prvikandidat popularniji u dijelu A? (α = 0.05)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadaciZadatak 1.U paketu BSDA pronažite bazu Achieve koja sadrºi podatke orezultatima testa iz matematike 25 u£enika srednje ²kole po spolu.Pretpostavimo da su podaci normalno distribuirani. Provjerite moºemo lipretpostaviti jednakost varijanci u dvije populacije (α = 0.05)? Postoji lirazlika u prosje£nom rezultatu u£enika i u£enica na razini zna£ajnosti0.05? Testirajte je li prosje£an rezultat u£enica ve¢i od u£enika na razinizna£ajnosti 0.05?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 2.U paketu BSDA pronažite bazu Asthmati. Baza sadrºi podatke o 9pacijenata koji boluju od astme. Pacijentima je prvo dan laºni lijek(placebo) a zatim pravi lijek te su biljeºeni indeksi koji mjere teºinusimptoma (ve¢a vrijednost - teºi simptomi). Pretpostavimo da surezultati normalno distribuirani. Testirajte moºe li se na nivou zna£ajnosti0.05 re¢i da je lijek djelotvoran?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 3.Tvornica automobila naru£uje sklop mjenja£a od dva kooperanta.Povremeno se dogodi da isporu£eni mjenja£i budu neispravni. U baziAutogear nalaze se podaci o broju neispravnih mjenja£a dva kooperanta,A i B, tijekom 20 mjeseci. Pretpostavimo da su podaci normalnodistribuirani. Postoji li, na razini zna£ajnosti 0.05, razlika u prosje£nombroju neispravnih mjenja£a izmežu dva kooperanta? Provjerite moºemo lipretpostaviti jednakost varijanci u dvije populacije (α = 0.05)? Za kojegproizvoža£a mjenja£a bi se tvornica trebala odlu£iti?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 4.U paketu BSDA nalazi se baza Blood koja sadrºi podatke o krvnom tlaku15 osoba. Tlak je izmjeren dva puta, jednom je mjerenje izvr²io urežaj, ajednom lije£nik ekspert. Pretpostavimo da su vrijednosti normalnodistribuirane. Na razini zna£ajnosti 0.05, razlikuju li se u prosjekuizmjerene vrijednosti, tj. jesu li urežaj i lije£nik jednako precizni?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 5.U paketu BSDA nalazi se baza Bones koja sadrºi podatke o gusto¢i kosti35 ºena koje su zi£ki aktivne i 35 ºena koje nisu zi£ki aktivne. Na nivouzna£ajnosti 0.05, imaju li zi£ki aktivne ºene u prosjeku gu²¢e kosti?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 6.Poljoprivrednik je isprobao zasijati novu vrstu skupljeg sjemena. Zanimaga ho¢e li s novom vrstom sjemena njegov prinos biti manje varijabilan.Sa svojih njiva, izra£unao je podatke o prinosima po m 2 na nekolikomjesta, ovisno o tome je li zasijano novo ili standardno sjeme. Podaci senalaze u datoteci sjeme.txt i pretpostavimo da su normalnodistribuirani. Je li na nivou zna£ajnosti prinos s novim sjemenom manjevarijabilan?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 7.Sredinom 80-tih godina pro²log stolje¢a provedeno je istraºivanje outjecaju £estog uzimanja aspirina na rizik od sr£anog udara. Tijekom 5godina ispitanici su svaki drugi dan uzimali tablete, jedna skupina jeuzimala aspirin, a druga skupina je uzimala placebo. Od 11034 ispitanikana placebu njih 189 je doºivilo sr£ani udar. Od 11037 ispitanika naaspirinu njih 104 je doºivilo sr£ani udar. Smanjuje li uzimanje aspirinarizik od sr£anog udara, na nivou zna£ajnosti 0.05?

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaKontigencijske tablicePromatramo dvodimenzionalno diskretno obiljeºje (X , Y ) i neka jedan slu£ajan uzorak(X 1 , Y 1 ) . . . , (X n , Y n ).Ozna£imo slike slu£ajnih varijabli X i Y i slu£ajnog vektora (X , Y )ImX = {a 1 , . . . , a r },ImY = {b 1 , . . . , b c }Neka je⇒ Im(X , Y ) = {(a i , b j ) : 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ c} .N ij = frekvencija od (a i , b j ) u uzorkuN i = marginalna frekvencija od a i u uzorkuM j = marginalna frekvencija od b j u uzorkuc∑r∑N i = N ij , M j = N ij .j=1i=1

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaKontigencijska frekvencijska tablicaX \Y b 1 b 2 · · · b c Σa 1 N 11 N 12 · · · N 1c N 1a 2 N 21 N 22 · · · N 2c N 2.. . . .. . .a r N r1 N r2 · · · N rc N rΣ M 1 M 2 · · · M c n

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 5.U jednom razredu od n = 30 u£enika promatra se ocjena iz matematike(X ) i zike (Y ).(1, 3), (4, 3), (2, 2), (3, 2), (1, 2), (1, 1),(2, 2), (4, 4), (2, 2), (5, 5), (3, 3), (2, 2),(3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (2, 1), (2, 3),(2, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (4, 4), (2, 2),(3, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 2), (3, 2), (2, 2).

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaKontigencijska frekvencijska tablicaX \Y 1 2 3 4 5 Σ1 1 1 1 0 0 32 2 8 1 0 0 113 0 5 4 1 0 104 0 0 1 3 0 45 0 0 0 0 2 2Σ 3 14 7 3 3 30Tablica relativnih frekvencijaX \Y 1 2 3 4 5 Σ1 1/30 1/30 1/30 0 0 3/302 2/30 8/30 1/30 0 0 11/303 0 5/30 4/30 1/30 0 10/304 0 0 1/30 3/30 0 4/305 0 0 0 0 2/30 2/30Σ 3/30 14/30 7/30 3/30 3/30 1

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaχ 2 test o nezavisnostiPretpostavimo da imamo dvodimenzionalno obiljeºje i ºelimotestiratiOzna£imoH 0 : X i Y su nezavisna obiljeºjaH 1 : X i Y su zavisna obiljeºjap ij = P(X = a i , Y = b j ),p i = P(X = a i ),Onda H 0 moºemo zapisati kaoq j = P(Y = b j ).H 0 : p ij = p i q j , za sve i, jProcijenimo p i i q j relativnim frekvencijamaˆp i = N in ,ˆq j = M jn .

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaPrimjer 6.Utvrdite da li su ocjene koje u£enici dobivaju iz matematike i iz zikenezavisne. (α = 0.05)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaχ 2 test o homogenostiPretpostavimo da nas zanima razdioba istog diskretnog statisti£kogobiljeºja u m razli£itih populacijama.šelimo na osnovu nezavisnih uzoraka uzetih iz tih populacija testiratinul-hipotezu da su razdiobe od X u tim populacijama jednake(homogene).Neka su X (i) slu£ajne varijable koje predstavljaju X u i-toj populacijiIz svake populacije nezavisno odabiremo slu£ajan uzorakNeka jeX (i) ∼X (1)1 , . . . , X (1)n 1X (2)1 , . . . , X (2)n 2.X (m)1, . . . , X (m) nm( )a1 · · · a k, i = 1, . . . , m,p i1 · · · p ikp j = P(X = a j ), j = 1, . . . , k.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaTablica frekvencija uzorakašelimo testiratipopulacija \X a 1 a 2 · · · a k Σ1 N 11 N 12 · · · N 1k n 12 N 21 N 22 · · · N 2k n 2.. . . .. . .m N m1 N m2 · · · N mk n mΣ M 1 M 2 · · · M k nH 0 : X (1) D = X (2) D = · · · D= X (m) , tj. p ij = p j , j = 1, . . . , k, i = 1, . . . , mH 1 : ∃i, j t.d. X (i) D≠ X (j)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaTest statistika je ista kao i prijem∑ k∑ (N ij − ˆn ij ) 2H =∼ H0 ∼ A χ 2 ((m − 1)(k − 1)).ˆn iji=1 j=1R sintaksa chisq.test(x)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaTest o nezavisnosti i homogenosti se provode jednako, ali imajurazli£ite hipoteze.U £emu je razlika?Razlika proizlazi iz dizajna eksperimenta za koji se provodi test.Kod testa nezavisnosti, uzorkovanje se vr²i tako da se iz cijelepopulacije bira slu£ajan uzorak koji se onda klasicira pokategorijama. U tom slu£aju je i broj realizacija po kategorijamaslu£ajan. (primjer: ispitamo ocjene na cijelom razredu, ne znamokoliko ¢e biti primjerice petica iz matematike)Kod testa homogenosti, uzorkovanje se vr²i nezavisno pokategorijama. To zna£i da je veli£ina uzorka po kategorijamautvržena unaprijed. (primjer: odlu£imo promatrati ocjene iz zike za10 u£enika koji imaju 1 iz matematike, 5 u£enika koji imaju 2 izmatematike itd.)Ako se radi o jednostavnom slu£ajnom uzorku, tada su nezavisnost ihomogenost ekvivalentne.

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadaciZadatak 8.Neki fakultet ima £etiri smjera: elektrotehnika, brodogradnja, strojarstvoi ra£unarstvo. Odabran je slu£ajan uzorak od 500 studenata i dobivenipodaci su dani sljede¢om tablicom.Ovisi li odabir smjera o spolu na razini zna£ajnosti 0.05?elektroteh. brodogradnja strojarstvo ra£unarstvo Σstudent 100 80 70 50 300studentica 50 50 50 50 200Σ 150 130 120 100 500

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 9.Za obradu odreženog nastavnog gradiva primjenjene su dvije razli£itenastavne metode. Metoda M1 primijenjena je u skupini A od 100 u£enika,a metoda M2 u skupini B od 200 u£enika. Da bi se utvrdio u£inak, svi suu£enici ispitani i ocijenjeni odgovaraju¢om ocjenom od 1 do 5.Jesu li obje metode jednako u£inkovite na razini zna£ajnosti 0.05?Analizirajte o£ekivane frekvencije pod uvjetom da je nulta hipotezaistinita u odnosu na opaºene frekvencije? Koja metoda daje boljerezultate?skupina \ ocjena 1 2 3 4 5 ΣA 14 26 34 16 10 100B 18 36 58 56 32 200Σ 32 62 92 72 42 300

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 10.180 ljudi ispitano je u istraºivanju kojemu je cilj odrediti postoji lipovezanost izmežu pu²enja i povi²enog krvnog tlaka. Testirajte postoji lipovezanost na razini zna£ajnosti 0.05.nepu²a£ blagi pu²a£ te²ki pu²a£ Σnormalan tlak 48 26 19 93povi²en tlak 21 36 30 87Σ 69 62 49 180

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 11.U paketu BSDA nalazi se baza Politic koja sadrºi podatke iz ankete ukojoj su se ispitanici odlu£ivali izmežu tri politi£ke stranke i zabiljeºen jenjihov spol. Ovisi li odabir politi£ke stranke o spolu? (α = 0.05)

Testovi na dva uzorkaTestovi za dvodimenzionalna obiljeºjaZadatak 12.Provedeno je istraºivanje o rasprostranjenosti alkoholizma za £etirikategorije zanimanja posebno. Je li alkoholizam jednako rasprostranjen unavedenim populacijama?alkoholi£ari nealkoholi£ari Σsluºbenici 32 268 300nastavnici 51 199 250menadºeri 67 233 300trgovci 83 267 350Σ 233 967 1200

Vježbe 5. – statistički testovi############################################################################ t-test - Usporedba očekivanja dviju normalno distribuiranih populacija###################################################################################################################### Nevezani uzorci########################################## Primjer 1.#testiramo:# H0: mu1 = mu2# H1: mu1 != mu2#Uočimo da su dva uzorka nezavisna, dob jednih ne ovisi o dobi drugih.Primjerice, ako su jedni stariji, ne znači da će drugi# biti stariji ili mlađi.stud ne odbacujemo nultu hipotezu. Na raziniznačajnosti 0.05 ne možemo tvrditi# da se prosječna dob razlikuje.#Ako nismo sigurni u jednakost varijanci, onda je bolje koristiti Welchovuverziju t-testa#jednostavno izostavimo var.equal=TRUE, jer je default opcijavar.equal=FALSEt.test(Klas, Inter)########################################## Vezani uzorci########################################################### Primjer 2.#testiramo:# H0: mu1 = mu2# H1: mu1 != mu2#Uočimo da podaci nisu nezavisni jedni od drugih jer očito svaki sudacocjenjuje istu stvar. Očekujemo da ako jedan sudac# da veću ocjenu, onda će i drugi i obrnuto. To je baš karakteristikazavisnosti. Stoga moramo koristiti t-test za sparene podatke!ocjene

# ocjene dva suca razlikuju.#KAD BI POGREŠNO NAPRAVILI t-test za nevezane uzorket.test(S1,S2,alternative=c("two.sided"))#ne bi odbacili H_0 - POGREŠNO!############################################################################ F-test - Usporedba varijanci dviju normalno distribuiranih populacija#############################################################################Primjer za bazu studenti#testiramo:# H0: sigma1^2 = sigma^2# H1: sigma1^2 != sigma^2var.test(Klas, Inter)#na nivou značajnosti ne odbacujemo H_0var(Klas)var(Inter)############################################################################ Usporedba proporcija #############################################################################Primjer#Radi se o usporedbi proporcija u dva dijela grada#testiramo# H0: pA = pB# H1: pA > pB#funkcija prop.test kao prvi parametar uzima vektor frekvencija, a kaodrugi vektor s ukupnim brojem podatakaglasovi

library(BSDA)Achievestr(Achieve)zenski

################### Zadatak 3.#Autogearstr(Autogear)attach(Autogear)#Neka je mu1 očekivanje od A i mu2 očekivanje od B#Testiramo hipoteze# H0: mu1 = mu2# H1: mu1 != mu2t.test(A,B)#p Odbacujemo H_0, tj. na nivou značajnosti 0.05 možemo tvrditi dase dvije tvornice razlikuju# u prosječnom broju neispravnih mjenjača.#testiramo jesu li varijance jednakevar.test(A,B)#p>0.05 pa ne odbacujemo H_0 (jednake varijance). Dakle, ne možemo tvrditida su varijance različite.t.test(A,B, var.equal=TRUE)#I uz tu pretpostavku će rezultat biti isti, p-vrijednost se nezntnopromjeni# Mean(B) je veći od mean(A), pa se čini da je druga tvornica lošija (većibroj neispravnih)#Sad ćemo testirati i to# H0: mu1 = mu2# H1: mu1 < mu2t.test(A,B, var.equal=TRUE, alternative="less")#p0.05 => ne možemo odbaciti nultu hipotezu na razini značajnosti 0.05#Nema dokaza da se preciznost uređaja i liječnika razlikuje4

################### Zadatak 5.#Bonesstr(Bones)aktiv 0.05 pa na nivou značajnosti 0.05 ne možemo odbaciti H0, tj. nema dokazada fizički aktivne žene imaju gušće kosti################### Zadatak 6.#sjeme sigma2^2var.test(standardno, novo, alternative="greater")#p>0.05 pa ne odbacujemo H0, stoga, nema dokaza da je varijabilnost prinosamanja za novo sjeme################### Zadatak 7.##Radi se o usporedbi proporcija, svaka osoba je bernoullijeva sl. var. -ili doživi srčani udar ili ne.#Neka je p1 vjerojatnost srčanog udara za osobu na placebu i p2 za osobu naaspirinu.#Hipoteze# H0: p1 = p2# H1: p1 > p2su

########################################## Kontigencijske tablice########################################?tableocjene

##Radi se o chi^2 testu nezavisnosti. Uzorak je na cijeloj populaciji, a ipitanje je postavljeno tako.#Hipoteze# H0: smjer je nezavisan o spolu# H1: postoji zavisnost#trebamo napraviti kontigencijsku tablicu.#jednostavno ćemo stavit podatke u matricutabl

#Radi se o chi^2 testu o nezavisnosti.#Hipoteze# H0: nezavisna obilježja# H1: nisu nezavisnatabl