1.1 Matrice - Front Slobode

1.1 Matrice1.1.1 Uvod u matrice i vektorePretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme.Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 139KM, srednji160KM, veliki 205KM, minivan 340KM i luksuzna limuzina 430KM.Za slijedeću sedmicu znate da će vam potrebe po veličinama biti: 4 kompaktna, 3srednja, 12 velikih, 2 minivana i 1 luksuzna limuzina. Kako biste izračunali ukupnucijenu iznajmljivanja automobila?Ako biste izačunali4 · 139KM + 3 · 160KM + 12 · 205KM + 2 · 340KM + 1 · 430KM = 4606KMbili biste u pravu. No upravo ste uradili problem množenja matrica a da niste toga bilisvjesni!Potrebno auta Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3Kompakt 4 7 2Srednji 3 5 5Veliki 12 9 5Minivan 2 1 3Limuzina 1 1 2Ukupna cijena iznajmljivanja za svaku sedmicu bi se izračunala tako što pomnožimoove količine sa odgovarajućim cijenama.Definicija matrice• Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redovei kolone.• Stoga potrebe iznajmljivanja automobila za tri sedmice se može napisati kaomatrica:⎛ ⎞4 7 23 5 5A =⎜ 12 9 5⎟⎝ 2 1 3 ⎠1 1 2• Svaki red odgovara veličini auta, a svaka kolona odgovara sedmici koju posmatramo.• Uobičajeno je da se matrice označavaju velikim slovima, npr. A, B, C, M, N isl. a da su članovi matrice uokvireni zagradama (·) ili [·].1

• Svaki član matrice se zove element matrice. Elementi matrice moraju formiratikompletan pravougaonik, bez praznih mjesta.• U gornjem primjeru imamo 5 redova i 3 kolone. Veličina matrice se naziva redmatrice.• Ako matrica ima m redova i n kolona, kažemo da je matrica reda m × n.• Matrica A je reda 5 × 3.Definicija vektoraMatrice sa samo jednom kolonom ili samo jednim redom se nazivaju vektori.Na primjer, skup cijena iznajmljivanja automobila sa početka je vektor reda 1 × 5(139 160 205 340 430),dok su potrebe iznajmljivanja za prvu sedmicu 5 × 1 vektor:⎛ ⎞43⎜ 12⎟⎝ 2 ⎠ .11.1.2 Operacije na matricamaSabiranje i oduzimanje matricaMatrice koje imaju isti red se mogu oduzimati i sabirati.Sabiranje, odnosno, oduzimanje se radi na odgovarajućim elementima.Primjer. Trgovac prodaje dva proizvoda, Q i R i ima dvije prodavnice, A i B.Broj proizvoda koji su prodani u zadnje 4 sedmice su pokazane u matricama A iB ispod, gdje kolone predstavljaju sedmice a redovi odgovaraju proizvodima Q i Rrespektivno.A =(5 4 12 710 12 9 14) (8 9 3 4, B =8 18 21 5)Kako prikazati ukupnu prodaju proizvoda po sedmicama u obje prodavnice? Jednostavno,saberemo matrice!( ) ( )5 4 12 7 8 9 3 4T = A + B =+10 12 9 14 8 18 21 52

(5 + 8 4 + 9 12 + 3 7 + 410 + 8 12 + 18 9 + 21 14 + 5( )13 13 15 11=.18 30 30 19)=Oduzimanje matricaPrimjer. Ako je A =( 12 308 15=A − B =) ( 7 35, a B =4 8( 12 308 15( 12 − 7 30 − 358 − 4 15 − 8) ( 7 35−4 8)=), koliko je A − B?( 5 −54 7))Množenje skalarom• Postoje dvije vrste množenja koja se mogu izvršiti nad matricama. Matricu možemopomnožiti specifičnom vrijednošću, kao što je broj (množenje skalarom)ili drugom matricom (matrično množenje).• Skalarno množenje je vrlo jednostavno i predstavlja množenje svakog elementamatrice datim skalarom! Matrično množenje je dosta komplikovanije, ali o tomemalo poslije.( ) 12 30• Data je matrica dva prodana proizvoda za dvije sedmice A =,8 15gdje redovi predstavljaju proizvode, a kolone sedmice. Ako svaki proizvod košta4KM, izračunajte pazar po proizvodima po sedmicama.(12 30P = 4A = 48 15)=(48 12032 60Dijeljenje skalarom radi na apsolutno isti način (sve dok taj skalar nije nula!)Primjer. Ako skup cijena iznajmljivanja automobila p = (139 160 205 340 430)uključuje PDV od 17%, a vaša kompanija može dobiti povrat poreza, dajte vektor vcijena bez poreza.v = 11, 17 p = ( 118, 80 136, 75 175, 21 290, 60 367, 52 ) .)3

Množenje matrica• Ako množimo jednu matricu s drugom matricom, osnovno pravilo je da množimoelemente duž redova prve matrice sa odgovarajućim elementima niz kolonudruge matrice.• Najjednostavniji način da se ovo razumije je da prvo pogledamo nekoliko primjerasa vektorima.• Vratimo se našem primjeru s početka i posmatrajmo vektore:⎛ ⎞43p = (139 160 205 340 430), q =⎜ 12⎟⎝ 2 ⎠1• Dakle kao što smo uradili na početku, prvi element redovnog vektora množimosa prvim elementom kolonskog vektora, te to saberemo sa proizvodom drugogelementa sa drugim, itd.•139 · 4 + 160 · 3 + 205 · 12 + 340 · 2 + 430 · 1 = 4606.• Posmatrajmo sada slučaj kada trebamo izračunati sve cijene po sedmicama, tj.⎛⎞4 7 23 5 5A =⎜ 12 9 5⎟⎝ 2 1 3 ⎠ .1 1 2• Kako bismo izračunali sve cijene po sedmicama, trebamo naći vektor⎛⎞4 7 23 5 5t = p · A = (139 160 205 340 430)⎜ 12 9 5⎟⎝ 2 1 3 ⎠1 1 2• Rezultat jet = (4606 4388 3983).• Ako prva matrica pri množenju ima više od jednog reda, onda se postupak ponavljadok ne iskoristimo sve redove.4

Primjer. Na ¯dite proizvod matrica⎛4 2 12⎞ ⎛A = ⎝ 6 0 20 ⎠ , B = ⎝1 8 5Primjer. Na ¯dite proizvod matrica⎛3 −1 2⎞ ⎛A = ⎝ 1 0 3 ⎠ , B = ⎝4 0 210 0, 5 1 76 3 8 2, 54 4 2 03107100 − 1 51−15205− 1 10⎞⎠⎞⎠Jedinična matrica• Zadnja matrica AB predstavlja primjer specifične matrice. Matrica sa jednicamana svojoj principalnoj dijagonali i nulama svugdje drugo se zove jedinična matrica.Označava se sa I. Jedinična matrica mora uvijek biti kvadratna, tj. redan × n.• Bilo koja matrica reda m × n pomnožena sa jediničnom matricom reda n × nostaje nepromjenjena, tj.A · I = A.• Matrica koja na svim elementima ima nulu se zove nula matrica.Za elemente a 11 , a 22 , . . . , a nn matrice A kažemo da su elementi principalne dijagonalematrice A.Zbir elemenata koji čine principalnu dijagonalu naziva se trag materice A i označavasa trA, tj.n∑trA = = a 11 + a 22 + . . . + a nn .i=1Transponovana matrica matrice A = (a ij ) tipa m × n je matrica B = (b ij ) tipan × m za koju je a ij = b ji . Označavamo je sa A T .Problem dijeljenja• Problemu ‘dijeljenja’ matrica se pristupa preko derivacije inverzne matrice.• Jedna od motivacija za traženje inverzne matrice je rješavanje sistema jednačina.Npr.3x 1 + 8x 2 + x 3 + 2x 4 = 9620x 1 − 2x 2 + 4x 3 + 0.5x 4 = 6911x 1 + 3x 2 + 3x 3 − 5x 4 = 75x 1 + 12x 2 + x 3 + 8x 4 = 1346

1.2 Determinante1.2.1 Definicija determinanteDeterminanteSvakoj kvadratnoj matrici A možemo pripisati jedinstven broj koji se naziva determinantamatrice – det ADeterminanta (kvadratne) matrice 1 × 1 je sam jedini element matrice!Determinanta (kvadratne) matrice 2 × 2 je broj koji dobijemo kada pomnožimoelemente na suprotnim ćoškovima i oduzmemo ih, tj.∣ a ∣11 a 12 ∣∣∣= aa 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 .22Primjer. Naći determinantu matrice( 5 74 9).∣ 5 74 9∣ = 5 · 9 − 7 · 4 = 45 − 28 = 17.Sarusovo praviloSarusovo pravilo je jednostavan način za izračunati determinantu trećeg reda.∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣ a 11 a 12a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32∣ a 31 a 32 a 33 a 31 a 32−a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12Primjer. Izračunati determinantu pomoću Sarusovog pravila:1 2 31 24 5 64 5 = 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8∣ 7 8 9 ∣ 7 8−3 · 5 · 7 − 1 · 6 · 8 − 2 · 4 · 9 = 0.Pojam minoraDefinicija 1.1. Minor M ij elementa a ij matrice A je subdeterminanta koja se dobijeiz det A brisanjem i-te vrste i j-te kolone.8

Primjer.⎡A = ⎣1 2 30 1 42 0 3⎤⎦ , M 23 =∣ 1 22 0M 13 =∣ 0 12 0 ∣ = −2∣ = −4,Pojam kofaktoraDefinicija 1.2. Kofaktor ili algebarski komplement A ij elementa a ij matrice AA ij := (−1) i+j M ijPrimjer.A 23 = (−1) 2+3 M 23 = 4, A 13 = (−1) 1+3 M 23 = −2Laplaceov teoremTeorem 1.1. Laplaceov teorem nam daje način računanja determinante proizvoljnekvadratne matrice, po formulidet A =n∑a ij A ij =j=1n∑a ij A ijPrimjedba. Prvo se zove razvoj po i-toj vrsti, a drugo razvoj po j-toj koloni.i=1det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1n A 1n = a 11 A 11 + a 21 A 21 + . . . + a n1 A n1Primjedba. Laplaceov razvoj je najbolje raditi po onom redu (ili koloni) u kojoj imanajviše nula! Moguće je, ne mijenjajući vrijednost determinante postići da u nekomredu (koloni) imamo što veći broj nula. To se postiže korištenjem osobina determinanti.Determinanta matrice trećeg redaZa opću matricu trećeg reda, determinanta se može izračunati po formuli:∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣ a 21 a 22 a 23 =∣ a 31 a 32 a 33a 11∣ ∣∣∣ a 22 a 23a 32 a 33∣ ∣∣∣− a 12∣ ∣∣∣ a 21 a 23a 31 a 33∣ ∣∣∣+ a 13∣ ∣∣∣ a 21 a 22a 31 a 32∣ ∣∣∣.9

Primjedba. Iako smo determinantu matrice 3 × 3 našli posmatrajući duž prvog reda,mogli smo to uraditi duž bilo kojeg drugog reda ili kolone! No u tom slučaju trebaobratiti pažnju!Primjer. Naći determinantu matrice⎛⎝4 6 12 5 29 0 4⎞⎠ .4 6 12 5 2∣ 9 0 4 ∣ =9 ·∣ 6 1∣ ∣∣∣ 5 2 ∣ − 0 + 4 · 4 62 5 ∣9 · (6˙2 − 1 · 5) + 4 · (4 · 5 − 6 · 2) = 9 · 7 + 4 · 8 = 95.1.2.2 Osobine determinantiOsobine determinantiP1 det A T = det APrimjer.A =( 2 03 1).P2 Zamjenom dvaju redova (ili kolona)unutar determinante mijenja se znak determinante,no ne i numerička vrijednost.Primjer. ∣ ∣∣∣ 2 1−1 4P3 Determinantu množimo nekim brojem tako da joj sve elemente jednog reda (ilikolone) pomnožimo tim brojem. Drukčije, zajednički faktor nekog reda (ili kolone)se može izvući ispred determinante.∣ .Primjer.A =( 2 23 6).P4 Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (ili kolone) jednakinuli.10

P5 Determinanta je jednaka nuli ako su elementi jednog reda (ili kolone) proporcionalniodgovarajućim elementima nekog drugog reda (odnosno kolone)Primjer. ∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 40 1 −5 82 4 6 81 0 −3 4= 0.∣P6 Vrijednost determinante se neće promijeniti ako elementima jednog reda (ili kolone) dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog reda (kolone) pomnožene jednimistim brojem.Primjer. ∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 0 32 −1 4 21 0 −1 32 4 1 2.∣P7 det(A · B) = det A · det BPrimjer.A =( 1 23 4) ( 0 −1, B =2 3)1.3 Inverzna matrica1.3.1 Izračunavanje inverzne matriceInverzna matricaDefinicija 1.3. Neka je A kvadratna matrica n × n. Ako postoji kvadratna matricaX n×n takva da jeAX = XA = I,tada se ona naziva inverznom matricom matrice A. Obično se označava sa A −1 .Dakle imamo da jeAA −1 = A −1 A = I.Osobine inverznih matrica1. Nema svaka matrica svoju inverznu matricu. Prije svega, mora biti kvadratnamatrica. Ako kvadratna matrica ima inverznu matricu, onda se ona naziva regularnom,a inače se zove singularnom.11

2. Ako postoji A −1 , onda je i A inverzna matrica matrice A −1 , tj.(A −1 ) −1 = A.3. Ako inverzna matrica postoji, ona je jedinstvena.4. (AB) −1 = B −1 A −1 . (Dokaz.)5. (A T ) −1 = (A −1 ) T (Primjer.)Dokaz. Neka su matrice A, B, A · B i B · A inverzibilne.(A · B) · (A · B) −1 = I ⇐⇒ A −1 · A · B · (A · B) −1 = A −1I · B · (A · B) −1 = A −1 ⇐⇒ B −1 B · (A · B) −1 = B −1 A −1I · (A · B) −1 = B −1 A −1 .Uslovi za postojanje inverzne matrice• Inverznu matricu A −1 možemo samo pronaći za kvadratnu matricu A.• U nekim slučajevima matrica A −1 neće postojati!• Matrica A je inverzibilna ako i samo ako postoji matrica A −1 za koju vrijediAA −1 = I.• Nula matrica nije inverzibilna.• Linearna zavisnost dva ili više redova (ili kolona) unutar matrice tako ¯der onemogućavainverziju.Teorem 1.2. Matrica A je singularna ako i samo ako je det A = 0.Dokaz. det(A · A −1 ) = det A · det(A −1 ) = det I = 1.Odavdje slijedi da je det A ≠ 0! Dakle, kriterij regularnosti matrice A je da imamodet A ≠ 0.Kofaktorska matricaDefinicija 1.4. Kofaktorska matrica matrice A je matrica koja sadrži kofaktore elemenatamatrice A na odgovarajućim mjestima⎛⎞A 11 A 12 . . . A 1nA 21 A 22 . . . A 2ncof(A) = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠ .A n1 A n2 . . . A nn12

1.3.2 Adjungirana matricaAdjungirana matricaDefinicija 1.5. Adjungirana matrica matrice A je matrica definisana sa adj(A) =(cof(A)) T , tj.⎛⎞A 11 A 21 . . . A n1A 12 A 22 . . . A n2adj(A) = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠ .A 1n A 2n . . . A nnInverzna matrica - KONAČNO!Teorem 1.3. Neka je kvadratna matrica A regularna (det A ≠ 0).inverzna matrica A −1 i imamo da jeTada postojiPrimjer. A =( 1 −32 4).A −1 = 1det A adj(A).Primjer. det A = 10 ≠ 0, stoga postoji inverzna matrica! Na ¯dimo sada sve minore:M 11 = 4, M 12 = 2, M 21 = −3, M 22 = 1.Stoga su kofaktorska matrica i adjungirana matrica:( ) ( 4 −24 3cof(A) =, adj(A) =3 1−2 1).KonačnoA −1 = 1 ( 4 310 −2 1) ( 2= 5− 1 5310110)Algoritam izračunavanja inverzne matrice1. IZRAČUNAJTE DETERMINANTU det A!!! Ako je det A ≠ 0, onda zaključimoregularnost i inverzna matrica postoji.2. Izračunajte sve minore matrice A.3. Izračunajte sve kofaktore matrice A i napišite cof(A).4. Izračunajte adj(A) = [cof(A)] T .5. Podijelite adj(A) sa determinantom!!!13

6. Dobivena matrica je A −1 . PROVJERITE REZULTAT!!Primjer.⎛A = ⎝1 −2 0−1 0 32 1 4⎞⎠ .Primjena u rješavanju matričnih jednačinaMatrična jednačina je jednačina u kojoj su nepoznate i koeficijenti matrice.Primjer. A·X = B. Tada ovo rješavamo tako što pomnožimo cijelu jednakost s lijevestrane sa A −1 .dakle X = A −1 · B.(2 1Primjer. A =0 3A · X = B ⇒ A −1 · A · X = A −1 · B ⇒ I · X = A −1 · B,) (1 2, B =0 4). Riješiti A · X = B.Linearna (ne)zavisnost matricaMi ćemo razmatrati samo linearnu (ne)zavisnost kolonskih i redovnih matrica (vektora).• Za dvije matrice v 1 , v 2 kažemo da su linearno nezavisne ukolikoα 1 v 1 + α 2 v 2 = 0 ⇒ α 1 = α 2 = 0.• Za porodicu matrica v 1 , v 2 , . . . , v n kažemo da su linearno nezavisni ukolikoα 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α n v n = 0 ⇒ α 1 = α 2 = . . . = α n = 0.• U suprotnom, kažemo da su linearno zavisni. Linearna zavisnost slijedi akobarem jedan od α i ≠ 0.Primjer. Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektora v 1 , v 2 , v 3 i vektora v 1 , v 2 , v 3 , v 4 :v 1 = (0, 0, 1), v 2 = (0, 2, −2), v 3 = (1, −2, 1), v 4 = (4, 2, 3)Primjer. Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektora v 1 , v 2 , v 3 i vektora v 1 , v 2 , v 3 , v 4 :v 1 = (1, 2, 0), v 2 = (1, 0, 3), v 3 = (1, 2, 4)14

1.4 Rang matriceKoncept linearne zavisnosti vektora (tj. matrica) nam omogućava uvo ¯denje jednogvažnog pojma i osobine matrica, naime rang matrice. Važno je napomenuti da, zarazliku od determinanti, rang matrice A možemo pronaći za bilo koju matricu A, tj.dimenzija m × n.Definicija 1.6. Ako je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji možemo naćiu matrici A jednak broju r, tada taj broj nazivamo rang matrice A i označavamo ga sar(A).Primjedba. Rang matrice r(A) tako ¯der u isto vrijeme označava maksimalni broj linearnonezavisnih kolona!Primjedba. Rang matrice može biti maksimalno m ili n, tj.r(A) ≤ min(m, n).Primjedba. Po definiciji, n × n regularna matrica ima n linearno nezavisnih redova (tj.kolona) pa ima rang r(A) = n.S obzirom na vezu linearne zavisnosti i determinanti, rang matrice možemo drugačijedefinisati:Definicija 1.7. Rang matrice r(A) je maksimalni red determinante različite od nulekoja se može formirati od redova i kolona te matrice!Definicija 1.8. Neka je A = (a ij ) matrica reda m × n tada za minor reda r matrice Akažemo da je bazisni ako je on različit od nule a svi minori reda r + 1 ako postoje sunule.Rang matrice jednak je dakle redu bazisnog minora!Izračunavanje ranga matricePri odre ¯divanju ranga matrice koristit ćemo tzv. elementarne transformacija matrice:1. zamjena mjesta dva reda ili dvije kolone;2. množenje reda ili kolone nekim brojem različitim od nule;3. elementima jednog reda (kolone) možemo dodati odgovarajuće elemente drugogreda (kolone).Primjenom ovih transformacija, dobit će se matrica koja ima isti rang kao i početnamatrica (kažemo A ≡ B ako r(A) = r(B)).Ovaj postupak ide na način da svaki naredni red ima jednu nulu više od prethodnog,što se naziva i postupak Gaussove eliminacije. Ovaj postupak je sličan onome15

vi ¯denom kod izračunavanja determinanti (svo ¯denje kolone ili reda na što više nula).Rang ove dvije matrice će biti isti zato što će se vrijednost maksimalne determinantemožda promjeniti, no nikada ne može postati jednaka nuli! Po završenoj Gaussovojeliminaciji, rang je u stvari broj redova (tj. kolona) koji imaju barem jedan elementrazličit od nule!Primjer.Primjer.⎛⎜⎝⎛⎜⎝1 2 3 −42 1 0 13 −1 2 35 0 2 42 4 1 3−1 −2 1 00 0 2 23 6 2 5⎞⎟⎠⎞⎟⎠16