Kennslubókin kafli 1 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

Stæ 503Fyrri hluti Kaflar 1–3Menntaskólinn við HamrahlíðHaust 2013

EfnisyfirlitEfnisyfirlit 21 Vísisföll, lograr og andhverfur hornafalla 51.1 Afleiður vísisfalla og logra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Afleiður vísisfalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3 Afleiður logra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Andhverfur hornafalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Andhverfa sínusfallsins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Andhverfa tangensfallsins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Heildun 232.1 Stofnfall og óákveðið heildi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1 Stofnfall, óákveðið heildi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ritvenjur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Reglur heildunar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.3 Flatarmál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.4 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Ákveðið heildi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ritvenjur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Heildunaraðferðir 473.1 Hlutheildun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Flýtileið hlutheildunar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Innsetningaraðferð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Innsetningaraðferð í ákveðnu heildi . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Stofnbrotaliðun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

EFNISYFIRLIT 3Svör við æfingumÆfing 1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 1.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 1.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Æfing 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iiiiiiiiiiivvixxixii

Kafli 1Vísisföll, lograr og andhverfurhornafalla1.1 Afleiður vísisfalla og lograÍ STÆ403 eru vísisföll og lograr kynnt til sögunnar. Vísisfall er fall á forminuf(x)=a x , þar sema>0 oga≠1,og falliðg(x)=log a (x), þar sema>0 oga≠1er tilsvarandi logri. Logrinng(x)=log a (x) er andhverfa vísisfallsinsf(x)=a x ,eins og sjá má hér fyrir neðan.y=a x ⇐⇒ x= log a (y).Eftirfarandi regla sýnir hvernig hægt er að einfalda lograreikning. Þessi regla á sérhliðstæðu meðal vísisfalla og er sú regla einnig sett fram hér. Annars vegar er umlograform reglunnar að ræða, hins vegar tilsvarandi vísisform.5

6 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLASetning 1.1.1 (Logra- og vísisreglur). Gerum ráð fyrir aðx ogy séu jákvæðarrauntölur og að q sé einhver rauntala (jákvæð, neikvæð eða núll). Þá gildireftirfarandi:log a (x·y)=log( ) a (x)+log a (y)xlog a = logy a (x)−log a (y)log a (x q )=q·log a (x)a x·ay =a x+ya xa y =ax−y(a x ) q =a q·xEnnfremur gildirlog a (a)=1 a 1 =alog a (1)=0 a 0 = 1Eftirfarandi regla fjallar um logra með grunntölunae. Venjan er að skrifa ln(x) ístað log e (x) og kallast þessi logri náttúrlegi logrinn. 1Setning 1.1.2 (Skipt um grunntölu). Eftirfarandi jöfnur sýna að sérhvern logramá skrifa sem margfeldi af náttúrlega logranum og að sérhvert vísisfall máskrifa sem veldi afe x .log a (x)= 1ln(a)ln(x) (1.1)a x =e ln(a)x (1.2)1.1.1 Afleiður vísisfallaEf afleiða almenns vísifallsf(x)=a x er reiknuð út frá skilgreiningu fæst:svof ′ (x 0 )= limx→x0f(x)−f(x 0 )x−x 0= limx→x0a x −a x 0x−x 0(a= limx−x 0−1)a x 0x→x0 x−x( 0ax−x 0)−1= lim ·a x 0x→x0 x−x( 0af ′ x−x 0)−1(x 0 )= lim ·f(x 0 ).x→x0 x−x 01 Ef grunntalan er 10 er venjan að skrifa einfaldlega log(x) eða lg(x) í stað log 10 (x) og þá ertalað um tíu-logrann.

1.1. AFLEIÐUR VÍSISFALLA OG LOGRA 7Sýna má fram á að markgildiðalimx−x 0−1x→x 0 x−x 0er afleiða fallsinsf(x)=a x íx= 0, það er að segja:.alimx−x 0−1=f ′ (0). (1.3)x→x 0 x−x 0Víð höfum því sýnt að ef vísisfallið f(x) = a x er diffranlegt í x = 0 þá er falliðdiffranlegt allsstaðar og hefur afleiðunaf ′ (x)=f ′ (0)·f(x). (1.4)Í þessum áfanga verður tilvist markgildisins í jöfnu (1.3) ekki rökstudd. Gertverður ráð fyrir því að markgildið sé til fyrir öll gildi áa>0og jafnframt að tilsé nákvæmlega eitt gildi áasem er lausn á jöfnunnialimx −1= 1.x→0 xSkilgreining 1.1.1 (Talan e). Talan e er sú rauntala sem uppfyllir jöfnunae x −1= 1. bxlimx→0b Talane er óræð tala og með fimm aukastöfum er gildiðe≈2.71828Af þessu fæst eftirfarandi regla:Setning 1.1.3. Vísisfalliðf(x)=e x er diffranlegt allsstaðar og hefur afleiðunaf ′ (x)=e x (1.5)Dæmi 1.1.1. Ef margföldunarreglu 2 diffrunar er beitt á fallið f(x)=(x 2 +1)e xfæst:f ′ (x)=2xe x +(x 2 +1)e x=(2x+x 2 +1)e x=(x+1) 2 e x2 Margföldunarregla diffrunar:(fg) ′ =f ′ g+fg ′

8 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLADæmi 1.1.2. Ef kvótareglu 3 diffrunar er beitt á falliðf(x)= ex +1sin(x) fæst:f ′ (x)= (ex +0)sin(x)−(e x +1)cos(x)sin 2 (x)= ex sin(x)−e x cos(x)−cos(x)sin 2 (x)= (sin(x)−cos(x))ex −cos(x)sin 2 (x)Eftirfarandi regla fæst með því að beita keðjureglu 4 diffrunar:Setning 1.1.4. Ef falliðy=u(x) er diffranlegt á opnu bili]a,b[ þá er samsettafalliðf(x)=e u(x) diffranlegt á sama bili með afleiðuf ′ (x)=e u(x)·u ′ (x) (1.6)Dæmi 1.1.3. Samkvæmt jöfnu (1.6) er afleiða fallsinsy=e −4x þessi:y ′ −4x=e−4x·(−4)=−4eDæmi 1.1.4. Samkvæmt jöfnu (1.6) fæst:(a) Eff(x)=e sin(x) þá erf ′ (x)=e sin(x) cos(x)(b) Eff(x)=e x2 +tan(x) þá erf ′ (x)=e x2 +tan(x) (2x+tan 2 (x)+1)Dæmi 1.1.5. (a) Samkvæmt jöfnu (1.6) og margföldunarreglu diffrunar er afleiðafallsinsy=e −5x cos(x) þessi:y ′ =e −5x (−5)cos(x)+e −5x( −sin(x) ) =− ( 5cos(x)+sin(x) ) e −5x(b) Samkvæmt jöfnu (1.6) og margföldunarreglu diffrunar er afleiða fallsinsf(x)=cos(x)e √x þessi:f ′ (x)=−sin(x)e √x +cos(x)e √ x 12 √ x( ) ′f 3 Kvótaregla diffrunar: = f′ g−fg ′g g 24 Keðjuregla diffrunar:(f◦g) ′ (x)=f ′ (g(x))·g ′ (x)

1.1. AFLEIÐUR VÍSISFALLA OG LOGRA 9Dæmi 1.1.6. Samkvæmt jöfnu (1.6) og kvótareglu diffrunar er afleiða fallsinsxy=1+e þessi: tan(x) y ′ = 1·(1+etan(x) )−xe tan(x)( 1+tan 2 (x) )(1+e tan(x) ) 2= 1+etan(x) −xe tan(x) −xtan 2 (x)e tan(x)(1+e tan(x) ) 2= 1+( 1−x−xtan 2 (x) ) e tan(x)(1+e tan(x) ) 2Dæmi 1.1.7. Sýnum að jafna snertils við feril fallsf(x)=x 2 e −x í punkti ( 1,f(1) )ery=e −1 x.Lausn: Jafna snertilsins ery−f(1)=f ′ (1)(x−1).Til að finna jöfnu snertilsins þarf að reikna stærðirnarf(1) ogf ′ (1). Gildi fallsinsí 1 erf(1)=1 2 e −1 =e −1 = 1/e og þar sem afleiða fallsins erf ′ (x)=2xe −x +x 2 e −x (−1)=(2x−x 2 )e −x .þá er gildi afleiðunnarf ′ (1)=(2·1−1 2 )e −1 =(2−1)e −1 =e −1 . Jafna snertilsins erþví þessi:y−e −1 =e −1 (x−1) eða y=e −1 x.Jöfnur (1.6) og (1.2) eru notaðar saman til að sanna eftirfarandi meginregludiffrunar vísisfalla:Setning 1.1.5 (Diffrun vísisfalla). Vísisfalliðf(x)=a x er diffranlegt allsstaðarog hefur afleiðunaf ′ (x)=ln(a)a x (1.7)Sönnun.f ′ (x)=(a x ) ′=(e ln(a)x) ′skv. jöfnu (1.2)=e ln(a)x ln(a) skv. jöfnu (1.6)=a x ln(a)

10 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLASetning 1.1.6. Ef falliðy=u(x) er diffranlegt á opnu bili]a,b[ þá er samsettafalliðf(x)=a u(x) diffranlegt á sama bili og hefur afleiðunaf ′ (x)=ln(a)a u(x)·u ′ (x) (1.8)Dæmi 1.1.8. Eff(x)=2 sin(x) þá fæst samkvæmt jöfnu (1.8):f ′ (x)=ln(2)2 sin(x) cos(x)Samantektf(x)e xe u(x)a xa u(x)f ′ (x)e xe u(x) u ′ (x)ln(a)a xln(a)a u(x) u ′ (x)1.1.2 ÆfingDæmi 1. Finnið afleiður eftirfarandi falla.(a)y= 4 x (b)y= 3 x (c)y= 8 x(d)y= 3·5 x (e)y= 7·6 x (f)y= 2·10 x(g)y= 6 x−2 (h)y= 2 3x+1 (i)y= 5·7 3−x .Dæmi 2. Finnið afleiður eftirfarandi falla.(a)y=xe x (b)y=e x+1 sin(2x) (c)y= 5 x e −x(d)y= x2(e)y= x+2(f)y= cos(x)e x 1+e x e −xDæmi 3. Finnið x-hnit allra punkta á ferli fallsins f(x) = exþar sem snertillx2 ferilsins er láréttur.Dæmi 4. Fyrir hvaða gildi áx er afleiða fallsinsf(x)=x 2·e x núll?Dæmi 5. Finnið afleiður eftirfarandi falla.(a)y=e 4x+1 (b)y=e x−x3 (c)y=e 2x−3(d)y=e √ x−x(e)y= 4 1 2 cos(2x) (f)y=e√cos(2x)(g)y= sin(2 x ) (h)y= 2 sin(x) (i)y= 7 1 x −2x .Dæmi 6. Gefið er falliðg(x)=xe x .(a) Finniðg ′ (x) og gerið formerkjamynd fyrir afleiðuna.(b) Finnið nákvæm hnit allra útgildispunkta fallsins.

1.1. AFLEIÐUR VÍSISFALLA OG LOGRA 11(c) Gerið formerkjamynd fyrirg ′′ (x).(d) Finnið nákvæm hnit allra beygjuskilapunkta.(e) Rissið feril fallsins.(f) Fyrir hvaða gildi ákhefur jafnang(x)=k nákvæmlega tvær lausnir?1.1.3 Afleiður lograTengslin á milli afleiðu falls og afleiðu andhverfu þess koma fram í eftirfarandireglu:Setning 1.1.7. Eff á sér andhverft fallg,f er diffranlegt íx 0 ogf ′ (x 0 )≠0,þá erg diffranlegt íy 0 =f(x 0 ) ogg ′ (y 0 )=1f ′( x 0 )(1.9)Sönnun. Samkvæmt skilgreiningu á andhverfum föllum ery=f(x) ⇐⇒ x=g(y) og y 0 =f(x 0 ) ⇐⇒ x 0 =g(y 0 )Skilgreiningin á diffurkvóta er notuð til að reiknag ′ (y 0 ):g ′ (y 0 )= limy→y 0g(y)−g(y 0 )y−y 0Þar semf(x) er diffranlegt þá erf(x) samfellt og þar með erg(x) líka samfellt.Því gildir að efy →y 0 þá mung(y) →g(y 0 ), það er að segja,x →x 0 . Því fæst:g ′ g(y)−g(y 0 ) x−x 0(y 0 )= lim = limy→y 0 y−y 0 x→x 0 f(x)−f(x 0 )1 1 1= lim = =x→x 0 f(x)−f(x 0 ) f(x)−f(x 0 ) flim′ (x 0 )x−x 0 x→x 0 x−x 0Dæmi 1.1.9. Diffranlega falliðf(x)=x 5 −x 3 +2x á sér andhverft fallg. Punkturinn(x 0 ,2) er á ferli fallsinsf .Athugum hvortg er diffranlegt íy 0 = 2 og finnumg ′ (2) ef til.1Lausn: Samkvæmt reglu 1.1.7 erg ′ (2) til eff ′ (x 0 )≠0og þá erg ′ (2)=f ′ (x 0 )Fyrst erx 0 fundið. Til að finnax 0 er jafnanf(x)=2 leyst:x 5 −x 3 +2x= 2Lausnin erx= 1 (fundin með ágiskun). Svox 0 = 1. Þar semf ′ (x)=5x 4 −3x 2 +2þá erf ′ (1)=4. Þar semf ′ (1)≠0þá erg ′ (2) til ogg ′ (2)= 1f ′ (1) = 1 4

12 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLADæmi 1.1.10. Diffranlega falliðf(x)=x 3 −1 á sér andhverft fallg. Punkturinn(x 0 ,−1) er á ferli fallsinsf .Athugum hvortg er diffranlegt íy 0 =−1 og finnumg ′ (−1) ef til.Lausn: Samkvæmt reglu 1.1.7 hér að ofan erg ′ (−1) til eff ′ (x 0 )≠0 og þá erg ′ (−1)=1f ′ (x 0 )Fyrst erx 0 fundið. Til að finnax 0 er jafnanf(x)=−1 leyst:x 3 −1=−1Lausnin erx= 0. Svox 0 = 0. Þar semf ′ (x)=3x 2 þá erf ′ (0)=0og því erg ′ (−1)ekki til.Dæmi 1.1.11. Athugum falliðf(x)= √ x 3 +x 2 +x+1.Falliðf á sér andhverft fallg. Snertill við ferilf ípunktinum(1,2) hefur jöfnuf(1,2)•y=f ′ (1)x+ 1 2 = 3 2 x+ 1 2 .Rissum feril andhverfunnar g og finnum jöfnusnertils við ferilg í punktinum(2,g(2)).Lausn: Ferill fallsinsg fæst með því að spegla ferlif um línunay =x. Við það speglast punkturinn(1,2) á ferlif í punktinn (2,1) á ferli g. Snertillvið ferilg í punktinum(2,1) hefur hallatölug ′ (2)= 1f ′ (1) = 13/2 = 2 3f(1,2)••(2,1)Jafna snertils er þvígy−1=g ′ (2)(x−2)svo y= 1+ 2 3 (x−2)= 2 3 x− 1 3Í dæmunum hér að ofan hefur verið sýnt hvernig nota má reglu 1.1.7 til þess aðfinna gildi á afleiðu andhverfu gefins falls án þess að formúla fyrir andhverfunni séþekkt.Regla 1.1.7 gerir okkur einnig kleift að finna afleiðu náttúrlega lograns ln(x).

1.1. AFLEIÐUR VÍSISFALLA OG LOGRA 13Setning 1.1.8. Náttúrlegi logrinng(x)=ln(x) er diffranlegur á]0,∞[ og hefurafleiðunag ′ (x)= 1 x(1.10)Sönnun. Reglu 1.1.7 er beitt. Eff(x)=y=e x þá er andhverfa falliðg(y)=ln(y).Samkvæmt jöfnu (1.9) fæst þág ′ (y)= 1f ′ (x) = 1e x= 1 yvegna þess aðy=exAfleiða lograns g(y) = ln(y) er því g ′ (y) = 1 yeða með öðrum orðum: Afleiðafallsinsg(x)=ln(x) erg ′ (x)= 1 x .Dæmi 1.1.12. (a) Samkvæmt margföldunarreglu diffrunar er afleiða fallsinsy=(x 3 +2x+1)ln(x) þessi:y ′ =(3x 2 +2)ln(x)+(x 3 +2x+1) 1 x=(3x 2 +2)ln(x)+ x3 +2x+1xx 2(b) Samkvæmt kvótareglu diffrunar er afleiða fallsinsy=x+ln(x) þessi:2x ( x+ln(x) ) (−x 2 1+ 1 )y ′ x=(x+ln(x)) 2= 2x2 +2xln(x)−x 2 −x(x+ln(x)) 2= x2 +2xln(x)−x(x+ln(x)) 2Með því að beita keðjureglu diffrunar fæst eftirfarandi niðurstaða:Setning 1.1.9. Efy = u(x) er jákvætt og diffranlegt á opnu bili]a,b[ þá ersamsetta falliðf(x)=ln ( u(x) ) diffranlegt á sama bili með afleiðuf ′ (x)= u′ (x)u(x) . (1.11)

14 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLADæmi 1.1.13. (a) Samkvæmt jöfnu (1.11) er afleiða fallsins y= ln(x 3 +x 2 +1)þessi:y ′ = 3x2 +2xx 3 +x 2 +1x(b) Samkvæmt kvótareglu diffrunar og jöfnu (1.11) er afleiða fallsinsy=ln ( cos(x) )þessi:y ′ =1·ln ( cos(x) ) −x −sin(x)cos(x)ln 2( cos(x) )= ln( cos(x) ) +xtan(x)ln 2( cos(x) )Nota má jöfnu (1.1) til að diffra aðra logra en náttúrlega logrann. Þá er logrinn fyrstumritaður sem margfeldi af náttúrlega logranum.Dæmi 1.1.14. Reiknum afleiðu logransy= log 3 (x)Lausn: Byrjað er á að umrita logrann sem margfeldi af náttúrlega logranum og svoer diffrað:y= log 3 (x)= 1ln(3)·ln(x)svo y ′ =ln(3)· 1 1x1=ln(3)xDæmi 1.1.15. Reiknum afleiðu logransy= log 1/2 (x).Við förum að eins og í dæminu hér á undan, umritum logrann fyrst sem margfeldiaf náttúrlega logranum og diffrum svo.svo y ′ =y= log 1/2 (x)=1−ln(2)· 1x= −1ln(2)x1ln(1/2)·ln(x)= 1−ln(2)·ln(x)Eftirfarandi regla var sett fram, en ekki sönnuð, í STÆ403:Setning 1.1.10. Eff(x) = x a þar semx > 0 ogaer einhver rauntala þá erf ′ (x)=ax a−1 .

1.1. AFLEIÐUR VÍSISFALLA OG LOGRA 15Sönnun. Við umritum falliðf á eftirfarandi hátt:f(x)=x a= ( e ln(x)) a=e aln(x) .Samkvæmt jöfnum (1.8) og (1.10) fæst þáf ′ (x)=(e aln(x)) ′=e aln(x)·a 1 x=x a·ax=ax a−1Samantektf(x)ln(x)ln ( u(x))f ′ (x)1xu ′ (x)u(x)1.1.4 ÆfingDæmi 1. Finniðg ′ (y 0 ) þar semg er andhverfa gefna fallsins. Byrjið á að sýna að1f(x 0 )=y 0 og notið svo reglunag ′ (y 0 )=f ′ (x 0 ) .(a)f(x)=x 3 +x+1, x 0 = 0,y 0 = 1 (b)f(x)=x+sin(x), x 0 =π,y 0 =π(c)f(x)=3+x+e x , x 0 = 0,y 0 = 4 (d)f(x)= √ x 3 +1−x, x 0 = 2,y 0 = 1Dæmi 2. Finnið afleiður eftirfarandi falla.lograreglum áður en diffrað er.Einfaldið logra ef mögulegt er með(a)y= ln(x 2 +1) (b)y=xln(x) (c)y= log 3 (x+2)(d)y= √ xlog 2 (x) (e)y= ln √ ( ) 1x−11 (f)y= log 7x+1(g)y= ln(sin 2 (x)) (h)y= ln ( xsin(x) ) ( ) x(i)y= ln .cos(x)Dæmi 3. Finnið afleiður eftirfarandi falla. Í liðum (c)–(f) er auðveldast að einfaldalogrann áður en diffrað er.(a)y= ln(x+2) (b)y= ln ( tan(2x) ) (c)y= ln( √ 1−x 2 sin(x))(√ )3x+2(d)y= ln3x−2( ) x+2(e)y= log 21+e x ( ) cos(x)(f)y= lne −x

•••16 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLADæmi 4. Finnið jöfnu snertils við feril fallsins f(x) = ln(4x− 3) í punktinum(1,f(1)).Dæmi 5. Gefið er falliðf(x)= ln(x) , x> 0.x(a) Sýnið aðf ′ (x)= 1−ln(x)x 2 .(b) Finnið alla útgildispunkta fallsins.(c) Gefið er aðf(x) → 0 þegarx →∞. Rissið feril fallsins.(d) Fyrir hvaða gildi ákhefur jafnanf(x)=k nákvæmlega tvær lausnir?Dæmi 6. Notið jöfnu (1.11) á blaðsíðu 13 til að sanna að efu(x) er diffranlegt fallogu(x)≠0 þá gildir eftirfarandi 5 :1.2 Andhverfur hornafallaHornaföllin eru sex talsins:d (x)dx ln|u(x)|=u′ u(x)y= cos(x) y= sin(x) y= tan(x)11y= sec(x)= y= csc(x)= y= cot(x)=cos(x) sin(x)1tan(x)Hér verður aðeins fjallað um sínus og tangens enda eru þau mest notuð. Minnumstþess að fall hefur ekki andhverfu ef til er lárétt lína sem sker feril fallsins oftar eneinu sinni. Þetta þýðir að ekkert hornafallana á sér andhverfu. Athugum sínusfalliðbetur.1• • •−2π−3π2−π−π2−1π2π3π22πLárétta línany= 1/2 sker feril sínusfallsins oftar en einu sinni svo fallið hefur ekkiandhverfu. Ef fallið er hinsvegar einskorðað við bilið[−π/2,π/2] er greinilega aðrasögu að segja.1−2π−3π2−π−π2−1π2π3π22π5 Athugið tilfellinu(x)>0en þá er|u(x)|=u(x) ogu(x)

1.2. ANDHVERFUR HORNAFALLA 171.2.1 Andhverfa sínusfallsinsMyndirnar hér fyrir neðan sýna graf einskorðaða sínusfallsins og andhverfu þess.1π2−π2π2−11−1y= sin(x) −π/2≤x≤π/2− π 2y= arcsin(x) −1≤x≤ 1Andhverfan er táknuð meðy = sin −1 (x) eðay = arcsin(x). Tengslin milli falls ogandhverfu þess sjást vel hér fyrir neðan:f : y= sin(x)f −1 : y= arcsin(x)D f =[−π/2,π/2] V f =[−1,1]D f −1=[−1,1] V f −1=[−π/2,π/2]Ennfremur gildir:arcsin ( sin(x) ) =x,sin ( arcsin(x) ) =x,ef−π/2≤x≤π/2ef −1≤x≤ 1Samkvæmt jöfnunum hér á undan ery = arcsin(x) fall sem breytir tölum á bilinu[−1,1] í horn, mæld í bogaeiningum, á bilinu[−π/2,π/2], þ.e.a.s arcsin(x) er horny á bilinu[−π/2,π/2] þannig að sin(y)=x.Dæmi 1.2.1. (a) arcsin(1/2) er horn y á bilinu [−π/2,π/2] þannig aðsin(y)=1/2. Þá verðury að veraπ/6. Því ery= arcsin(1/2)=π/6.(b) arcsin(sin(3π/4)) er horny á bilinu[−π/2,π/2] þannig að sin(y)=sin(3π/4).Þar sem sin(π/4)=sin(3π/4) þá ery=π/4. Svoy= arcsin(sin(3π/4))=π/4.Setning 1.2.1. Falliðy= arcsin(x) er diffranlegt á opna bilinu]−1,1[ og hefurafleiðuy ′ 1= √1−x2

18 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLASönnun. Eff(x)=y= sin(x),−π/2

1.2. ANDHVERFUR HORNAFALLA 19π21−π2π2−4−3 −2−1−1π21 2 3−2y= arctan(x) −∞

20 KAFLI 1. VÍSISFÖLL, LOGRAR OG ANDHVERFUR HORNAFALLADæmi 1.2.3. Reiknum(a) arctan(tan(5π/6)) og(b) tan(arctan(7)).(a) y = arctan(tan(5π/6)) er horn y á bilinu ] − π/2,π/2[ þannig aðtan(y)=tan(5π/6). Þá ery=−π/6 og því ery= arctan ( tan(5π/6) ) =−π/6.(b) Þar sem tan ( arctan(x) ) =x gildir um öllx er tan(arctan(7))=7.Setning 1.2.2. Falliðy= arctan(x) er diffranlegt alls staðar og hefur afleiðuy ′ =11+x 2Sönnun. Ef f(x) = y = tan(x),−π/2 < x < π/2, þá er andhverfang(y)=arctan(y). Samkvæmt reglu um diffrun andhverfra falla fæst þá:g ′ (y)= 1f ′ (x) = 1=11+y 2Samkvæmt þessu er ( arctan(y) ) ′=11+y 2 .1+tan 2 (x)Með öðrum orðum:( arctan(x)) ′= 11+x 2Athugasemd 2. Samkvæmt keðjureglu fæst:Ef y= arctan ( u(x) ) þá er y ′ = u′ (x)1+u 2 (x)Samantektf(x)=arcsin(x)D f =[−1,1]V f =[−π/2,π/2]f ′ (x)=1√1−x2D f ′=]−1,1[V f ′=[1,∞[g(x)=arctan(x)D g =]−∞,∞[V g =]−π/2,π/2[g ′ (x)=1 D g ′=]−∞,∞[1+x 2 V g ′=]0,1]

1.2. ANDHVERFUR HORNAFALLA 211.2.3 ÆfingDæmi 1. Finnið nákvæm gildi á eftirfarandi stærðum.(a) arctan(−1) (b) arctan( √ 3)(c) arcsin(1) (d) sin ( arcsin(0,7) )(e) arcsin ( sin(1) ) (f) arctan ( tan(4π/3) )Dæmi 2. Finnið afleiður eftirfarandi falla.(a)f(x)=arcsin(2x−1) (b)f(x)=arctan(x 3 )(c)f(x)=arcsin(1) (d)f(x)=(arcsin(x)) 2(e)f(x)=arcsin(x 2 )(g)f(x)=(1+x 2 )arctan(x)(f)f(x)=arcsin(x)ln(x)(h)f(x)= √ 1−x 2 +arcsin(x)

Kafli 2Heildun2.1 Stofnfall og óákveðið heildiMeginviðfangsefni þessa áfanga er heildun en hún er afar mikilvæg í stærðfræðinni.Heildun er nátengd diffrun sem fjallað er um í STÆ403 en mun eldri. Grunnhugmyndirheildunar má nefnilega rekja til forngrikkja. Heildun kemur við söguþegar lýsa á hraða og hreyfingu, þegar reikna á rúmmál hluta, yfirborðsflatarmálog massamiðju, svo nokkur dæmi séu nefnd. Meginsetning stærðfræðigreiningargerir reikning heilda mögulegan. Setninguna er ekki hægt að nota nema svokölluðstofnföll séu reiknuð. Stofnföll eru því fyrsta viðfangsefni þessa kafla.2.1.1 Stofnfall, óákveðið heildiSkilgreining 2.1.1 (Stofnfall). FallF er sagt vera stofnfall gefins fallsf á biliIefF ′ (x)=f(x) fyrir öllx∈I.Dæmi 2.1.1. x 4 er stofnfall fyrir 4x 3 því afleiðax 4 er 4x 3 .x 3 er stofnfall fyrir 3x 2 því afleiðax 3 er 3x 2 .x 2 er stofnfall fyrir 2x því afleiðax 2 er 2x.x er stofnfall fyrir 1 því afleiðaxer 1.Dæmi 2.1.2. Fyrsta skrefið til að finna stofnfall fyrirx er að hækka veldixum 1.Þá fæst annars stigs margliðanx 2 . Afleiðax 2 er 2x. Stofnfall fyrirx er því 1 2 x2 .23

24 KAFLI 2. HEILDUNFyrsta skrefið til að finna stofnfall fyrirx 2 er að hækka veldix 2 um 1. Þá fæst þriðjastigs margliðanx 3 . Afleiðax 3 er 3x 2 . Stofnfall fyrirx 2 er því 1 3 x3 .Athugasemd 3. Þegar a sinnum x í öðru (þar sem a er fasti) er diffrað verðurútkomanasinnum afleiðan afx í öðru. Í stofnfallsreikningi er þetta hliðstætt.Dæmi 2.1.3. Finnum stofnfall fyrirax 2 .Stofnfall fyrirx 2 er 1 3 x3 .Stofnfall fyrirax 2 er þvía· 13 x3 .Stofnfallið fyrir 6x er 6· 12 x2 = 3x 2 .Stofnfallið fyrir 5x er 5· 12 x2 = 5 2 x2 .Stofnfallið fyrir 12x 2 er 12· 13 x3 = 4x 3 .Stofnfallið fyrir 0.6x 2 er 0.6 1 3 x3 = 0.2x 3 .Athugasemd 4. Efker fasti ogf(x)=kþá erf ′ (x)=0. Hvaða fasti sem er geturþví verið stofnfall fyrir 0. Þessu má ekki gleyma þegar stofnföll eru fundin.Dæmi 2.1.4. Látumf(x)=2x+3 og finnum stofnfallF(x) fyrirf . Þar semF ′ (x)=2x+3 hlýturF(x) að vera annars stigs fall.Annars stigs liðurinn verður að vera x 2 . Fyrsta stigs liðurinn verður að vera 3x.Fastaliðurinn íF(x) getur verið hvaða fasti sem er. Þar með erþar semker hinn óþekkti fasti.F(x)=x 2 +3x+kDæmið hér að ofan leiðir til eftirfarandi reglu sem sett er fram án sönnunar:Setning 2.1.1. EfF er eitt stofnfall fallsinsf þá fást öll önnur stofnföll fallsinsf með því að leggja ótiltekinn fasta viðF. Með öðrum orðum: Sérhvert stofnfallf má rita á forminuF(x)+k (k fasti)

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 25Skilgreining 2.1.2 (Óákveðið heildi). Mengi allra stofnfalla fallsinsf er kallaðóákveðna heildið aff . Það er táknað með∫f(x)dxRitvenjurÍ stað þess að segja aðy=F(x) sé stofnfall fallsinsy=f(x) er oft ritað∫f(x)dx=F(x)+kÍ þessu tilviki kallast fastinnkheildunarfasti eða fasti heildunar.Dæmi 2.1.5. F(x) = x 2 , G(x) = sin(x), og H(x) = ln|x| eru stofnföll fallannaf(x)=2x,g(x)=cos(x) ogh(x)= 1 svo rita má:x∫2xdx=x 2 +k∫cos(x)dx= sin(x)+k∫ 1dx= ln|x|+kxDæmi 2.1.6. Sýnum að ∫ ln(x)dx=xln(x)−x+k.Lausn: Sýna þarf að falliðF(x)=xln(x)−x+k sé stofnfallf(x)=ln(x). Samkvæmtmargföldunarreglu diffrunar fæst:F ′ (x)=1·ln(x)+x· 1x −1+0= ln(x)+1−1+0= ln(x)svoF ′ (x)=f(x). FalliðF(x) er því stofnfallf(x).Dæmi 2.1.7. Sýnum að ∫ xe x dx=xe x −e x +k.Lausn: Sýna þarf að(xe x −e x +k) ′ =xe x . Samkvæmt margföldunarreglu diffrunarfæst:(xe x −e x +k) ′ =e x +xe x −e x +0=xe x .

26 KAFLI 2. HEILDUNDæmi 2.1.8. Sýnum að ∫ 1√a 2 −x2dx= arcsin(x/a)+k, a>0.1Lausn: Sýna þarf að(arcsin(x/a)+k) ′ = √a 2 −x2. Samkvæmt keðjureglu diffrunarfæst(arcsin(x/a)+k) ′ 1= √1−(x/a) 2· 1a1=a √ 1−(x/a) 21= √ √ a21−(x/a) 2==1√a 2 (1−(x/a) 2 )1√a 2 −x 2(þvía>0)Dæmi 2.1.9. Sýnum að ∫ tan(ax)dx= −1a ln|cos(ax)|+k.( ) −1 ′Lausn: Sýna þarf aða ln|cos(ax)|+k = tan(ax). Samkvæmt keðjuregludiffrunar fæst( ) −1 ′a ln|cos(ax)|+k = −1 ·−sin(ax)·aa cos(ax)= sin(ax)cos(ax)= tan(ax)Á hliðstæðan hátt og í dæmunum hér á undan má sýna að∫1 1 ( ) xx 2 +a 2dx= a arctan +k.aMeð keðjureglu diffrunar fæst:( ( 1 x ′+k)a a)arctan =a·1 12·11+(x/a) a1=1+(x/a) 2· 1a 21=x 2 +a 2

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 27Reglur heildunarSetning 2.1.2 (Almennar heildunarreglur). Gerum ráð fyrir að fölliny=f(x)ogy=g(x) hafi stofnfölly=F(x) ogy=G(x). Þá gildir:FallStofnfallf(x)±g(x) F(x)±G(x)c·f(x)c·F(x)Þetta má einnig rita svona:∫ ∫ ∫(f(x)±g(x) )dx= f(x)dx± g(x)dx (2.1)∫ ∫c·f(x)dx=c· f(x)dx (2.2)Sönnun. Þar semF er stofnfallf ogGer stofnfallg erF ′ =f ogG ′ =g svo(F(x)±G(x)) ′=F ′ (x)±G ′ (x)=f(x)±g(x)Falliðy=F(x)±G(x) er því stofnfall fallsinsy=f(x)±g(x). Einnig gildir að(cF(x)) ′ =cF ′ (x)=cf(x)svo falliðy=cF(x) er stofnfall fallsinsy=cf(x).∫ (cos(x)+2x )Dæmi 2.1.10. Reiknum óákveðna heildið dx.Lausn: Samkvæmt jöfnu (2.1) fæst:∫ ∫ ∫(cos(x)+2x )dx= cos(x)dx+ 2xdx= sin(x)+x 2 +kDæmi 2.1.11. Reiknum óákveðna heildið∫(2x+ 7 )dx.xLausn: Samkvæmt jöfnum (2.1) og (2.2) fæst:∫(2x+ 7 ) ∫ ∫dx= 2xdx+ 7· 1x x dx∫ 1= 2 xdx+7∫x dx= 2· 12 x2 +7·ln|x|+k=x 2 +7ln|x|+k

28 KAFLI 2. HEILDUNLeitin að stofnfalli felst í því að rekja reglur um diffrun aftur á bak. Það er þvíákaflega mikilvægt að muna helstu diffurkvóta sem komið hafa fyrir og kunnadiffurreglurnar. Í kafla 3 verður fjallað á kerfisbundinn hátt um aðferðir til aðfinna stofnföll ýmissa falla. Þær aðferðir miða að því að umrita föllin svo að þaumegi finna meðal fallanna í eftirfarandi töflu. Stofnföllin í töflunni fást af þekktumdiffrunarreglum.Tafla heilda:fallf(x)StofnfallF(x)Veldisföll: x n 1n+1·xn+1 +k, n∈R,n≠−1x −1ln|x|+kVísisföll: e ax 1a eax +k, a∈R,a≠0b ax 1ln(b)·a bax +k, a∈R,a≠0Hornaföll:cos(ax)sin(ax)tan(ax)1sin(ax)+k, a∈R,a≠0a−1cos(ax)+k, a∈R,a≠0a−1a ln( cos(ax) ) +k, a∈R,a≠0Andhverf hornaföll:1√1−x 2arcsin(x)+k11+x 2 arctan(x)+k∫ sin(x)+6xDæmi 2.1.12. Reiknum óákveðna heildið dx.5

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 29Lausn: Hér er best að umrita brotið og nota svo jöfnur (2.1) og (2.2):∫ ∫( sin(x)+6x 1dx=5 5·sin(x)+ 6 )5·x dx= 1 ∫sin(x)dx+ 6 ∫xdx5 5= 1 5·(−cos(x) ) + 6 5·12 x2 +k=− 1 5 cos(x)+ 3 5·x2 +k∫ (xDæmi 2.1.13. Reiknum óákveðna heildið2 +3 √ x ) dx.Lausn: Best er að umrita heildið fyrst og nota svo töfluna.∫ (x 2 +3 √ x ) ∫ ∫dx= x 2 dx+3 x 1/2 dx= 1 3·x3 +3· 13/2·x3/2 +k= 1 3 x3 +2x 3/2 +kDæmi 2.1.14. Reiknum óákveðna heildið∫(x+2 x − 3 )x 4 dx .Lausn: Samkvæmt almennum formúlum og töflunni hér á undan er∫(x+2 x − 3 ) ∫ ∫ ∫x 4 dx= xdx+ 2 x dx−3 x −4 dx= 1 2·x2 + 2xln(2) −3· 1= 1 2 x2 + 1ln(2) 2x + 1 x 3+k−3·x−3 +k∫ (3cos(5x)−2 √ )Dæmi 2.1.15. Reiknum óákveðna heildið x dx.Lausn: Samkvæmt almennum formúlum og töflunni hér á undan er∫ (3cos(5x)−2 √x)dx= 3∫∫cos(5x)dx−2 x 1/2 dx= 3· 15 sin(5x)−2· 13/2 x3/2 +k= 3 5 sin(5x)− 4 3 x3/2 +k

30 KAFLI 2. HEILDUNFyrir kemur að eitthvert fallanna sem á að heilda líkist ekki neinu fallanna í töflunni.Í slíkum tilfellum er stundum hægt að ákvarða heildið með því að umrita fallið.∫Dæmi 2.1.16. Reiknum óákveðna heildið sin(x)cos(x)dx.Lausn: y= sin(x)cos(x) er ekki að finna í töflunni.Samkvæmt STÆ303 er sin(2x)=2sin(x)cos(x) svo sin(x)cos(x)= 1 2 sin(2x).Falliðg(x)=sin(2x) er í töflunni. Af þessu fæst:∫ 1sin(x)cos(x)dx=∫2 sin(2x)dx∫sin(2x)dx= 1 2= 1 2·−12 cos(2x)+k= −14 cos(2x)+k∫Dæmi 2.1.17. Reiknum óákveðna heildið sin 2 (x)dx.Lausn: Samkvæmt reglum úr STÆ303 ersin 2 (A)= 1 2 − 1 2 cos(2A),eða með öðrum orðum sin 2 (x)= 1 2 − 1 2cos(2x) og þarmeð fæst:∫ ∫( 1sin 2 (x)dx=2 − 1 )2 cos(2x) dx= 1 ∫dx− 1 ∫cos(2x)dx2 2= 1 2 x− 2·1 1 2 sin(2x)+k12 x− 1 4 sin(2x)+k∫svo sin 2 (x)dx= 1 2 x− 1 4 sin(2x)+kSamkvæmt jöfnu (1.11) á blaðsíðu 13 og dæmi 5 í Æfingu 1.1.4 þá gildir aðMeð öðrum orðum,F(x)=ln|u(x)| er stofnfall fallsins∫ u ′ (x)u(x)f(x)= u′ (x)u(x) .dx= ln|u(x)|+k (2.3)Heildi af því tagi sem gefið er í jöfnu (2.3) hér að ofan koma oft fyrir og slík heildier gott að þekkja. Það er nær undantekningarlaus regla að þegar heilda á kvóta þáer fyrst athugað hvort kvótinn sé á forminuu ′ (x)/u(x).

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 31∫Dæmi 2.1.18. Reiknum óákveðna heildiðLausn: Teljari fallsins er afleiða nefnarans:2x+3x 2 +3x−9 dx.(x 2 +3x−9) ′ = 2x+3Heildið er því á forminu ∫ u ′ (x)u(x) dx,þar semu(x)=x 2 +3x−9. Samkvæmt jöfnu (2.3) fæst því eftirfarandi:∫2x+3x 2 +3x−9 dx= ln|x2 +3x−9|+kÍ sumum tilfellum þarf að umrita gefið heildi til þess að það sé eins og í jöfnu (2.3).Dæmi 2.1.19. Reiknum óákveðnu heildin∫ ∫−4x(a)3x 2 +7 dx (b)∫(sin(x)2+cos(x) dx (c) tan(x)+)1dxtan(x)Lausn: Öll þessi heildi má umrita á form jöfnu (2.3). Í öllum þremur tilfellum erhöfðað til jöfnu (2.2) á blaðsíðu 27.(a) Hér er afleiða nefnara(3x 2 +7) ′ = 6x en teljari brotsins er−4x. Hér þarf því aðbreyta stuðlinum−4 í 6 til að ná réttu formi heildisins:∫ ∫−4x3x 2 +7 dx=−4 x3x 2 dx skv. jöfnu (2.2)+7=−4· 1 ∫6x6 3x 2 dx skv. jöfnu (2.2)+7= −23 ln|3x2 +7|+k(b) Hér er afleiða nefnara ( 2+cos(x) ) ′=−sin(x) en teljari brotsins er sin(x). Hérþarf því að breyta formerki úr+í−til að ná réttu formi heildisins:∫ ∫sin(x) −sin(x)2+cos(x) dx=− dx skv. jöfnu (2.2)2+cos(x)=−ln|2+cos(x)|+k(c) Summuna tan(x)+1tan(x)má rita sem eitt brottan(x)+1tan(x) = tan2 (x)+1tan(x)Hægra megin jafnaðarmerkis er brot á forminu u′ (x). Því fæst eftirfarandi:u(x)∫( ) ∫1 tan 2 (x)+1tan(x)+ dx= dxtan(x) tan(x)= ln|tan(x)|+k

32 KAFLI 2. HEILDUN2.1.2 ÆfingÍ dæmum 1–4 á að reikna óákveðin heildi. Vandið frágang og fylgið viðteknumritvenjum.Dæmi 1.∫∫(a) (12x 2 +6x−5+3e 2 x)dx (b) (5 x +x 3 −4x 2 +17)dx∫∫(c) (6x 9 −4x 7 +3x 2 +x −1 )dx (d) (9x 9 −4x 2 −x −4/3 )dxDæmi 2. Byrjið á að skrifa föllin sem á að heilda sem summu velda afx.(a)∫( √ x+ 3√ ∫x)dx (b) ( 3√ x 2 − √ x 3 )dx∫ ∫( 6 3(c)x 5dx (d) 5 )x 2− x 4 dx∫ x 2 +x+1(e) dxx(f)∫ x 3 +2x 2√ xdxDæmi 3. Margfaldið upp úr svigum áður en heildað er.(a)∫(2 √ x−√ 3 ∫ )dx (b) (x−1)(2x+3)dxx∫ √x(2x−5)dx(c)(d)∫(3+2x) 2 dxDæmi 4.∫ ((a) 2x+5(1−x 2 ) −1/2) dx∫(c)( x2cos dx3)Dæmi 5. Gefið er að∫f(x)dx=e x ln(x)+k og(b)∫(2sin(x)+3 2x )dx∫ ( ) πx(d) 3sin dx2∫g(x)dx=xarcsin(x)− √ 1−x 2 +k.Finnið:(a) föllinf ∫ ogg,(2f(x)−3g(x) )(b) dx

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 33Dæmi 6. Notið jöfnu (2.3) til að reikna gefnu heildin.∫(a)∫(d)xx 2 −8 dxcos(x)2−sin(x) dx∫(b) tan(x)dx(e)∫∫(c)e −x ∫1+e −xdx (f)x−2x 2 −4x−6 dx1e x +1 dxDæmi 7. Umritið fyrst á formiðu ′ (x)/u(x).∫1√ √ dx x( x+1)

••••••••••34 KAFLI 2. HEILDUN2.1.3 FlatarmálÍ þessari grein verður sýnt að nota má stofnföll til að reikna flatarmál svæðis semafmarkast afx-ás og ferli samfellds og jákvæðs fallsf á bili[a,b].Flatarmál skyggða svæðisins ery=f(x)A=F(b)−F(a).aAbþar sem y = F(x) er stofnfall fallsins y=f(x).StærðinF(b)−F(a) er oft rituð [ F(x) ] ba .Gerum ráð fyrir aðy =f(x)≥0, samfellt og vaxandi fall sem skilgreint er á bili[a,b]. Gerum einnig ráð fyrir aðy =F(x) sé stofnfall fallsinsy =f(x). LátumA(x) vera flatarmál svæðisins sem x-ás og ferill fallsins f(x) afmarka á bilinu[a,x] þar sema≤x≤b. Eins og sjá má á meðfylgjandi myndum verðurA(x) þvístærra semx er stærra.A(x) er því fall afx.y=f(x)y=f(x)y=f(x)aA(x)xbaA(x)xbaA(b)x=bf(x)f(x 0 )ay=f(x)x 0xbÁ myndinni hér til hliðar er ferill fallsinsy = f(x) í stærri mælikvarða. Flatarmálskástrikaða svæðisins er A(x) − A(x 0 )því það er mismunur flatarmála tveggjasvæða: Svæðisins sem ferill fallsins f(x)og x-ás afmarka á bilinu [a,x] ogsvæðisins sem ferill fallsinsf(x) ogx-ásafmarka á bilinu[a,x 0 ].Skástrikaða svæðið hefur breiddina(x−x 0 ). Það er stærra en rétthyrningur meðbreidd(x−x 0 ) og hæðf(x 0 ) og minna en rétthyrningur með breidd(x−x 0 ) oghæðf(x). Þarmeð fæst tvöfalda ójafnanf(x 0 )·(x−x 0 )≤A(x)−A(x 0 )≤f(x)·(x−x 0 ).Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunnif(x 0 )≤ A(x)−A(x 0)x−x 0≤f(x). (2.4)

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 35Þegarx stefnir áx 0 þá stefnirf(x) áf(x 0 ) vegna þess aðf er samfellt fall. KvótinnA(x)−A(x 0 )x−x 0er klemmdur á millif(x 0 ) ogf(x). Hann hlýtur því líka að stefna áf(x 0 ).Athugasemd 5. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfaldaójafnan (2.4) gildir einnig efx

36 KAFLI 2. HEILDUNDæmi 2.1.21. Reiknum flatarmál svæðisins sem afmarkast afx-ás og ferli fallsinsf(x)=sin(x) á bilinu[π/4,3π/4].Lausn: Falliðf(x)=sin(x) hefur stofnfall∫sin(x)dx=−cos(x)+kEf heildunarfastanum er sleppt fæst stofnfalliðF(x)=−cos(x). Flatarmál svæðisins er:A= [ F(x) ] 3π/4π/4 =F(3π/4)−F(π/4)= ( −cos(3π/4) ) − ( −cos(π/4) )= √ 2−1f(x)=sinxAπ/4 1 3π/4 2 3Dæmi 2.1.22. Hvert er flatarmál svæðisins sem ferill fallsins f(x) = 2x−x 2 ogx-ás afmarka?Lausn: Vegna þess að ekkert bil [a,b] er tiltekið í spurningunni ræðst bilið afskurðpunktum ferils fallsins viðx-ás.Skurðpunktarnir fást með því að leysa jöfnunaf(x)=0 eða 2x−x 2 = 0.Lausnir erux= 0 ogx= 2. Fallið hefur stofnfallið:∫(2x−x 2 )dx=x 2 − 1 3 x3 +k−1Ef heildunarfastanum er sleppt fæst stofnfalliðF(x)=x 2 − 1 3 x3 . Flatarmál svæðisinser:A= [ F(x) ] 20= ( 2 2 − 1 3 23) − ( 0 2 − 1 3 03)1f(x)=2x−x 2A−1 1 2 3= 4− 8 3 = 4 3Dæmi 2.1.23. Skyggða svæðið á mynd afmarkast af ferli fallsins f(x) = sin(x),x-ás og línunni x = m. Flatarmál svæðisins er 0.42 flatarmálseiningar. Hvert ergildið ám?

2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 37Lausn: Falliðf(x) hefur stofnfallið:∫sin(x)dx=−cos(x)+kEf heildunarfastanum er sleppt þá fæst stofnfalliðF(x)=−cos(x). Flatarmál svæðisins er því:og þvíA= [ F(x) ] m0 =F(m)−F(0)0.42=−cos(m)+cos(0)=−cos(m)+1cos(m)=1−0.42=0.58f(x)=sin(x)AmÞá erm=cos −1 (0.58)=0.95 bogaeiningar.Dæmi 2.1.24. Hvert er flatarmál svæðisins sem afmarkast afx-ás og ferli fallsinsf(x)= sin(x)2+cos(x)á bilinu[0,π]?Lausn: Falliðf hefur stofnfall∫sin(x)2+cos(x) dx=− ∫ −sin(x)2+cos(x) dx=−ln|2+cos(x)|+kf(x)= sin(x)2+cos(x)π2π3π2Ef heildunarfastanum er sleppt þá fæst stofnfalliðF(x)=−ln|2+cos(x)|.Flatarmál svæðisins er því:A= [ F(x) ] π0 =F(π)−F(0)=−ln|2+cos(π)|+ln|2+cos(0)|=−ln(1)+ln(3)=ln(3)Dæmi 2.1.25. Ferill fallsinsf(x)= √ 15+2x−x 2 , −3≤x≤ 5 er hálfhringur meðmiðju(1,0) og radíus 4. Falliðf hefur stofnfall y = F(x). Reiknum eftirfarandiflatarmál og sýnum á mynd:(a)F(5)−F(1) (b)F(2)−F(−1) (c)F(2)−F(−3)

••••38 KAFLI 2. HEILDUNLausn: (a) Mismunurinn F(5)−F(1) er flatarmálsvæðisins sem afmarkast af ferli fallsinsf ogxásá bilinu [1,5]. Á teikningu sést að svæðið erfjórðungur úr hring. Því fæst:f(x)= √ 15+2x−x 2F(5)−F(1)= 1 4 π42 = 4π−3 1 5(b) F(2)−F(−1) er flatarmál svæðisins sem afmarkastaf ferli fallsinsf ogx-ás á bilinu[−1,2].Á teikningu sést að svæðið er samsett úr tveimurþríhyrningum og hringgeira með horn α = 44.5 ◦eða 0.78 bogaeiningar. Flatarmálið er þáB•AF(2)−F(−1)=2·42·0.78+ 1 1 2·2·4sin(60◦ ) α+ 1 2·1·4sin(75.5◦ )=11.64 −3 −1 1 2 5(c) F(2)−F(−3) er flatarmál svæðisins sem afmarkastaf ferli fallsinsf ogx-ás á bilinu[−3,2].Á teikningu sést að svæðið er samsett úr einumþríhyrningi og hringgeira með hornα=104.5 ◦ eða1.82 bogaeiningar. Flatarmálið er þá•AF(2)−F(−3)= 1 2·42·1.82+ 1 2·1·4sin(75.5◦ )= 16.50 -3 1 2 5αAthugasemd 6. Ef falliðy =f(x) er neikvætt á bili[a,b] þá er falliðy =−f(x)jákvætt á sama bili. Samkvæmt framansögðu er flatarmál svæðis sem neikvætt fallafmarkar ásamtx-ás á bili[a,b]:A=− [ F(x) ] ba =[ F(x) ] ab(2.7)2.1.4 ÆfingÍ dæmum 1–3 á að reikna flatarmál. Teiknið feril gefna fallsinsf og skyggið svæðiðsem er tiltekið.Dæmi 1. Svæði afmarkast af ferlif(x)=x 2 +1 ogx-ás á bilinu[1,5].Dæmi 2. Svæði afmarkast af ferlif(x)=4−x 2 ogx-ás á bilinu[0,1].Dæmi 3. Svæði afmarkast af ferlif(x)=x 2 +4x+10 ogx-ás á bilinu[−1,2].

••2.1. STOFNFALL OG ÓÁKVEÐIÐ HEILDI 39Dæmi 4. (a) Sýnið aðddx ln|√ 11+x 2 +x|= √1+x2Notið niðurstöðuna í lið (a) til að reikna flatarmál skyggðu svæðanna hér að neðan.y=1√1+x2y=1√1+x2(b)(c)•√ 3•√ 3Dæmi 5. Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast afx-ás og ferli fallsinsf(x)=|x−1|á bilinu[0,3].Dæmi 6. (a) Reiknið afleiðuna(x 2 ln(x) ) ′(b) Notið jöfnu (2.1) á blaðsíðu 27 til að reikna óákveðna heildið∫xln(x)dx(c) Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast afx-ás og ferli fallsinsf(x)=xln(x) á bilinu[1,3].f(x)=xln(x)Dæmi 7. Athugum falliðf(x)=sin(ax), 1≤x≤ 2.1 31.0(a) Finnið gildið áa. 0.51.0(b) Finnið flatarmál skyggðu svæðanna1.0A(1,1)1 20.51 20.51 2B(2,0)Dæmi 8. Fleygbogi sker x-ás í punktum (−π,0) og (π,0) og hefur topppunkt(0,c), c > 0. Flatarmál svæðisins sem fleygboginn og x-ás afmarka er 4. Finniðc.

40 KAFLI 2. HEILDUN2.2 Ákveðið heildiSkilgreining 2.2.1 (Ákveðið heildi). Eff er samfellt á bili[a,b] ogF er stofnfallfallsinsf þá kallast mismunurinn[ ] bF(x)a=F(b)−F(a) (2.8)ákveðna heildið af f á bilinu [a,b]. Við segjum að fallið f sé heildanlegt ábilinu[a,b] og skrifum∫ bf(x)dxatil að tákna ákveðna heildið aff á bilinu [a,b].Þegar ákveðna heildið aff á bili[a,b] er reiknað er sagt að f sé heildað á bilinu[a,b] eða aðf sé heildað yfir bilið[a,b]. Endapunktar bilsins sem heildað er yfirkallast heildunarmörk; vinstri endapunktur bilsins kallast neðra mark heildunarog hægri endapunktur kallast efra mark heildunar.Ofangreind skilgreining ákveðins heildis sýnir að stofnfallareikningur er lykillinnað reikningi ákveðins heildis.Athugasemd 7. Jafna (2.8) í skilgreiningu 2.2.1 segir að ef fallið y = f(x) erjákvætt (ferill fallsins liggur ofan viðx-ás) þá er ákveðna heildið∫ baf(x)dx= [ F(x) ] bajafnt flatarmáli svæðisins sem ferill fallsinsf ogx-ás afmarka á bilinu[a,b].Þessa staðreynd má oft nota til að reikna ákveðið heildi án þess að finna stofnfall.Dæmi 2.2.1. Reiknum heildið ∫ 20√4−x2 dx.Lausn: Ferill fallsinsf(x)= √ 4−x 2 er hálfhringur með radíus 2. Ákveðna heildiðer flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf ogx-ás afmarka á bilinu[0,2] .Ákveðna heildi fallsins á bilinu[0,2] er√4−x 2 dx=A= 1 4 π·22 =πA∫ 20−22

2.2. ÁKVEÐIÐ HEILDI 41RitvenjurÞegar ákveðna heildið af tilteknu fallif yfir bilið[a,b] er reiknað þá þarf fyrst aðfinna stofnfallF fyrirf . Í framhaldinu fæst:∫ baf(x)dx=[ ] bF(x)a(skrifum stofnfalliðF innan hornklofa)=F(b)−F(a) (reiknum mismun gildaF)Athugasemd 8. Þegar ákveðna heildið aff er reiknað þá má nota hvaða stofnfallsem er. Venjan er því að velja einfaldasta stofnfallið; sleppa heildunarfastanumk,því þau gefa öll sömu útkomu.Dæmi 2.2.2. Reiknum ákveðna heildið∫ 3(1+x 2 )dx.1Lausn:∫ 31[(1+x 2 )dx= x+ 1 ] 33 x3 1=(3+ 1 )3 33 −(1+ 1 )3 13= 12− 4 3= 323(Dæmi 2.2.3. Reiknum ákveðna heildið 2 3x + 5 )1+x 2 dx.Lausn:∫ 1 (2 3x + 5 ) [110 1+x 2 dx= +5arctan(x)]3ln(2) 23x 0( ) (∫ 101=3ln(2) 23 +5arctan(1)( ) (8=3ln(2) +5π −47=3ln(2) + 5π 4−)13ln(2) +013ln(2) 20 +5arctan(0))

42 KAFLI 2. HEILDUNEftirfarandi reglur auðvelda útreikninga á ákveðnum heildum:Heildun er línuleg aðgerð. Ef föll f og g eru heildanleg á bili [a,b] og c ereinhver rauntala þá gildir:∫ ba(f(x)±g(x))dx=∫ ba∫ bf(x)dx± g(x)dx, oga∫ bacf(x)dx=c∫ baf(x)dxHeildun er samleggjandi. Ef tvö af eftirfarandi þremur heildum eru skilgreindþá er þriðja heildið einnig skilgreint og∫ ba∫ c∫ cf(x)dx+ f(x)dx= f(x)dxb aSamanburður heilda. Eff ogg eru heildanleg á bili[a,b] og efg(x)≤f(x)fyrir öllx∈[a,b] þá gildir∫ bag(x)dx≤∫ baf(x)dxSamkvæmt fyrrnefndum reglum fæst meðal annars:∫ aaf(x)dx= 0. Ef heildunarmörkin eru jöfn er heildið núll.∫ ba∫ af(x)dx=−bf(x)dx. Ef heildunarmörkum er víxlaðbreytist formerki útkomunnar.Athugasemd 9. Eins og kemur fram í jöfnu (2.7) á blaðsíðu 38 (sjá ath. 6) þá gildirað ef ferill fallsf liggur neðan viðx-ás á bili[a,b] þá má túlka heildið aff yfir þaðbil sem neikvætt flatarmál svæðisins sem ferill ogx-ás afmarka.

2.2. ÁKVEÐIÐ HEILDI 43Dæmi 2.2.4. Ferilly∫=f(x), −2≤x ≤ 2 er gefinn; tvö línustrik og hálfhringur.2Reiknum heildið f(x)dx.−221y=f(x)y=f(x)A 1A 2-2-11 2 3Eins og sést á myndinni hægra megin er svæðið sem ferill ogx-ás mynda tvískipt.Heildið reiknast sem mismunur flatarmálanna tveggja. Bæði flatarmálin er auðveltað reikna. Svæðið ofanx-áss er þríhyrningur með grunnlínu 2 og hæð 2, en flatarmáliðneðanx-áss er hálfur diskur með geisla 1. Því fæst:∫ 2 ∫ 0 ∫ 2f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx−2 −2 0=A 1 −A 2= 2− 1 2 πDæmi 2.2.5. Gefið er aðLausn:∫ m0(2x−4)dx=−4. Finnum gildi tölunnarm.−4=∫ m0(2x−4)dx= [ x 2 −4x ] m0 =(m2 −4m)−(0 2 −0)=m 2 −4mÞarmeð fæst aðm 2 −4m=−4svo m 2 −4m+4=0svo (m−2) 2 = 0m=2Dæmi 2.2.6. Gerum ráð fyrir∫ 31f(x)dx=−2 og∫ 51f(x)dx= 7. Reiknum:(a)∫ 53f(x)dx(b)∫ 31(5−4f(x))dx.

44 KAFLI 2. HEILDUNLausn: (a) Heildun er samleggjandi aðgerð svo.∫ 31∫ 5f(x)dx+3f(x)dx=∫ 51f(x)dxsvo −2+∫ 53f(x)dx= 7svo∫ 53f(x)dx= 9(b) Heildun er línuleg aðgerð svo∫ 31∫ 3 ∫ 3(5−4f(x))dx= 5dx−4 f(x)dx1 1= [ 5x ] 31 −4·(−2)=(5·3−5·1)+8= 182.2.1 ÆfingÍ dæmum 1–3 á að reikna ákveðin heildi.einfölduðu formi.Dæmi 1.(a)(x 2 − 3 )x 4 dx(c)∫ 21∫ 41x+1√ xdx(b)(d)Fylgið ritvenjum og skilið svörum á∫ 20∫ 41x( √ x−1)dx⎛√ √ 2 xx 2⎞−⎝⎠ dxDæmi 2.(a)(c)∫ 10∫ 10(e x +1)dx (b)(√ex −1)dx(d)∫ 21∫ 104e 2xdx(e x/4 −e 4x) dxDæmi 3.(a)∫ π/20sin(2x)dx(b)∫ 0−πcos(x/3)dx(c)∫ π0(cos(x)−sin(x/2))dx(d)∫ π−π(sin(x/2)+2cos(x))dx

2.2. ÁKVEÐIÐ HEILDI 45Dæmi 4. Gefið er að∫ baf(x)dx=m og∫ bag(x)dx=n. Reiknið:(a)∫ ba∫ b2f(x)dx− g(x)dxa(b)∫ b(f(x)−1)dxa(c)∫ ba3g(x)dx(d)∫ b(af(x)−m)dxa(e)∫ b(b 2 g(x)−2nx)dxaDæmi 5. Gefið er falliðf(x)= ex −e −x. Finnið nákvæmt gildi heildisinse x +e−x ∫ ln(3)0f(x)dxog skilið svarinu á forminu ln(q) þar semqer ræð tala.Dæmi 6. Finnið nákvæmt gildi heildisins∫ π/20sin(x)1+cos(x) dx.Dæmi 7. Finnið nákvæmt gildi áa>0 ef(a)∫ a0x 21+x 3dx= 2 (b) ∫ a0Dæmi 8. Finnið nákvæmt gildi heildisins∫x a1+x 2dx= 1 (c) (3x 2 −8x+2)dx= 12a−a∫ π/40(tan(x)− tan(x)−1 )dxtan(x)+1Dæmi 9.Ferill fallsy=f(x) er gefinn á bilinu[−4,4]. Reiknið heildin(a) ∫ −2−4 f(x)dx (b)∫ 1−4 f(x)dx (c)∫ 3−4 f(x)dx (d)∫ 4−4 f(x)dx21y=f(x)-4-3-2-1-11 2 3 4

46 KAFLI 2. HEILDUNDæmi 10. Á mynd sést línany= √ 3x og partur af hringx 2 +y 2 =r 2 .(a) Sýnið aðα=π/6 og finnið flatarmálskyggða svæðisins.(b) Sýnið að hægt er að rita flatamálið semmismuny= √ 3xx 2 +y 2 =r 2∫ r/20√r 2 −x 2 dx−√3r28α(c) Notið niðurstöðuna úr liðum (a) og (b) til að sýna að(d) Sýnið að∫ r/20∫ 10√√r 2 −x 2 dx= πr2 3r212 + .8√36−9x 2 dx=π+ 3√ 32Dæmi 11. Á myndinni sést ferill fallsy=f(x), −4≤x≤ 7.21y=f(x)-4-3-2-1-11 2 3 4 5 6 7(a) Reiknið eftirfarandi heildi:-2(i)∫ 1 ∫ 7 ∫ 7f(x)dx (ii) f(x)dx (iii) f(x)dx−41 −4(b) Leysið eftirfarandi jöfnu fyrirt:∫ t−4f(x)dx= 0.(c) Ákvarðið fastannkþannig að ∫ 0−4 f(x)dx=k∫ 70 f(x)dxDæmi 12. Gefið er aðReiknið∫ 31∫ 61f(x)dx= 9 og( 13 f(x)− 1 )2 g(x) dx+ 1 3∫ 63∫ 13g(x)dx= 2.f(x)dx

Kafli 3HeildunaraðferðirÍ þessum kafla verður fjallað á kerfisbundinn hátt um aðferðir til að finna stofnföllýmissa falla sem ekki er hægt að finna með þeim aðferðum sem fjallað hefur veriðum hingað til. Má þar nefna föll á borð viðf(x)=(x 2 +x+2)e x , g(x)=x √ 2−x 2 og h(x)=Kynntar verða þrjár heildunaraðferðir:1. Hlutheildun, sem notuð er til að heilda falliðf(x) hér að ofan.2. Innsetning, sem notuð er til að heilda falliðg(x).3. Stofnbrotaliðun, sem notuð er til að heilda falliðh(x).x+1x(x+2) 2 (x 2 +3)3.1 HlutheildunEff(x) ogg(x) eru diffranleg föll þá er(f(x)g(x)) ′=f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x).f(x)g(x) er því stofnfall fallsinsf ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x). Með öðrum orðum∫ (f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x) ) dx=f(x)g(x)+keða∫∫f ′ (x)g(x)dx+ f(x)g ′ (x)dx=f(x)g(x)+k (3.1)Jöfnu (3.1) má umrita á formið:∫∫f(x)g ′ (x)dx=f(x)g(x)− f ′ (x)g(x)dx (3.2)47

48 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIRJafna (3.2) kallast jafna hlutheildunar og er hlutheildun byggð á henni. Þegarhlutheildun er beitt er þess vænst að heildið hægra megin jafnaðarmerkis í jöfnu(3.2) sé einfaldara en upphaflega heildið vinstra megin jafnaðarmerkis.Dæmi 3.1.1. Reiknum heildið ∫ xe x dx.Lausn:∫ f(x) g ′ (x) f(x) g(x){}}{ {}}{x · e x {}}{ {}}{dx= x ·∫=xe x −e x −e x dx=xe x −e x +k∫ f ′ (x) g(x){}}{ {}}{1 · e x dxDæmi 3.1.2. Reiknum heildið ∫ (2x+3)sin(x)dx.Lausn:∫ f(x)g ′ (x)f(x)g(x)g(x){ }} {{ }} { { }} {{ }} { ∫ f ′ (x)( ) {}}{{( }} ){(2x+3) sin(x)dx= (2x+3) −cos(x) − 2 −cos(x) dx∫=−(2x+3)cos(x)+2 cos(x)dx=−(2x+3)cos(x)+2sin(x)+kDæmi 3.1.3. Reiknum heildið ∫ (7x−2)cos(2x)dx.Lausn:∫ f(x)g(x)g{ }} {′ g(x)(x) f(x) { }} {{ }} { { }} { ∫ f ′ (x) { }} {1(7x−2) cos(2x)dx= (7x−2)2 sin(2x)− {}}{7 ·= 7x−2 sin(2x)− 7 ∫sin(2x)dx2 2= 7x−2 sin(2x)− 7 (− 1 )2 2 2 cos(2x) +k= 7x−22sin(2x)+ 7 4 cos(2x)+k12 sin(2x)dx

3.1. HLUTHEILDUN 49Skipa má heildunum þremur hér á undan í eftirfarandi flokka:Margliða·vísisfall:Margliða·sínus:Margliða·kósínus:∫xe x dx∫(2x+3)·sin(x)dx∫(7x−2)·cos(2x)dxVið lausn þessara þriggja dæma hafa margliðurnar x, (2x+ 3) og (7x− 2) veriðvaldar sem falliðf(x) til diffrunar í jöfnu (3.2).g ′ (x) hefur þá veriðe x , sin(x) eðacos(2x).Dæmi 3.1.4. Reiknum heildið ∫ (6x 2 +4x)·ln(x)dx.Lausn:∫g ′ (x)f(x)f(x)g(x){ }} {{ }} { { }} {{ }} {(6x 2 +4x) ln(x)dx= ln(x) (2x 3 +2x 2 )−∫ f′ {}}{(x)1xg(x){ }} {(2x 3 +2x 2 )dx1=(2x 3 +2x )ln(x)−∫ 2 x (2x3 +2x 2 )dx∫=(2x 3 +2x 2 )ln(x)− (2x 2 +2x)dx=(2x 3 +2x 2 )ln(x)− 2 3 x3 −x 2 +kÞetta dæmi sýnir að þótt margliða sé í heildinu þá er margliðan ekki alltaf valin semf(x) í jöfnu (3.2).Þegar hlutheildun er notuð þarf að ákveða hvorn þáttinn á að diffra og hvorn á aðheilda. Eftirfarandi reglur auðvelda þetta val.Hlutheildunarreglur: Hér táknar P(x) margliðu, log(x) táknar alla logra ogb x táknar öll vísisföll.HeildiValRegla 1Regla 2∫P(x)cos(ax)dx f(x)=P(x) ogg ′ (x)=cos(ax)∫P(x)sin(ax)dx f(x)=P(x) ogg ′ (x)=sin(ax)Regla 3Regla 4∫P(x)b ax dx∫P(x)log(x)dxf(x)=P(x) ogg ′ (x)=b axf(x)=log(x) ogg ′ (x)=P(x)Í Reglu 4 erg ′ (x)=P(x) en í hinum reglunum erf(x)=P(x).

50 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIREf finna á stofnfall tiltekins falls með hlutheildun verður að vera hægt að rita þaðsem margfeldi tveggja fallaf(x)·g ′ (x).Stundum er hægt að heilda stakt fall f(x) með því að rita það sem margfeldi aftölunni einum og beita hlutheildun:∫f(x)dx=∫{ f(x) g}} {′ (x){}}{∫f(x)· 1 dx=xf(x)− xf ′ (x)dxDæmi 3.1.5. Reiknum heildið ∫ ln(x)dx.Lausn:∫{ f(x) g}} {′ (x) f(x) g(x){}}{ { }} { {}}{ln(x)· 1 dx= ln(x)·∫=xln(x)−x −∫ f′ {}}{(x)g(x)1x ·{}}{x dx1dx=xln(x)−x+k∫Dæmi 3.1.6. Reiknum heildið arctan(x)dx.Lausn: Líkt og í dæmi 3.1.5 hér að ofan þá er fallið skrifað sem margfeldi af einum:∫arctan(x)dx=∫f(x) g{ }} {′ (x){}}{arctan(x)· 1 dxf(x) g(x){ }} { {}}{= arctan(x)·∫=xarctan(x)−x −=xarctan(x)− 1 2∫ { f′ }} (x){11+x 2 ·x1+x∫2dx2x1+x 2dx=xarctan(x)− 1 2 ln|1+x2 |+kg(x){}}{x dxÞví fæst:∫arctan(x)dx=xarctan(x)− 1 2 ln(1+x2 )+kEftirfarandi jafna sýnir hvernig ákveðið heildi er reiknað með hlutheildun:∫ baf(x)g ′ (x)= [ f(x)g(x) ] ∫ bba − f ′ (x)g(x)dx (3.3)a

3.1. HLUTHEILDUN 51Dæmi 3.1.7. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=(6−2x)ln(x)ogx-ás afmarka.Lausn: Flatarmál svæðisins erA=∫ 31(6−2x)ln(x)dx.Heildið er reiknað með hlutheildun.f(x)=(6−2x)ln(x)A1 3A=∫ 31g ′ (x){ }} {(6−2x)·f(x){ }} {ln(x)dx= [ (6x−x 2 )ln(x) ] ∫ 331 − 1(6x−x 2 ) 1 x dx= 9ln(3)−∫ 31(6−x)dx= 9ln(3)− [ 6x−x 2 /2 ] 31= 9ln(3)−8Flýtileið hlutheildunar.Ef reikna á heildi sem fellur undir reglur 1–3 og nota þarf hlutheildun nokkrumsinnum, má setja útreikningana fram á skjótan og öruggan hátt, með svokallaðridálkaaðferð (flýtiaðferð). Í reglum 1–3 er annar þátturinn í heildinu margliða semer diffruð. Hinn þáttur margfeldisins er heildaður. Hlutheildunarreikningurinn ferfram í tveimur dálkum. Í fyrri dálkinum er margliðan sem er diffruð eins oft ogþarf til að fá núll. Í síðari dálkinum er hinn þáttur margfeldisins, kósínus, sínuseða veldisfall sem er heildað jafn oft og margliðan er diffruð.∫Reiknum óakveðna heildið (3x 2 +2x−3)cos(3x)dx.f(x) (diffrað)3x 2 +2x−36x+26+−+g ′ (x) (heildað)cos(3x)13 sin(3x)−19 cos(3x)−127 sin(3x)Nú er margfaldað eins og skálínurnarsegja til um og með formerkjum eins ogsýnt er:0∫(3x 2 +2x−3)cos(3x)dx=(3x 2 +2x−3)· 13 sin(3x)+(6x+2)· 19 cos(3x)−6· 127 sin(3x)+k.

52 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIR3.1.1 ÆfingDæmi 1. Reiknið eftirfarandi heildi.∫ ∫(a) xe x dx(b) xe −3x dx(d)∫(2x+3)e x dx(e)(c)∫(x−1)cos(x)dx∫ ∫(4x+4)cos(2x)dx (f) (2x−1)e 2x dxDæmi 2. Reiknið eftirfarandi heildi.∫(a) xln(x)dx(c)(e)(g)(i)∫(x+2)ln(x)dx(b)∫(x 3 −x 2 +2x)ln(x)dx∫ √x(d) ln(x)dx∫( √ ∫x+2x+1)ln(x)dx (f) (4x 3 +3x 2 )ln(x)dx∫∫(x 2 +x+1)sin(x)dx (h) (2x 2 +1)cos(3x)dx∫(x+1)10 x dx∫(k) x2 x dx(j)∫(x 2 −x+1)e −x dx∫(l) x 3 cos(x)dxDæmi 3. Reiknið eftirfarandi ákveðin heildi.(a)(d)∫ π/40∫ π/4π/8xsin(2x)dxxcos(2x)dx(b)(e)∫ 10∫ 10xe 2x dx(c)(2x+3x 2 )cos(x)dx (f)∫ 2(x−1)ln(x)dx1∫ e1xln(x)dx3.2 InnsetningaraðferðÎ STÆ403 var táknið du kynnt sem eitt af mörgum táknum fyrir afleiðu fallsinsdxu=g(x).u ′ =g ′ du(x) ⇐⇒dx =g′ (x).Í heildun er brotið du hugsað sem kvóti tveggja stærða, stærðarinnar du ogdxstærðarinnardx. Því skrifum viðdudx =g′ (x) ⇐⇒ du=g ′ (x)dx.

3.2. INNSETNINGARAÐFERÐ 53Dæmi 3.2.1. ReiknumduLausn:1. Efu=x 4 +2 þá erdu=4x 3 dx.2. Efu= √ x þá erdu= 12 √ x dx.3. Efu=sin(x) þá erdu=cos(x)dx.4. Efu=x 3 +5 þá erdu=3x 2 dx.5. Efu=g(x) þá erdu=g ′ (x)dx.EfF er stofnfall fallsinsf og keðjureglu er beitt á samsetta falliðF ( g(x) ) fæst:((F ( g(x) )) ′=f(g(x))·g ′ (x).Með öðrum orðum:∫f ( g(x) )·g ′ (x)dx=F ( g(x) ) +k (3.4)Ef skipt er um breytistærð í jöfnu (3.4) og u skrifað í stað g(x) og du í staðg ′ (x)dx fæst:∫f ( g(x) )·g ∫′ (x)dx= f(u)du=F(u)+k (3.5)Með öðrum orðum:Setning 3.2.1 (Innsetningaraðferð). Efu=g(x) er diffranlegt á biliI ogf(x)er samfellt áI þá gildir:∫f ( g(x) )·g ∫′ (x)dx= f(u)du. (3.6)Þegar jöfnu (3.6) í reglu 3.2.1 er beitt þá er oft um samsett fall að ræða og þá ernýja breytistærðinuvalin sem innra fall samsetningarinnar.Dæmi 3.2.2. Reiknum heildið ∫√ x 4 +2·4x 3 dx.Lausn:f(x)= √ x 4 +2 er samsett fall með innra fallx 4 +2. Látumu=x 4 +2.u=x 4 +2∫√ ∫ √udu=du=4x 3 xdx∣} 4 {{ +2}· 4x } 3 2{{ dx}=3 u3/2 +kduuÞegar einfaldað heildi í breytunni u er fundið þá er skipt til baka í upphaflegubreytunax. Þá fæst:∫ √x 4 +2·4x 3 dx= 2 3 (x4 +2) 3/2 +k

54 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIRDæmi 3.2.3. Reiknum heildið ∫ e √x·12 √ x dx.Lausn:f(x)=e √x er samsett fall með innra fall √ x.u= √ xdu= 12 √ x dx ∣ ∣∣∣∣∣∣ ∫u{}}{ √e x ·Nú er skipt til baka í upphaflegu breytunax. Þá fæst∫e √x·12 √ x dx=e√x +k∫12 √ x dx = e u du=e u +k} {{ }duDæmi 3.2.4. Reiknum heildið ∫ cos(x)sin 3 (x)dx= ∫( sin(x) )3 cos(x)dx.Lausn:f(x)=sin 3 (x) er samsett fall með innra fall sin(x).u=sin(x)∫ ∫(sin(x) ) 3· cos(x)dx=udu=cos(x)dx∣} {{ } } {{ }3 du= 1 4 u4 +ku du∫svo cos(x)sin 3 (x)dx= 1 4 sin4 (x)+kDæmi 3.2.5. Reiknum heildið ∫ 3(x 3 +5) 4 x 2 dx= ∫ (x 3 +5) 4 3x 2 dx.Lausn:u=x 3 +5∫ (xdu=3x 2 dx∣} 3 {{ +5}u∫svo 3(x 3 +5) 4 x 2 dx=) 4∫·} 3x 2 {{ dx}= u 4 du= 1 5 u5 +kdu∫(x 3 +5) 4 3x 2 dx= 1 5 (x3 +5) 5 +kDæmi 3.2.6. Reiknum heildið ∫ x 3√ x 2 +1dx= ∫ (x 2 +1) 1/3 xdx.Lausn:svou=x 2 +1∫ ∫(xdu=2xdx2 ) 1/3+1} {{ } ·xdx } {{ } = u 1/3 1 2 du= 3 8 u4/3 +k(1/2)du=xdx ∣ u 12 du∫svo x 3√ ∫3√x 2 +1dx= x 2 +1xdx= 3 8 (x2 +1) 4/3 +k

3.2. INNSETNINGARAÐFERÐ 55Dæmi 3.2.7. Reiknum heildið ∫ sin(x 5 )·7x 4 dx.Lausn:u=x 5du=5x 4 dxsvo (7/5)du=7x 4 dx∣svo∫sin(x 5}{{} )u∫·} 7x 4 {{ dx}= sin(u) 7 5 du= 7 5 (−cos(u))+k75 du∫sin(x 5 )·7x 4 dx=− 7 5 cos(x5 )+kÞegar samsett fall er heildað þá er innsetningaraðferðin oftast notuð. Í dæmunumhér á undan hefur innsetningaraðferðin gengið snurðulaust fyrir sig. Hér á eftirfara tvö dæmi um heildun samsetts falls þar sem afleiðu innra falls vantar. Hér erátt við heildi eins og1.∫e√ xdx Innra fall √ x. Afleiða innra fallsins erþann þátt vantar í heildið.12 √ x en2.∫(x+3) 5 xdxInnra fall x+ 3. Afleiða innra fallsins er 1 en aðauki er þátturinnxí gefna heildinu.Í tilfellum sem þessum er notuð „öfug innsetning“ sem þýðir að þegar búið er aðákveða innsetningu er leyst fyrirxog diffriðdx reiknað.Dæmi 3.2.8. Reiknum heildið ∫ x(x+3) 5 dx.Lausn:u=x+3Þá er x=u−3svo dx=du ∣∫ (x+3} {{ }u) 5∫· }{{} x dx }{{} = u 5 (u−3)duu−3 du∫= (u 6 −3u 5 )du= 1 7 u7 − 1 2 u6 +ksvo∫x(x+3) 5 dx= 1 7 (x+3)7 − 1 2 (x+3)6 +kÍ næsta dæmi þarf að beita bæði innsetningu og hlutheildun:Dæmi 3.2.9. Reiknum heildið ∫ e √x dx.Lausn:u= √ xÞá er x=u 2svo dx= 2udu∣u∫ √{}}{∫e x · dx = e u·2udu}{{}2udu

56 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIRHér er heildi á forminu vísisfall·margliða sem reiknað er með hlutheildun∫e u·2udu=2ue ∫u − 2e u dusvo= 2ue u −2e u +k∫e √x dx= 2 √ xe √x −2e √x +kInnsetningaraðferð í ákveðnu heildiEf reikna á ákveðið heildi með innsetningaraðferð þarf að reikna ný heildunarmörk.Reglan er þessi:Setning 3.2.2 (Innsetning í ákveðnu heildi).∫ bau=g(x)du=g ′ (x)dxf ( g(x) ) g ′ (x)dx=∣∫ g(b)g(a)f(u)du (3.7)⎧⎨x=a →u=g(a)Ný heildunarmörk:⎩x=b →u=g(b)Dæmi 3.2.10. Reiknum heildið∫ 31ln 4 (x)2x dx.Lausn: f(x) = ln 4 (x) = ( ln(x) ) 4er samsett fall með innra fall ln(x) sem hefurafleiðu 1 . Umritum fallið og skrifum:x∫ 31ln 4 (x)2x dx= 1 ∫ 3ln 4 (x) 1 2 1 x dxog notum innsetningu á seinna heildið.∣u=ln(x) ∣∣∣∣∣∣ ⎧⎨du= 1 x= 1 →u=ln(1)=0x dx Ný heildunarmörk:⎩x= 3 →u=ln(3)Því fæst:∫ 31ln 4 (x)2x dx= 1 3ln2∫ 4 (x) 11 x dx= 1 ∫ ln(3)u 4 du= 1 [12 0 2 5 u5] ln(3)0 = ln5 (3)103.2.1 ÆfingDæmi 1. Notið gefnu innsetninguna til að reikna eftirfarandi heildi.

3.2. INNSETNINGARAÐFERÐ 57∫(a) 2x √ x 2 +1dx, u=x 2 +1∫(c)∫(b) 2x 3√ 4−x 4 dx, u=4−x 4∫x(3x 2 +9) 4dx, u=3x2 +9 (d) xe x2 +2 dx, u=x 2 +2∫(e) cos(x)e sin(x) dx, u=sin(x)∫(g)(f)∫ sin(√ x)√ xdx, u= √ x∫1ax+b dx, u=ax+b,a≠0. (h) x √ x+1dx, u=x+1Dæmi 2. Reiknið eftirfarandi heildi með innsetningaraðferð. Athugið að í liðum(c), (f) og (g) má umrita fallið á formiðu ′ (x)/u(x).∫(a) x √ 2x−1dx∫(d)∫(g)(b)∫(x+1) √ x−1dx∫(c)∫ ∫4x 1(1−2x 2 ) 2dx (e) x ln(x)dx (f)1xln(x) dx(h) ∫ etan(x)cos 2 (x) dx4x1−2x 2dxe −xe −x +1 dx∫(i) e x√ e x +1dxDæmi 3. Reiknið eftirfarandi ákveðin heildi með innsetningaraðferð. Athugið breyttheildunarmörk. Í liðum (a)–(c), (g) og (h) má umrita fallið á formiðu ′ (x)/u(x).(a)∫ 10∫2x1x 2 +1 dx (b) 02x 2 ∫ 1x 3 +1 dx (c) 02x+4x 2 +4x+1 dx(d)∫ 1(3x+2) 4 dx−1(e)5xe 2x2 −3 dx(f)∫ 1(3−2x) 7 dx−1∫ 21(g)∫ π/20∫cos(x) π/21+sin(x) dx (h) sin 3 (x)cos(x)dx (i)Dæmi 4. Reiknið eftirfarandi dæmi með innsetningu.dæmum 3.2.8 og 3.2.9 á bls. 55.(a)∫ 40sin( √ x)dx∫(d) arcsin(x)dx0∫(b) ln 3 (x)dx(e)∫ 10arcsin 2 (x)dx(c)∫ 10e xe x +1 dxBeitið sömu aðferð og í∫ e1∫(f)xln 2 (x)dx1√1+√ xdx

58 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIR3.3 StofnbrotaliðunMeð ræðu falli er átt við fall á forminuþar semP ogQeru margliður. FöllinR(x)= P(x)Q(x)y= 1 x , y=x+1 x+2 , og y=x2 +x+2x 3 +2eru dæmi um ræð föll. Rætt fall er sagt vera eiginlegt ef stig nefnara er hærra enstig teljara; þ.e.a.s. hæsta veldi á x í nefnaranum er hærra en hæsta veldi á x íteljara. Ef fallið er ekki eiginlegt þá er það sagt vera óeiginlegt.Gerum ráð fyrir að gefið rætt fallR(x)= P(x)Q(x)sé óeiginlegt. Þá má nota margliðudeilingu, deila nefnara í teljara og fá fram kvótaq(x) og afgangr(x) og umrita ræða fallið á formiðR(x)= P(x) r(x)=q(x)+Q(x) Q(x) .Seinni liður summunnar hægra megin jafnaðarmerkis, ræða falliðy= r(x) , er þáQ(x)eiginlegt rætt fall.Dæmi 3.3.1. 1. Falliðy = x3 +xer óeiginlegt rætt fall. Með margliðudeilingux−1fæst kvóti og afgangur. Fallið má umrita og þá fæst:x 3 +xx−1 =x2 } +x+2 {{ } +kvótiafgangur{}}{2x−12. Falliðy= x4 −2x 2 +4x+1x 3 −x 2 er óeiginlegt rætt fall. Með margliðudeilingu fæst−x+1kvóti og afgangur. Fallið má umrita og þá fæst:afgangur{}}{x 4 −2x 2 +4x+1x 3 −x 2 −x+1 =x+1 4x} {{ } +x 3 −x 2 −x+1kvóti

3.3. STOFNBROTALIÐUN 59Ef flókið rætt fall er eiginlegt þá er hægt að liða það upp í smærri og einfaldarieiningar. Ferlið kallast stofnbrotaliðun og er það lykilinn að heildun ræðra falla.∫x+5x 2 +x−2 dx stofnbrotaliðun→∫x 2 +2x−12x 3 +3x 2 −2x dx stofnbrotaliðun→∫( 2x−1 + −1 )dxx+2∫( )12x + 110x−5 − 1dx10x+20Í stað þess að heilda flókið fall eru stofnbrotin heilduð. Stofnbrotaliðun ereingöngu hægt að reikna fyrir eiginleg ræð föll. Ef ræða fallið er ekki eiginlegtþá verður að nota margliðudeilingu fyrst til að umrita fallið.Hér á eftir verður gert ráð fyrir að öll ræð föll séu eiginleg og fullstytt.Stofnbrotaliðun ákvarðast algerlega af nefnara ræða fallsins, það er að segja: Þáttunnefnarans ákvarðar stofnbrotaliðunina. Um fjögur tilvik er að ræða en aðeins þrjúþeirra verða athuguð.Tilfelli I. Nefnari,Q(x), þáttast í ólíka fyrsta stigs þætti.Þetta þýðir að skrifa má nefnarann á forminuQ(x)=(a 1 x+b 1 )(a 2 x+b 2 )···(a n x+b n ).Í þessu tilfelli er stofnbrotaliðun ræða fallsins þessi:P(x)(a 1 x+b 1 )(a 2 x+b 2 )···(a n x+b n ) = A 1 A 2 A n+ +···+a 1 x+b 1 a 2 x+b 2 a n x+b nþar semA 1 ,A 2 ,...,A n eru fastar sem þarf að finna.Dæmi 3.3.2. Reiknum heildið ∫ x+5x 2 +x−2 dx.Lausn: Stofnbrotaliðun fallsins er:Þar með fæst:x+5(x−1)(x+2) = Ax−1 + Bx+2 =A(x+2)+B(x−1) (x−1)(x+2)x+5=A(x+2)+B(x−1).Valin eru gildi á x þannig að annar liðurinn hægra megin jafnaðarmerkis verðurnúll. Þessi gildi áx eru rætur samnefnarans,x= 1 ogx=−2.Ef x= 1 er 1+5=A(1+2)+B·0,svo 6=3A,svo A=2.Ef x=−2 er −2+5=A·0+B(−2−1),svo 3=−3B,svo B=−1.

60 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIRNú þegar fastarnir eru fundnir er heildað:∫ ∫x+5x 2 +x−2 dx= x+5(x−1)(x+2) dx∫( 2=x−1 + −1 )dx∫x+2∫2=x−1 dx− 1x+2 dx= 2ln|x−1|−ln|x+2|+kDæmi 3.3.3. Reiknum heildið ∫ x 2 +2x−1x(2x−1)(x+2) dx.Lausn: Stofnbrotaliðun fallsins er:x 2 +2x−1x(2x−1)(x+2) =A x + B2x−1 + Cx+2Þar með fæst:= A(2x−1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x−1)x(2x−1)(x+2)x 2 +2x−1=A(2x−1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x−1).Valin eru gildi áx þannig að tveir af liðunum hægra megin jafnaðarmerkis verðinúll. Þessi gildi áx eru rætur samnefnarans,x= 0,x=−2 ogx= 1/2.Ef x= 0 er 0 2 +2·0−1=A(0−1)(0+2)+B·0+C·0,svo−1=−2A,svo A= 1 2 .Ef x=−2 er (−2) 2 +2·(−2)−1=A·0+B·0+C(−2)(2·(−2)−1),svo −1=10C,svo C= −110 .Ef x= 1/2 er (1/2) 2 +2·(1/2)−1=A·0+B(1/2)(1/2+2)+C·0,svo 1 4 =B· 54 ,svo B= 1 5 .Nú þegar stuðlarnir eru fundir er heildað:∫x 2 ∫(+2x−1 1/2x(2x−1)(x+2) dx= x + 1/52x−1 +−1/10 x+2= 1 2∫ 1x dx+ 1 5∫)dx∫12x−1 dx− 1101x+2 dx= 1 2 ln|x|+ 1 5·12 ln|2x−1|− 1 10 ln|x+2|+k= 1 2 ln|x|+ 110 ln|2x−1|− 1 10 ln|x+2|+k

3.3. STOFNBROTALIÐUN 61Tilfelli II.endurteknir.Nefnari,Q(x), þáttast í ólíka fyrsta stigs þætti, sumir þáttannaQ(x)=···(ax+b) n···Í þessu tilfelli er stofnbrotaliðun ræða fallsins þessi:P(x)···(ax+b) n···=···+ A 1ax+b + A 2(ax+b) 2+···+ A n(ax+b) n+···þar semA 1 ,A 2 ,...,A n eru fastar sem þarf að finna.Dæmi 3.3.4. (a)R(x)= x3 −x+1x(x−1) 3 .Þættir nefnarans erux og(x−1). Seinni þátturinn er í þriðja veldi en sá fyrri er ífyrsta veldi. Liðunin í stofnbrot er því þessi:(b)R(x)= x3 −x+1x 2 (x−1) 3.x 3 −x+1x(x−1) 3 =A x + Bx−1 + C(x−1) 2+ D(x−1) 3Þættir nefnarans erux og(x−1). Seinni þátturinn er í þriðja veldi en sá fyrri er íöðru veldi. Liðunin í stofnbrot er því þessi:x 3 −x+1x 2 (x−1) 3 =A x + B x 2+ Cx−1 + D(x−1) 2+ E(x−1) 3Dæmi 3.3.5. Reiknum heildið ∫4x(x−1) 2 (x+1) dx.Lausn: Nefnari þáttast í tvo fyrsta stigs þætti,(x−1) og(x+1). Fyrri þátturinn erí öðru veldi og seinni þátturinn er í fyrsta veldi. Liðunin í stofnbrot er því þessi:Þar með fæst:4x(x−1) 2 (x+1) = Ax−1 + B(x−1) 2+ Cx+1= A(x−1)(x+1)+B(x+1)+C(x−1)2(x−1) 2 .(x+1)4x=A(x−1)(x+1)+B(x+1)+C(x−1) 2 .Nú eru gildi áx valin. Þessi gildi áx eru rætur samnefnarans,x= 1 ogx=−1.Ef x= 1 er 4·1=A·0+B(1+1)+C·0,svo4=2B,svo B= 2.Ef x=−1 er 4·(−1)=A·0+B·0+C·(−1−1) 2 ,svosvo−4=C·4,C=−1.

62 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIRRætur samnefnarans eru aðeins tvær en fastarnir sem þarf að finna eru þrír. Veljumeitthvert gildi áx annað en−1 og 1 og reiknum gildi þriðja fastans,A.Ef x= 0 er 4·0=A(0−1)(0+1)+svosvo0=A(−1)+2−1,A=1.Þá er heildað:∫ ∫4xx 3 −x 2 −x+1 dx=B C{}}{ { }} {2 ·(0+1)+(−1)·(0−1) 2 ,4x(x−1) 2 (x+1) dx∫( )1=x−1 + 2 −1(x−1) 2+dxx+1∫ ∫ ∫1=x−1 dx+2 1(x−1) 2dx−= ln|x−1|− 2x−1 −ln|x+1|+k1x+1 dxTilfelli III. Nefnari,Q(x), inniheldur ólíka og óþáttanlega þætti af stigi 2(það er að segja: annars stigs þætti sem ekki hafa neinar rætur).Þetta þýðir að þáttun nefnara inniheldur einn eða fleiri ólíka þætti á forminuax 2 +bx+c, þar semb 2 −4ac< 0Í þessu tilfelli verður stofnbrotaliðun ræða fallsins að innihalda lið á forminuAx+Bax 2 +bx+cþar semAogB eru fastar sem þarf að finna.Dæmi 3.3.6. (a)R(x)= x2 −x+1x(x 2 +x+1) .Hér þáttast nefnari í tvo ólíka þætti, annar þátturinn, það erx, er fyrsta stigs enhinn þátturinn er óþáttanlegur annars stigs þáttur. Stofnbrotaliðun fallsins R erþví:x 2 −x+1x(x 2 +x+1) =A x + Bx+Cx 2 +x+1(b)R(x)=x 3 −x+1x 2 (x 2 +1)(x 2 +3) .Hér þáttast nefnari í þrjá ólíka þætti. Fyrsta stigs þáttx sem er í öðru veldi og svotvo ólíka annars stigs þætti sem báðir eru óþáttanlegir. Stofnbrotaliðun fallsinsRer því:x 3 −x+1x 2 (x 2 +1)(x 2 +3) =A x + B x 2+Cx+D x 2 +1 +Ex+F x 2 +3

3.3. STOFNBROTALIÐUN 63Hér verður „blandaðri aðferð“ beitt til að finna fastana í stofnbrotaliðuninni vegnaþess að rætur allra fyrsta stigs þátta samnefnarans eru færri en fastarnir sem þarfað ákvarða.Dæmi 3.3.7. Reiknum heildið ∫ 2x 2 −x+1x 3 dx.+xLausn: Hér þáttast nefnarinnx 3 +x=x(x 2 +1)í tvo ólíka þætti, einn fyrsta stigs þátt og einn annars stigs óþáttanlegan þátt. Stofnbrotaliðunfallsins er því:Þar með fæst:2x 2 −x+1x 3 +x= 2x2 −x+1x(x 2 +1) =A x +Bx+C x 2 +1= A(x2 +1)+(Bx+C)xx(x 2 +1)2x 2 −x+1=A(x 2 +1)+(Bx+C)x (3.8)Samnefnarinn hefur aðeins einn fyrsta stigs þátt sem hefur rótina núll.Ef x= 0 er 2·0 2 −0+1=A(0 2 +1)+(B·0+C)·0svosvo1=A·1A=1.Nú er margfaldað upp úr svigum í jöfnu (3.8) og jafnan einfölduð:2x 2 −x+1=x 2 +1+Bx 2 +Cx og þvíx 2 −x=Bx 2 +Cx.Þar sem margliðurnarx 2 −x ogBx 2 +Cx eru jafnar eru samsvarandi stuðlar jafnir.Þar með er:B= 1 og C=−1Nú þegar fastarnir eru fundnir er heildað:∫ 2x 2 ∫(−x+1 1x 3 dx=+x x + x−1 )x 2 dx∫ ∫ +11 x−1=x dx+ x 2 +1 dx∫ x−1= ln|x|+x 2 +1 dxSeinna heildið er reiknað með því að skipta því upp∫ ∫ ∫ x−1x 2 +1 dx= xx 2 +1 dx− 1x 2 +1 dxFyrra heildið er reiknað með innsetningu:∫u=x 2 +4,du=2xdx og 1 2 du=xdx.1Samkvæmt töflu á bls. 9 í kafla 2 er1+x2dx= arctan(x)+k svo∫ 2x 2 ∫ ∫ ∫−x+1 1x 3 dx=+x x dx+ xx 2 +1 dx− 1x 2 +1 dx= ln|x|+ 1 2 ln|x2 +1|−arctan(x)+k

64 KAFLI 3. HEILDUNARAÐFERÐIR3.3.1 ÆfingDæmi 1. Ákvarðið form stofnbrotaliðunar gefna fallsins. Ekki reyna að reikna gildifastanna sem birtast í stofnbrotaliðuninni.(a)R(x)=(c)R(x)=(e)R(x)=1(x−1)(x+2)x 2 +3x−4(2x−1) 2 (2x+3)1x 4 −x 3(g)R(x)= x2 −2x(x 2 +2)(b)R(x)=(d)R(x)=(f)R(x)=(h)R(x)=72x 2 +5x−12x 3 −x 2(x−6)(5x+3) 31+x+x 2(x+1)(x+2) 2 (x+3) 31(x+1) 2 (x 2 +2)(x 2 +3)Dæmi 2. Reiknið eftirfarandi heildi. Notið margliðudeilingu fyrst, ef þörf krefur.∫(a)1(x+1)(x−2) dx(b) ∫4x−1(x−1)(x+2) dx∫∫5x+5(c)x 2 +x−6 dx(d) 1x 2 −4x dx∫ x 2 ∫+11(e)x 2 −x dx (f) 2x+30 (x+1) 2dx∫1(g)(x−1) 2 (x+4) dx∫ 3x 2 ∫−4x+52x+3(i)(x−1)(x 2 +1) dx (j) x 3 +3x dx(h)∫ 5x 2 +3x−2x 3 +2x 2Dæmi 3. Reiknið gefnu heildin. Byrjið á innsetningu, notið svo stofnbrotaliðun efþörf krefur.dx(a) ∫ sin(x)cos 2 (x)5+cos 2 (x)dx(b) ∫ (2sin(x)−3)cos(x)sin 2 (x)−3sin(x)+2 dx

Svör við æfingumÆfing 1.1.2Dæmi 1.(a) 4 x ln(4) (b) 3 x ln(3) (c) 8 x ln(8) (d) 3·5 x ln(5)(e) 7·6 x ln(6) (f) 2·10 x ln(10) (g) 6 x−2 ln(6) (h) 3·2 3x+1 ln(2)(i)−5·7 3−x ln(7)Dæmi 2.(a)e x (x+1) (b)e x+1( sin(2x)+2cos(2x) )(c) 5 x e −x (ln(5)−1)(e) 1−ex −xe x(1+e x ) 2Dæmi 3. x= 2Dæmi 4. x= 0 eðax=−2(d) 2x−x2e x(f) cos(x)−sin(x)e −xDæmi 5.(a) 4e 4x+1(c) 2e 2x−3(e)−4 1 2 cos(2x)·ln(4)·sin(2x)(g) cos(2 x )2 x ln(2)( )(i) 7 1 −1x −2x ln(7)x −2 2(b)(1−3x 2 )e x−x3( ) 1(d)2 √ x −1 e √ x−x(f) −sin(2x)e √cos(2x)√cos(2x)(h) 2 sin(x) ln(2)cos(x)Dæmi 6. (a)g ′ (x)=(x+1)e xi

••iiSVÖR VIÐ ÆFINGUM(b) Lággildi íx=−1. Lággildispunktur(−1,−1/e).(c)g ′′ (x)=(x+2)e x .(d) Ein beygjuskil, þegarx=−2. Beygjuskilapunktur(−2,−2/e 2 ).(e)21−5(f)k∈]−1/e,0[.−4−3(−2,−2/e 2 )−2−1(−1,−1/e)Æfing 1.1.4Dæmi 1.(a)g ′ (1)=1/f ′ (0)=1(b)g ′ (π)=1/f ′ (π) ekki til,f ′ (π)=0.(c)g ′ (4)=1/f ′ (0)=1/2 (d)g ′ (1)=1/f ′ (2)=1.Dæmi 2.(a)2xx 2 +1(d) log √2(x) x2 √ x + ln(2)x(g) 2cos(x)sin(x)(b) ln(x)+11(e)2(x−11)(h) sin(x)+xcos(x)xsin(x)1(c)ln(3)(x+2)−1(f)ln(7)(x+1)(i) cos(x)+xsin(x)xcos(x)Dæmi 3.1(a)x+2(d) 3 ( )12 3x+2 − 13x−21(e)ln(2)(x+2) −e xln(2)(1+e x )(b) 2(1+tan2 (2x))tan(2x)(f)−tan(x)+1(c)−x1−x 2+cos(x) sin(x)Dæmi 4. y= 4x−4.Dæmi 5. (b) Hágildispunktur er(e,1/e).

•ÆFING 1.2.3iii(c) 1(e,1/e)−11 2 3 4 5 6 7 8−1−2(d)k∈]0,1/e[Æfing 1.2.3Dæmi 1.(a)−π/4 (b)π/3 (c)π/2 (d) 7/10(e) 1(f)π/3Dæmi 2.(a)(c) 0(e)2√1−(2x−1)22x√1−x4(g) 2xarctan(x)+1(b)3x 21+x 6(d) 2arcsin(x) √1−x2ln(x)(f) √ + arcsin(x)1−x2(h)1−x√1−x2xÆfing 2.1.2Dæmi 1.(a) 4x 3 +) (3+ 3e2x 2 −5x+k2(c) 3 5 x10 − 1 2 x8 +x 3 +ln|x|+k1(b)ln(5) 5x + 1 4 x4 − 4 3 x3 +17x+k9(d)10 x10 − 4 3 x3 +3x −1/3 +kDæmi 2.(a) 2 3 x3/2 + 3 4 x4/3 +k (b) 3 5 x5/3 − 2 5 x5/2 +k(c)− 32x 4+k (d) 53x 3− 3 x +k(e)x+ln(x)+ x22 +k (f) 4 5 x2√ x+ 2 7 x3√ x+k

ivSVÖR VIÐ ÆFINGUMDæmi 3.(a) 4 3 x√ x−6 √ x+k(b) 2 3 x3 + 1 2 x2 −3x+k(c) 4 5·x2√ x− 103 x√ x+k (d) 4 3·x3 +6x 2 +9x+kDæmi 4.(a)x 2 +5arcsin(x)+k (b)−2cos(x)+ 12ln(3) 32x +k(c) 6sin(x/3)+kDæmi 5.(a)f(x)=(ln(x)+1/x)e x ,g(x)=arcsin(x)+ 2x √1−x2(b) 2e x ln(x)−3xarcsin(x)+3 √ 1−x 2 +kDæmi 6.(d)−(6/π)cos(πx/2)+k(a) 1 2 ln|x2 −8| (b)−ln|cos(x)|+k (c) 1 2 ln|x2 −4x−6|+k(d)−ln|2−sin(x)|+k (e)−ln|1+e −x |+k (f)−ln|1+e −x |+kDæmi 7.∫∫ 112 √ x√ √ dx= 2 √ dx x( x+1) x+1= 2ln| √ x+1|+k(∫ u ′ )(x)u(x) dx, u(x)=√ x+1Æfing 2.1.4Dæmi 1.1363Dæmi 2.113Dæmi 3. 39Dæmi 4.(a)···.(b)F(x)=ln| √ 1+x 2 +x|.A=F( √ 3)−F(0)=ln(2+ √ 3).(c) Flatarmálið er jafnt flatarmálinu í lið (b) að frádregnu flatarmáli þríhyrnings meðgrunnlínu af lengd √ 3 og hæð 1/2.A=ln(2+ √ 3)− √ 3/4.

•••ÆFING 2.1.4vDæmi 5.Svæðið samanstendur af tveimur þríhyrningum.þríhyrningurinn hefur grunnlínu 1 og hæð 1.þríhyrningurinn hefur grunnlínu 2 og hæð 2.Flatarmálið er því summan 1/2+2=5/2.MinniStærri(0,1)1 3(3,2)Dæmi 6. (a) Notum margföldunarreglu diffrunar:(x 2 ln(x) ) ′= 2x·ln(x)+x2· 1x= 2xln(x)+x(b) Samkvæmt jöfnunni hér að ofan þá gildir aðF(x)=x 2 ln(x) er stofnfall fallsinsf(x)=2xln(x)+x.Með öðrum orðum,Þá fæst:∫x 2 ln(x)= (2xln(x)+x)dx∫ ∫= 2 xln(x)dx+ xdx∫= 2 xln(x)dx+ 1 2 x2 .∫xln(x)dx= 1 2 x2 ln(x)− 1 4 x2 +kFastaker bætt við óákveðna heildið, að venju.(c) Þar semF(x)= 1 2 x2 ln(x)− 1 4 x2 er stofnfall fyrirf(x)=xln(x), þá er flatarmálið( 9F(3)−F(1)=2 4)ln(3)− 9 ( 1−2 4)ln(1)− 1= 9 2 ln(3)−2Dæmi 7. (a) Lota fallsins er 4, svo 2π a = 4. Þá era=π 2 .( ) π(b) Stofnfall fyrirf(x)=sin2 x erF(x)= −2 ( ) ππ cos 2 x . Á fyrri mynd er flatarmálið[ ] [ −2 −2F(2)−F(0)=π cos(π) −]=π cos(0) 4 πÁ seinni mynd er flatarmálið[F(2)−F(1)]− þríhyrningur=2π − 1 2

•••viSVÖR VIÐ ÆFINGUMDæmi 8.Fleygbogi sem sker x-ás í (±π,0) og hefur topppunkt(0,c) hefur jöfnuy=−k(x−π)(x+π)=k(π 2 −x 2 ).cÞar sem fleygboginn fer í gegnum punktinn(0,c) gildir:k(π 2 −0)=c, svo k= c π 2Stofnfall fyrir fleygbogann er−ππ∫ cπ 2(π2 −x 2 )dx= c π 2 ∫(π 2 −x 2 )dx= c π 2 (π 2 x− 1 3 x3 )+kEf heildunarfastanum er sleppt fæst stofnfallið F(x) = c π 2 (π 2 x− 1 3 x3 ).Heildarflatarmálið milli ferils ogx-áss er tvöfalt flatarmál svæðisins á bilinu[0,π].Því fæst:F(π)−F(−π)=42 ( F(π)−F(0) ) = 44cπ= 43c= 3 πÆfing 2.2.1Dæmi 1.(a) 3524Dæmi 2.(b) 8√ 25−2 (c)203√ 2(d)−3(a)e (b) 2(e2 −1)e 4 (c) 2 √ e−3 (d)− e44 +4e1/4 − 15 4Dæmi 3.(a) 1 (b) 3√ 32(c)−2 (d) 0

ÆFING 2.2.1viiDæmi 4.(a) 2m−n (b)m+a−b (c) 3n (d) 2am−bm (e)na 2Dæmi 5. Athugið aðf(x) er á forminu u′ (x)u(x) þar semu(x)=ex +e −x . Þá erF(x)=ln(e x +e −x )stofnfall fyrirf(x). Svarið við ákveðna heildinu er þá ln(5/3).Dæmi 6. Athugið aðf(x) er á forminu− u′ (x)u(x)þar semu(x)=1+cos(x). Þá erF(x)=−ln(1+cos(x))stofnfall fyrirf(x). Svarið við ákveðna heildinu er þá ln(2).Dæmi 7. (a) Stofnfall erF(x)= 1 3 ln|1+x3 |. Þarf að leysa jöfnunaLausnin era= 3√ e 6 −1.13 ln|1+a3 |=2, eða ln|1+a 3 |=6.(b) Stofnfall erF(x)= 1 2 ln|1+x2 |. Þarf að leysa jöfnunaLausnin era= √ e 2 −1.12 ln|1+a2 |=1, eða ln|1+a 2 |=2.(c) Hér er stofnfallF(x)=x 3 −4x 2 +2x. Þarf að leysa jöfnuna2a 3 +4a=12a, eða2a(a 2 −4)=0.Lausnin era=2Dæmi 8. Fallið má umritatan(x)− tan(x)−1tan(x)+1 = tan2 (x)+1tan(x)+1og er þá á forminu u ′ (x)/u(x) þar sem u(x) = tan(x)+1.F(x)=ln|tan(x)+1|.Gildi ákveðna heildisins er ln(2).Stofnfall er því

viiiSVÖR VIÐ ÆFINGUMDæmi 9.(a)y=f(x)AÁ bilinu [−4,−2] afmarka ferill og x-ás þríhyrntsvæði.∫ −2f(x)dx= 2−4(b)y=f(x)AFlatarmál svæðisins sem ferill ogx-ás afmarka erauðvelt að reikna∫ 1f(x)dx= 5−4(c)y=f(x)Flatarmál svæðisins sem ferill ogx-ás afmarka ertvískiptA 1∫ 3f(x)dx=A 1 −A 2A −42= 5−1=4(d)y=f(x)Flatarmál svæðisins sem ferill ogx-ás afmarka erþrískiptA 1A 2A 3∫ 4f(x)dx=A 1 −A 2 +A 3−4= 5−1+ 1 2 = 4.5

•ÆFING 2.2.1ixDæmi 10.(a) Skurðpunktur línu og hrings finnst með þvíað leysa jöfnurnar tvær saman:x 2 +y 2 =r 2y= √ 3x}→x 2 +( √ 3x) 2 =r 24x 2 =r 2x= r 2y= √ 3xx 2 +y 2 =r 2Hallatala línunnar er √ 3=tan(θ), svoθ= tan −1 ( √ 3)=π/3.Þá erα=π/2−π/3=π/6.Flatarmál skyggða svæðisins er þá 1 2 r2π 6 =πr2 12 .αθr2(b) Flatarmál svæðisins má rita sem mismun á flatarmáli undir hringboganumy= √ r 2 −x 2 á bilinu[0,r/2] og flatarmáli þríhyrnings með grunnlínur/2 og hæðy= √ 3·r/2.∫ r/2 √ 3r2A= r 2 −x dx−√ 2 80(c) Í lið (a) fékkst flatarmál skyggða svæðisins sem πr2 . Jafnan í lið (b) verður12eða∫ r/20πr 2 ∫ r/212 = √ 3r2r2 −x dx−√ 20 8√√r2 −x 2 dx= πr2 3r212 + 8(d) Veljumr = 2 í jöfnunni hér að ofan:∫ 10√4−x2 dx= π 3 + √ 32Margfölum svo beggja vegna jafnaðarmerkis með 3:∫ 10√36−9x2 dx=π+ 3√ 32Dæmi 11. Maður ber sig að svipað og í dæmi 9.(a) (i) 7, (ii) -9, (iii) -2(b)t=−4 eðat= 5.(c) Jafnan verður 6=k(−8). Þá erk=−3/4. Dæmi 12. 4

xSVÖR VIÐ ÆFINGUMÆfing 3.1.1Dæmi 1.(a)(x−1)e x +k (b)− 3x+1 e −3x +k9(c)(x−1)sin(x)+cos(x)+k (d)(2x+1)e x +k(e)(2x+2)sin(2x)+cos(2x)+k (f)(x−1)e 2x +kDæmi 2.(a) 1 2 x2 ln(x)− 1 4 x2 +k( x4)(b)4 −x3 3 +x2 ln(x)− x2 (9x 2 −16x+72)144( x2)(c)2 +2x ln(x)− x2 +8x+k4+k(d) 2 3 x3/2 ln(x)− 4 9 x3/2 +k((e) x 2 + 2 ) 13 x√ x+x ln(x)−(2 x2 + 4 )9 x√ x+x +k(f)(x 4 +x 3 )ln(x)− 3x4 +4x 3+k12(g)(−x 2 −x+1)cos(x)+(2x+1)sin(x)+k(h) 4x 9 cos(3x)+ 18x2 +5sin(3x)+k27( ) x+1(i)ln(10) − 1ln 2 10 x +k(10)(j)−(x 2 +x+2)e −x +kx(k)ln(2)·2x − 1ln 2 (2)·2x +k(l)x 3 sin(x)+3x 2 cos(x)−6xsin(x)−6cos(x)+kDæmi 3.(a) 1 4(d) 4−√ √2 2π−32 8(b) e2 +14(c) 1 4(e) 8cos(1)−sin(1)−2 (f) e2 +14

ÆFING 3.2.1xiÆfing 3.2.1Dæmi 1.(a) 2 3 (x2 +1) 3/2 +k (b)− 1 3 (4−x4 ) 3/2 +k1(c)−18(3x 2 +9) 3+k (d) 1 +2 2 ex2 +k(e)e sin(x) +k (f)−2cos (√ x ) +k(g) 1 a ln|ax+b|+k (h) 2 5 (x+1)5/2 − 2 3 (x+1)3/2 +kDæmi 2.(a) (2x−1)5/210+ (2x−1)3/26+k (b) 6(x−1)5/2 +20(x−1) 3/215= 1 15 (2x−1)3/2 (3x+1)+k = 215 (x−1)3/2 (3x+7)+k(c)−ln|1−2x 2 |+k(d)11−2x 2+k+k(e) 1 2 ln2 (x)+k(f)−ln|e −x +1|+k(g) ln|ln(x)|+k (h)e tan(x) +k(i) 2 3 (ex +1) 3/2 +kDæmi 3.(a) ln(2)(d) 10425(b) 2ln(2)3(e) 5(e6 −1)4e(c) ln(6)(f) 24414( ) e+1(g) ln(2) (h) 1 4(i) ln2Dæmi 4.(a) 2sin(2)−4cos(2)(c) e2 −14(b)x(ln 3 (x)−3ln 2 (x)+6ln(x)−6)+k(d)xarcsin(x)+ √ 1−x 2 +k(e) π24 −2 (f) 4 3 (√ x−2) √ √ x+1

xiiSVÖR VIÐ ÆFINGUMÆfing 3.3.1Dæmi 1.A(a)x−1 + Bx+2A(b)2x−3 + Bx+4A(c)2x−1 + B C(2x−1) 2+ 2x+3(d)Ax−6 + B5x+3 + C D(5x+3) 2+ (5x+3) 3(e) A x + B C Dx 2+ x 3+ x−1A(f)x+1 + Bx+2 + C D(x+2) 2+ x+3 + E F(x+3) 2+ (x+3) 3(g) A x +Bx+C x 2 +2A(h)x+1 + B(x+1) 2+Cx+D x 2 +2 +Ex+F x 2 +3Dæmi 2.(a) 1 3 ln|x−2|− 1 3 ln|x+1|+k(c) 2ln|x+3|+3ln|x−2|+k(b) ln|x−1|+3ln|x+2|+k(d) 1 4 ln|x−4|− 1 4 ln|x|+k(e)x+2ln|x−1|−ln|x|+k(f) 2ln(2)+1/2(g) 125 (ln|x+4|−ln|x−1|)− 15(x−1) +k (h) 2ln|x|+3ln|x+2|+ 1 x +k(i) 2ln|x−1|+ 1 2 ln|x2 +1|−3arctan(x)+k (j)ln|x|− 1 2 ln|x2 +3|+ 2 √ 3arctan(x/ √ 3)+kDæmi 3.(a) √ 5arctan ( cos(x)/ √ 5 ) −cos(x)+k(b) ln|sin 2 (x)−3sin(x)+2|+k