Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

Slika 5: Dokaz da inverzija čuva dvorazmeruSa pojmom inverzije u prostoru, tesno je vezan i pojam stereografske projekcije.Neka je S sfera sa centrom O, a sa N neka tačka koju zovemo severni polsfere. Označimo sa S N = S \ {N} sferu bez severnog pola, a sa π ravan kojasadrži O i normalna je na pravu NO. Krug π∩S zovemo ekvator. PreslikavanjeΘ : S N → π sfere bez pola na ravan π koje svakoj tački M ∈ S N dodeljuje tačkuM ′ = NM × π, naziva se stereografska projekcija.NMπOM ′Slika 6: Stereografska projekcijaPrimetimo da je stereografska projekcija restrikcija inverzije. Naime, nekaje σ sfera sa centrom N koja sadrži ekvator, tj. poluprečnika NO √ 2. Sfera S seinverzijom u odnosu na sferu σ preslikava u ravan π, i pri tome je stereografskaprojekcija sfere S na ravan π, restricija inverzije u odnosu na sferu σ. Dakleosobine b)-d) inverzije u odnosu na sferu, važe i za inverziju. Kako σ sadržiekvator S ∩ π, svaka tačka ekvatora je fiksna pri stereografskoj projekciji.Posmatrajmo sada π = C kao kompleksnu pravu. Stereografsku projekcijuΘ : S N → C možemo neprekidno proširiti do bijekcije sfere S i kompleksneprojektivne prave ¯C, tako sto dodefinišemo Θ(N) = ∞. Sfera shvaćena kaokompleksna projektivna prava se ponekad naziva i Rimanova sfera. Dakle,videli smo da je model realne projektivne prave krug, a kompleksne projektivneprave sfera.Primedba 3.1 Primetimo da smo u prethodnom tekstu uveli tri vrste dvorazmerekoje označavamo na isti način. Prvo smo definisali realnu dvorazmeručetiri kolinearne tačke formulom (1) čija je vrednost realan broj različit od 0, 1.Zatim smo formulom (3) definisali kompleksnu dvorazmeru četiri kompleksnetačke čija je vrednost kompleksan broj različit od 0, 1. Konačno, u Teoremi3.3 (4) smo uveli prostornu dvorazmeru četiri tačke prostora čija je vrednostpozitivan realan broj.8