Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

3.2 Inverzija u odnosu na sferuAnalogno inverziji u odnosu na krug u ravni može se definisati inverzija uodnosu na sferu σ u prostoru. Naime, ako je O centar sfere σ, a r njenpoluprečnik, tada se tačka M ≠ O preslikava u tačku M ′ poluprave OM davaži OM · OM ′ = r 2 .Teorema 3.3 Inverzija f u odnosu na sferu σ ima sledeće osobine:a) Ravni i sfere preslikava u ravni i sfere.b) Prave i krugove, preslikava u prave i krugove.c) Konformno je preslikavanje, tj. čuva uglove izmedju krivih.CAd) Čuva dvorazmeruCB : DADB četiri (moguće nekolinearne) tačke prostora.Dokaz: a) Ako ravan τ sadrži središte O sfere, tada je f(τ) = τ. Ako ravanτ ne sadrži O, neka je T podnožje normale iz O na τ. Ako je π proizvoljnaravan koja sadrži pravu OT tada inverzija u odnosu na sferu indukuje inverzijuu odnosu na krug s = σ ∩ π u ravni π. Zato je slika f(p) prave p = π ∩ τ, krugsa prečnikom OT . Za sve takve ravni π ⊃ OT dobijamo kao sliku ravni τ unijusvih krugova sa prečnikom OT -sferu sa prečnikom OT . Ako neka sfera sadržicentar sfere σ i ima prečnik OT tada je njena slika ravan τ u tački T normalnana OT . Ako (i konačno) sfera ne sadrži tačku O, tada je njena slika sfera. Ovajse slučaj pokazuje posmatranjem svih ravni π koje sadrže pravu OS, gde je Scentar sfere koju preslikavamo.b) Prava i krug se uvek mogu predstaviti kao presek dve ravni, odnosno ravnii sfere. Na osnovu tvrdjenja pod a) prave i krugovi se preslikavaju u prave ikrugove.d) Ako se pri inverziji tačke A i B slikaju u tačke A ′ i B ′ , tada su trougloviOAB i OB ′ A ′ slični, pa imamo:ABA ′ B ′ = OB OB · OA=OA′OA ′ · OA=OB · OAr 2 ,gde je r poluprečnik kruga. Zamenom relacije AB = A ′ B ′ OB·OAr 2jednakost CACB : DADB = C′ A ′C ′ B: D′ A ′′ D ′ B. ′dobijamo⊓⊔B ′OABA ′7