Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

Definicija 1.1 Neka su l 1 i l 2 dve prave i S tačka koja im ne pripada. Preslikavanjef : l 1S=∧l2 koje tački M ∈ l 1 dodeljuje tačku f(M) = SM × l 2 nazivase centralno projektovanje prave l 1 na pravu l 2 iz centra S.SMM ′ l 1l 2Slika 1: Centralno projektovanjeTeorema 1.1 Dvorazmera je invarijantna u odnosu na centralno projektovanje.Dokaz: Bio na predavanjima.⊓⊔Primetimo da je razmera veličina koja se čuva pri paralelnom projektovanju,ali se ne čuva pri centralnom projektovanju.Definicija 1.2 Preslikavanje f : p → p prave p dato sa f(x) = ax+bcx+d , ad −bc ≠ 0, naziva se bilinearno preslikavanje. Nije teško pokazati preslikavanje fzadržava taj oblik pri promeni afinih koordinata na pravoj p.Da je ad−bc = 0, tada bi bilo f(x) ≡ b d= const (proveriti), što nije interesantanslučaj.Primetimo da preslikavanje f nije definisano u tački x = − d c . Sa drugestrane a cnije slika ni jedne tačke x (proveriti). Da bismo te nedostatke otklonilidopunićemo pravu p beskonačno dalekom tačkom P ∞ = ±∞, i označiti¯p = p ∪ {P ∞ }. Ta dopunjena prava ¯p naziva se projektivna prava.P ∞P✛∞pP ∞✲¯pSlika 2: Projektivna prava2