Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

normalnih na pravu l : x = 0, y > 0. Kako su tačke 0, z i r2¯z kolinearne i važi∣|z| ∣ = r 2 dobijamo da je formula inverzije u odnosu na krug x 2 + y 2 = r 2∣ r2¯zdata sa z →r2¯z, što je preslikavanje oblika (9). Dakle refleksije u odnosu naprave pramena X l su inverzije u odnosu na odgovarajuće krugove. Posmatramoli sada slike tačke X(x 0 , y 0 ) ∈ H u refleksijama u odnosu na prave pramenaX l , dobijamo da je ekvidistanta E = E(X l , X) poluprava [OX) gde je O(0, 0).Primetimo da ekvidistanta E i prava l ”seku” u dve tačke apsolute: 0 i ∞. Da bidobili ekvidistantu u odnosu na proizvoljnu pravu n dovoljno je transformacijomtipa (8) preslikati pravu l u pravu n. Dobijamo da su ekvidistante delovi krugovakoji seku apsolutu u dve tačke (u onim tačkama u kojim ih ”seče” i prava n), ilipoluprave sa temenom na apsoluti. Taj krug, odnosno poluprava su normalnina apsolutu ako i samo ako je ekvidistanta prava, tj. X ∈ n.⊓⊔∞✻l∞✼EE ′nXXOSlika 16: Ekvidistante u poluravanskom modelu6 Malo diferencijalne geometrije u ravni LobačevskogU ovom poglavlju ćemo da izračunamo površinu i obim kruga, kao i površinutrougla u geometriji Lobačevskog. Da bismo to uradili treba nam elementdužine, tj. rastojanje izmedju bliskih tačaka. Neka je ∆s rastojanje (u geometrijilobačevskog) izmedju bliskih taǎka z i z + ∆z. Tada na osnovu formule(10) važi:cosh ∆s ≈ 1 + |∆z|22(Iz) 2 .Sa druge strane na osnovu razvoja funkcije cosh za bliske tačke važi:cosh ∆s ≈ 1 + (∆s)2 ,2pa važi ∆s ≈ ∆zIz , odnosno ds 2 =dz2(Iz) 2 = dx2 + dy 2y 2 .19