Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

Ako je X pramen, a X tačka ravni Lobačevskog, tada skup slika tačke X urefleksijama u odnosu na sve prave pramena X zovemo epiciklom i označavamosa E(X , X). Epicikli koji odgovaraju navedenim tipovima pramenova nazivajuse, redom, krugovi, ekvidistante i oricikli.Već smo dokazali da su krugovi u Klajnovom modelu elipse, a u Poenkareovomi poluravanskom modelu euklidski krugovi, čiji je centar lobačevskog, uopštem slučaju, različit od euklidskog centra (Teorema 4.2). Razmotrimo sadaoricikle i ekvidistante u poluravanskom modelu. Čitaocu se ostavlja za vežburazmatranje tih epicikala u Poenkareovom i Klajnovom modelu.∞✻✻ ✻ ✻ ✻XO✲ ∞O ′✻X ′ŌSlika 15: Oricikli u poluravanskom modeluTeorema 5.3 Oricikli u poluravanskom modelu su krugovi koji dodiruju apsolutui prave paralelne apsoluti.Dokaz: Posmatrajmo specijalan pramen paralelnih pravih, onih koje se ”seku”u tački ∞ apsolute. S obzirom da sadrže tačku ∞ one su delovi pravih (a nekrugova), pa taj pramen X ∞ sačinjavaju sve poluprave normalne na apsolutu.Jednostavno se proverava da je euklidska refleksija u odnosu na pravu x = c ∈ R,tog pramena, data formulom f(z) = −¯z + 2c, tj. ona je izometrija oblika(9). Preslikavamo li neku tačku X(x 0 , y 0 ) u odnosu na sve prave pramena X ∞dobijamo oricikl O : y = y 0 , koji takodje sadrži tačku ∞. Da bismo dobiliproizvoljan oricikl O ′ generisan nekim pramenom X Ō paralelnih pravih koje seseku u nekoj tački Ō apsolute, potrebno je izometrijom oblika (8) preslikatitačku ∞ u tačku Ō. Kako se oricikl O na taj način slika u krug koji dodirujeapsolutu teorema je dokazana.⊓⊔Teorema 5.4 Ekvidistante u poluravanskom modelu su krugovi koji seku apsolutuu dve tačke ili poluprave sa temenom na apsoluti.Dokaz: Uočimo pramen pravihX l = {x 2 + y 2 = r 2 , y > 0 | r > 0}18