Modeli geometrije Lobacevskog - Alas
Modeli geometrije Lobacevskog - Alas Modeli geometrije Lobacevskog - Alas
Konačnoe −ρ = tan α 2 ,pa kada ρ → 0 onda α → π 2, kao u euklidskom slučaju. Drugim rečima,stanovnik geometrije lobačevskog, mereći na malim rastojanjima ugao paralelnosti,teško može da razlikuje svoju geometriju od euklidske.1bA(0)✾ ✼a ′B(cos α)−1Slika 13: Računanje ugla paralelnosti u Klajnovom modeluTeorema 5.1 (Pitagorina teorema geometrije Lobačevskog) Neka je ABCpravougli trougao ravni lobačevskog. Tada važi:cosh c = cosh a cosh b (11)Dokaz: Nije umanjenje opštosti ako pretpostavimo da je u poluravanskommodelu A(ki), k > 1, C(i), B(cosφ + i sin φ), 0 < φ < π 2. Na osnovu formule(10) dobijamocosh a = 1sin φ ,1 + k21 + k2cosh b = , cosh c =2k 2k sin φ .Odatle tražena formula direktno sledi.Kad x → 0 važi:cosh x = ex + e −x=2(1 + x +x22x2+ o(x)) + (1 − x +2 + o(x)) = 1+ x222 +o(x2 ).Odatle dobijamo da je za male a, b, c, do na tačnost drugog stepena,odnosno1 + c2 2≈ (1 +a22 )(1 + b2 2 ) ≈ 1 + a22 + b2 2 ,c 2 ≈ a 2 + b 2 ,što je još jedna potrvda da se na malim rastojanjima euklidska i geometrijalobačeskog ponašaju slično.⊓⊔16
✻ACBSlika 14: Pravougli trougao i Pitagorina teoremaČitaocu prepuštamo da dokaže sledeću teoremu i da pokaže da kada dužinestranica teže nuli, a zadržavamo vrednosti uglova trougla, ona postaje kosinusna,odnosno sinusna teorema euklidske geometrije.Teorema 5.2 (Kosinusna i sinusna teorema) Za proizvoljan trougao ABCravni lobačevskog važe sledeći identiteti:a) cosh a = cosh b cosh c − sinh b sinh c cos α;b) sinh asin α= sinh bsin β= sinh csin γ .Uputstvo: Neka je H ∈ AB podnožje visine iz temena C. Iskoristiti relaciju(11) za pravougle trouglove ACH i BCH. ⊓⊔5.3 Epicikli (krugovi, oricikli, ekvidistante)Neka je a prava. Osna refleksija ϕ a je jedinstvena neidentička izometrija za kojusu sve tačke prave a fiksne, a koja postoji na osnovu Teoreme 4.3.Može se pokazati da su u poluravanskom i Poenkareovom modelu osne refleksijeeuklidske refleksije, ako je osa refleksije deo prave, a inverzije u odnosu nakrug, ako je osa refleksije deo kruga. Recimo, preslikavanje z ↦→ −¯z je refleksijau odnosu na pravu x = 0, y > 0.Podsetimo se da se skup pravih X ravni naziva pramen pravih ako je tomaksimalan skup pravih takvih da je za a, b, c ∈ X kompozicija osnih refleksijaϕ a ◦ ϕ b ◦ ϕ c takodje osna refleksija ϕ d . Može se pokazati da tada i prava dpripada pramenu X . Takodje se pokazuje da u geometriji Lobačevksog postojetri tipa pramenova• pramen konkurentnih pravih X O (eliptički pramen)-skup svih pravih kojesadrže tačku O.• pramen hiperparalelnih pravih X n (hiperbolički ili ortogonalni pramen)-skup svih pravni normalnih na neku pravu n.• pramen paralelnih pravih X Ō (parabolički pramen)-skup paralelnih pravih,tj. onih koje se ”seku” u tački Ō apsolute.17
- Page 1 and 2: Modeli geometrije LobacevskogSrdjan
- Page 7 and 8: 3.2 Inverzija u odnosu na sferuAnal
- Page 10 and 11: NXAA ′OXAA ′OYkkĀYSlika 8: Izo
- Page 12 and 13: Primedba 4.1 Možemo uvek pretposta
- Page 14 and 15: Teorema 4.2 Krugovi u poluravanskom
- Page 18 and 19: Ako je X pramen, a X tačka ravni L
- Page 20: To je element dužine u poluravansk
✻ACBSlika 14: Pravougli trougao i Pitagorina teoremaČitaocu prepuštamo da dokaže sledeću teoremu i da pokaže da kada dužinestranica teže nuli, a zadržavamo vrednosti uglova trougla, ona postaje kosinusna,odnosno sinusna teorema euklidske <strong>geometrije</strong>.Teorema 5.2 (Kosinusna i sinusna teorema) Za proizvoljan trougao ABCravni lobačevskog važe sledeći identiteti:a) cosh a = cosh b cosh c − sinh b sinh c cos α;b) sinh asin α= sinh bsin β= sinh csin γ .Uputstvo: Neka je H ∈ AB podnožje visine iz temena C. Iskoristiti relaciju(11) za pravougle trouglove ACH i BCH. ⊓⊔5.3 Epicikli (krugovi, oricikli, ekvidistante)Neka je a prava. Osna refleksija ϕ a je jedinstvena neidentička izometrija za kojusu sve tačke prave a fiksne, a koja postoji na osnovu Teoreme 4.3.Može se pokazati da su u poluravanskom i Poenkareovom modelu osne refleksijeeuklidske refleksije, ako je osa refleksije deo prave, a inverzije u odnosu nakrug, ako je osa refleksije deo kruga. Recimo, preslikavanje z ↦→ −¯z je refleksijau odnosu na pravu x = 0, y > 0.Podsetimo se da se skup pravih X ravni naziva pramen pravih ako je tomaksimalan skup pravih takvih da je za a, b, c ∈ X kompozicija osnih refleksijaϕ a ◦ ϕ b ◦ ϕ c takodje osna refleksija ϕ d . Može se pokazati da tada i prava dpripada pramenu X . Takodje se pokazuje da u geometriji Lobačevksog postojetri tipa pramenova• pramen konkurentnih pravih X O (eliptički pramen)-skup svih pravih kojesadrže tačku O.• pramen hiperparalelnih pravih X n (hiperbolički ili ortogonalni pramen)-skup svih pravni normalnih na neku pravu n.• pramen paralelnih pravih X Ō (parabolički pramen)-skup paralelnih pravih,tj. onih koje se ”seku” u tački Ō apsolute.17
Change language