Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

tačke prave l, X(z) ∈ H, X ∉ l proizvoljna tačka i X ′ = ϕ(X) njena tačka.Pošto je ϕ izometrija važi:ρ P (C, X) = ρ P (C, X ′ ), ρ P (D, X) = ρ P (D, X ′ ),tj. X ′ pripada preseku krugova k(C, CX) i k(D, DX), pa je X ′ = X ili jeX ′ (−¯z) tačka simetrična tački X u odnosu na y-osu. Dakle ϕ(z) = z ili ϕ(z) =−¯z, odnosnoφ(z) = g ◦ f(z) ili φ(z) = g ◦ f(−¯z).Prvo, zaključujemo da postoje tačno dve izometrije φ koje slikaju A, B redomu A ′ , B ′ . Drugo, proizvoljna izometrija ϕ je ili g ◦ f, oblika (8), ili g ◦ f(−¯z),oblika (9).⊓⊔5 Elementarna geometrija Lobačevskog5.1 Uglovi u modelimaU Klajnovom i Poenkareovom modelu uglovi sa temenom u centru O apsolutejednaki su odgovarajućim euklidskim uglovima. Razlog za ovo je što su euklidskerotacije oko O takodje i izometrije odgovarajućih modela. Izometrije Poenkareovommodela (bilinearne transformacije) čuvaju uglove tako da je u svakoj tačkitog modela ugao jednak odgovarajućem euklidskom. Kod Klajnovog modela tonije tačno.Sa slike se vidi da je zbir uglova u trouglu manji od π.5.2 Ugao paralelnostiNeka je b prava i A ∉ b tačka u ravni Lobačevskog, B podnožje normale iz A nab i a ′ poluprava sa temenom A paralelna pravoj b. Tada ugao a ′ AB nazivamougao paralelnosti duži AB.Ab✛ αB✣a ′Slika 12: Ugao paralelnostiU geometriji Lobačevskog ugao paralelnosti je uvek manji od pravog ugla.Sada možemo da izračunamo ugao praralelnosti. Lako se, recimo u Klajnovommodelu, nalazi veza ugla paralelnosti i rastojanja ρ tačke A od prave b:ρ = 1 2ln1 + cos α1 − cos α = 1 2 ln cos2 α 2sin 2 α 2= 1 2 ln tan−2 α 2 = − ln tan α 2 .15