Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

✻✻b ′ d ′ d ′ d ′iDD0❄❄x 1❄x 2Slika 10: Lema 4.1Lema 4.2 Za proizvoljne tačke z, w ∈ H važi formulacosh ρ P (z, w) = 1 +|z − w|22IzIw . (10)Dokaz: Dokažimo da je ta formula invarijantna na transformacije oblika (8).Kako je 1 z = ¯z 1|z|, to je I 1 2 z = 1|z|I¯z = − 12 |z|Iz, pa imamo2∣ 1∣z + 1 ∣ 2w2I 1 z I 1 ω=|w−z| 2|zw| 22 1|z| 2 Iz 1|w| 2 Iw=|z − w|22IzIw ,tj. ta formula je invarijantna u odnosu na transformacije oblika z ↦→ 1 z. Lako sepokazuje da je formula invarijanta i na transformacije oblika z ↦→ az, z ↦→ z +a, a ∈ R, pa je zbog dekompozicije (8) bilinearnog preslikavanja ona invarijantnau odnosu na sve izometrije (8).Sada je na osnovu Leme 4.1, dovoljno tu formulu dokazati za tačke z =ia, w = ib, a > b > 0, prave x = 0, y > 0. Na osnovu formule (7) imamoOdatle jecosh ρ = eρ + e −ρ=2ρ = ρ P (z, w) = | ln 0 − ia0 − ib | = ln a b .ab + b a2= 2ab + (a2 − 2ab + b 2 )2ab= a2 + b 22ab= 1 +=(a − b)22ab= 1 +|z − w|22IzIω ,što je i trebalo dokazati.⊓⊔Geometrijsko mesto taǎka koje su jednako udaljene od date tačke S, unekom modelu, nazivamo krugom (Lobačevskog) sa centrom S. Sada možemoda opišemo kako krugovi izgledaju u pojedinim modelima.13