Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

Primedba 4.1 Možemo uvek pretpostaviti da je ad−bc = ±1 u preslikavanjima(8), odnosno (9). Naime, ako je ad − bc = t > 0 (< 0), tada novi koeficientia ′ = √ a , . . . , d ′ = √ d zadovoljavaju uslov a ′ d ′ − b ′ c ′ = ±1, a zadaju istu|t| |t|transformaciju.Te dve vrste preslikavanja preslikavaju gornju poluravan u sebe. Zaista,tačke x ose su karakterisane sa z = ¯z. Primenimo li preslikavanje f 1 na takvutačku dobijamo:f 1¯(z) = a¯z + bc¯z + d = az + bcz + d = f 1(z),tj. x osa se preslikava na sebe. Upotrebom uslova ad − bc > 0 pokazuje se,recimo, da se tačka i preslikava u tačku gornje poluravni i dakle preslikavanja f 1preslikavaju gornju poluravan u sebe. Slično se postupa u slučaju preslikavanjatipa f 2 .Jasno je da su ta preslikavanja izometrije poluravanskog modela, jer čuvajukompleksnu dvorazmeru. Cilj nam je da u tekstu koji sledi dokažemo da su toi jedine izometrije poluravanskog modela.Lema 4.1 Postoji izometrija poluravanskog modela, oblika (8), koje preslikavama koju polupravu d ′ sa temenom D u proizvoljnu drugu polupravu b ′ sa temenomB.Dokaz: Dovoljno je dokazati da se svaka poluprava d ′ sa temenom D možepreslikati u polupravu b ′ : x = 0, y ≥ 1 sa temenom i. Razlikujemo slučajkada je ta poluprava deo prave upravne na apsolutu i kada je ta poluprava deopolukruga sa centrom na x-osi.Ako je d ′ poluprava d ′ : x = c ∈ R, y ≥ d > 0 tada je preslikavanje f 1 (z) =z−cdtraženo preslikavanje.Ako je d ′ poluprava d ′ : x = c ∈ R, 0 < y ≤ d > 0 tada je preslikavanjef 1(z) ′ =−1f = d1(z) −z+ctraženo preslikavanje.Ako je d ′ deo polukruga sa centrom na x-osi, tada taj polukrug seče x-osuu tačkama sa koordinatama x 1 , x 2 ∈ R, x 1 < x 2 . Preslikavanjeg(z) = z − x 2z − x 1preslikava polukrug na pozitivni deo x-ose (jer je g(x 1 ) = 0, g(x 2 ) = ∞,ad − bc > 0 za preslikavanje g). Kako je g(D) = (0, d), d > 0, to je slikapoluprave d ′ preslikavanjem g ili x = 0, y > d, ili x = 0, 0 < y < d. U prvomslučaju je f 1 (z) = 1 d g(z) = z−x 2dz−dx 1, a u drugom f 1(z) ′ =−1f = dz−dx 11(z) −z+x 2traženopreslikavanje.⊓⊔12