Modeli geometrije Lobacevskog - Alas
Modeli geometrije Lobacevskog - Alas Modeli geometrije Lobacevskog - Alas
NXAA ′OXAA ′OYkkĀYSlika 8: Izometrija Klajnovog i Poenkareovog modelaTetiva XY se preslikavanjem φ slika u polukrug ¯t = φ(XY ) ⊂ S sa prečnikomXY . Pri tome je ¯t normalan na apsolutu k, ¯t ⊥ k. Polukrug ¯t se preslikava⌢stereografskom projekcijom u luk XY nekog kruga ravni π. Kako je ¯t ⊥ k, i⌢krug k je fiksan pri stereografskoj projekciji, važi XY = ϕ(¯t) ⊥ k. Primetimoda ako XY sadrži O, onda ¯t sadrži južni pol, pa je ϕ ◦ φ(XY ) = XY prečnikkruga k.Dokazali smo da se prave Klajnovog modela, tj. tetive XY kruga k, preslikavajuu lukove XY krugova normalnih na k i prečnike kruga k. Dokažimosada da je ϕ ◦ φ izometrija.Neka su A, B tačke Klajnovog modela i XY tetiva koja ih sadrži. OznačimoĀ = φ(A), ¯B = φ(B). Ugao ∠XĀY je prav kao ugao nad prečnikom XY kruga¯t. Zato iz pravouglog trougla XĀY , čija je ĀA visina, imamo XA : AY =XĀ2 : Y Ā2 . Kako isto to važi i za tačku B, dobijamo:[A, B; X, Y ] = XAXB : Y AY B = XĀ2 Y Ā22:X ¯B Y ¯B 2 = [Ā, ¯B; X, Y ] 2 .Označimo sada sa A ′ = ϕ(Ā) i B′ = ϕ( ¯B) slike tačaka Ā, ¯B pri stereografskojprojekciji. Kako ona čuva dvorazmeru važi [A ′ , B ′ ; X, Y ] = [Ā, ¯B; X, Y ].Zaključujemo da je [A, B; X, Y ] = [A ′ , B ′ ; X, Y ] 2 . Sada je:ρ(A, B) = 1 2 | ln[A, B; X, Y ]| = 1 2 | ln[Ā, ¯B; X, Y ] 2 | = | ln[Ā, ¯B; X, Y ]| = ρ P (Ā, ¯B),tj. ϕ ◦ φ je izometrija Klajnovog i Poenkareovog modela.4.2 Poluravanski modelBilinearnim preslikavanjemω = f(z) = i 1 + z1 − z⊓⊔(6)10
unutrašnjost jediničnog diska P ⊂ C se preslikava u gornju poluravan. Zaista,( ) 1 + zIω = R = 1 ( 1 + z1 − z 2 1 − z + 1 + ¯z )= 1 − |z|21 − ¯z |1 − z| 2 .Zato je Iw > 0, tj. f(z) pripada gornjoj poluravni ako i samo ako |z| < 1, tj.ako z pripada jedničnom krugu. Dakle, preslikavanje f je bijekcija jediničnogdiska i gornje poluravni.Na taj način, smatrajući f izometrijom, od Poenkareovog modela dobijamomodel u gornjoj poluravni, koji zovemo poluravanski model i označavamo saH.Bilinearno preslikavanje f krugove i prave normalne na jedinični krug preslikavau krugove i prave normalne na x-osu. Zato su prave u poluravanskommodelu poluprave upravne na x-osu i polukrugovi sa centrom na x-osi.CBDAXXYSlika 9: Poluravanski modelKako bilinearno preslikavanje čuva dvorazmeru kompleksnih brojeva, rastojanjeizmedju tačkaka A i B u poluravanskom modelu takodje zadajemo formulom(5), pri čemu je XY prečnik kruga na kom se nalaze tačke A i B. Uslučaju kada je prava AB poluprava normalna na x-osu u tački X, tačka Y jebeskonačno daleko. Zato je u tom graničnom slučajuPosmatrajmo preslikavanjaρ P (A, B) = |ln X − A |. (7)X − Bf 1 (z) = az + b , ad − bc > 0, (8)cz + df 2 (z) = a¯z + b , ad − bc < 0, (9)c¯z + dgde su a, b, c, d ∈ R. Primetimo da je f 2 (z) = f ¯ 1 (z) = f 1 (¯z), tj. preslikavanje f 2je kompozicija konjugacije i preslikavanja f 1 . Preslikavanja prvog tipa čuvajuorjentaciju (Teorema 3.2), dok je preslikavanja drugog tipa menjaju orjentacijukompleksne ravni. Lako se proverava da sva ta preslikavanja sačinjavaju grupu.Preslikavanja oblika f 1 čine njenu podgrupu koja je istovremeno i podgrupagrupe svih bilinearnih preslikavanja.11
- Page 1 and 2: Modeli geometrije LobacevskogSrdjan
- Page 7 and 8: 3.2 Inverzija u odnosu na sferuAnal
- Page 12 and 13: Primedba 4.1 Možemo uvek pretposta
- Page 14 and 15: Teorema 4.2 Krugovi u poluravanskom
- Page 16 and 17: Konačnoe −ρ = tan α 2 ,pa kada
- Page 18 and 19: Ako je X pramen, a X tačka ravni L
- Page 20: To je element dužine u poluravansk
unutrašnjost jediničnog diska P ⊂ C se preslikava u gornju poluravan. Zaista,( ) 1 + zIω = R = 1 ( 1 + z1 − z 2 1 − z + 1 + ¯z )= 1 − |z|21 − ¯z |1 − z| 2 .Zato je Iw > 0, tj. f(z) pripada gornjoj poluravni ako i samo ako |z| < 1, tj.ako z pripada jedničnom krugu. Dakle, preslikavanje f je bijekcija jediničnogdiska i gornje poluravni.Na taj način, smatrajući f izometrijom, od Poenkareovog modela dobijamomodel u gornjoj poluravni, koji zovemo poluravanski model i označavamo saH.Bilinearno preslikavanje f krugove i prave normalne na jedinični krug preslikavau krugove i prave normalne na x-osu. Zato su prave u poluravanskommodelu poluprave upravne na x-osu i polukrugovi sa centrom na x-osi.CBDAXXYSlika 9: Poluravanski modelKako bilinearno preslikavanje čuva dvorazmeru kompleksnih brojeva, rastojanjeizmedju tačkaka A i B u poluravanskom modelu takodje zadajemo formulom(5), pri čemu je XY prečnik kruga na kom se nalaze tačke A i B. Uslučaju kada je prava AB poluprava normalna na x-osu u tački X, tačka Y jebeskonačno daleko. Zato je u tom graničnom slučajuPosmatrajmo preslikavanjaρ P (A, B) = |ln X − A |. (7)X − Bf 1 (z) = az + b , ad − bc > 0, (8)cz + df 2 (z) = a¯z + b , ad − bc < 0, (9)c¯z + dgde su a, b, c, d ∈ R. Primetimo da je f 2 (z) = f ¯ 1 (z) = f 1 (¯z), tj. preslikavanje f 2je kompozicija konjugacije i preslikavanja f 1 . Preslikavanja prvog tipa čuvajuorjentaciju (Teorema 3.2), dok je preslikavanja drugog tipa menjaju orjentacijukompleksne ravni. Lako se proverava da sva ta preslikavanja sačinjavaju grupu.Preslikavanja oblika f 1 čine njenu podgrupu koja je istovremeno i podgrupagrupe svih bilinearnih preslikavanja.11
Change language