Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

NXAA ′OXAA ′OYkkĀYSlika 8: Izometrija Klajnovog i Poenkareovog modelaTetiva XY se preslikavanjem φ slika u polukrug ¯t = φ(XY ) ⊂ S sa prečnikomXY . Pri tome je ¯t normalan na apsolutu k, ¯t ⊥ k. Polukrug ¯t se preslikava⌢stereografskom projekcijom u luk XY nekog kruga ravni π. Kako je ¯t ⊥ k, i⌢krug k je fiksan pri stereografskoj projekciji, važi XY = ϕ(¯t) ⊥ k. Primetimoda ako XY sadrži O, onda ¯t sadrži južni pol, pa je ϕ ◦ φ(XY ) = XY prečnikkruga k.Dokazali smo da se prave Klajnovog modela, tj. tetive XY kruga k, preslikavajuu lukove XY krugova normalnih na k i prečnike kruga k. Dokažimosada da je ϕ ◦ φ izometrija.Neka su A, B tačke Klajnovog modela i XY tetiva koja ih sadrži. OznačimoĀ = φ(A), ¯B = φ(B). Ugao ∠XĀY je prav kao ugao nad prečnikom XY kruga¯t. Zato iz pravouglog trougla XĀY , čija je ĀA visina, imamo XA : AY =XĀ2 : Y Ā2 . Kako isto to važi i za tačku B, dobijamo:[A, B; X, Y ] = XAXB : Y AY B = XĀ2 Y Ā22:X ¯B Y ¯B 2 = [Ā, ¯B; X, Y ] 2 .Označimo sada sa A ′ = ϕ(Ā) i B′ = ϕ( ¯B) slike tačaka Ā, ¯B pri stereografskojprojekciji. Kako ona čuva dvorazmeru važi [A ′ , B ′ ; X, Y ] = [Ā, ¯B; X, Y ].Zaključujemo da je [A, B; X, Y ] = [A ′ , B ′ ; X, Y ] 2 . Sada je:ρ(A, B) = 1 2 | ln[A, B; X, Y ]| = 1 2 | ln[Ā, ¯B; X, Y ] 2 | = | ln[Ā, ¯B; X, Y ]| = ρ P (Ā, ¯B),tj. ϕ ◦ φ je izometrija Klajnovog i Poenkareovog modela.4.2 Poluravanski modelBilinearnim preslikavanjemω = f(z) = i 1 + z1 − z⊓⊔(6)10