Modeli geometrije Lobacevskog - Alas

Modeli geometrije LobacevskogSrdjan VukmirovićJune 9, 20051 Dvorazmera i realna projektivna pravaKako su svi modeli geometrije Lobačevskog na neki način povezani sa projektivnomgeometrijom u ovom poglavlju napravićemo kratak uvod u tu geometriju.Projektivna geometrija se podrobnije proučava u kursu Nacrtna geometrija. Uovom se poglavlju sve dešava u običnoj Euklidskoj ravni, ako se drugačije nekaže.Ako su A, B, C, D četiri razne tačke afine prave p, njihova dvorazmera jerealan broj→CA→→DA[A, B; C, D] := : → . (1)CB DBPrimetimo da je dvorazmera odnos dve razmere, po čemu je i dobila ime.Uvedemo li sada koordinate na pravoj p, biće A(a), B(b), C(c), D(d), a dvorazmeraće biti:[A, B; C, D] := c − ac − b : d − ad − b .Lako se dokazuje da dvorazmera ima sledeće osobine:1. [A, B; C, D] = [C, D; A, B]2. [A, B; C, D] = [B, A; C, D] −13. [A, B; C, D] = 1 − [A, C; B, D]Za tačke A, B, C, D za koje važi [A, B; C, D] = −1 kažemo da su harmonijskikonjugovane i pišemo H(A, B; C, D).Afina prava nije najbolji domen za dvorazmeru. Naime ako je A(a), B(b) različitetačke i C( a+b ) središte duži AB, tada je uslov H(A, B; C, D) ekvivalentansa:2−1 =a+b2− aa+b2− b = −d − ad − b . (2)Odatle sledi a = b, što je kontradikcija, pa tačka D takva da H(A, B; C, D) nepostoji. Takve stvari ćemo ubrzo popraviti.Navedimo sada neke primere preslikavanja koja čuvaju dvorazmeru.1

Definicija 1.1 Neka su l 1 i l 2 dve prave i S tačka koja im ne pripada. Preslikavanjef : l 1S=∧l2 koje tački M ∈ l 1 dodeljuje tačku f(M) = SM × l 2 nazivase centralno projektovanje prave l 1 na pravu l 2 iz centra S.SMM ′ l 1l 2Slika 1: Centralno projektovanjeTeorema 1.1 Dvorazmera je invarijantna u odnosu na centralno projektovanje.Dokaz: Bio na predavanjima.⊓⊔Primetimo da je razmera veličina koja se čuva pri paralelnom projektovanju,ali se ne čuva pri centralnom projektovanju.Definicija 1.2 Preslikavanje f : p → p prave p dato sa f(x) = ax+bcx+d , ad −bc ≠ 0, naziva se bilinearno preslikavanje. Nije teško pokazati preslikavanje fzadržava taj oblik pri promeni afinih koordinata na pravoj p.Da je ad−bc = 0, tada bi bilo f(x) ≡ b d= const (proveriti), što nije interesantanslučaj.Primetimo da preslikavanje f nije definisano u tački x = − d c . Sa drugestrane a cnije slika ni jedne tačke x (proveriti). Da bismo te nedostatke otklonilidopunićemo pravu p beskonačno dalekom tačkom P ∞ = ±∞, i označiti¯p = p ∪ {P ∞ }. Ta dopunjena prava ¯p naziva se projektivna prava.P ∞P✛∞pP ∞✲¯pSlika 2: Projektivna prava2

3.2 Inverzija u odnosu na sferuAnalogno inverziji u odnosu na krug u ravni može se definisati inverzija uodnosu na sferu σ u prostoru. Naime, ako je O centar sfere σ, a r njenpoluprečnik, tada se tačka M ≠ O preslikava u tačku M ′ poluprave OM davaži OM · OM ′ = r 2 .Teorema 3.3 Inverzija f u odnosu na sferu σ ima sledeće osobine:a) Ravni i sfere preslikava u ravni i sfere.b) Prave i krugove, preslikava u prave i krugove.c) Konformno je preslikavanje, tj. čuva uglove izmedju krivih.CAd) Čuva dvorazmeruCB : DADB četiri (moguće nekolinearne) tačke prostora.Dokaz: a) Ako ravan τ sadrži središte O sfere, tada je f(τ) = τ. Ako ravanτ ne sadrži O, neka je T podnožje normale iz O na τ. Ako je π proizvoljnaravan koja sadrži pravu OT tada inverzija u odnosu na sferu indukuje inverzijuu odnosu na krug s = σ ∩ π u ravni π. Zato je slika f(p) prave p = π ∩ τ, krugsa prečnikom OT . Za sve takve ravni π ⊃ OT dobijamo kao sliku ravni τ unijusvih krugova sa prečnikom OT -sferu sa prečnikom OT . Ako neka sfera sadržicentar sfere σ i ima prečnik OT tada je njena slika ravan τ u tački T normalnana OT . Ako (i konačno) sfera ne sadrži tačku O, tada je njena slika sfera. Ovajse slučaj pokazuje posmatranjem svih ravni π koje sadrže pravu OS, gde je Scentar sfere koju preslikavamo.b) Prava i krug se uvek mogu predstaviti kao presek dve ravni, odnosno ravnii sfere. Na osnovu tvrdjenja pod a) prave i krugovi se preslikavaju u prave ikrugove.d) Ako se pri inverziji tačke A i B slikaju u tačke A ′ i B ′ , tada su trougloviOAB i OB ′ A ′ slični, pa imamo:ABA ′ B ′ = OB OB · OA=OA′OA ′ · OA=OB · OAr 2 ,gde je r poluprečnik kruga. Zamenom relacije AB = A ′ B ′ OB·OAr 2jednakost CACB : DADB = C′ A ′C ′ B: D′ A ′′ D ′ B. ′dobijamo⊓⊔B ′OABA ′7

Slika 5: Dokaz da inverzija čuva dvorazmeruSa pojmom inverzije u prostoru, tesno je vezan i pojam stereografske projekcije.Neka je S sfera sa centrom O, a sa N neka tačka koju zovemo severni polsfere. Označimo sa S N = S \ {N} sferu bez severnog pola, a sa π ravan kojasadrži O i normalna je na pravu NO. Krug π∩S zovemo ekvator. PreslikavanjeΘ : S N → π sfere bez pola na ravan π koje svakoj tački M ∈ S N dodeljuje tačkuM ′ = NM × π, naziva se stereografska projekcija.NMπOM ′Slika 6: Stereografska projekcijaPrimetimo da je stereografska projekcija restrikcija inverzije. Naime, nekaje σ sfera sa centrom N koja sadrži ekvator, tj. poluprečnika NO √ 2. Sfera S seinverzijom u odnosu na sferu σ preslikava u ravan π, i pri tome je stereografskaprojekcija sfere S na ravan π, restricija inverzije u odnosu na sferu σ. Dakleosobine b)-d) inverzije u odnosu na sferu, važe i za inverziju. Kako σ sadržiekvator S ∩ π, svaka tačka ekvatora je fiksna pri stereografskoj projekciji.Posmatrajmo sada π = C kao kompleksnu pravu. Stereografsku projekcijuΘ : S N → C možemo neprekidno proširiti do bijekcije sfere S i kompleksneprojektivne prave ¯C, tako sto dodefinišemo Θ(N) = ∞. Sfera shvaćena kaokompleksna projektivna prava se ponekad naziva i Rimanova sfera. Dakle,videli smo da je model realne projektivne prave krug, a kompleksne projektivneprave sfera.Primedba 3.1 Primetimo da smo u prethodnom tekstu uveli tri vrste dvorazmerekoje označavamo na isti način. Prvo smo definisali realnu dvorazmeručetiri kolinearne tačke formulom (1) čija je vrednost realan broj različit od 0, 1.Zatim smo formulom (3) definisali kompleksnu dvorazmeru četiri kompleksnetačke čija je vrednost kompleksan broj različit od 0, 1. Konačno, u Teoremi3.3 (4) smo uveli prostornu dvorazmeru četiri tačke prostora čija je vrednostpozitivan realan broj.8

NXAA ′OXAA ′OYkkĀYSlika 8: Izometrija Klajnovog i Poenkareovog modelaTetiva XY se preslikavanjem φ slika u polukrug ¯t = φ(XY ) ⊂ S sa prečnikomXY . Pri tome je ¯t normalan na apsolutu k, ¯t ⊥ k. Polukrug ¯t se preslikava⌢stereografskom projekcijom u luk XY nekog kruga ravni π. Kako je ¯t ⊥ k, i⌢krug k je fiksan pri stereografskoj projekciji, važi XY = ϕ(¯t) ⊥ k. Primetimoda ako XY sadrži O, onda ¯t sadrži južni pol, pa je ϕ ◦ φ(XY ) = XY prečnikkruga k.Dokazali smo da se prave Klajnovog modela, tj. tetive XY kruga k, preslikavajuu lukove XY krugova normalnih na k i prečnike kruga k. Dokažimosada da je ϕ ◦ φ izometrija.Neka su A, B tačke Klajnovog modela i XY tetiva koja ih sadrži. OznačimoĀ = φ(A), ¯B = φ(B). Ugao ∠XĀY je prav kao ugao nad prečnikom XY kruga¯t. Zato iz pravouglog trougla XĀY , čija je ĀA visina, imamo XA : AY =XĀ2 : Y Ā2 . Kako isto to važi i za tačku B, dobijamo:[A, B; X, Y ] = XAXB : Y AY B = XĀ2 Y Ā22:X ¯B Y ¯B 2 = [Ā, ¯B; X, Y ] 2 .Označimo sada sa A ′ = ϕ(Ā) i B′ = ϕ( ¯B) slike tačaka Ā, ¯B pri stereografskojprojekciji. Kako ona čuva dvorazmeru važi [A ′ , B ′ ; X, Y ] = [Ā, ¯B; X, Y ].Zaključujemo da je [A, B; X, Y ] = [A ′ , B ′ ; X, Y ] 2 . Sada je:ρ(A, B) = 1 2 | ln[A, B; X, Y ]| = 1 2 | ln[Ā, ¯B; X, Y ] 2 | = | ln[Ā, ¯B; X, Y ]| = ρ P (Ā, ¯B),tj. ϕ ◦ φ je izometrija Klajnovog i Poenkareovog modela.4.2 Poluravanski modelBilinearnim preslikavanjemω = f(z) = i 1 + z1 − z⊓⊔(6)10

unutrašnjost jediničnog diska P ⊂ C se preslikava u gornju poluravan. Zaista,( ) 1 + zIω = R = 1 ( 1 + z1 − z 2 1 − z + 1 + ¯z )= 1 − |z|21 − ¯z |1 − z| 2 .Zato je Iw > 0, tj. f(z) pripada gornjoj poluravni ako i samo ako |z| < 1, tj.ako z pripada jedničnom krugu. Dakle, preslikavanje f je bijekcija jediničnogdiska i gornje poluravni.Na taj način, smatrajući f izometrijom, od Poenkareovog modela dobijamomodel u gornjoj poluravni, koji zovemo poluravanski model i označavamo saH.Bilinearno preslikavanje f krugove i prave normalne na jedinični krug preslikavau krugove i prave normalne na x-osu. Zato su prave u poluravanskommodelu poluprave upravne na x-osu i polukrugovi sa centrom na x-osi.CBDAXXYSlika 9: Poluravanski modelKako bilinearno preslikavanje čuva dvorazmeru kompleksnih brojeva, rastojanjeizmedju tačkaka A i B u poluravanskom modelu takodje zadajemo formulom(5), pri čemu je XY prečnik kruga na kom se nalaze tačke A i B. Uslučaju kada je prava AB poluprava normalna na x-osu u tački X, tačka Y jebeskonačno daleko. Zato je u tom graničnom slučajuPosmatrajmo preslikavanjaρ P (A, B) = |ln X − A |. (7)X − Bf 1 (z) = az + b , ad − bc > 0, (8)cz + df 2 (z) = a¯z + b , ad − bc < 0, (9)c¯z + dgde su a, b, c, d ∈ R. Primetimo da je f 2 (z) = f ¯ 1 (z) = f 1 (¯z), tj. preslikavanje f 2je kompozicija konjugacije i preslikavanja f 1 . Preslikavanja prvog tipa čuvajuorjentaciju (Teorema 3.2), dok je preslikavanja drugog tipa menjaju orjentacijukompleksne ravni. Lako se proverava da sva ta preslikavanja sačinjavaju grupu.Preslikavanja oblika f 1 čine njenu podgrupu koja je istovremeno i podgrupagrupe svih bilinearnih preslikavanja.11

Primedba 4.1 Možemo uvek pretpostaviti da je ad−bc = ±1 u preslikavanjima(8), odnosno (9). Naime, ako je ad − bc = t > 0 (< 0), tada novi koeficientia ′ = √ a , . . . , d ′ = √ d zadovoljavaju uslov a ′ d ′ − b ′ c ′ = ±1, a zadaju istu|t| |t|transformaciju.Te dve vrste preslikavanja preslikavaju gornju poluravan u sebe. Zaista,tačke x ose su karakterisane sa z = ¯z. Primenimo li preslikavanje f 1 na takvutačku dobijamo:f 1¯(z) = a¯z + bc¯z + d = az + bcz + d = f 1(z),tj. x osa se preslikava na sebe. Upotrebom uslova ad − bc > 0 pokazuje se,recimo, da se tačka i preslikava u tačku gornje poluravni i dakle preslikavanja f 1preslikavaju gornju poluravan u sebe. Slično se postupa u slučaju preslikavanjatipa f 2 .Jasno je da su ta preslikavanja izometrije poluravanskog modela, jer čuvajukompleksnu dvorazmeru. Cilj nam je da u tekstu koji sledi dokažemo da su toi jedine izometrije poluravanskog modela.Lema 4.1 Postoji izometrija poluravanskog modela, oblika (8), koje preslikavama koju polupravu d ′ sa temenom D u proizvoljnu drugu polupravu b ′ sa temenomB.Dokaz: Dovoljno je dokazati da se svaka poluprava d ′ sa temenom D možepreslikati u polupravu b ′ : x = 0, y ≥ 1 sa temenom i. Razlikujemo slučajkada je ta poluprava deo prave upravne na apsolutu i kada je ta poluprava deopolukruga sa centrom na x-osi.Ako je d ′ poluprava d ′ : x = c ∈ R, y ≥ d > 0 tada je preslikavanje f 1 (z) =z−cdtraženo preslikavanje.Ako je d ′ poluprava d ′ : x = c ∈ R, 0 < y ≤ d > 0 tada je preslikavanjef 1(z) ′ =−1f = d1(z) −z+ctraženo preslikavanje.Ako je d ′ deo polukruga sa centrom na x-osi, tada taj polukrug seče x-osuu tačkama sa koordinatama x 1 , x 2 ∈ R, x 1 < x 2 . Preslikavanjeg(z) = z − x 2z − x 1preslikava polukrug na pozitivni deo x-ose (jer je g(x 1 ) = 0, g(x 2 ) = ∞,ad − bc > 0 za preslikavanje g). Kako je g(D) = (0, d), d > 0, to je slikapoluprave d ′ preslikavanjem g ili x = 0, y > d, ili x = 0, 0 < y < d. U prvomslučaju je f 1 (z) = 1 d g(z) = z−x 2dz−dx 1, a u drugom f 1(z) ′ =−1f = dz−dx 11(z) −z+x 2traženopreslikavanje.⊓⊔12

✻✻b ′ d ′ d ′ d ′iDD0❄❄x 1❄x 2Slika 10: Lema 4.1Lema 4.2 Za proizvoljne tačke z, w ∈ H važi formulacosh ρ P (z, w) = 1 +|z − w|22IzIw . (10)Dokaz: Dokažimo da je ta formula invarijantna na transformacije oblika (8).Kako je 1 z = ¯z 1|z|, to je I 1 2 z = 1|z|I¯z = − 12 |z|Iz, pa imamo2∣ 1∣z + 1 ∣ 2w2I 1 z I 1 ω=|w−z| 2|zw| 22 1|z| 2 Iz 1|w| 2 Iw=|z − w|22IzIw ,tj. ta formula je invarijantna u odnosu na transformacije oblika z ↦→ 1 z. Lako sepokazuje da je formula invarijanta i na transformacije oblika z ↦→ az, z ↦→ z +a, a ∈ R, pa je zbog dekompozicije (8) bilinearnog preslikavanja ona invarijantnau odnosu na sve izometrije (8).Sada je na osnovu Leme 4.1, dovoljno tu formulu dokazati za tačke z =ia, w = ib, a > b > 0, prave x = 0, y > 0. Na osnovu formule (7) imamoOdatle jecosh ρ = eρ + e −ρ=2ρ = ρ P (z, w) = | ln 0 − ia0 − ib | = ln a b .ab + b a2= 2ab + (a2 − 2ab + b 2 )2ab= a2 + b 22ab= 1 +=(a − b)22ab= 1 +|z − w|22IzIω ,što je i trebalo dokazati.⊓⊔Geometrijsko mesto taǎka koje su jednako udaljene od date tačke S, unekom modelu, nazivamo krugom (Lobačevskog) sa centrom S. Sada možemoda opišemo kako krugovi izgledaju u pojedinim modelima.13

Teorema 4.2 Krugovi u poluravanskom i Poenkareovom modelu su euklidskikrugovi. Krugovi u Klajnovom modelu su elipse.Dokaz: Neka je S(a + ib) ∈ H centar kruga čiji je poluprečnik Lobačevskogjednak ρ. Na osnovu formule (10), tačka M(x + iy) pripada krugu lobačevskogk(S, ρ) ako i samo akocosh ρ = 1 + (a − x)2 + (b − y) 2.2byJednostavnim transformacijama i upotrebom identiteta cosh 2 ρ − sinh 2 ρ = 1dobija se da je ta formula ekvivalentna sa(x − a) 2 + (y − b cosh ρ) 2 = (b sinh ρ) 2 .Dakle, krug k(S, ρ) u poluravanskom modelu je euklidski krug sa euklidskimcentrom C(x, b cosh ρ) i euklidskim poluprečnikom r = b sinh ρ.Izometrija (6), tj. njen inverz, preslikava krugove poluravanskog modelau krugove Poenkareovog modela. Kako je to bilinearno preslikavanje koje euklidskekrugove preslikava u euklidske krugove, dobijamo da su i krugovi Poenkaraeovogmodela euklidski krugovi.Konačno, nije teško videti da izometrija Poenkareovog i Klajnovog modelakrugove preslikava u elipse.⊓⊔CSSlika 11: Krugovi u poluravanskom, Poenkareovom i Klajnovom modeluOpišimo sada grupu izometrija hiperboličke ravni.Teorema 4.3 Neka su A, B ∈ H i A ′ , B ′ ∈ H parovi tačaka takvi da je ρ P (A, B) =ρ P (A ′ , B ′ ). Tada postoje tačno dve izometrije koje preslikavaju A, B redom uA ′ , B ′ . I više: svaka izometrija poluravanskog modela je oblika (8) ili oblika (9).Dokaz: Primetimo da izometrija φ slika A, B redom u A ′ , B ′ ako i samo akoslika polupravu [AB) u [A ′ B ′ ). Jedna takva izometrija postoji na osnovu Leme4.1. Neka je f izometrija koja slika polupravu [AB) u polupravu l ′ : x = 0, y > 1,g izometrija koja slika l ′ u polupravu [A ′ B ′ ). Ako je φ proizvoljna izometrijapoluprave [AB) u [A ′ B ′ ) tada izometrija ϕ = g −1 ◦ φ ◦ f −1 preslikava l ′ na sebe.Njena restrikcija na pravoj l : x = 0, y > 0 je identitet. Neka su C, D fiksirane14

tačke prave l, X(z) ∈ H, X ∉ l proizvoljna tačka i X ′ = ϕ(X) njena tačka.Pošto je ϕ izometrija važi:ρ P (C, X) = ρ P (C, X ′ ), ρ P (D, X) = ρ P (D, X ′ ),tj. X ′ pripada preseku krugova k(C, CX) i k(D, DX), pa je X ′ = X ili jeX ′ (−¯z) tačka simetrična tački X u odnosu na y-osu. Dakle ϕ(z) = z ili ϕ(z) =−¯z, odnosnoφ(z) = g ◦ f(z) ili φ(z) = g ◦ f(−¯z).Prvo, zaključujemo da postoje tačno dve izometrije φ koje slikaju A, B redomu A ′ , B ′ . Drugo, proizvoljna izometrija ϕ je ili g ◦ f, oblika (8), ili g ◦ f(−¯z),oblika (9).⊓⊔5 Elementarna geometrija Lobačevskog5.1 Uglovi u modelimaU Klajnovom i Poenkareovom modelu uglovi sa temenom u centru O apsolutejednaki su odgovarajućim euklidskim uglovima. Razlog za ovo je što su euklidskerotacije oko O takodje i izometrije odgovarajućih modela. Izometrije Poenkareovommodela (bilinearne transformacije) čuvaju uglove tako da je u svakoj tačkitog modela ugao jednak odgovarajućem euklidskom. Kod Klajnovog modela tonije tačno.Sa slike se vidi da je zbir uglova u trouglu manji od π.5.2 Ugao paralelnostiNeka je b prava i A ∉ b tačka u ravni Lobačevskog, B podnožje normale iz A nab i a ′ poluprava sa temenom A paralelna pravoj b. Tada ugao a ′ AB nazivamougao paralelnosti duži AB.Ab✛ αB✣a ′Slika 12: Ugao paralelnostiU geometriji Lobačevskog ugao paralelnosti je uvek manji od pravog ugla.Sada možemo da izračunamo ugao praralelnosti. Lako se, recimo u Klajnovommodelu, nalazi veza ugla paralelnosti i rastojanja ρ tačke A od prave b:ρ = 1 2ln1 + cos α1 − cos α = 1 2 ln cos2 α 2sin 2 α 2= 1 2 ln tan−2 α 2 = − ln tan α 2 .15

Konačnoe −ρ = tan α 2 ,pa kada ρ → 0 onda α → π 2, kao u euklidskom slučaju. Drugim rečima,stanovnik geometrije lobačevskog, mereći na malim rastojanjima ugao paralelnosti,teško može da razlikuje svoju geometriju od euklidske.1bA(0)✾ ✼a ′B(cos α)−1Slika 13: Računanje ugla paralelnosti u Klajnovom modeluTeorema 5.1 (Pitagorina teorema geometrije Lobačevskog) Neka je ABCpravougli trougao ravni lobačevskog. Tada važi:cosh c = cosh a cosh b (11)Dokaz: Nije umanjenje opštosti ako pretpostavimo da je u poluravanskommodelu A(ki), k > 1, C(i), B(cosφ + i sin φ), 0 < φ < π 2. Na osnovu formule(10) dobijamocosh a = 1sin φ ,1 + k21 + k2cosh b = , cosh c =2k 2k sin φ .Odatle tražena formula direktno sledi.Kad x → 0 važi:cosh x = ex + e −x=2(1 + x +x22x2+ o(x)) + (1 − x +2 + o(x)) = 1+ x222 +o(x2 ).Odatle dobijamo da je za male a, b, c, do na tačnost drugog stepena,odnosno1 + c2 2≈ (1 +a22 )(1 + b2 2 ) ≈ 1 + a22 + b2 2 ,c 2 ≈ a 2 + b 2 ,što je još jedna potrvda da se na malim rastojanjima euklidska i geometrijalobačeskog ponašaju slično.⊓⊔16

✻ACBSlika 14: Pravougli trougao i Pitagorina teoremaČitaocu prepuštamo da dokaže sledeću teoremu i da pokaže da kada dužinestranica teže nuli, a zadržavamo vrednosti uglova trougla, ona postaje kosinusna,odnosno sinusna teorema euklidske geometrije.Teorema 5.2 (Kosinusna i sinusna teorema) Za proizvoljan trougao ABCravni lobačevskog važe sledeći identiteti:a) cosh a = cosh b cosh c − sinh b sinh c cos α;b) sinh asin α= sinh bsin β= sinh csin γ .Uputstvo: Neka je H ∈ AB podnožje visine iz temena C. Iskoristiti relaciju(11) za pravougle trouglove ACH i BCH. ⊓⊔5.3 Epicikli (krugovi, oricikli, ekvidistante)Neka je a prava. Osna refleksija ϕ a je jedinstvena neidentička izometrija za kojusu sve tačke prave a fiksne, a koja postoji na osnovu Teoreme 4.3.Može se pokazati da su u poluravanskom i Poenkareovom modelu osne refleksijeeuklidske refleksije, ako je osa refleksije deo prave, a inverzije u odnosu nakrug, ako je osa refleksije deo kruga. Recimo, preslikavanje z ↦→ −¯z je refleksijau odnosu na pravu x = 0, y > 0.Podsetimo se da se skup pravih X ravni naziva pramen pravih ako je tomaksimalan skup pravih takvih da je za a, b, c ∈ X kompozicija osnih refleksijaϕ a ◦ ϕ b ◦ ϕ c takodje osna refleksija ϕ d . Može se pokazati da tada i prava dpripada pramenu X . Takodje se pokazuje da u geometriji Lobačevksog postojetri tipa pramenova• pramen konkurentnih pravih X O (eliptički pramen)-skup svih pravih kojesadrže tačku O.• pramen hiperparalelnih pravih X n (hiperbolički ili ortogonalni pramen)-skup svih pravni normalnih na neku pravu n.• pramen paralelnih pravih X Ō (parabolički pramen)-skup paralelnih pravih,tj. onih koje se ”seku” u tački Ō apsolute.17

Ako je X pramen, a X tačka ravni Lobačevskog, tada skup slika tačke X urefleksijama u odnosu na sve prave pramena X zovemo epiciklom i označavamosa E(X , X). Epicikli koji odgovaraju navedenim tipovima pramenova nazivajuse, redom, krugovi, ekvidistante i oricikli.Već smo dokazali da su krugovi u Klajnovom modelu elipse, a u Poenkareovomi poluravanskom modelu euklidski krugovi, čiji je centar lobačevskog, uopštem slučaju, različit od euklidskog centra (Teorema 4.2). Razmotrimo sadaoricikle i ekvidistante u poluravanskom modelu. Čitaocu se ostavlja za vežburazmatranje tih epicikala u Poenkareovom i Klajnovom modelu.∞✻✻ ✻ ✻ ✻XO✲ ∞O ′✻X ′ŌSlika 15: Oricikli u poluravanskom modeluTeorema 5.3 Oricikli u poluravanskom modelu su krugovi koji dodiruju apsolutui prave paralelne apsoluti.Dokaz: Posmatrajmo specijalan pramen paralelnih pravih, onih koje se ”seku”u tački ∞ apsolute. S obzirom da sadrže tačku ∞ one su delovi pravih (a nekrugova), pa taj pramen X ∞ sačinjavaju sve poluprave normalne na apsolutu.Jednostavno se proverava da je euklidska refleksija u odnosu na pravu x = c ∈ R,tog pramena, data formulom f(z) = −¯z + 2c, tj. ona je izometrija oblika(9). Preslikavamo li neku tačku X(x 0 , y 0 ) u odnosu na sve prave pramena X ∞dobijamo oricikl O : y = y 0 , koji takodje sadrži tačku ∞. Da bismo dobiliproizvoljan oricikl O ′ generisan nekim pramenom X Ō paralelnih pravih koje seseku u nekoj tački Ō apsolute, potrebno je izometrijom oblika (8) preslikatitačku ∞ u tačku Ō. Kako se oricikl O na taj način slika u krug koji dodirujeapsolutu teorema je dokazana.⊓⊔Teorema 5.4 Ekvidistante u poluravanskom modelu su krugovi koji seku apsolutuu dve tačke ili poluprave sa temenom na apsoluti.Dokaz: Uočimo pramen pravihX l = {x 2 + y 2 = r 2 , y > 0 | r > 0}18

normalnih na pravu l : x = 0, y > 0. Kako su tačke 0, z i r2¯z kolinearne i važi∣|z| ∣ = r 2 dobijamo da je formula inverzije u odnosu na krug x 2 + y 2 = r 2∣ r2¯zdata sa z →r2¯z, što je preslikavanje oblika (9). Dakle refleksije u odnosu naprave pramena X l su inverzije u odnosu na odgovarajuće krugove. Posmatramoli sada slike tačke X(x 0 , y 0 ) ∈ H u refleksijama u odnosu na prave pramenaX l , dobijamo da je ekvidistanta E = E(X l , X) poluprava [OX) gde je O(0, 0).Primetimo da ekvidistanta E i prava l ”seku” u dve tačke apsolute: 0 i ∞. Da bidobili ekvidistantu u odnosu na proizvoljnu pravu n dovoljno je transformacijomtipa (8) preslikati pravu l u pravu n. Dobijamo da su ekvidistante delovi krugovakoji seku apsolutu u dve tačke (u onim tačkama u kojim ih ”seče” i prava n), ilipoluprave sa temenom na apsoluti. Taj krug, odnosno poluprava su normalnina apsolutu ako i samo ako je ekvidistanta prava, tj. X ∈ n.⊓⊔∞✻l∞✼EE ′nXXOSlika 16: Ekvidistante u poluravanskom modelu6 Malo diferencijalne geometrije u ravni LobačevskogU ovom poglavlju ćemo da izračunamo površinu i obim kruga, kao i površinutrougla u geometriji Lobačevskog. Da bismo to uradili treba nam elementdužine, tj. rastojanje izmedju bliskih tačaka. Neka je ∆s rastojanje (u geometrijilobačevskog) izmedju bliskih taǎka z i z + ∆z. Tada na osnovu formule(10) važi:cosh ∆s ≈ 1 + |∆z|22(Iz) 2 .Sa druge strane na osnovu razvoja funkcije cosh za bliske tačke važi:cosh ∆s ≈ 1 + (∆s)2 ,2pa važi ∆s ≈ ∆zIz , odnosno ds 2 =dz2(Iz) 2 = dx2 + dy 2y 2 .19

To je element dužine u poluravanskom modelu. Lako se dobija da je elementdužine u Poenkareovom modeluNastaviće se......Referencesds 2 =2dw21 − |w| 2[1] Zoran Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet,Beograd, 1994.20