Teorija informacij

¢ Teorija informacijEntropijaEntropija je mera za nedoločenost (neurejenost) sistema.Predpostavimo, da v nekem sistemu lahko nastopirazličnih stanj z verjetnostmi ¡£¢¥¤¦¡¨§©¤¤¦¡ , V temprimeru je entropija sistema:¡¢¤¡§©¤¤¦¡ ¡ "!$# § ¡ Poseben primer: Vzemimo, da sistem sestavljata samodve možni stanji. Največja nedoločenost sistema z dvemastanjema nastopi v primeru, ko sta obe stanji enako verjetni– najtežje napovemo, kaj se bo v sistemu zgodilo.– Primer 1 –1

' ( ) * + , -¢ % ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ .& .. ¢' ( ) * + , -¢ % ¢ 5 ¢ . ¢ . ¢ ¢ & ¢ ¢86 ¢ ¢86 ¢76 ¢76 5 ¡¢¥¤¦¡¨§ ¤¤¡ . 10.¡ "!:# § ¡ 10 234 3Definicija enote za količino informacije:En bit je količina informacije, ki jo dobimo, kodobimo odgovor na vprašanje na katerega stamožna natanko dva enako verjetna odgovora.– Primer 2 – ¡¢¥¤¦¡§/¤¤¦¡ . ¡ "!$# § ¡ 0– Primer 3 – ;1 ;:= ; < 2

? @¢ §Entropija sistema predstavlja spodnjo mejo števila bitov, kiso potrebni za predstavitev vseh elementov tega sistema.Mera za povezanost dvehspremenljivk na osnovi entropijeZa merjenje povezanosti poljubnih dveh spremenljivk(lahko tudi nominalnih) lahko uporabljamo Cramerjevkoeficient (Cramer’s V).A 1 Poleg njega obstaja še koeficient Rajskega (1964), ki jezgrajen na osnovi entropije:Imejmo dve spremenjivki in . Spremenljivka naj%zavzame različnih vrednosti, spremenljivka % parazličnihBvrednosti.C B D% E ¡ GF "!$# § ¡ DF 3

B D% B ¢ H¢ H¢ JK¡ GI "!:# § ¡ DI ¡ DF ¤ I J L!$# § ¡ GF ¤ I J D% 4 B D% B MND% ¤OB inInformacija med spremenljivkama % in B je definiranatakole:MNG% ¤OB D% QP B = D% B Informacija MNG% ¤OB doseže vrednost 0, natanko takratko za vsak par F in I J velja¡DF ¤ I J R ¡ GF S¡ GI J , karpomeni, da sta spremenljivki neodvisni.Informacija MND% ¤TB doseže največjo vrednost, natankotakrat ko med spremenljivkama obstaja funkcijska zveza– v vsakem stolpcu in vsaki vrstici ustrezne kontingenčnetabele je največ en od nič različen element. Tedaj velja:4

U D% V B U D% W B U D% X B ¤OB MNG%D% B ¤OB MNG% B ¤OB MNG%D% Torej je informacija I(X,Y) mera funkcijske odvisnosti(določenosti) med spremenljivkama % in B .Koeficienti Rajskega:Vsi koeficienti zavzamejo vrednosti med 0 in 1. Vrednost0 zavzamejo, ko sta spremenljivki neodvisni., ko je funkcija , B % U,D%koWje funkcija inB 1 % B 1 B X D% U, ko obe spremenljivki ena drugo natankodoločata.1 Y B V D% U5

DF ¤ I J I ¢ I § I:Z ¡ DF 0.2¡ 0.2 0.1 0.5¢ FD% V B [\][ 1^ < UD% W B [\][$2 1 ; UPrimer 1:SumI I$Z2 2 1 5¢ I §¢ F2 1 2 5Sum 4 3 3 10§ FDI J ¡ 0.2 0.1 0.2 0.50.4 0.3 0.3 1U D% X B [\][ < ^ [Vrednosti vseh treh koeficientov so majhne, na osnovivrednosti ene spremenljivke ne moremo napovedativrednosti druge spremenljivke.6

DF ¤ I J I ¢ I § I:Z ¡ DF 0¡ 0.3 0 0.3¢ FD% V B [\`_ >\1 [ UD% W B [\`_ >\1 [ UPrimer 2:SumI I$Z0 3 0 3¢ I §¢ F4 0 3 7Sum 4 3 3 10§ FDI J ¡ 0.4 0 0.3 0.70.4 0.3 0.3 1U D% X B 4 1Spremenljivka % je funkcija B : če poznamo vrednostspremenljivke B lahko natanko napovemo vrednostspremenljivke % , obratno pa ni res.7

D% V B 4 1 UD% W B 4 1 UPrimer 3:SumI I$Z4 0 0 4¢ I §¢ F0 0 3 30 3 0 3Sum 4 3 3 10U D% X B 4 1Spremenljivki % in B ena drugo natanko določata.8

D% V B 4 [ UD% W B 4 [ UPrimer 4:SumI I2 2 4¢ §¢ F2 2 4Sum 4 4 8D% B 4 [SpremenljivkiUin staXneodvisni B %9

Kodiranje podatkovNaloga: Kako predstaviti elemente, ki nastopajo v nekemsistemu, tako da bo povprečna dolžina zapisa (kode)čimkrajša. Ta problem je zelo pogost, npr.pri shranjevanju podatkov na disk(porabiti čimmanj prostora)apri prenosu podatkov(podatke čimhitreje prenesti)aV nadaljevanju se bomo omejili na dvojiško ali binarnokodiranje – elemente sistema želimo predstaviti samo zznakoma [ in 1 .10

e ¢ ¡Q¢¤¦¡¨§©¤f¤¡d g h[\¤f¤ 1ji )1 ese imenuje odvečnost kodiranja.Označimo z ) dolžino kode b -tega elementa, z ) , papovprečno dolžino kode (matematično upanje slučajnespremenljivke).) ) ¡ Velja: ) c ¡ ¢ ¤¦¡ § ¤¤¡ .Kodiranje je optimalno, če je ) ¡Q¢¥¤¦¡§/¤¤¦¡d .Učinkovitost kodiranja:11

' ( ) * + , -¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ . ¢ .& %[$[ 1 [ 1 [ [ 1$1 1 [$[ 1 [ 1 1$1 [ 1$1:1[$[$[. ¢ ¡¢¥¤¦¡¨§©¤f¤¡ . m¤ e 1 ¤ 1 e [)Kodiranje je optimalnoW' ( ) * + , -¢ 5 ¢ 5 ¢ . ¢ . ¢ &¢ ¢86 ¢ ¢86 ¢ ¢86 ¢86 %) [$[ 1 [ 1 [ [ 1$1 1 [$[ 1 [ 1 1$1 [ 1$1:1[$[$[. ¢) ¡ 3 n 2.75 ¡Q¢¤¡§ ¤¤¦¡ . e [\^ ;o¤ 1 e [st[$0Kodiranje;oqpr_ni optimalnoW 2– Primer 4 –) ) ¡ 0 kl2 k31 0– Primer 5a –12

' ( ) * + , -¢ 5 ¢ 5 ¢ . ¢ . ¢% ¢&¢ ¢86 ¢ ¢86 ¢86 ¢86) . ¢[$[ [ 1 1 [:[ 1 [ 1 1:1 [$[ 1$1 [ 1 1$1$1 [ 1:1$1$1) ¡ ;ukv;wk1P ;ukv2wk

% &' ( ) * + , -Pri kodiranju v primeru 5b pa so dolžine različne (od 2do 4 bitov) – kodiranje s spremenljivo dolžino zapisa. Vtem primeru moramo dodatno zahtevati, da je kodiranjeenopomensko – nobena koda ne sme nastopati kotpredpona kaki drugi kodi.– Primer 6 –Vzemimo kodiranje v primeru 5b in dekodirajmo naslednjezaporedje: 1$1$1$1 [:[$[ 1$1$1 [$[Edina rešitev je ( ).1Kodiranje v primeru 5b je enopomensko: nobena koda ne[$[ 1$1 [ [$[ 1$1$1$1 'm*&-nastopa kot predpona kaki drugi kodi.Kodiranje[ [:[$[ [ 1$1 [$[ 1$1 [ 1 1$1:1 [ 1$1$1$1pa ni enopomensko: koda znaka nastopa kot predpona[$[ 1 1 1kodi znaka . Tako lahko npr. zaporedje , [ 1dekodiramo na dva načina:&ali1:1 (+ 'x) [$[$[ (&14

Če kodiranje s spremenljivo dolžino ni enopomensko,lahko enolično dekodiranje zagotovimo s presledki medkodami, vendar pomeni to dodatne bite.Naloga: Kako priti do kodiranja, ki bo čimbliže optimalnemukodiranju (optimalnega ni mogoče vedno doseči)?Eden od postopkov je Huffmanovo kodiranje (Huffmancoding, 1952).Huffmanovo kodiranjeje način dvojiškega kodiranja s spremenljivo dolžino, kise skuša čimbolj približati spodnji meji potrebnih bitovdoločenih z entropijo.Kodiranje je naslonjeno na izgradnjo dvojiškega drevesa(vsako vozlišče ima dva naslednika).V določenih primerih lahko s pomočjo tega algoritmadobimo več enako dobrih rešitev (dreves).15

Algoritem:1. Uredimo elemente (simbole) po padajoči vrednostinastopa posameznih znakov. To bodo listi dvojiškegadrevesa, ki ga gradimo.2. V drevesu poiščemo vozlišči z najmanjšima verjetnostima.3. Iz dobljenih dveh vozlišč zgradimo novo vozlišče zverjetnostjo enako vsoti verjetnosti vozlišč.4. Ponavljamo koraka 2 in 3, dokler ne ostane le enovozlišče – koren drevesa.5. Določimo posamezne bite za vse elemente: Začnemopri korenu, če se premaknemo levo dodamo bit[ sicerbit 1 . Ponavljamo, dokler niso obiskana vsa vozliščav drevesu.6. Preberemo kode znakov, tako da se od korena sprehodimodo posameznega znaka.Kodiranje 5b je dobljeno na naslednji način:16

00 01 100 101 1100 1101 1110 1111a b c d e f g h1/4 1/4 1/8 1/8 1/16 1/16 1/16 1/160 10 10 1 0 11/2 1/4 1/8 1/80101/4011/21117

– Primer 7 – – Primer 8 –Stiskanje (zgoščanje) podatkovHuffmanovo kodiranje je ena od metod za brezizgubnostiskanje podatkov. Brezizgubno stiskanje podatkovpomeni, da lahko zakodirano besedilo v popolnosti (brezizgub) pretvorimo v originalno besedilo. Sem spadata šeLZW in aritmetično kodiranje. Zaradi hitrosti dekodiranjase v praksi upošteva le nekaj nivojev drevesa, preostanekpa se zakodira s stalno dolžino (vsi manj verjetni znakibodo enako dolgi) – rezanje drevesa.Poleg tega obstaja tudi stiskanje z izgubami, ki se vglavnem uporablja pri shranjevanju slik, zvoka in videa,kjer izguba nekaterih podatkov ni kritična (npr. fraktalnozgoščevanje, JPEG, Waved compression, MPEG). Stem, da dovolimo nekaj izgube, lahko zelo povečamozgoščevanje, napake pa navadno oko (uho) niti ne opazi.Stiskanje podatkov postaja vse bolj pomembno na področjushranjevanja in prenosa podatkov (Internet) sajbistveno zniža stroške.http://www.brunel.ac.uk/˜dc95anm/18

– . ¡ z} 4 [\][:_ ^ }. .MMorsejeva abecedaPrimer kodiranja, ki ni enopomensko.Avtorja: Samuel Morse in Alfred Vail v začetku 19. stol.Vsak znak (črke, številke in posebni znaki) je predstavljenz zaporedjem . in – Uporabljala se je (se) pri prenosupodatkov na velike razdalje (telegrafija).Bolj pogoste črke imajo krajše kode, (primer Morse.htm)y.¡ zy 4 [s1 [3_ v angleškem besedilu–{. – ¡ | 4 [\][ > 2 |. . – .~– – –. . – . . . – . – – – =??? (EA, IT, IN, FI, ...)Kodiranje torej ni enopomensko, zato znake ločimo spresledki: €¨‚ ƒ‚L$ ƒ‚ (INFO)€€ƒ„ ‚€L (SOS)19

Shema komunikacijskega kanala*** Slika ***V praksi imamo ponavadi komunikacijske kanale s šumom(motnjami), zato se lahko zgodi, da … † ‡primeru uporabljamo še dodatne metode: †ˆ. V temmetode za odkrivanje pristotnosti napakametode za odpravljanje napakaV primeru, da želimo besedilo še dodatno zaščititi prednapadalci, tako da bo besedilo razumel le tisti, ki mu jenamenjeno, si pomagamo s kriptografijo.20

Primer: sproročilo: [$[ 1 [ 1$1$1 [:[ 1$1 [ 1 [ 1 [$[ 1:1 [ 1[$[ 1 [ 1:1$1 [$[ 1:1 [ 1 [ 1 [$[ 1$1 [ W 1 [$[ 1 [ 1$1 1 [$[ 1:1 [ 1 [ 1 [:[ 1$1 [1Odkrivanje pristotnosti napakNamen tega postopka je odkriti, da napaka obstaja, ne panajti mesto napake. Ena od teh metod je kontrola parnosti:Celotno kodirano sporočilo razdelimo na bloke (npr. po7 bitov). Za vsakim blokom dodamo še en bit, kateregavrednost bo taka, da bo skupno število enic v paketu sodo(soda pariteta). Včasih se namesto sode uporablja tudiliha pariteta (skupno število enic mora biti liho).(soda pariteta)[ 1:1 [ 1 [$[ 1$1 [ 1 [ [ 1 [$[ 1:1 [ 1 1(liha pariteta)[$[ 1[ 1:1 1 1 [$[ 1$1 [ 1 1 [ 1 [$[ 1:1 [ [ 1 [$[ 1Tako dopolnjeno sporočilo pošljemo naslovniku. Nanjegovi strani ustrezna naprava razbije sporočilo na blokepo 8 bitov in preveri, če je število enic res sodo (sodapariteta) oziroma liho v primeru lihe paritete. Če pride donapake, zahteva naprava ponoven prenos ustreznega bloka.21

Odpravljanje napakČe želimo poleg tega, da ugotovimo prisotnost napake,napako tudi odpraviti brez ponovnega pošiljanja istegasproročila, si pomagamo z redundantnimi biti – odvečnimibiti, ki niso potrebni za razumevanje besedila ampak zanek drug namen (v našem primeru – odkrivanje napak).Ena od možnosti je. da vsak bit pošljemo večkrat, npr.:sproročilo: [ 1pošljemo kot: 1 [$[$[ 1:1$1 1$1:1(vsak bit sporočila pošljemo trikrat)Ko naprava dobi tako sporočilo, je sposobna odkrivati vseenojne napake. V splošnem:Če vsak bit pošljemo 2e+1 krat, lahko odpravimo e-kratnenapake.Če vsak bit pošljemo 2e-krat lahko odpravimo (e-1)-kratnenapake, samo odkrijemo pa še prisotnost * -kratne napake.22

[$[ 1$1 [\¤O[$[:[$[$[3 ; ) [$[ 1$1 [\¤ 1$1:1$1$1 2 )Hammingova razdalja ) ' 1 ¤ ' ;: med dvema besedama ještevilo bitov v katerih se besedi razlikujeta.Če pošiljamo vsak bit 5 krat in dobimo na izhodu 00110,proglasimo to besedo za znak 0, kerPo Hammingovi razdalji je beseda bliže 00000, ki predstavljaznak 0.Če pošiljamo vsak bit 4 krat in dobimo na izhodu 0001,proglasimo to besedo za znak 0, če pa dobimo na izhodu0011, pa ne vemo katera beseda je to, vemo le, da je nekajnarobe (niso vsi znaki enaki).23

¢Huffmanovo kodiranje – lastnostivsak znak v besedilu zakodiramo posebejakode znakov so cela (dvojiška) številaaoptimalni rezultati kadar so verjetnosti znakov potenceštevilaa§ ¢adolžine kod bolj verjetnih znakov so krajšeV praksi so verjetnosti znakov zelo redko potence števila.V tem primeru so boljši algoritmi, ki vsakemu znakunamesto celega števila bitov dodelijo neko realno število§bitov – zaporedni znaki si razdelijo isti bit.24

Aritmetično kodiranje (Rissanen)celo besedilo obravnavamo kot enoto in ga zakodiramoz enim realnim številom z intervalaa, ali h[‹ 1 h[\]23p‰¤¤Š[\apotrebujemo (več decimalk)bolj verjetne črke zahtevajo manj natančne intervale –manj zožijo interval in zato se število potrebnih bitovmanj povečaaker obravnavamo celo besedilo kot enoto dosežemospodnjo mejo potrebnih bitov določenih z entropijopri vsakem besediluaaritmetično kodiranje je računsko zahtevnejši postopekaZaradi enostavnosti bomo v nadaljevanju uporabljaliinterval h[‹ 1 .25

Postopek kodiranja:1. Vzamemo vrstni red vseh različnih črk, ki nastopajo vbesedilu po abecedi.Interval h[‹ 1 razdelimo v razmerju verjetnostiposameznih črk v besedilu.Dobimo verjetnostne intervale posameznih črk.Označimo spodnjo mejo verjetnostnega intervalatrenutne črke z Œ , zgornjo mejo pa z .2. Trenutno spodnjo mejo označimo z L, zgornjo pa z U.Postavimo: Œ [ in 1.3. Zapišemo celotno besedilo v stolpcu, poleg vsakečrke izpišemo njeno spodnjo mejo Œ in zgornjo mejo .4. Dokler obstaja naslednja črka v besedilu ponavljamo:in novo zgornjo mejo:Izračunamo novo spodnjo mejo:aŽq Œ P Œu kuŒ ŒŽq Œ P Œu kR .26

F Žq Œ F Œ Realno število F , ki predstavlja dano besedilo je L (oziromakaterokoli število iz zadnjega dobljenega intervala).Postopek dekodiranja:1. Vzamemo število F , ki predstavlja dano besedilo.2. PonavljamoPoiščemo črko za katero velja: .’Črko izpišemo. F v‘ Œ aČe je , potem konec (izpisali smo celotnobesedilo) Œ F asicer27

Kodiranje LZW (Lempel-Ziv-Welch)LZW je način zgoščevanja podatkov, ki izkorišča ponavljanjeistih zaporedij znakov (zaporedij istih črk vbesedilu ali zaporedij točk istih barv na sliki).Modificirana metoda za zgoščevanje se uporablja vformatu za shranjevanje slik GIF.Metoda je patentirana (Unisys).Poznana zaporedja črk bomo v nadaljevanju imenovalislovar.28

Postopek kodiranja:1. Na začetku postavimo v slovar samo posameznečrke, ki nastopajo v vhodni besedi in jih zaporedomaoštevilčimo.Postavimo “ ” .2. • postane naslednji znak iz vhodne besede.3. Ali je zaporedje “ P • že prisotno v slovarju?(a) Če je potem “ Ž– “ P • (“ podaljšamo za • )(b) sicerizpišemo številko kode zaporedja, ki jo predstavljana izhod;adodamo zaporedje v slovar;“• P “ aa “ Žq • (P vsebuje samo znak C).4. Če še nismo na koncu vhodne besede, se vrnemona korak 2, sicer izpišemo zaporedno številko kodezaporedja, ki jo predstavlja “ , na izhod.29

Postopek dekodiranja:1. Na začetku postavimo v slovar samo posamezne črke,ki nastopajo v besedi in jih zaporedoma oštevilčimo.2.(—(codeWord) postane prva koda v zakodiranemzaporedju.3. Izpišemo znak, ki v slovarju ustreza kodi (— naizhod.4. ¡ — Ž– (—(previousWord).5.(—postane naslednja koda v zakodiranem zaporedju.6. Ali je zaporedje, ki ustreza kodi (— že v slovarju?(a) če je potemizpišemo ustrezno zaporedje na izhodpostane zaporedje, ki ustreza ;a—kodi¡ “ apostane prvi znak zaporedja, ki ustreza kodi;a • (—zaporedje dodamo v slovar(b) sicer• P “ a30

postane zaporedje, ki ustreza kodi¡ ;postane prvi znak zaporedja, ki ustreza pW;“ a —• aizpišemo zaporedje na izhod in gadodamo v slovar (sedaj pripada kodi );(— • P “ a7. Če še nismo na koncu kodiranega zaporedja, sevrnemo na korak 4.31

Zapisi in zgoščanje digitalnih slikZgoščanje slik je veliko bolj pomembno kot zgoščanjebesedila, saj slike zavzamejo precej več prostora kotobičajno besedilo.Za predstavitev barv se uporablja 8, 16 ali 24 bitov. Čeuporabimo za predstavitev 8 bitov lahko predstavimo; . ;$_ >različnih barv, če pa uporabimo 24 bitov palahko predstavimo ; § 5 1> qp milijonov barv.Primerjave potrebnega prostora za shranjevanje besedilain slik različnih podrobnosti (resolucij):en ekran besedila (25 vrstic, v vsaki vrstici 40 znakov)v obliki ASCII zavzame približno25 * 40 * 1= 1000 byte-ov = 0.001 MBaslika na ekranu VGA (256 barv, resolucija 640 * 480)zavzame640 * 480 * 1 = 0.3 MBa(300 krat več kot navadno besedilo)32

slika na ekranu SVGA (16.7 milijonov barv, resolucija800 * 600) zavzame800 * 600 * 3 = 1.4 MBa(1400 krat več kot navadno besedilo)slika na ekranu XGA (16.7 milijonov barv, resolucija1024 * 768) zavzame1024 * 768 * 3 = 2.3 MBa(2300 krat več kot navadno besedilo)Formati za breizgubno predstavitev slik:BMP – Bitmap (Microsoft, Windows) – za vsakopiko na sliki povemo kakšne barve je, torej zavsako piko porabimo v 24 bitnem načinu 24 bitov.aPomanjkljivost tega zapisa je ravno v tem, da neuporablja nobenih zgoščevalbih tehnik, zato slike vtem zapisu zavzamejo zelo veliko prostora.Slika dimenzije 500*400 zavzame500*400*3=600,000 byteov.33

PCX (ZSoft, PaintBrush) – uporabljena je preprostazgoščevalna tehnika RLE (Run Length Encoding), kina sliki šteje zaporedne pike enake barve in jih zgosti.aNamesto zapisa vseh pik enake barve, se v datotekozapiše le barva in število zaporednih pik take barve.Slika dimenzije 500*400 zavzame v 24 bitnem načinuod 150,000 do 600,000 byteov.TIFF – Tag Image File Format (Aldus in Microsoft)Obstaja šest različnih specifikacij tega zapisa in sicerzapis brez zgoščevanja, zapis z uporabo Huffmanovega,LZW, RLE, Fax Group 3 in Fax Group 4azgoščevanja. Faktor zgoščevanja, ki ga dosežemo s tovrsto zapisa je okoli 4.5.Na splošno lahko z brezizgubnim stiskanjem dosegamozgoščevalna razmerja do 6:1.34

Formati za zgoščevanje slik z izgubamiJPEG – Joint Photographic Expert GroupUporablja diskretno kosinusno transformacijo (variantaFourieroveatransformacije).Sliko razdeli na bloke 8*8 pik in nad vsakim izvršiDCT s čimer dobimo neka števila.Dobljena števila zaokrožimo glede na željeno kvalitetoslike (100 – skoraj originalna kvaliteta, 1 –najslabša kvaliteta).Po zaokrožitvi ponavadi postane veliko koeficientovenakih 0, zato se uporabi zgoščevalna tehnika RLE.Zgoščevalni proces se konča s kodiranjem blokov zaritmetičnim ali Huffmanovim kodiranjem.Tako dobljeno zaporedje se shrani na datoteko.Pri prikazu (branju iz datoteke) se uporabi obratnipostopek.35

Slike v formatu JPEG imajo v primeru kvalitete 70do 80 zgoščevalno razmerje večje od 20:1, v primeruzelo slabe kvalitete pa tudi do 100:1. Slabost zapisaJPEG je v tem, da postanejo pri večjih zgoščevalnihrazmerjih na sliki vidni bloki 8*8 pik.FIF – Fractal Image Format – (M. Barnsley, Georgia)Postopek fraktalnega zgoščevanja temelji na iskanjuapodobnosti med manjšimi deli slike in opisu le teh spreslikavami.Zaradi tega je ta zapis nedvisen od ločljivosti – slikolahko poljubno povečamo.Zgoščevalna razmerja tudi nad 200:1.Zgoščevanje po tem postopku vzame precej časa, zatose lahko poleg programskega uporabi tudi aparaturnozgoščevanje s posebno kartico, medtem ko prikazostane le programski.Slika: fraktal.gif36