Geometrijske karakteristike presjeka štapa

g. Procedure: Testing a Hypothesis about µ with σ Known Using P-ValuesPurpose: To perform a hypothesis test for a population mean, µ .Assume: 1. The sample is a simple random sample. 2. The population isnormally distributed or the sample size is large (the results areapproximately correct). 3. The population standard deviation, σ , isknown.1. Determine the null and alternate hypotheses.2. Decide on the significance level, α.3. Compute the value of the test statistic z 0= x − µ 0σ / n .4. Use Table IV to find the appropriate P-value.5. If P < α, reject H 0; otherwise, do not reject H 0.6. Interpret the results.8. Note that the P-value gives an idea of the strength of the evidence against the nullhypothesis. If the P-value is greater than 0.01, then the evidence against H 0isweak or none. If the P-value is less than or equal to 0.001, then the evidenceagainst H 0is very strong.9. Note that the z-tests can be performed in a calculator. Use STAT go toTESTS and enter # 1 Z-Test and fill in the stat values or use a table of data.The result will be the test statistic z0and the P-value.10. Using Confidence Intervals to Test Hypothesis: When testingH 0: µ = µ 0H 1: µ ≠ µ 0,if the (1 – α)100% confidence interval contains µ 0, we do not reject the nullhypothesis. If it does not contain µ 0, then we have evidence reject the nullhypothesis and to accept the claim in the alternate hypothesis at the αsignificance level.

Statički momenti površine presjekaydAdyyStatički momenti površine s obzirom naosi y i z definirani su izrazima:dSdSyz= dA ⋅ z= dA ⋅ y⇒⇒SSyz= ∫ z dAA= ∫ y dAAzdzzDimenzija statičkog momenta je (m 3 ).Težište poprečnog presjekaTo je točka za koju je statički moment površine jednak nuli obzirom na bilo koju oskoja prolazi kroz tu točku.Na osnovi teorema o jednakosti momenta sile i momenata njezinih komponenatamogu se dobiti izrazi za koordinate težišta presjeka y T i z T :yρz TzATy TdAySSyz= ∫ z dA = A ⋅ z ⇒ z =A= ∫ y dA = A ⋅ y ⇒ y =ATTTT∫ z dAAA∫ y dAAAOzStatički moment presjeka s obzirom na bilo koju os jednak je produktu površinepresjeka i pripadajuće koordinate težišta. Za bilo koju težišnu os (os koja prolazitežištem presjeka) statički moment presjeka jednak je nuli.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 5

Položaj težišta jednostavnih presjeka:Ta/2ab/2b2b/3bTb/32h/3h/3hTrrPoložaj težišta složenog presjeka:yT=∫ y dAAA=∑Ai∑AiiyiTizT=∫ z dAAA=∑ Ai∑ AiiziTia)yA = A 1 − A 2 − A 3yyyT T13TT 2y 3y Ty 1y 2z Tz z 1z z 2z z 3zb) yyyyyT 3T 1T = ++ yy Ty3− T 41y 2T 2y 4z z 1z z 2z z 3zz T= − −z 4zA = A 1 + A 2 + A 3 − A 4a)A1y1− A2y2− A3y= b)A3yTA=z− A2zA− A1 1 2 3 3zTzA=y+ Ay+ AAy− A1 1 2 2 3 3 4 4yTA=z+ Az+ AAz− A1 1 2 2 3 3 4 4zTzyVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 6

Momenti tromosti (inercije) poprečnog presjekayAksijalni momenti tromosti (inercije)presjeka s obzirom na osi y i z suintegrali:Iy= ∫ zA2dAρzdAyIz= ∫ yA2dAOzCentrifugalni moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na osi z i y:Izy= ∫ z y dAPolarni moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na pol O:Momenti tromosti imaju dimenziju (m 4 ).Ip=A∫ ρA2dABudući jeρ22= z + y2, slijedi:I = I = ∫ (z + y ) dA = ∫ z dA + ∫ y dA → I p = Iy+ IzpOA22A2Zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka s obzirom na dvije međusobno okomiteosi jednak je polarnom momentu tromosti s obzirom na pol u sjecištu tih osi.Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivne veličine:AIy > 0 , Iz> 0 , Ip> 0Centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli, ovisnoo položaju promatranog presjeka u odnosu na koordinatni sustav.2Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 7

Promjena momenata tromosti pri translaciji koordinatnog sustavaPoznati su momenti tromosti presjeka s obzirom na koordinatne osi z i y koje prolazetežištem presjeka T:22I = ∫ y dA , I = ∫ z dA , I zy = ∫ z y dAzAyATreba odrediti momente tromosti s obzirom na koordinatne osi z 1 i y 1 koje suparalelne s težišnim osima z i y:22I 1= ∫ y dA , = ∫ z dA , Izy = ∫ z1y1dAzA1Iy1A111AAy 1z 1dAbyAOTzyzz 1 = z +by 1 = y + ay 1aO 1z 1Iz 1= ∫ y1dA = ∫(y+ a) dA = ∫ y dA + a ∫dA+ 2a ∫ y dA = Iz+ aA2A2AIy 1= ∫ z1dA = ∫(z+ b) dA = ∫ z dA + b ∫dA+ 2b ∫ z dA = Iy+ bA2A2A22Iz 1 y 1= ∫ z1y1dA = ∫(z+ b) (y + a) dA = ∫ z y dA + a b ∫dA+ a ∫ z dA + b ∫ y dA = Izy+ a b AAAA22AAAAAAA22AA∫ y dA = 0 i ∫ z dA = 0 (jer su to statički momenti presjeka u odnosu na težišne osi)AAVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 8

Steinerovo pravilo za momente tromosti s obzirom na paralelne osi:I2= I a A ; I = I b A ; I = I a b Az 1 z +y 1 y +Steinerovo pravilo za aksijalne momente tromosti glasi:2z 1 y 1 zy +Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na zadanu os jednak jezbroju momenta tromosti s obzirom na paralelnu težišnu os i produktapovršine presjeka s kvadratom udaljenosti zadane i težišne osi.Steinerovo pravilo za centrifugalni moment tromosti glasi:Centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom na zadani pravokutnikoordinatni sustav jednak je zbroju centrifugalnog momenta tromosti sobzirom na paralelni težišni koordinatni sustav i produkta površinepresjeka s koordinatama težišta presjeka u zadanome pravokutnomkoordinatnom sustavu.Napomene:−−Koordinate težišta a i b u gornjim izrazima ulaze sa svojim predznacima takoda pri translaciji koordinatnog sustava može doći do uvećanja ili smanjenjacentrifugalnog momenta tromosti.Od svih momenata tromosti s obzirom na skup paralelnih osi, najmanjuvrijednost ima moment tromosti s obzirom na os koja prolazi težištempoprečnog presjeka.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 9

Promjena momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustavaZa presjek površine A i koordinatni sustav Ozy poznate su vrijednosti momenatatromosti:22I = ∫ y dA , I = ∫ z dA , I zy = ∫ z y dAzAyATreba odrediti momente tromosti presjeka s obzirom na novi koordinatni sustavOz 1 y 1 koji nastaje rotacijom koordinatnih osi z,y oko ishodišta O za kut ϕ:I 1= ∫ y dA , = ∫ z dA ,zA21Iy1A21Iz y11A= ∫ zUzima se da je pozitivan smjer rotacije suprotno od smjera gibanja kazaljke na satu.A1y1dAy 1yAz 1= z cosϕ + y sinϕzOz 1ϕyy 1z 1y 1= y cosϕ − z sinϕzIz y 1Iz− Iy= sin 2ϕ + Izycos 2ϕ2IIz 1y 11Iz+ IyIz− Iy= + cos2ϕ − I sin 2ϕ22Iz+ IyIz− Iy= − cos2ϕ + Izysin 2ϕ2 2zyNapomena:Iz1+ Iy1= Iz+ IyPri rotaciji koordinatnog sustava zbroj momenata tromosti je stalna veličina.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 10

Glavne osi i glavni momenti tromostiKod rotacije koordinatnoga sustava postoji takav kut ϕ pri kojemu jedan odaksijalnih momenata tromosti ima maksimum, a drugi minimum.Ekstremne vrijednosti aksijalnih momenata tromosti zovu se glavni momentitromosti presjeka, a pripadne osi glavne osi tromosti presjeka.Glavne osi tromosti označavaju se s u i v, a pripadajući kut koji određuje njihovpoložaj s . ϕ 0Centrifugalni moment tromosti u odnosu na glavne osi tromosti jednak je nuli:Iz− Iy= sin 2ϕ0+ Izycos2ϕ0 ⇒2Iuv 0 =tg2ϕ02 Izy= −I − IπOdavde se dobivaju dvije vrijednosti za kut ϕ 0 koje se razlikuju za : 2zyvy.Oϕ 0uzπϕ 0 ≤ - određuje položaj glavne osi4tromosti uπϕ 0 + - određuje položaj glavne osi2tromosti vVeličine glavnih momenata tromosti:1 12I max = (Iz+ Iy) + (Iz− Iy) + 4 I2 21 12I min = (Iz+ Iy) − (Iz− Iy) + 4 I2 22zy2zyAko jeAko jeI = I , I v = IminI z < Iy→ I u = Imin, I v = ImaxI z > Iy→ u maxNapomena:Za simetričan poprečni presjek je centrifugalni moment tromostijednak nuli iz čega slijedi da su osi simetrije ujedno i glavne ositromosti tog presjeka.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 11

Momenti tromosti jednostavnih presjekaPravokutni presjek:Osi z i y su osi simetrije presjeka - to su glavne središnje osi tromosti presjeka.yhh2h2TzIIz =y =3b h123h b12b/2bb/2I zy = 0Kružni presjek:yRadi simetrije presjeka:rI z = I y , I zy = 0TzIz= Iy=πr44=4πd64Presjek oblika kružnog prstena:yTr vr uzIz= Iyπd=644 4v πrππ−u 4 4 4 4= (rv− ru) = (d v − d u4 4 644 4 ⎤v uπr=4⎡ ⎛ d⎢1−⎢⎜⎣ ⎝ dv⎞⎟⎠⎥ ⎥ ⎦) =I zy = 0Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 12

Trokutni presjek:yIz =3bh36hh3b/3TbzIIy =zy3h b362b h= −722Momenti tromosti za složeni presjekZa složeni presjek površinezbrajanjem:A = A K + momenti tromosti dobivaju se1 + A2+ AnIz= ∫ yA2dA =∫ yA12dA +∫ yA22dA +K+∫ yAn2dA = Iz(1)+ Iz(2)+K+ Iz(n)n= ∑Iz(i)i=1Iy= ∫ zA2dA =∫ zA12dA +∫ zA22dA +K+∫ zAn2dA = Iy(1)+ Iy(2)+K+ Iy(n)n= ∑Iy(i)i=1Izy= ∫ z y dA =A∫ z y dA +A1∫ z y dA +A2K+∫ z y dA = IAnzy(1)+ Izy(2)+K+ Izy(n)n= ∑Izy(i)i=1Moment tromosti složenog presjeka u odnosu na neku os jednak je algebarskomzbroju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova u odnosu na tu istu os.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 13

Momenti otpora poprečnog presjekaAksijalni moment otpora presjeka s obzirom na zadanu glavnu središnju os jekvocijent:IWzz =ymaxy max - najveća udaljenost točke konture presjeka od zadane osiy (1)maxy (2)maxy12TzAko zadana glavna središnja os nije ossimetrije presjeka, postoje dva momentaotpora presjeka:W 1=zW 2=zyyIzmax (1)Izmax (2)Moment otpora presjeka ima dimenziju (m 3 ).a) Pravokutni presjekW2I b h=z;h 62z =WIy=b2y =h b62b) Kružni presjekWz= Wy=Irz=πr43=3πd32c) Presjek oblika kružnog prstenaWz= Wy=Izd v2=π32 dv(d4v− d4u) =3vπd32⎡ ⎛ d⎢1−⎢⎜⎣ ⎝ duv⎞⎟⎠4⎤⎥⎥⎦Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 14

NAPREZANJANaprezanje se može definirati kao sila koja djeluje na element konstrukcijepodijeljena s površinom na koju djeluje.Dimenzija naprezanja: sila/površina, jedinica mjere je Paskal (Pa), ( 1 Pa = 1 N m )Naprezanje se obično mjeri u megapaskalima:61 MPa = 10 Pa = 10 N m = 1 N62mm22Jednoosno stanje naprezanja: djeluje samo aksijalna sila FxyF xσ xxF xzxNormalna naprezanja (σ) - djeluju okomito na plohu.σ F xxx = AKomponente naprezanja imaju dva indeksa:prvi indeks - smjer vanjske normale ravnine na koju naprezanje djelujedrugi indeks - smjer naprezanjaVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 15

Moguće je naći smjerove u kojima normalna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti(maksimalno odnosno minimalno normalno naprezanje).σ yynuσ xτ xyτ yxτ yxτ xyσ xvσ xτ xyσ yϕ0.σ uyOτ yxxxσ y∂σEkstremne vrijednosti normalnih naprezanja dobit će se iz uvjeta: u = 0∂ϕ2 τxy⇒ τ uv = 0 → tg2ϕ0 =σ − σRavnine u kojima ne djeluje posmično naprezanje nazivaju se glavne ravnine.Normalna naprezanja koja djeluju na tim ravninama imaju ekstremne vrijednosti inazivaju se glavna naprezanja.Pravci glavnih naprezanja nazivaju se glavne osi naprezanja (1,2), a određene su⎛ π ⎞kutovima ϕ0i ⎜ ϕ0 + ⎟ .⎝ 2 ⎠xyVeličine glavnih naprezanja:σσ+ σ12x y21,2= ± ( σx− σy)+ 42τ2xyOznake:σ 1- maksimalno glavno naprezanjeσ 2 - minimalno glavno naprezanje ( σ 1 ≥ σ2)Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 19

MAKSIMALNA POSMIČNA NAPREZANJA1τuv= ( σy− σx) sin 2ϕ + τxycos 2ϕ2Smjer normale na ravninu na kojoj djeluje maksimalno posmično naprezanje dobivase iz uvjeta:∂τ uv = 0∂ϕ: ( σ y − σx) cos2ϕ − 2 τxysin 2ϕ= 0 → ϕ = ϕ1→tg2ϕ1σy− σ=2 τxyxσx− σ= −2 τππtg2ϕ1 ⋅ tg2ϕ0= −1→ 2ϕ1= 2ϕ0+ → ϕ1= ϕ0+24Ako su osi x,y glavne osi naprezanja 1,2:ϕ0= 0 , ϕ1xyyπ=41τ max = ( σy− σx) sin 2ϕ1+ τxycos 2ϕ1; sin 2 1 12ϕ = , τ xy = 01τ max = ( σ2− σ1)2Čisti posmik:stanje naprezanja kod kojega na stranicama elementa postoje samoposmična naprezanja, a normalna naprezanja su jednaka nuli.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 20

DEFORMACIJEPod djelovanjem vanjskih sila tijela se deformiraju: mijenjaju svoj oblik i dimenzije,pojedine točke mijenjaju svoj položaj u prostoru.Deformacija se može definirati kao promjena dimenzije elementa uzrokovanaopterećenjem podijeljena s izvornom dimenzijom.a) b)δ x∆l2l∆l2ha) Štap pod djelovanjem aksijalne vlačne sileNormalna deformacija –mijenja se duljina štapa, osnovni oblik štapa ostajenepromijenjenε xx∆l=lNormalna deformacija je bezdimenzionalna veličina najčešće izražena u %.Pozitivna vrijednost označuje produljenje, a negativna skraćenje dužine.b) Tanka pravokutna ploča oslonjena na donjem rubu i opterećena posmičnom silomna suprotnom rubuPosmična deformacija –mijenja se oblik elementa, dimenzija elementa ostajenepromijenjenaPromjena pravog kuta između dvije linije (između rubova ploče):δγ tanxxy ≈ γ xy = (radi se o maloj promjeni kuta)hPosmična deformacija izražava se u radijanima.Pozitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 22

Komponente pomaka točke u prostoru (pomaci u smjeru koordinatnih osi x,y,z):u = u (x, y,z) , v = v (x, y,z) , w =w (x, y,z)Veze između komponenata deformacija i komponenata pomaka u ravnini:yD’C’dyCDβ∂v ⋅ dx∂xvAOuA’αdxBu +∂u∂xB’⋅ dxxNormalne deformacije:εxx=u +∂u∂xdx − udx∂u=∂x;εyy=∂v∂yPosmična deformacija:γxy≈ tan α + tanβtan α =dx∂v∂x∂u+∂xdxdx∂v∂x=1+ εxxγxy∂v≈ ,∂xε∂v∂u= +∂x∂yxx

VEZE IZMEĐU NAPREZANJA I DEFORMACIJAEksperimentalni podaci o vezi između naprezanja i deformacijaNaprezanja se javljaju kao unutarnje sile uzajamnosti među česticama tijela nastale zbog promjenerazmaka između tih čestica.Naprezanja i deformacije vezani su funkcionalnom vezom:σ = f ( ε ) ; ε = f ( σ )ijijOva veza ovisi o vrsti materijala a određuje se eksperimentalno (uzorak materijala određenihdimenzija i oblika rasteže se uzdužnom silom F i pri tome prati produljenje ∆l na mjernoj dužiniuzorka l 0 ).Dijagram rastezanja F − ∆lza građevinski čelik:ij1ij• između točaka O i P: dijagram je pravac (sila F i produljenje ∆ l linearno su ovisni)• do točke E:• nakon točke E:• u točki T:deformacije su elastične (potpuno iščezavaju nakon rasterećenja)u uzorku se, osim elastičnih, javljaju i trajne ili plastične deformacijenastaje tečenje (popuštanje) materijala - deformacije rastu bezpovećavanja opterećenja• nakon točke T: nakon stanja tečenja dolazi do ojačanja materijala (materijal ponovnodobiva sposobnost da se opire djelovanju opterećenja)• do točke M:• nakon točke M:sila se povećava sve do točke M, povećava se deformacija uzorka. Utočki M sila prima maksimalnu vrijednost F maxnastaje iscrpljenost materijala, produljenje uzorka raste uz smanjenjesile F• u točki L: raskid uzorka. Trajno produljenje uzorka nakon raskida ∆l L naziva seapsolutno produljenje pri raskiduUzorak se u uzdužnom smjeru produlji za ∆ l = l − l0, a u poprečnom smjeru suzi za ∆ d = d − d0.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 24

Da bi se dobio dijagram koji karakterizira mehanička svojstva materijala neovisno o apsolutnimdimenzijama uzorka, dijagram rastezanja F − ∆ltransformira se u koordinatni sustav σ − ε .Stvarno naprezanje jeσ ∗=FA(A je površina poprečnog presjeka uzorka koja odgovara sili F).Računsko ili nominalno naprezanje:σ =F( je početna površina poprečnog presjeka uzorka)A 0Relativna dužinska deformacija:A 0∆lε =l 0Dijagram naprezanjaσ = f ( ε)ima isti oblik kao i dijagram rastezanja:σP - granica proporcionalnostiσ - granica elastičnostiEσ - granica tečenja ili granica popuštanja (granica razvlačenja ili velikih izduženja)Tσ - vlačna ili rastezna čvrstoća materijalaMσ - prijelomno naprezanjeL∗σ L - čvrstoća pri raskiduUkupna deformacija je:ε eεδTε = εe+ ε- elastična ili povratna deformacija- trajna ili plastična deformacijaT- relativno produljenje pri raskidu uzorka (karakterizira plastičnost materijala):lL− lδ =0100 %l0δ > 5% - duktilni (rastezljivi, žilavi) materijali: meki čelik, bakar itd.δ < 5% - krti materijali: kamen, staklo, lijevano željezo itd.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 25

Hookeov zakon. Konstante elastičnosti materijala.Razmatra model idealnoga elastičnog tijela u kojega su veze između naprezanja ideformacija linearne. Takvo tijelo se naziva Hookeovo tijelo (Robert Hooke 1678).Iz dijagramaσ − ε vidi se da je:σ→ ε =Eσtg α = = Eε→ σ = E ε - Hookeov zakon za idealno elastično tijeloE - modul elastičnosti ili Youngov modul (Pa): koeficijent proporcionalnostiizmeđu naprezanja i deformacijaPri ispitivanju uzorka na rastezanje, promjer se smanjio za ∆ d = d − d0(kontrakcijapresjeka).Relativna dužinska deformacija:Relativna poprečna deformacija:∆lε =l 0∆dε p =dU području u kojemu vrijedi Hookeov zakon, između relativne poprečne i relativneuzdužne deformacije postoji konstantan odnos:ν =εpε0- Poissonov koeficijentUzdužne i poprečne deformacije uvijek su suprotnog predznaka:građevinski materijali: ν ≈ 0.15− 0. 35ε p= −ν εHookeov zakon pri posmiku:τ = G ⋅ γG - Coulombov modul ili modul posmika ili modul klizanja (Pa)0.33 E ≤ G ≤ 0.5 EKonstante elastičnosti materijala koje karakteriziraju elastična svojstva materijalasu: Poissonov koeficijent ν, modul elastičnosti E i modul posmika G. Određuju seeksperimentalno. Između njih postoji ovisnost:G =E2 (1 + ν)Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 26

Konstante elastičnosti i koeficijent linearnog toplinskog rastezanjaMATERIJALE G ν α10 5 MPa 10 5 MPa − 10 -5 / Kugljični čelik 2.0 − 2.1 0.80 − 0.81 0.24 − 0.28 1.25legirani čelik 2.1 − 2.2 0.80 − 0.81 0.25 − 0.30 1.0 − 1.3aluminij 0.63 − 0.75 0.26 − 0.27 0.32 − 0.36 2.55drvo uzduž vlakana 0.10 − 0.12 0.0055 − 0.3 − 0.5drvo poprečno navlakna0.005 − 0.010 − − −staklo 0.56 0.22 0.25 0.95beton 0.15 − 0.45 − 0.08 − 0.18 1.0 − 1.4Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 27

Aksijalno opterećenje štapa− vanjske sile usmjerene su uzduž osi štapa− u poprečnom presjeku djeluje samo uzdužna sila N, ostale komponente unutarnjihsila su jednake nuliAko je N>0 (uzdužna sila je u smjeru vanjske normale):štap opterećen na rastezanje ili vlakAko je N

Pod djelovanjem zadane sile štap duljine l se deformira.FF∆l2l∆l2Pri deformiranju štapa vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka:poprečni presjeci štapa i nakon deformacije ostaju ravni i okomiti na os štapaSlijedi da je relativna uzdužna deformacija ε xx = konst .Prema Hookeovu zakonu za jednoosno stanje naprezanja jeσx= E εxxSlijedi:∫ σx dA = N → ∫ EεxxdA = Eεxx∫dA= EεxxA = N → σxA = NAAANσ x = − normalna naprezanja u poprečnom presjekuAštapa su raspodijeljena jednolikoεσ=Exxx =Relativna uzdužna deformacija štapa:Ukupno produljenje štapa:NE AE A − aksijalna krutost štapaε xx∆ l =∆l=lN lE APri dimenzioniranju štapa moraju biti ispunjeni uvjet čvrstoće:i uvjet krutosti:σx=FAF l∆ l =E A≤≤σ∆ldopdopVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 30

Savijanje štapaSavijanje nastaje kada se opterećeni štap deformira u zakrivljeni oblik, jedan rubštapa se skraćuje a drugi se produljuje:MMNaprezanja i deformacije više nisu konstantne vrijednosti po poprečnom presjeku.Mijenjaju se od tlačnih na jednom rubu do vlačnih na drugom rubu štapa.Mogu nastati dva slučaja savijanja štapa:• poprečno savijanje ili savijanje silama - ako se u poprečnom presjeku štapapojavljuju poprečna sila i momentsavijanja• čisto savijanje - ako se u poprečnim presjecima štapa pojavljuje samomoment savijanjaPrimjeri čistog savijanja štapa:MMFFFFLaLaacaTT−+T+−M+M−M+čisto savijanječisto savijanječisto savijanjeKod čistog savijanja, ravnina poprečnog presjeka štapa ostaje ravnina.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 31

Čisto savijanjeVrijedi za elemente izložene savijanju oko y i/ili z osi kojima je poprečni presjeksimetričan s obzirom na barem jednu od tih osi.Ravni štap konstantnog poprečnog presjeka savija se oko y osi:MMdϕLρNeutralni slojTxM+z• Uzima se da je deformacija štapa u obliku kružnog luka.• Gornja vlakanca se skraćuju, donja se produljuju.• Sloj vlakana koja ne mijenjaju duljinu prilikom savijanja čine neutralni sloj.• Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog presjeka naziva seneutralna os presjeka.• Udaljenost od neutralnog sloja do središta kružnog luka zove se radijuszakrivljenosti (ρ).Posmična naprezanja su u presjeku jednaka nuli. Na element površine presjeka dAdjeluje samo unutarnja sila dA .σ xVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 32

Deformacija elementa štapa:dϕρnmn 1m 1B N.S. A 00BndxAmzzxB 0’ N.S. A 0 ’xzB 1 A 1n 1m 1Relativno produljenje vlakna AB na udaljenosti z od neutralnog sloja:A 1 B 1 − ABε xx =;ABAB = A0 B0= dx = A0'B0'= ρ dϕ; A 1 B 1 = ( ρ + z) dϕ( ρ + z) dϕ − ρ dϕzεxx=→ εxx=ρ dϕρNormalna naprezanja:σx= E εxx→σx=EρzPri čistom savijanju su normalna naprezanja konstantna po širinipresjeka (za z = konst. ), a po visini poprečnog presjeka mijenjaju serazmjerno udaljenosti z od neutralne osi (po linearnom zakonu).U točkama presjeka na neutralnoj osi je σ 0 .x =Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 33

xM yxM yzzZa dio štapa se mogu postaviti tri uvjeta ravnoteže:1)2)3)∑ Fx∑ M∑ MIz uvjeta ravnoteže 1) slijedi:= 0yz= 0= 0→→→N =MMyz∫ σAAAx= ∫ σ= ∫ σdA = 0xxz dA = My dA = 0EE∫ z dA = 0 → z dA = 0ρρ ∫ → ∫ z dA = 0AA→ S y = 0 ⇒ neutralna os y prolazi težištem presjekaIz uvjeta ravnoteže 3) slijedi:E∫ σx y dA = ∫ z y dA = 0 → ∫ z y dA = 0ρAA→ I zy = 0 ⇒ osi y i z su glavne središnje osi tromosti poprečnog presjekaIz uvjeta ravnoteže 2) slijedi:A∫ σAxAAE 2z dA = ∫ z dA = Mρ2E∫ z dA = Iy→ I y = Myρ1= κρ⇒yA1 =ρME I- zakrivljenost neutralnog sloja nosača(zakrivljenost elastične linije ili progibne linije štapa)E I y - fleksijska krutost (krutost presjeka pri savijanju)yyVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 34

Normalna naprezanja u svakoj točki poprečnog presjeka su:σ x =MIyyzRaspodjela normalnih naprezanja u presjeku ne ovisi o obliku poprečnog presjeka:hMxh2Th2yyTyTN.O.σ x min−+σ x maxzzzEkstremne vrijednosti normalnih naprezanja su u krajnjim vlaknima. Za presjeke shhorizontalnom osi simetrije y, ekstremne vrijednosti su u z = ± :2M y hM y hσ x max = i σ x min = −I 2I 2Iy= Wyh2⇒→yM yσ x max = ,Wσx max=σyx minσM=Wyx minyyM= −WAko poprečni presjek nema horizontalnu os simetrije (neutralna os presjeka neprolazi sredinom visine presjeka):MyM yz max = h 1 i zmin= −h2⇒ σ x max = h1i σ x min = − h2IIIhy1= WIyy , = W1 yh 22σ→x maxyM yσ x max = ,W≠σx miny 1σx minyyM= −Wyy 2yVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 35

Zakrivljenost osi štapa vezana je nauzajamno zaokretanje poprečnih presjeka:1 dϕ=ρ dxdxd ϕ = → dϕ=ρM dxE I yMϕMKut zaokreta između krajnjih presjekaštapa konstantne krutosti duljine l:lϕ = ∫M dxE I=ME0 y I ylMl+MNormalno naprezanje za slučaj djelovanja momenta savijanja oko osi z:σ x =MIzzyVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 36

Opće savijanje (savijanje silama)Poprečne sile ( T ) djeluju zajedno s momentima savijanja ( M ):zyAqL/2 L/2B+T3L/8L/4−+MU presjeku štapa osim normalnih naprezanjanaprezanja τ xz .σ x pojavljuju se i posmičnaNormalno naprezanje određuje se kao i kod čistog savijanja:σ x =MIyyzVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 37

Promatra se dio štapa duljine dx:MdxCdxyBCDM + dMBEP 1P 2τ zxDbzExτ zxPovršina Aτ xzτ xzτ zxM y + dMyM y dM yP 2 − P1= ∫ z dA − ∫ z dA = ∫ z dAIIIAUvjet ravnoteže svih sila u smjeru osi x:− τzx bdx+ P2− P1= 0Uvrštavanjem gornjeg izraza za ( P2 − P1) slijedi:Budući jeτzxdMbdx −IyyyAAyAdM∫ z dA = 0 → τzx=dxyy∫ z dA∫ z dA = S - statički moment površine A s obzirom na neutralnu os yyAdM y = Tz, τ zx = τxzdxAbI, dobiva se izraz za posmično naprezanje:τxzTzS=b Iyyygdje je:I y moment tromosti čitavog poprečnog presjeka,b - širina presjeka u visini točke u kojoj se traži posmično naprezanje.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 38

U rubnim vlaknima posmična naprezanja su jednaka nuli (jer je S y = 0 ).Mjesto maksimalnog posmičnog naprezanja τ xz dobiva se iz uvjeta:dτdzAko je b = konst., slijedi:ddzd ⎛ TzS= ⎜dz⎝b Iy⎞⎟T=⎠Id ⎛ S ⎞⎜dz⎝ b ⎠xz y z y⎟=yd dSy = ∫ z dA = ∫ z b dz = b z0= 0 → z0= 0dz dzAMaksimalna posmična naprezanja pojavljuju se u visini neutralne osi y.z0Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 39

Raspodjela posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku ovisi o obliku presjeka štapa.a) Pravokutni presjek3b hIy = 12b (z) = b = konst.Sy1A11h2= ∫ z dA = ∫ z b dzz11=b22⎛ h⎜⎝ 4− z2⎞⎟⎠TzSy6 T ⎛2z 2τxz= =h⎜ − zb I 3b h ⎝ 4y⎞⎟⎠τ xzPosmična naprezanja po visini pravokutnog presjeka raspodijeljena su po zakonu kvadratneparabole.z =h2→ τ xz = 0z = 0 →3 Tz3 Tzτxz max= =2 b h 2 Ab) Kružni presjekIyπ r=44b(z)= 2r 2 − z 2Sy=∫ z1A1r= 2 ∫ zzdA1r12r= ∫ zz− z121b1dzdz11==2332 2( r − z )2τxzTzS=b Iyy=43Tz4π r2 2( r − z )Posmična naprezanjaτ xzpo visini presjeka raspodijeljena su po zakonu kvadratne parabole.z = r → τ 0xz =Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 40

c) I-presjekz = 0 →τTz=3 π r4 T3 A4 zxz max=2Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 41

Savijanje i aksijalno opterećenjeŠtap je istodobno opterećen momentom savijanja M i uzdužnom silom N.Moment savijanjaMyNaprezanje od uzdužne sile je:uzrokuje normalna naprezanja:σ x '' =NAσ'x =MIyyzUkupno naprezanje u nekoj točki presjeka jednako je:σ ' ''Nx = σx+ σx= +AMIyyzM yh 2NM yhM yNyTh 2h 1I yh 1−+=z 0−σ x minσ x maxneutralna os+težišna oszM yI y+ +NANaprezanja u rubnim vlaknima iznose:σσx(1)x(2)= σ= σx maxx min==N M+A INAM−Iyyyy⋅ h⋅ h12==N M+A WNAyy1M−Wyy2Ako je poprečni presjek simetričan s obzirom na os y:σx( (12))= σxmaxmin=N ±AMWyyPoložaj neutralne osi dobiva se iz uvjeta:σx=NA+MIyy⋅ z0= 0→z0= −NMyIy⋅A= −NMy⋅ i2yAko je uzdužna sila tlačna, ona ulazi u gornje izraze s predznakom minus.Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 42

Koso savijanjeRavnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa se ni s jednom od glavnihsredišnjih osi tromosti presjeka.U tom slučaju se ravnina savijanja štapa ne podudara s ravninom djelovanja momentasavijanja.• čisto koso savijanje -u poprečnom presjeku štapa pojavljuje se samomoment savijanjaMyzx• poprečno koso savijanje ili koso savijanje silama –u poprečnom presjeku štapa pojavljuju se poprečna sila i moment savijanjaF 1F 2yzxVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 43

Čisto koso savijanjeU bilo kojem presjeku štapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolazitežištem poprečnog presjeka i s glavnom osi tromosti z zatvara kut α:yϕmMM yzAαyM zαz.O = Tmn n12N.O.−σx (2)Moment savijanja M može serastaviti na komponente:M yM z= M cosα= M sin α→Čisto koso savijanje:istodobno savijanje štapa udvjema glavnim ravninama xzi xy+σx (A)σx (1)Normalno naprezanje od momenta savijanjaσ x 1 =MIM yyzyM zkoje djeluje u ravnini xz:Normalno naprezanje od momenta savijanja koje djeluje u ravnini xy:Mσzx 2 = yIzUkupno normalno naprezanje u točki A(y,z) poprečnog presjeka:M y Mσ zzx = σx1+ σx2→ σx= + y →I IJednadžba neutralne osi dobit će se iz uvjeta σ x = 0 :cosαsin αz Iyz + y = 0 → = −tgαIyIzy IzKut ϕ što ga neutralna os zatvara s osi y:yzItgϕ= −Iyzσxtgα⎛⎜cosαsinα= M z +⎝IyIz⎞y⎟⎠Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 44

Koso savijanje s aksijalnim opterećenjem(ako ravnina djelovanja momenta savijanja zatvara s glavnom osi tromosti z kut α)m2NMMNyMM y1M zα .O = TzyAaα ya z−σx (2)mN.O.z+σx (A)σx (1)Normalno naprezanje u nekoj točki presjeka:N M y Mσ x = + ⋅ z +A I IJednadžba neutralne osi ima oblik:N M+A IyyyM⋅ z +Izzzz⋅ y⋅ y = 0pa su odsječci neutralne osi na glavnim osima tromosti y,z:yz00= a= ayz= −= −NMNMzyI⋅z= −AIy⋅ = −ANMzNMy⋅i⋅i2z2yVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 45

Ekscentrično opterećenjeTo je zajedničko djelovanje čistog kosog savijanja i aksijalnog opterećenja (vlaka ilitlaka).Primjer: Tlačna sila F djeluje u točki A gornjeg poprečnog presjeka stupaxxFAye yOe zFαeA ( e,e)yzz1M yOy. αee zM=F . eM ze yAzσ max= σ x (1)+−N.O.σ x (B)σ min = σ x (2)ϕya zOza yyB2zHvatište A sile F: pol sile FUdaljenost e pola A od težišta poprečnog presjeka: ekscentričnost sile FU nekom presjeku štapa postoji uzdužna sila N = F i moment savijanja M = F ⋅ e .Ravnina djelovanja momenta M s glavnom osi tromosti z zatvara kut α.Moment savijanja M može se rastaviti na komponente:MM= M cosα = F⋅e cosα = F⋅y e z= M sin α = F⋅e sin α = F⋅z e yVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 46

Ako je uzdužna sila tlačna: ekscentrični pritisakAko je uzdužna sila vlačna: ekscentrično rastezanjeNormalno naprezanje u nekoj točki B(y,z) poprečnog presjeka je:Slijedi:σF ⎛⎜ e= 1+A ⎜⎝iσx= ±e⋅ z +iNA±⎞⋅ y⎟⎟⎠Mz yx ;2 2y zIyy⋅ z ±MIzz⋅ yIyIizy = , iz=1444A 244443Apolumjeri tromostiJednadžba neutralne osi dobit će se iz uvjeta σ x = 0:e e1z yz y+ ⋅ z + ⋅ y = 0 → + = 12 22 2i y izi y iz− −e ez yz y⇒ + = 1a azNeutralna os ne prolazi kroz težište poprečnog presjeka (ishodištem koordinatnogsustava).Odsječci neutralne osi na koordinatnim osima y,z su:azi= −e2yz,ayyi= −eNeutralna os n-n s pozitivnim smjerom osi y zatvara kut ϕ :atgϕ= −azy2yi= −ezeiy2zi= −i2y2z2zyItgα = −IyztgαVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 47

Smicanje (odrez)− vanjske sile mogu se reducirati na dvije jednake sile suprotnog smjera okomite na os štapa smalim razmakom među pravcima djelovanja− u poprečnom presjeku djeluje samo poprečna sila T, ostale komponente unutarnjih sila sujednake nuliIz uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa:T = FU poprečnom presjeku djeluju samo posmična naprezanja.Uz pretpostavku da su naprezanjaPrema Hookeovu zakonu pri posmiku je:τ∫AτdA= Tjednoliko raspodijeljena po čitavom poprečnom presjeku:∫AτdA= τ→∫AdA = τ A = Tτ =T =Aτ = G ⋅ γFASlijedi:γ − posmična deformacija (prosječni kut klizanja poprečnog presjeka)G − modul posmika: G =E2 (1 + ν)γ =τ TG = ; A G − posmična krutost štapaA GVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 48

Pojava smicanja najčešće se susreće kod elemenata kojima se spajaju pojedini dijelovi konstrukcije(zakovice, klinovi, zavareni spojevi).Spoj dviju ploča spojenih zakovicama:Opterećenje je raspodijeljeno jednoliko na sve zakovice. Jednoj zakovici pripada sila:FF1= ; n − broj zakovica (ovdje n = 4 )nZakovica je opterećena na smicanje u presjeku I-I:F1τ =2d π4Na trup zakovice djeluje bočni površinski pritisak kao posljedica djelovanja sile F 1 :σ 0 =Zbog rastezanja ploče, u presjeku oslabljenom s rupama za zakovice javlja se normalno naprezanje:σ =F; m − broj rupa u promatranom presjeku (ovdje m = 2 )t (b − md)U krajnjem dijelu ploče, između njezina kraja i zakovice, može doći do smicanja:F 1τ = ; c − udaljenost od kraja ploče do težišta zakovice2 ( c −d)t2F 1d tVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 49

Torzija (uvijanje) štapa− štap je opterećen momentima koji djeluju u ravnini okomitoj na os štapa− u poprečnom presjeku djeluje samo moment torzije M x , ostale komponente unutarnjih sila sujednake nuliKarakter deformacija štapa pri torziji ovisi o obliku poprečnog presjeka. Tri su grupe štapova:štapovi kružnog, neokruglog (pravokutnog, eliptičnog, trokutnog itd.) i tankostijenog presjeka.Hipoteza ravnih poprečnih presjeka primjenjuje se samo za štapove kružnog presjeka.Torzija štapova kružnog presjekaŠtap je na jednom kraju upet, a na drugome opterećen momentom torzije M x = M t .U ravnini poprečnog presjeka djeluju samo posmična naprezanja τ.ϕ − kut uvijanja ili kut torzijePromatra se diferencijalni element pravog štapa opterećenog momentom torzije:2RAγB’BrdϕM xxττ(r)rτM xdxdADijagram raspodjele naprezanjaIz uvjeta ravnoteže promatranog dijela štapa se dobiva:Mt= Mx= ∫ r τ dAAKut zaokreta izvodnice diferencijalnog elementa:γ = BB' dx ; duljina izvodnice BB'= dϕ⋅RSpecifičan kut zaokreta poprečnog presjeka oko osi štapa:ϑ = dϕ dx (kut uvijanja na jedinicu duljine štapa)Kut klizanja: γ = R ⋅ϑPosmično naprezanje u poprečnom presjeku: τ ( r) = G ⋅ϑ⋅rVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 50

Veličina najvećeg posmičnog naprezanja:τ =G ⋅ γ = G ⋅ϑ⋅RMoment torzije u presjeku iznosi:I xMx= ∫ r ⋅τ(r)⋅dA= G ⋅ϑ⋅ ∫ rAA2⋅dA= G ⋅ϑ⋅ITorzijska konstanta je funkcija poprečnog presjeka štapa. Za poprečni presjek kružnog oblikaradijusa R torzijska konstanta jednaka je polarnom momentu tromosti presjeka:Relativni kut uvijanja je:ϑ =MG IxpIx= Ipπ⋅ R=2G I p − torzijska krutost štapa4xRaspodjela naprezanja u poprečnom presjeku štapa je prema tome:Maksimalno naprezanje se pojavljuje na rubu poprečnog presjeka:MxMxτmax= ⋅rRImax= ⋅ →Ippτmaxτ =M=WxpMIpx ⋅rKut zaokreta krajnjih presjeka štapa duljine l:ϕ =l∫0ϑ dx =l∫MG Ix0 pMxldx =G IpTorzija štapova neokruglog presjekaHipoteza ravnih poprečnih presjeka ne vrijedi za štapove neokruglog presjeka.Za štapove pravokutnog poprečnog presjeka širine b i visine h ( b ≤ h ), torzijska konstanta možese odrediti pomoću izraza:3 ⎡5 ⎤3hb b ⎛ b ⎞hbIx= ⎢1− 0.630 + 0.052⎜⎟ ⎥ → Ix= β3 ⎢⎣h ⎝ h ⎠ ⎥⎦3Vrijednosti koeficijenta β za različite odnose visine i širine presjeka date su u tablici:h b β h b β h b β1.00 0.422 2.50 0.748 5.00 0.8741.25 0.539 3.00 0.790 6.00 0.8951.50 0.587 3.50 0.820 8.00 0.9211.75 0.643 4.00 0.842 10.00 0.9372.00 0.687 4.50 0.860 ∞ 1.000Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 51

Relativni kut torzije štapa:ϑ =MG IKut zaokreta krajnjih presjeka štapa duljine l:xxxϕ =M lG IxDijagram posmičnih naprezanja za štap pravokutnog presjeka:Najveće posmično naprezanje:MxτA= τmax= ; τ2B = η τmaxα h bVrijednosti koeficijenta α i η za različite odnose visine i širine presjeka date su u tablici:h b α η h b α η1.00 0.208 1.000 4.00 0.282 0.7451.50 0.231 0.859 6.00 0.299 0.7432.00 0.246 0.795 8.00 0.307 0.7422.50 0.258 0.766 10.00 0.313 0.7423.00 0.267 0.753 ∞ 0.333 0.742Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 52

Torzija štapova s tankim stijenkama otvorenog profilaOtvoreni presjek konstantne debljine stijenke b:Raspodjela naprezanja u poprečnom presjeku određuje se membranskom analogijom. Iz toga slijedida je naprezanje u promatranom otvorenom profilu približno jednako kao i u uskom pravokutnompresjeku kojemu je duljina stranice jednaka razvijenoj središnjoj liniji profila s.Mxτmax= ;1 2s b3ϑ =13Mxs bAko je tankostijeni presjek sastavljen od dijelova različite debljine:3GZa svaki pravokutni dio presjeka gdje je b i debljinaa s i duljina ( s i >> b i ), dobiva se:Mti3=1ϑ G sib3i ;Moment torzije u presjeku:Mntn=1∑ M t = ϑ G ∑ si 3i=1nτii=1=i13bMti2sibi3i= G ϑ I3I =1t ∑ sibi- torzijski moment tromosti3i=1čitavog poprečnog presjekatRelativni kut torzije:ϑ =M tG IMaksimalno naprezanje u presjeku:gdje jetmaxM=IttbmaxItW t = torzijski moment otpora poprečnog presjeka.bmaxτ→τmaxM=WttVedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 53