Prednáška č. 9 - Kmitanie

CAE mechatronickýchsystémov a sústavVladimír GogaKatedra mechaniky1

Obsah prednášky1. Význam kmitania2. Sústava s jedným stupňom voľnosti3. Kinematické budenie4. Samobudené kmitanie3

1. Význam kmitania• Základné pojmy• Základné rozdelenie• Základné druhy pohybov4

1. Význam kmitania• väčšinou je kmitanie považované zavlastnosť systému, ktorú treba potlačiť5

1. Význam kmitania• väčšinou je kmitanie považované zavlastnosť systému, ktorú treba potlačiť6

1. Význam kmitania• väčšinou je kmitanie považované zavlastnosť systému, ktorú treba potlačiť7

1. Význam kmitania• sú ale aplikácie, kedy chceme, abysústava kmitala s danými parametrami9

1. Význam kmitania• pri potláčaní kmitania sa používariadenie10

1.1 Základné pojmy• kmitajúca lineárna sústava so sústredenýmiparametrami je zoskupenie dvoch aleboviacerých jednoduchých – diskrétnych prvkov,ktoré sú vzájomne previazané11

1.1 Základné pojmy• kmitajúca lineárna sústava so sústredenýmiparametrami je zoskupenie dvoch aleboviacerých jednoduchých – diskrétnych prvkov,ktoré sú vzájomne previazané• jednotlivé prvky majú špecifické vlastnosti a ichodozva je lineárne závislá na budení12

1.1 Základné pojmy• kmitajúca lineárna sústava so sústredenýmiparametrami je zoskupenie dvoch aleboviacerých jednoduchých – diskrétnych prvkov,ktoré sú vzájomne previazané• jednotlivé prvky majú špecifické vlastnosti a ichodozva je lineárne závislá na budení• tieto prvky sú:– hmota – je nositeľkou kinetickej energie– pružiny – sú nositeľkami potenciálnej energie– tlmiče – predstavujú disipátory energie, ktoré meniamechanickú energiu na teplo13

1.1 Základné pojmy14

1.1 Základné pojmypevný základpružina – uvažuje saako nehmotná, t.j. bezkinetickej energietlmič - disipátorhmota – uvažuje sa ako tuhásústredená hmotnosť15

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa rozloženia parametrov:16

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa rozloženia parametrov:– s diskrétnymi parametrami17

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa rozloženia parametrov:– s diskrétnymi parametrami– so spojite rozloženými parametrami (kontinuum)18

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa počtu stupňov voľnosti:19

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa počtu stupňov voľnosti:– s jedným stupňom voľnosti20

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa počtu stupňov voľnosti:– s jedným stupňom voľnosti– s dvoma stupňami voľnosti21

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa počtu stupňov voľnosti:– s jedným stupňom voľnosti– s dvoma stupňami voľnosti– s viacej stupňami voľnosti22

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa tlmenia:23

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa tlmenia:– netlmené24

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa tlmenia:– netlmené– tlmené25

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa druhu budenia:26

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa druhu budenia:– deterministické27

1.2 Základné rozdelenie• rozdelenie podľa druhu budenia:– deterministické– stochastické28

1.3 Základné druhy pohybov• základné druhy pohybov, ktoré sa pri kmitaníriešia, sú29

1.3 Základné druhy pohybov• základné druhy pohybov, ktoré sa pri kmitaníriešia, sú– voľné kmitanie – vzniká, ak je sústava po vychýleníz rovnovážnej polohy (zmena polohy alebo udelenierýchlosti alebo oboch) uvoľnená a ponechaná vpohybe bez účinkov budenia30

1.3 Základné druhy pohybov• základné druhy pohybov, ktoré sa pri kmitaníriešia, sú– voľné kmitanie – vzniká, ak je sústava po vychýleníz rovnovážnej polohy (zmena polohy alebo udelenierýchlosti alebo oboch) uvoľnená a ponechaná vpohybe bez účinkov budenia– vynútené kmitanie – vzniká, ak je pohyb sústavyvyvolaný a udržovaný účinkom budiacich síl resp.kinematickým budením, najčastejšie sa pod týmtopojmom rozumie ustálené vynútené kmitanie31

2. Sústava s jedným stupňomvoľnosti• voľné kmitanie netlmenej sústavy• voľné kmitanie tlmenej sústavy• vynútené kmitanie32

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavy33

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyF k- sila od pružinylineárna pružina – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a posunutím jelineárny F kxkk- je tuhosť pružiny [N/m]34

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyF k- sila od pružinylineárna pružina – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a posunutím jelineárny F kxkk- je tuhosť pružiny [N/m]tvrdnúca pružina(charakteristika)lineárna pružina(charakteristika)mäknúcapružina 35(charakteristika)

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyKladný smer rýchlosti aj zrýchlenia je vsmere kladnej osi x36

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:37

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx F38

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx Fk kxpôsobí len sila pružiny39

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx Fk kxpôsobí len sila pružinymx kx040

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx Fk kxpôsobí len sila pružinymx kx0počiatočné podmienky:41

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx Fk kxpôsobí len sila pružinymx kx0počiatočné podmienky:počiatočná výchylka:x(0)x0počiatočná rýchlosť:x(0)x042

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:43

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:zovšeobecnené súradnice:- systém má len jeden stupeň voľnosti,t.j. bude len jedna súradnica q- táto súradnica bude zhodná sosúradnicou x, t.j. qx44

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:45

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mx246

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mxpotenciálna energia pružiny (silaod pružiny je konzervatívna sila, t.j.má svoj potenciál): 1 2U2kx247

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mxpotenciálna energia pružiny (silaod pružiny je konzervatívna sila, t.j.má svoj potenciál): 1 2U kx21 1L EkU mx kx2 2Lagrangián:2 2248

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L L 0 j 1,2, ,ndt q qjj49

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L L 0 j 1,2, ,ndt q qjjd L Ldt x xj 1,q x050

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L Ldt x x051

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L Ldt x x0LLxx mx kx52

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L Ldt x x0LLxx mx kxmx kx053

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L Ldt x x0LLxx mx kxmx kx0opäť treba pripojiťpočiatočné podmienky54

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kx0x(0)x(0)xx0055

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kx0x(0)x(0)xx00k x x0m56

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)xx000k x xm0km 200je vlastná kruhová frekvencia [rad/s]57

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)xx000k x xm0km 2x 0 x 0 200je vlastná kruhová frekvencia [rad/s]58

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)xx000k x xm0km 2x 0 x 0 20riešenie cos x Asint B t0 00je vlastná kruhová frekvencia [rad/s]59

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)xx000k x xm0km 2x 0 x 0 20riešenie cos x Asint B t0 0dosadením okrajovýchpodmienok0je vlastná kruhová frekvencia [rad/s]60

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)xx000k x xmdosadením okrajovýchpodmienok0km 2x 0 x 0 20riešenie cos x Asin0t B0tx0A , B x000je vlastná kruhová frekvencia [rad/s]61

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx kxx(0)x(0)0xx000k x xmdosadením okrajovýchpodmienok0kmje vlastná kruhová frekvencia [rad/s] 2x 0 x 0 20riešenie cos x Asin0t B0tx0A , B x0x0 cos 0x sin0t x0 0t062

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t063

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x0064

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x0065

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x 0x0066

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x0x0067

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x0x0068

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0x0x00x C sin t 069

2.1 Voľné kmitanie netlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:x cos 0x sin0t x0 0t0Cx0x00x C sin t0C2 x x , arctg0 20 0 00 x70 0x

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavy71

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyF kF b- sila od pružiny- sila od tlmiča72

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyF kF b- sila od pružiny- sila od tlmičalineárna pružina – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a posunutím jelineárny F kxklineárny tlmič – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a rýchlosťou jelineárny F bxbkbje tuhosť pružiny [N/m]je súčiniteľ lineárneho tlmenia[Ns/m]73

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:74

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx F75

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F kx bxkbsila pružinysila tlmiča76

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F kx bxkbsila pružinysila tlmičamx bx kx 077

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F kx bxmx bx kx 0kpočiatočné podmienky:bsila pružinysila tlmičapočiatočná výchylka:x(0)x0počiatočná rýchlosť:x(0)x078

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:79

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mx280

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12Umxpotenciálna energia pružiny :221 kx281

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mxpotenciálna energia pružiny :221U kx21 bx2disipačná energia tlmiča :2RD82

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mxpotenciálna energia pružiny :221U kx21 bx2disipačná energia tlmiča :21 1L EkU mx kx2 2Lagrangián:2 2RD83

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:84

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L LR Ddtxxx085

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyLLxx R Dx Zostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc: mx kx bxd L LR Ddtxxx086

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyLLxx R Dx Zostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc: mx kx bxd L LR Ddtxxx0mx bx kx 0plus počiatočné podmienky87

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx bx kx x(0)x(0)x0x0088

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx bx kx x(0)x(0)xx000b k x xxm m089

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx bx kx x(0)x(0)xx000b k x xxm m22 000je vlastná kruhová frekvencia [rad/s] je konštanta útlmu [s -1 ]90

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx bx kx x(0)x(0)xx000b k x xxm m22 00 x 2xx 0200je vlastná kruhová frekvencia [rad/s] je konštanta útlmu [s -1 ]91

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:mx bx kx x(0)x(0)xx000b k x xxm m22 00 x 2xx 020riešenie pomocoucharakteristickej rovnicer 2r 02 200je vlastná kruhová frekvencia [rad/s] je konštanta útlmu [s -1 ]92

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavy2 2r 2r 0 02 2 02 2 02 2 0Korene charakteristickej rovnice :1. reálne rôzne čísla, ak - nadkritické tlmenie2. dvojnásobný reálny koreň, ak - kritické tlmenie ( bb , )3. komplexne združené korene, ak - podkritické tlmeniekk0pomerný útlm [-]:bpbbk 1 1 1nadkritické tlmenie (aperiodický pohyb)kritické tlmenie (hraničný aperiodický pohyb)podkritické tlmenie (periodický pohyb)súčiniteľ kritického tlmenia:b 2m 2m 2 kmkk093

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavypomerný útlm [-]:bpbbk 1 1 1nadkritické tlmenie (aperiodický pohyb)kritické tlmenie (hraničný aperiodický pohyb)podkritické tlmenie (periodický pohyb)94

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:1. veľké tlmenie (nadkritické tlmenie):2 2 095

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:1. veľké tlmenie (nadkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 2096

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:1. veľké tlmenie (nadkritické tlmenie):2 2 0 dr 2r 02 20r 2 21,2 097

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:1. veľké tlmenie (nadkritické tlmenie):2 2 0 dr 2r 02 20r 2 21,2 0x c e c er t1 2r t1 298

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:1. veľké tlmenie (nadkritické tlmenie):2 2 0 dr 2r 02 20r 2 21,2 0x c e c er t1 2r t1 2 2 2 2 2 0 t 0x c e c e1 2t99

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0100

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20101

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0102

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r r1,22 21,2 0103

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r r1,22 21,2 0x c e c ter t1 2r t1 2104

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:2. hraničný prípad aperiodického pohybu (kritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r r1,22 21,2 0x c e c ter t1 2r t1 2x c e c tet1 2t105

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0106

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):r 2r 02 202 2 0107

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0108

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0r i 2 21,2 0109

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0 dr i 2 21,2 0110

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0 dr i r1,2 id2 21,2 0111

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0 dr i r1,2 id2 21,2 0x c e c er t1 2r t1 2112

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0 dr i r1,2 id2 21,2 0x c e c er t1 2r t1 2 i d t i d t12113x c e c e

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0r 2r 02 20r 2 21,2 0 dr i r1,2 id2 21,2 0x c e c er t1 2r t1 2tx e c sin( t) c cos( t)3 d 4d i d t i d t12114x c e c e

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb (podkritické tlmenie):2 2 0tx e c sin( t) c cos( t)3 d 4dx(0) xx(0) 00x(0) 0x(0) x0x(0)x(0)xx00115

2.2 Voľné kmitanie tlmenej sústavyRiešenie pohybovej rovnice:3. periodický pohyb:2 2 0tx e c sin( t) c cos( t)3 d 4dA4 m A 4km b1 T ln ln e d Td22logaritmický dekrement- charakterizuje tlmiacevlastnosti sústavy1d 1fd [ s Hz]Td2T d2dperióda kmitaniatlmenej sústavy116

2.3 Vynútené kmitanie117

2.3 Vynútené kmitanieF k- sila od pružinyF b- sila od tlmičaF sin( t)0- budiaca silakruhová frekvenciabudiacej sily118

2.3 Vynútené kmitanieF k- sila od pružinyF b- sila od tlmičaF sin( t)0- budiaca silalineárna pružina – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a posunutím jelineárnylineárny tlmič – t.j. vzťah medzivyvodenou silou a rýchlosťou jelineárnykruhová frekvenciabudiacej silyharmonická budiaca sila – t.j. je jumožné zapísať pomocou sin a cos119

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:120

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx F121

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F F sin( t)kbsila pružiny kx bx F sin( t)00sila tlmičasilabudenia122

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F F sin( t)kbsila pružiny kx bx F sin( t)mx bx kx F sin( )0t00sila tlmičasilabudenia123

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouNewtonovho druhého zákona:mx Fmx F F F sin( t)kb kx bx F sin( t)mx bx kx F sin( )0tpočiatočné podmienky:sila pružiny00sila tlmičasilabudeniapočiatočná výchylka:x(0)x0počiatočná rýchlosť:x(0)x0124

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:125

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:kinetická energia hmoty:Ek12mxpotenciálna energia pružiny :221U kx21 bx2disipačná energia tlmiča :21 1L EkU mx kx2 2Lagrangián:2 2sila budiaca :RDQ F sin( t)0126

2.3 Vynútené kmitanieZostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L LR D Qdtxxx127

2.3 Vynútené kmitanieLLxx R Dx Zostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L LR D Qdtxxx mx kx bx128

2.3 Vynútené kmitanieLLxx R Dx Zostavenie pohybových rovníc pomocouLagrangeových rovníc:d L LR D Qdtxxx mx kx bxmx bx kx F sin( )0tplus počiatočné podmienky129

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:130

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:1. prechodový stav:131

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:1. prechodový stav:- na priebeh vplývajú počiatočnépodmienky aj budenie- zapisuje sa v tvarex x xhp132

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:1. prechodový stav:- na priebeh vplývajú počiatočnépodmienky aj budenie- zapisuje sa v tvarex x xhphomogénne riešenie- vplyv počiatočnýchpodmienok (riešeniebez pravej strany)partikulárne riešenie- vplyv budenia133

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:134

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:- na priebeh vplýva len budenie- zapisuje sa v tvarexx ppartikulárne riešenie- vplyv budenia- výsledné kmitanie bude mať rovnakúfrekvenciu ako budenie, bude len fázovoposunutéx csin( t)135

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:- na priebeh vplýva len budenie- zapisuje sa v tvarexx ppartikulárne riešenie- vplyv budenia- výsledné kmitanie bude mať rovnakúfrekvenciu ako budenie, bude len fázovoposunutéx csin( t)amplitúda kmitaniafázový posun – ten sa uvažuje iba pritlmení, keď systém nie je tlmený, tak tamnevystupuje (je buď 0 alebo Pi)136

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:137

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)138

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)x ccos( t)139

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)x ccos( t) x c2 sin( t)140

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)x ccos( t) x c2 sin( t)mx kx F sin( )0t141

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)x ccos( t) x c2 sin( t)mx kx F sin( )0t sin( ) sin( )2m k c t F0t142

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:x csin( t)x ccos( t) x c2 sin( t)mx kx F sin( )0t sin( ) sin( )2m k c t F0tckF02 m143

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:144

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:c kF02 m145

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:c kF02 mamplitúda kmitania netlmeného systému je funkciou:- amplitúdy budiacej sily- frekvencie budiacej sily- parametrov sústavy146

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:c kF02 mamplitúdovo-frekvenčnácharakteristikavlastná frekvencia systémuveľký význam máamplitúdovo-frekvenčnácharakteristikafázovo-frekvenčnácharakteristika147

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:bez tlmenia:amplitúdovo-frekvenčnácharakteristikavlastná frekvencia systémukmitanie pri budení vl.frekvenciou v časefázovo-frekvenčnácharakteristika148

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:149

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F sin( )0t150

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F 0 ei tmx bx kx F sin( )0t151

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F 0 ei tmx bx kx F sin( )0txce i t152

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F 0 ei tmx bx kx F sin( )0txce i te i x c i t ix153

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F 0 ei tmx bx kx F sin( )0txce i te i x c i t ix2 2e i x c t x154

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:výhodné je riešiť systém v komplexnejrovinemx bx kx F 0 ei tmx bx kx F sin( )0txce i te i x c i t ix2 2e i x c t xmx bx kx F 0 ei t155

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:xce i te i x c i t ix2 2e i x c t x156

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:xce i te i x c i t ix2 2e i x c t xmx bx kx F 0 ei t157

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:xce i te i x c i t ix2 2e i x c t xmx bx kx F 0 ei t 2mbi k x F0 ei t158

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:s tlmením:xce i te i x c i t ix2 2e i x c t xmx bx kx F 0 ei t 2mbi k x F0 ei tc F2k m b0barctg2km2 2159

2.3 Vynútené kmitanieRiešenie pohybovej rovnice:2. ustálený stav:amplitúdovo-frekvenčnácharakteristikas tlmením:c F2k m barctgk0b2 m2 2fázovo-frekvenčnácharakteristika160

2.3 Vynútené kmitanierezonanciaamplitúdovo-frekvenčnácharakteristikafázovo-frekvenčnácharakteristika161

2.3 Vynútené kmitanierezonanciaamplitúdovo-frekvenčnácharakteristikafázovo-frekvenčnácharakteristika162

3. Kinematické budenie• v technickej praxi je častý prípad, keď kmitaniesústavy je spôsobené pohybom závesupružiny – t.j. pohybom rámu mechanickejsústavy• v takomto prípade hovoríme o kinematickombudení163

3. Kinematické budenie164

3. Kinematické budenieskúmané teleso ohmotnosti m165

3. Kinematické budenievýchylka telesa k jehostabilnej rovnovážnejpoloheskúmané teleso ohmotnosti m166

3. Kinematické budenierám, ktorého pohyb jedaný výchylkou x tz výchylka telesa k jehostabilnej rovnovážnejpoloheskúmané teleso ohmotnosti m167

3. Kinematické budenierám, ktorého pohyb jedaný výchylkou x tz pohybová rovnica kmitajúcej hmotnosti:výchylka telesa k jehostabilnej rovnovážnejpolohemx b( x x( t)) k( x x ( t))zzskúmané teleso ohmotnosti m168

3. Kinematické budenierám, ktorého pohyb jedaný výchylkou x tz pohybová rovnica kmitajúcej hmotnosti:výchylka telesa k jehostabilnej rovnovážnejpolohemx b( x x( t)) k( x x ( t))zzskúmané teleso ohmotnosti mmx bx kx bx( t) kx ( t) f ( t)zz169

3. Kinematické budeniemx bx kx bx( t) kx ( t) f ( t)jedná sa o kmitavý pohyb, vynútenýfunkciou f()tďalšie riešenie závisí od toho, aký pohybvykonáva rám sústavyzz170

4. Samobudené kmitanie• samobudené kmitanie vyvoláva zdroj energienekmitavého charakteru• sily generované týmto zdrojom sú závislé odpohybu a v rovnovážnej polohe sú nulové• príklad: kmitanie struny pri pohybe sláka,kmitanie krídla lietadla pri určitej rýchlostiprúdu vzduchu,...171