Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

8 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.3 Izračun verjetnosti za razpad αRazpad α je posledica elektrostatskih odbojnih sil, ki so pri težkih jedrih dovolj močne, da jedroni več stabilno. Razpad bomo obravnavali kot dvodelčni problem iz primera 1.1. Predpostavimo,da je potencial med delcema odvisen le od njune medsebojne razdalje (ˆr ≡ |ˆx r |), ne pa tudiabsolutne smeri (V (ˆx r ) = V (ˆr)). Celotni potencial je sestavljen iz dveh komponent: (1) privlačenjedrski potencial popolnoma prevladuje pri majhnih medsebojnih razdaljah delcev vendar jekratkega doesga. Njegovih podrobnosti ne poznamo, zato ga opišemo v približku končno razsežnepotencialne jame; (2) Odbojni elektrostatski potencial, ki ga poznamo in je oblike V (ˆr) =e 2 2(Z − 2)/4πɛ 0ˆr, kjer je 2e naboj delca α in (Z − 2)e naboj preostanka razpadajočega jedra.Pri tem je Z vrstno število razpadajočega jedra. V koordinatni upodobitvi (ˆr = r) ima torejcelotni potencial približno obliko, kot je skicirana na levi sliki 1.1. Za razpad α mora bitiVrVrV 0 V 0I II IIIWI II IIIWR R' r R R' r Slika 1.1: Potencial težkega jedra in delca α v približku potencialne jame za nuklearni potencial(levo) ter v približku stopničaste potencialne bariere (desno).globina te potencialne jame nad ničelnim nivojem, ki je določen s potencialom med delcem αin preostankom jedra v neskončni oddaljenosti (V (r → ∞)). V nasprotnem primeru bi bilo zadelec α ugodneje ostati znotraj potencialne jame in jedro ne bi razpadlo. Elektrostatski odbojnipotencial posledično deluje kot potencialna bariera skozi katero mora delec α tunelirati, če najjedro razpade.Zanima nas verjetnost za razpad jedra na časovno enoto, ki jo parametriziramo z razpadnokonstanto w. Za razpadajoče jedro namreč velja, da je verjetnost za njegov razpad v danemtrenutku (−dn/dt) sorazmerna verjetnosti, da jedro še ni razpadlo (n) oziromadndt= −wn . (1.17)Po kontinuitetni enačbi in Gaussovemu zakonu je količina na levi strani enačbe enaka integraluizhodnega toka verjetnosti po površini zaključene ploskve, ki popolnoma zaobjema jedro−dn/dt = ∫ (∇ · j)dV = ∫ j·dS. V veliki oddaljenosti od jedra (r ≫ R ′ ) in za sferično simetričnorešitev, je (radialna) hitrost delca α konstantna in jo označimo z v α , površinski integral toka(j = v α |ψ| 2 ) pa se poenostavi− dn ∫dt = v α |ψ(r)| 2 r 2 dΩ , (1.18)r≫R ′kjer je Ω prostorski kot. Po drugi strani pa lahko verjetnost n approksimiramo kar z verjetnostjo,