Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

6 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.2 Valovna funkcija devterona v približku potencialne jameMed protonom (p) in nevtronom (n) v jedru devterona obstaja jedrski potencial, ki ju veže.V približku obravnavajmo tak potencial kot končno potencialno jamo globine V 0 in z radijemR 0 . Uporabimo pristop iz primera 1.1 in Schrödingerejvo enačbo za kvantno-mehanski problemdveh teles prepišemo v enodelčno obliko z reducirano maso µ = (m p m n )/(m p + m n ) ≃ m p /2.Ker je naš potencial sferično simetričen, je primerna izbira koordinatne upodobitve s krogelnimikoordinatami, v kateri se operator kvadrata gibalne količine ˆp 2 zapiše kot[ ∂ˆp 2 = − 2 ∇ 2 = − 2 2∂r 2 + 2 ]∂+ 2ˆl2r ∂r r 2 , (1.4)kjer smo člene z odvodi po kotnih koordinatah (θ in φ) stlačili v operator ˆl 2 , ki je ravno operatorkvadrata vrtilne količine. Rešitev Schrödingerjeve enačbe nastavimo v oblikiψ(r, θ, φ) = R(r)Y lm (θ, φ) , (1.5)kjer je Y lm lastna funkcija operatorja ˆl 2 : ˆl 2 Y lm = l(l + 1)Y lm . Tako dobimo[− 2 ∂ 2 R2µ ∂r 2 + 2 ]∂R+ 2 l(l + 1)r ∂r r 2 R + (V − E)R = 0 . (1.6)Enačba se še nekoliko poenostavi z nastavkom R(r) = u(r)/r:u ′′ l(l + 1)−r 2 u − 2µ (V − E)u = 0 . (1.7)2 Oglejmo si osnovno stanje z l = 0, pri katerem lahko drugi člen v gornji enačbi izpustimo.Znotraj radija R 0 ima potencial vrednost −V 0 , energija vezanega stanja pa mora po definicijiprav tako biti negativna E < 0, tako da lahko zapišemou ′′ + k 2 d u = 0 , kjer je k2 d = 2µ 2 (V 0 − |E|) , (r < R 0 ) . (1.8)Rešitev te enačbe je oblike u = A sin k d r. V splošnem je mogoča tudi rešitev oblike cos k d r,vendar le-ta prispevek k valovni funkciji (R = u/r) v izhodišču (ko gre r → 0) divergira, zatone more opisovati fizikalne valovne funkcije. Analogno v območju r ≥ R 0 , kjer potencial padena nič (V = 0) veljau ′′ − κ 2 u = 0 , kjer je κ 2 = 2µ 2 |E| , (r ≥ R 0) . (1.9)Rešitev v tem področju je oblike u = Be −κ(r−R 0) . Tudi dokrat dodatno možno rešitev oblike e κrzavržemo, saj divergira, ko gre r → ∞. Valovna funkcija mora biti pri r = R 0 zvezna in zveznoodvedljiva (rešujemo namreč diferencialno enačbo drugega reda), od koder dobimo dva pogojaA sin k d R 0 = B , (1.10a)Ak d cos k d R 0 = −κB . (1.10b)Deljenje obeh enačb nam da k d ctgk d R 0 = −κ oziroma√ctgk d R 0 = − κ |E|= −k d V 0 − |E| . (1.11)