Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

2.13. DIRACOVI SPINORJI IN SUČNOST 472.13 Diracovi spinorji in sučnostPoglejmo si lastnosti rešitev proste Diracove enačbe (iγ µ ∂ µ − m)ψ = 0. Poznamo dva razredarešitev: interpretiramo jih kot delce ψ = u (s) exp(−ipx) ter antidelce ψ = v (s) exp(ipx) . Diracovispinorji (u, v) zadoščajo enačbam (γ µ p µ − m)u (s) = 0 ter (γ µ p µ + m)v (s) = 0 . Pripravno jedefinirati še ¯ψ ≡ ψ † γ 0 = ū (s) exp(ipx) , ¯v (s) exp(−ipx), kjer sedaj velja ū (s) (γ µ p µ − m) = 0 ter¯v (s) (γ µ p µ + m) = 0. Delčne ter antidelčne spinorje izpišemo še eksplicitnou (s) = √ (2Eχ (s) )σ·p , v (s) = √ ( σ·p)2EE+m χ(−s)E+m χ(s) χ (−s) , (2.87)kjer je izbrana normalizacija konsistentna z relativistično izbiro za skalarne delce v sekciji (2.7),χ (1) = (1, 0) T , χ (−1) = (0, 1) T . Za spinorje veljata tudi naslednji dve kompletnostni relaciji priseštevanju po spinih∑u (s) ū (s) = γ µ p µ + m ,s∑v (s)¯v (s) = γ µ p µ − m . (2.88)Definirajmo sedaj operator sučnosti κ = S · p/2|p| , ki je pravzaprav projekcija spina na smergibalne količine. Poskusimo dokazati, da tak operator komutira s Hamiltonianom za prosteDiracove delce in da torej sučnost predstavlja ohranjeno količino. Če to velja, morajo bitirešitve Hamiltoniana tudi lastna stanja operatorja κ; veljati mora npr. κu (s) = λ (s) u (s) , kjer staλ (s) pripadajoči lastni vrednosti. Za dokaz, se torej postavimo v sistem, kjer gibalna količina pkaže v smeri z, p = (0, 0, p). Potem se operator sučnosti zapiše kar kot κ = S 3 /2. Delujmo znjim na u (±1) , pa dobimoκu (±1) = √ 2E 1 2( ) (σ3 0·0 σ 3χ (±1) )σ 3 p = √ 2E 1 (E+m χ(±1) 2sσ 3 χ (±1) )σ 3 pE+m σ 3χ (±1) = ± 1 2 u(±1) . (2.89)Dejansko so rešitve proste Diracove enačbe lastna stanja operatorja sučnosti. Iz gornjega dokazaje enostavno uvideti tudi, da se sučnost ohranja tudi pri zamenjavi delcev z anti-delci. Takšnaoperacija namreč zamenja predznak gibalne količine ter spina, njuno projekcijo pa pusti nespremenjeno.To nam bo v veliko pomoč pri izračunih sipanja polariziranih Diracovih fermionov spomočjo križanja.