Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

2.8. SIPALNI PRESEK IN LORENTZOVE TRANSFORMACIJE 43prehoda, povprečeno po prečnem preseku S, oziroma∫dσ(A, B → 1, . . .) = d 2 b dP(A, B → 1, . . .) . (2.62)Izvrednotenje gornjega izraza v splošnem zahteva izračun 14 dimenzionalnega integrala (2 kratd 3 p A ter d 3 p B ter enkrat d 2 b). Na srečo nam integral po vpadnem parametru pridela le dvodimenzionalnodelta funkcijo, ki skupaj z eno izmed δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] znotraj |T fi | 2 ponekoliko daljšem računu [5] zreducira celotno integracijo na∫ d 3 ∫p Addσ = dρ f(2π) 3 |φ A(p A )| 2 3 p B(2π) 3 |φ B(p B )| 2 |M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A +p B −(p A +. . .)] ,(2.63)kjer smo diferencial faznega prostora končnih stanj (posplošitev gostote stanj iz neralitivističnegaFermijevega zlatega pravila) bolj kompaktno zapisali kot dρ f = Π f d 3 p f /[(2π) 3 2E f ]. V realističnihsituacijah je zrnatost detektorjev prevelika, da bi razločila končno razsežnost valovnihpaketov A in B v prostoru gibalnih količin. Zato lahko φ A,B (p A,B ) aproksimiramo z delta funkcijama,pa dobimo končni rezultatdσ = dρ f|M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] , (2.64)kjer nam sedaj imenovalec ulomka 2E A 2E B |v A −v B | predstavlja relativistično analogijo vpadnegatoka sipanih delcev iz enačbe (1.94).2.8 Sipalni presek in Lorentzove transformacijeOglejmo si, kako se različni gradniki, ki tvorijo izraz za relativistični sipalni presek transformirajopod Lorentzovimi transformacijami. Sipalna amplituda je po konstrukciji Lorentzovo invariantnakoličina. Nasprotno pa se moramo za dokaz tega na primeru diferenciala faznega prostorakončnih stanj (dρ f ) malce potruditi. V ta namen si poglejmo Lorentzovo transformacijo vobliki ‘boosta’ v smeri x. Pod njo se bosta netrivialno transformirali le x−ta komponenta(diferenciala) gibalne količine (dp x ) ter energija (E). Tako da nas v celotnem diferencialu dρ fzanima le transformacija ulomka dp x /E. Izrazimo torej dp x in E s količinami v novem sistemu(d)p ′ x ter (d)E ′ dp x = γ(dp ′ x + βdE ′ ) ,Sedaj za njuno razmerje veljaE = γ(E ′ + βp ′ x) . (2.65)dp xE = γ(dp′ x + βdE ′ )γ(E ′ + βp ′ = dp′ x 1 + β(dE ′ /dp ′ x)x) E ′ 1 + β(p ′ x/E ′ = dp′ x) E ′ , (2.66)kjer smo ob zadnjem enačaju upoštevali, da je diferencial energije (E = √ m 2 + |p| 2 ): dE/dp x =p x /E .Nazadnje si oglejmo še imenovalec 2E A 2E B |v A − v B |. Z uporabo enakosti v = p/E, galahko prepišemo kot 4|p A E B − p B E A |. Ker začetni gibalni količini kažeta izključno v smeri z,lahko ta izraz drugače zapišemo tudi kot |p 0 A pz B − p0 B pz A | = |ɛ xyµνp µ A pν B|, kar je invariantno lena ’booste’ v smeri z – ima natanko transformacijske lastnosti (inverzne) ploščine v xy-ravnini,tako kot bi po definiciji sipalnega preseka tudi pričakovali.