42 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.7 Relativistično sipanjePodobno kot v obravnavi nerelativističnega sipanja si oglejmo najprej osnove perturbacijske teorije<strong>in</strong> vzporedimo relevantne količ<strong>in</strong>e s koncepti, ki so nam znani že <strong>iz</strong> nerelativistične obravnave.Kot prvo si poglejmo stanje relativističnega ravnega vala z dobro def<strong>in</strong>irano gibalno količ<strong>in</strong>o.V nerelativistični mehaniki je takšno stanje rešitev Schröd<strong>in</strong>gerjeve enačbe z lastnim valovnimvektorjem |p〉 = ψ = √ ne ip·x−iEt , kjer je n število <strong>delcev</strong>, ki ga takšno stanje predstavlja. Vrelativistični mehaniki so relevantna lastna stanja Kle<strong>in</strong>-Gordonove enačbe |p〉 = √ 2En e −ip·x ,kjer smo zapisali skalarni produkt četvercev krajše kot p µ x µ ≡ p · x . Nenavadno <strong>iz</strong>biro normal<strong>iz</strong>acijestanj utemeljita relativistični def<strong>in</strong>iciji toka <strong>in</strong> gostote <strong>delcev</strong>. Oglejmo si najprejtok <strong>delcev</strong>, ki je v neraltivistični mehaniki def<strong>in</strong>iran kot j = −i(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )/2m = np/m .Takšna normal<strong>iz</strong>acija (na enoto mase) za relativistično k<strong>in</strong>ematiko ni primerna. Namesto nje,se je uveljavila defnicija j = 2np , ki torej pojasni <strong>iz</strong>biro normal<strong>iz</strong>acije stanj ravnih valov |p〉. Vskladu z njo se tudi def<strong>in</strong>icija gostote <strong>delcev</strong> <strong>iz</strong> nerelativistične ρ = |ψ| 2 = n spremeni v ρ = 2nE,tako da se četverec toka zapiše kot j µ = (ρ, j) = 2p µ n .Naslednje si poglejmo razvoj začetnega (dvodelčnega) stanja z dobro def<strong>in</strong>iranimi gibalnimikolič<strong>in</strong>ami |p A p B 〉 <strong>in</strong> ob času T → −∞ v neko (sipano) končno stanje |p 1 , . . .〉 out , ob času T → ∞pod vplivom <strong>in</strong>terakcijskega Hamiltoniana H <strong>in</strong>t (x) v prvem redu perturbacije ter def<strong>in</strong>irajmorelativistično sipalno matriko kot posplošitev enačbe (1.91)∫ T ∫T f≠i = out 〈p 1 , . . . |p A p B 〉 <strong>in</strong> = lim dt d 3 x 〈p 1 , . . . | − iH <strong>in</strong>t (x)|p A p B 〉T →∞−T= −(2π) 4 δ (4) [p A + p B − (p 1 + . . .)] iM(p A p B → p 1 , . . .) , (2.58)kjer smo v drugi vrstici uvedli sipalno amplitudo M <strong>iz</strong> katere smo eksplicitno <strong>iz</strong>postavili deltafunkcijo, ki nam zagotavlja ohranitev energije <strong>in</strong> gibalne količ<strong>in</strong>e v sipanju.Dejansko želimo obravnavati razvoj (sipanje) valovnih paketov |φ〉 z normal<strong>iz</strong>acijo 〈φ|φ〉 = 1,zato jih lahko razvijemo po ravnih valovih |p〉 kot∫|φ〉 =d 3 k(2π) 3 φ(k) 1√ 2Ek|k〉 , (2.59)kjer je φ(k) valovna funkcija valovnega paketa (v k prostoru), E k pa energija, ki pripada stanjuz gibalno količ<strong>in</strong>o k (E k = √ m 2 + |k| 2 ). Verjetnost za prehod med začetnimi <strong>in</strong> končnimi stanjivalovnih paketov znotraj majhnega <strong>iz</strong>seka faznega prostora končnih stanj je potem(d 3 )p f 1dP(A, B → 1, . . .) = Π f(2π) 3 | out 〈p 1 . . . |φ A φ B 〉 <strong>in</strong> | 2 . (2.60)2E fDa dobimo diferencialni sipalni presek, moramo P poprečiti še po številu sipanih <strong>delcev</strong> znotrajzačetnih valovnih paketov A <strong>in</strong> B. Predstavljajmo si torej sipanje valovnih paketov A <strong>in</strong> B sprečnima presekoma S A ter S B , ki potujeta v smeri z z relativno hitrostjo |v A −v B | = |vA z −vz B |.Zaradi morebitnega neničelnega vpadnega parametra b ⊥ z, dejansko v sipanju prispevajo ledelci A <strong>in</strong> B znotraj prečnega preseka S = S A ∩ S B . Začetno stanje lahko torej zapišemo tudikot∫ d 3 ∫p A d 3 p B φ A (p A )φ B (p B )e ib·(p A−p B )|φ A φ B 〉 <strong>in</strong> =(2π) 3 (2π) 3 √ |p A p B 〉 <strong>in</strong> , (2.61)(2EA )(2E B )kjer smo posebej <strong>iz</strong>postavili fazni zamik med stanjema A <strong>in</strong> B, kot posledico neničelnega vpadnegaparametra. Sedaj lahko def<strong>in</strong>iramo relativistični diferencialni sipalni presek kot verjetnost
2.8. SIPALNI PRESEK IN LORENTZOVE TRANSFORMACIJE 43prehoda, povprečeno po prečnem preseku S, oziroma∫dσ(A, B → 1, . . .) = d 2 b dP(A, B → 1, . . .) . (2.62)Izvrednotenje gornjega <strong>iz</strong>raza v splošnem zahteva <strong>iz</strong>račun 14 dimenzionalnega <strong>in</strong>tegrala (2 kratd 3 p A ter d 3 p B ter enkrat d 2 b). Na srečo nam <strong>in</strong>tegral po vpadnem parametru pridela le dvodimenzionalnodelta funkcijo, ki skupaj z eno <strong>iz</strong>med δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] znotraj |T fi | 2 ponekoliko daljšem računu [5] zreducira celotno <strong>in</strong>tegracijo na∫ d 3 ∫p Addσ = dρ f(2π) 3 |φ A(p A )| 2 3 p B(2π) 3 |φ B(p B )| 2 |M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A +p B −(p A +. . .)] ,(2.63)kjer smo diferencial faznega prostora končnih stanj (posplošitev gostote stanj <strong>iz</strong> neralitivističnegaFermijevega zlatega pravila) bolj kompaktno zapisali kot dρ f = Π f d 3 p f /[(2π) 3 2E f ]. V realističnihsituacijah je zrnatost detektorjev prevelika, da bi razločila končno razsežnost valovnihpaketov A <strong>in</strong> B v prostoru gibalnih količ<strong>in</strong>. Zato lahko φ A,B (p A,B ) aproksimiramo z delta funkcijama,pa dobimo končni rezultatdσ = dρ f|M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] , (2.64)kjer nam sedaj imenovalec ulomka 2E A 2E B |v A −v B | predstavlja relativistično analogijo vpadnegatoka sipanih <strong>delcev</strong> <strong>iz</strong> enačbe (1.94).2.8 Sipalni presek <strong>in</strong> Lorentzove transformacijeOglejmo si, kako se različni gradniki, ki tvorijo <strong>iz</strong>raz za relativistični sipalni presek transformirajopod Lorentzovimi transformacijami. Sipalna amplituda je po konstrukciji Lorentzovo <strong>in</strong>variantnakolič<strong>in</strong>a. Nasprotno pa se moramo za dokaz tega na primeru diferenciala faznega prostorakončnih stanj (dρ f ) malce potruditi. V ta namen si poglejmo Lorentzovo transformacijo vobliki ‘boosta’ v smeri x. Pod njo se bosta netrivialno transformirali le x−ta komponenta(diferenciala) gibalne količ<strong>in</strong>e (dp x ) ter energija (E). Tako da nas v celotnem diferencialu dρ fzanima le transformacija ulomka dp x /E. Izrazimo torej dp x <strong>in</strong> E s količ<strong>in</strong>ami v novem sistemu(d)p ′ x ter (d)E ′ dp x = γ(dp ′ x + βdE ′ ) ,Sedaj za njuno razmerje veljaE = γ(E ′ + βp ′ x) . (2.65)dp xE = γ(dp′ x + βdE ′ )γ(E ′ + βp ′ = dp′ x 1 + β(dE ′ /dp ′ x)x) E ′ 1 + β(p ′ x/E ′ = dp′ x) E ′ , (2.66)kjer smo ob zadnjem enačaju upoštevali, da je diferencial energije (E = √ m 2 + |p| 2 ): dE/dp x =p x /E .Nazadnje si oglejmo še imenovalec 2E A 2E B |v A − v B |. Z uporabo enakosti v = p/E, galahko prepišemo kot 4|p A E B − p B E A |. Ker začetni gibalni količ<strong>in</strong>i kažeta <strong>iz</strong>ključno v smeri z,lahko ta <strong>iz</strong>raz drugače zapišemo tudi kot |p 0 A pz B − p0 B pz A | = |ɛ xyµνp µ A pν B|, kar je <strong>in</strong>variantno lena ’booste’ v smeri z – ima natanko transformacijske lastnosti (<strong>in</strong>verzne) plošč<strong>in</strong>e v xy-ravn<strong>in</strong>i,tako kot bi po def<strong>in</strong>iciji sipalnega preseka tudi pričakovali.