Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

2.6. VALOVNE FUNKCIJE HADRONOV 392.6 Valovne funkcije hadronovOglejmo si lastnosti valovne funckije ∆ ++ resonance. Njena valovna funkcija naj bo produktokusnega, spinskega ter krajevnega dela. Iz meritev sipalnega preseka vemo, da ima ta resonancaspin 3/2 pa tudi izospin 3/2. Ob utemeljeni predpostavki, da so torej relevantne prostostnestopnje, katerih vezano stanje je ∆ ++ trije (lahki) kvarki, takoj zaključimo, da bosta okusni terspinski del imela obliko |uuu〉 ter | ↑↑↑〉. Ker gre za osnovno stanje s takšno kombinacijo spinater izospina pravtako zaključimo, da bo krajevni del valovne funkcije v stanju s celotno tirnovrtilno količino l = 0 (|l, m〉 = |0, 0〉 ≡ Y 00 ). Takoj opazimo, da so vse nastete komponentevalovne funkcije ∆ ++ sode na zamenjavo gradnikov. Celotna fermionska valovna funkcija pamora biti nasprotno liha na zamenjavo delcev. Od tod sklepamo, da mora obstajati še četrtakomponenta valovne funkcije ∆ ++ , ki je liha na zamenjavo gradnikov. Ta komponenta (η) jeposledica barvne interakcije med kvarki v vezanem stanju. Velja torej|∆ ++ 〉 = ηY 00 |uuu〉| ↑↑↑〉 . (2.41)Na podlagi tega rezultata želimo sedaj skonstruirati še valovne funkcije preostalih najnižje ležečihbarionskih resonanc različnih spinov ter okusov. Upoštevajoč le okuse treh najlažjih kvarkovu, d, s bi pričakovali 3 3 = 27 možnih okusnih kombinacij. Če upoštevamo še vse možne kombinacijekvarkovskih spinov dobimo celo 6 3 = 216 možnih barionskih stanj v osnovnem stanjutirne vrtilne količine! Vendar je le 56 teh stanj popolnoma simetričnih na zamenjavo delcev,kot zahteva prisotnost barvne komponente. Pri sistematični konstrukciji njihovih valovnih funkcijso nam v veliko pomoč operatorji višanja in nižanja spina (S ± ) ter izospina (I ± ). Takšneoperatorje za spin poznamo že iz kvantne mehanike. V primeru izospina pa analogno definiramoI + |d〉 = |u〉 I − |u〉 = |d〉 I + |u〉 = 0 = I + | ¯d〉 ,I + |ū〉 = −| ¯d〉 I − | ¯d〉 = −|ū〉 I − |d〉 = 0 = I − |ū〉 , (2.42)kjer sta oba negativna predznaka v drugi vrstici stvar dogovora, saj v splošnem pripadajočakompleksna faza ni eksperimentalno merljiva. Kot enostaven primer si poglejmo konstrukcijookusnega dela vseh pionov. Pričnimo s pionskim stanjem z največjo tretjo komponento izospina|π + 〉 ∼ |u ¯d〉 = |1, 1〉 I,I3 . Na to stanje delujemo z operatorjem nižanja izospina, pa dobimoI − |u ¯d〉 = |d ¯d〉 − |uū〉 . (2.43)Ob pravilni normalizaciji takšne valovne funkcije (〈π 0 |π 0 〉 = 1), ji pripada še normalizacijskakonstanta 1/ √ 2, torej|π 0 〉 ∼ 1 √2(|d ¯d〉 − |uū〉) (2.44)Uporabimo sedaj I − še enkrat na tem rezultatu, pa dobimoI − (|d ¯d〉 − |uū〉) ∝ |dū〉 ∼ |π − 〉 . (2.45)Tako smo skonstruirali okusni del vseh treh valovnih funkcij mezonov z izopsinom I = 1. Kajpa stanje z izospinom I = 0? Za takšno stanje |η〉 ∼ |0, 0〉 I,I3 mora veljati I ± |η〉 = 0, od kodersledi s primerno normalizacijo|η〉 ∼ √ 1 (|d ¯d〉 + |uū〉) . (2.46)2Takšno stanje je avtomatsko tudi ortogonalno na vsa pionska stanja.