34 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVodvisnost pokrajša). Do popolnoma enake porazdelitve bi prišli tudi z <strong>iz</strong>biro medsebojne tirnevrtilne količ<strong>in</strong>e π + p para l = 2, ki v povezavi s sp<strong>in</strong>om protona pravtako da neničelno projekcijona vmesno sp<strong>in</strong>sko stanje resonance ∆ (j = 3/2). Meritve kotnih porazdelitev sipanih pionovse res ujemajo z gornjo napovedjo (slika 2.1). Nasprotno pa bi bila v primeru vmesnega stanja|1/2, 1/2〉 j kotna porazdelitev piona v končnem stanju z l = 1 konstantna, saj je|1/2, 1/2〉 j = C 1/2,1/21,1/2,1,−1/2 |1, 1〉 l|1/2, −1/2〉 s + C 1/2,1/21,1/2,0,1/2 |1, 0〉 l|1/2, 1/2〉 s= √ 2/3|1, 1〉 l |1/2, −1/2〉 s − √ 1/3|1, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s , (2.36)od koder slediψ ∗ 1/2 ψ 1/2 = 2 3 |Y 11 | 2 + 1 3 |Y 01 | 2 ∝ 1 . (2.37)Trivialno bi enak rezultat dobili tudi z neposredno projekcijo na |1/2, 1/2〉 j = |0, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s .Kotno porazdelitev pionov v resonančnem sipanju preko vmesnega stanja |3/2, 1/2〉 j pa lahkodobimo tudi enostavneje. Za to si poglejmo zasuk tega stanja <strong>iz</strong> sistema z v sistem z osjo z ′ , kikaže v smer <strong>iz</strong>hodnega piona <strong>in</strong> je glede na sistem z zasukana za kot θ okrog osi y. Zasukanostanje (valovno funkcijo) <strong>iz</strong>razimo kot l<strong>in</strong>earno komb<strong>in</strong>acijo stanj z različnimi projekcijami nabazne vektorje v sistemu z ′ . Koeficienti takšnih projekcij so t.i. funkcije d oziroma rotacijskefunkcijee −iĴyθ |j, m〉 = ∑ m ′ d j m,m ′ (θ)|j, m ′ 〉 . (2.38)Za naš primer dobimo torejψ3/2 ′ = e−iĴyθ |3/2, 1/2〉 = d 3/2−3/2,1/2(θ)|3/2, −3/2〉 + d3/2−1/2,1/2(θ)|3/2, −1/2〉+d 3/21/2,1/2(θ)|3/2, 1/2〉 + d3/23/2,1/2(θ)|3/2, 3/2〉 . (2.39)To je torej valovna funkcija ∆ ++ <strong>iz</strong>ražena z baznimi vektorji v sistemu z osjo z ′ . Sedajupoštevamo, da je v primeru, da sistem z ′ ustreza smeri <strong>iz</strong>hodnega piona, projekcija njegovetirne vrtilne količ<strong>in</strong>e na z ′ nič (<strong>iz</strong> enakega razloga kot smo to zahtevali za vpadni pion v sistemuz). Potem bo lahko projekcija celotne vrtilne količ<strong>in</strong>e sistema na os z ′ le posledica sp<strong>in</strong>a protona.Ker lahko ima ta le vrednosti ±1/2 sta torej stanji |3/2, ±3/2〉 v tem primeru nedosegljivi<strong>in</strong> lahko kotno odvisnost sipalnega preseka ponovno dobimo <strong>iz</strong> kvadrata absolutne vrednostivalovne funkcije končnega stanja kotψ ′ ∗3/2ψ ′ 3/2 = |d3/2 −1/2,1/2 (θ)|2 + |d 3/21/2,1/2 (θ)|2 ∝ 1 + 3 cos 2 θ, . (2.40)kjer smo v prvem koraku ponovno uporabili ortogonalnost sp<strong>in</strong>skih stanj.
2.4. KOTNA PORAZDELITEV PRI RESONANČNEM SIPANJU 35Slika 2.1: Kotna porazdelitev pri π + p → ∆ ++ → π + p. Povzeto po [4].